Reaalarvude aritmeetiliste toimingute seadused. Aritmeetilised tehted reaalarvudega

Positiivsete reaalarvude erinevus a ja b sellist reaalarvu nimetatakse Koos, mida a= b + c.

Positiivsete reaalarvude jagatis a ja b sellist reaalarvu nimetatakse Koos, mida a= b × s.

Positiivsete reaalarvude hulga liit negatiivsete reaalarvude hulga ja nulliga on kõigi reaalarvude hulk R.

Reaalarvude võrdlus ja tehted nendega tehakse kooli matemaatika kursusest tuntud reeglite järgi.

Ülesanne 60. Leidke summa kolm esimest komakohta 0,333… + 1,57079…

Lahendus. Võtame nelja kümnendkohaga terminite ligikaudsed kümnendkohad:

0,3333 < 0,3333… < 0,3334

1,5707 < 1,57079… < 1,5708.

Summa: 1,9040 ≤ 0,333… + 1,57079…< 1,9042.

Seega 0,333… + 1,57079…= 1,904…

Ülesanne 61. Leidke korrutise kaks esimest kümnendkohta a x b, kui a= 1,703604… ja b = 2,04537…

Lahendus. Võtame nende arvude kümnendarvud kolme kümnendkohaga:

1,703 < a <1,704 и 2,045 < b < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:

1,703 × 2,045 ≤ a x b < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ ab < 3,486.

Sellel viisil, a x b= 3,48…

Harjutused iseseisvaks tööks

1. Kirjutage üles irratsionaalarvu π = 3,1415 ... defitsiidi ja liia kümnendarvud täpsusega:

a) 0,1; b) 0,01; c) 0,001.

2. Leia summa kolm esimest komakohta a+ b, kui:

a) a = 2,34871…, b= 5,63724…; b) a = , b= π; sisse) a = ; b= ; G) a = ; b = .

PÄRISNUMBRID II

§ 46 Reaalarvude liitmine

Siiani saame üksteisele liita vaid ratsionaalarvud. Nagu me teame,

Kuid mida tähendab kahe arvu summa, millest vähemalt üks on irratsionaalne, seda me siiani ei tea. Nüüd peame määratlema, mida summa all mõeldakse α + β kaks suvalist reaalarvu α ja β .

Näiteks võtke arvesse numbreid 1/3 ja √2. Esitame neid lõpmatute kümnendmurdude kujul

1 / 3 = 0,33333...;

√2 =1,41421... .

Esiteks lisame nende arvude vastavad kümnendarvud koos puudusega. Need ligikaudsed hinnangud, nagu märgitud eelmise jaotise lõpus, on ratsionaalne numbrid. Ja me juba teame, kuidas selliseid numbreid lisada:

0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................

Seejärel liidame nende arvude vastavad kümnendarvud liialdusega:

1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................

Saab tõestada*, et pealegi on olemas ainulaadne reaalarv γ , mis on suurem kui kõigi arvude 1/3 ja √2 kümnendlähenduste summad, millel on puudus, kuid väiksem kui nende arvude kümnendlähenduste kõik summad koos liiaga:

* Selle fakti täpne tõestus ei kuulu meie programmi raamidesse ja seetõttu seda siin ei esitata.

1 < γ < 3

1,7 < γ < 1,9

1,74 < γ < 1,76

1,747 < γ < 1,749

1,7475 < γ < 1,7477

1,74754 < γ < 1,74756

Definitsiooni järgi see number γ ja võetakse arvude 1/3 ja √2 summana:

γ = 1 / 3 + √2

See on ilmne γ = 1,7475....

Kõigi teiste positiivsete reaalarvude summa, millest vähemalt üks on irratsionaalne, saab määratleda sarnaselt. Asja olemus ei muutu isegi siis, kui üks terminitest ja võib-olla mõlemad on negatiivsed.

Niisiis, kui numbrid α ja β on ratsionaalsed, siis leitakse nende summa ratsionaalarvude liitmise reegliga(vt § 36).

Kui vähemalt üks neist on irratsionaalne, siis summa α + β kutsutakse reaalarvu, mis on suurem kui nende arvude vastavate kümnendlähenduste summad koos puudusega, kuid väiksem kui nende arvude vastavate kümnendlähenduste summad koos liialdamisega.

Selliselt määratletud liitmise toiming järgib kahte järgmist seadust:

1) kommutatiivne seadus:

α + β = β + α

2) ühinguseadus:

(α + β ) + γ = α + (β + γ ).

Me ei tõesta seda. Õpilased saavad seda ise teha. Märgime vaid, et tõestuses peame kasutama meile juba teadaolevat fakti: ratsionaalarvude liitmine allub kommutatiivsetele ja assotsiatiivsetele seadustele (vt § 36).

Harjutused

327. Esitage need summad kümnendmurdena, märkides hõivatud numbri järel vähemalt kolm õiget numbrit:

a) √2 + √3 ; d) √2 + (- √3 ) g) 3/4 + (-√5 );

b) √2 + 5/8; e) (- 1/3) + √5 h) 1/3 + √2 + √3.

c) (-√2) + √3; f) 11/9 + (- √5);

328. Leidke reaalarvude paar esimest kümnendlähendust (ülejäägiga ja ilma):

a) 1/2 + √7 b) √3 + √7 c) √3 + (-√7)

329. Lähtudes reaalarvude summa definitsioonist, tõesta, et mis tahes arvu puhul α

α + (- α ) = 0.

330. Kas kahe lõpmatu mitteperioodilise murru summa on alati mitteperioodiline murd? Selgitage vastust näidetega.

1. Irratsionaalarvu mõiste. Lõpmatud kümnendmurrud mitteperioodilised. Reaalarvude hulk.

2. Aritmeetilised tehted reaalarvudega. Liitmise ja korrutamise seadused.

3. Reaalpositiivsete arvude laiendamine reaalarvude hulgale. Reaalarvude hulga omadused.

4. Ligikaudsed arvud Reaalarvude ümardamise reeglid ja tegevused ligikaudsete arvudega. Arvutused mikrokalkulaatori abil.

5. Peamised järeldused

Reaalarvud

Kümnendmurdude ilmumise üheks allikaks on naturaalarvude jagamine, teiseks suuruste mõõtmine. Uurime näiteks, kuidas saab lõigu pikkuse mõõtmisel kümnendmurde.

Lase X- segment, mille pikkust mõõdetakse, e- ühekordne lõige. Lõika pikkus X tähistada tähega X ja lõigu pikkus e- kiri E. Laske segment X sisaldab n segmendid, mis on võrdsed e₁ ja lõika X₁, mis on segmendist lühem e(joon. 130), s.o. n ∙E < X < (n + 1) ∙E. Numbrid n ja n+ 1 on segmendi pikkuse ligikaudsed väärtused Xühiku pikkuses E puudusega ja ülejäägiga kuni 1.

Täpsema vastuse saamiseks võtke segment e₁ on kümnendik lõigust e ja me paneme selle segmenti X₁. Sel juhul on võimalikud kaks juhtumit.

1) Segment e₁ sobitub segmendiga X₁ täpselt nüks kord. Siis pikkus n segment X väljendatuna viimase kümnendkohana: X = (n+n₁\10) ∙E = n, n₁∙E. Näiteks, X= 3,4∙E.

2) Lõika X₁ selgub, et koosneb n segmendid, mis on võrdsed e₁ ja segment X₂, mis on segmendist lühem e₁. Siis n,n₁∙E < X < n,n₁n₁′∙ E, kus n,n₁ ja n,n₁n₁′ - segmendi pikkuse ligikaudsed väärtused X puudujäägiga ja ülejäägiga 0,1 täpsusega.

On selge, et teisel juhul toimub segmendi pikkuse mõõtmise protsess X võite jätkata, võttes uue ühiku segmendi e₂ – segmendi sajandik e.

Praktikas lõpeb see segmendi pikkuse mõõtmise protsess mingil etapil. Ja siis on lõigu pikkuse mõõtmise tulemuseks kas naturaalarv või lõplik kümnendmurd. Kui kujutame ette seda lõigu pikkuse mõõtmise protsessi ideaalis (nagu matemaatikas), siis on võimalikud kaks tulemust:

1) K-ndas etapis mõõtmisprotsess lõpeb. Seejärel väljendatakse segmentide pikkust vormi viimase kümnendmurruna n,n₁… n k.

2) Kirjeldatud protsess lõigu pikkuse mõõtmiseks X jätkub lõputult. Siis saab selle kohta aruannet tähistada sümboliga n,n₁… n k..., mida nimetatakse lõpmatuks kümnendkohaks.

Kuidas olla kindel teise tulemuse võimalikkuses? Selleks piisab sellise lõigu pikkuse mõõtmisest, mille puhul on teada, et selle pikkust väljendatakse näiteks ratsionaalarvuga 5. Kui selgus, et sellise lõigu pikkuse mõõtmise tulemusena saadakse lõplik kümnendmurd, siis tähendaks see, et arvu 5 saab esitada lõpliku kümnendmurruna, mis on võimatu: 5 \u003d 5,666 . ...

Seega saab segmentide pikkuste mõõtmisel saada lõpmatuid kümnendmurde. Kuid kas need murrud on alati perioodilised? Vastus sellele küsimusele on eitav: on segmente, mille pikkust ei saa väljendada valitud pikkuseühikuga lõpmatu perioodilise murdosaga (st positiivse ratsionaalarvuga). See oli matemaatika kõige olulisem avastus, millest järeldub, et segmentide pikkuste mõõtmiseks ei piisa ratsionaalsetest arvudest.

Teoreem. Kui pikkuse ühikuks on ruudu külje pikkus, siis selle ruudu diagonaali pikkust ei saa väljendada positiivse ratsionaalarvuga.

Tõestus. Olgu ruudu külje pikkust väljendatud arvuga 1. Oletame vastupidist sellele, mida on vaja tõestada, st et ruudu ABCB diagonaali AC pikkust väljendatakse taandamatu murruna. Siis kehtiks Pythagorase teoreemi järgi võrdsus

1²+ 1² = . Sellest järeldub, et m² = 2n². Niisiis, m² on paarisarv, siis on arv m paaris (paaritu arvu ruut ei saa olla paaris). Niisiis, m = 2p. Asendades võrrandis m² = 2n² arvu m 2p-ga, saame, et 4p² = 2n², s.o. 2p² = n². Sellest järeldub, et n² on paarisarv, seega on n paarisarv. Seega on arvud m ja n paaris, mis tähendab, et murdosa saab vähendada 2 võrra, mis on vastuolus eeldusega, et see on taandamatu. Väljakujunenud vastuolu tõestab, et kui pikkuse ühikuks on ruudu külje pikkus, siis selle ruudu diagonaali pikkust ei saa väljendada ratsionaalarvuga.

Tõestatud teoreemist järeldub, et on segmente, mille pikkust ei saa väljendada positiivse arvuga (valitud pikkusühikuga), ehk teisisõnu kirjutada lõpmatu perioodilise murdena. See tähendab, et lõikude pikkuste mõõtmisel saadud lõpmatud kümnendmurrud võivad olla mitteperioodilised.

Arvatakse, et lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud on uute arvude rekord - positiivne irratsionaalne numbrid. Kuna arvu mõisted ja selle tähistus on sageli tuvastatud, ütlevad nad, et lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud on positiivsed irratsionaalsed arvud.

Positiivse irratsionaalarvu mõisteni jõudsime läbi segmentide pikkuste mõõtmise. Kuid irratsionaalseid arve saab ka mõnest ratsionaalarvust juure eraldades. Seega √2, √7, √24 on irratsionaalsed arvud. Irratsionaalsed on ka lg 5, sin 31, arvud π = 3,14..., e= 2,7828... ja teised.

Positiivsete irratsionaalarvude hulk on tähistatud sümboliga J+.

Kahe arvuhulga: positiivse ratsionaalse ja positiivse irratsionaalse arvu ühendust nimetatakse positiivsete reaalarvude hulgaks ja seda tähistatakse sümboliga R+. Seega Q+ ∪ J + = R+. Euleri ringide abil on need komplektid kujutatud joonisel 131.

Iga positiivset reaalarvu saab esitada lõpmatu kümnendmurruna - perioodilise (kui see on ratsionaalne) või mitteperioodilise (kui see on irratsionaalne).

Positiivsete reaalarvude toimingud taandatakse positiivsete ratsionaalarvude toiminguteks.

Positiivsete reaalarvude liitmisel ja korrutamisel on kommutatiivsuse ja assotsiatiivsuse omadused ning korrutamine on liitmise ja lahutamise suhtes distributiivne.

Positiivsete reaalarvude abil saate väljendada mis tahes skalaarsuuruse mõõtmise tulemust: pikkus, pindala, mass jne. Kuid praktikas on sageli vaja arvuga väljendada mitte suuruse mõõtmise tulemust, vaid selle muutust. Veelgi enam, selle muutumine võib toimuda erineval viisil - see võib suureneda, väheneda või jääda muutumatuks. Seetõttu on suurusjärgu muutuse väljendamiseks peale positiivsete reaalarvude vaja ka teisi arve ja selleks on vaja hulka R + laiendada, lisades sellele arvu 0 (null) ja negatiivsed arvud.

Positiivsete reaalarvude hulga liit negatiivsete reaalarvude hulga ja nulliga on kõigi reaalarvude hulk R.

Reaalarvude võrdlus ja tehted nendega tehakse meile kooli matemaatika kursusest teadaolevate reeglite järgi.

Harjutused

1. Kirjeldage lõigu pikkuse mõõtmise protsessi, kui selle aruanne esitatakse murdarvuna:

a) 3,46; b) 3,(7); c) 3.2 lõige 6.

2. Üksiku segmendi seitsmes osa mahub segmenti a 13 korda. Kas selle lõigu pikkust tähistatakse lõpliku või lõpmatu murruga? Perioodiline või mitteperioodiline?

3. Antakse komplekt: (7; 8; √8; 35,91; -12,5; -√37; 0; 0,123; 4136).

Kas seda saab jagada kahte klassi: ratsionaalne ja irratsionaalne?

4. On teada, et mis tahes arvu saab esitada koordinaatjoone punktiga. Kas ratsionaalsete koordinaatidega punktid ammendavad kogu koordinaatsirge? Aga reaalsete koordinaatidega punktid?

99. Peamised järeldused § 19

Selle lõigu materjaliga tutvudes oleme selgeks teinud paljud matemaatika koolikursusest tuntud mõisted, sidudes need lõigu pikkuse mõõtmisega. Need on sellised mõisted nagu:

murdosa (õige ja vale);

võrdsed murrud;

taandamatu murdosa;

positiivne ratsionaalarv;

positiivsete ratsionaalarvude võrdsus;

segafraktsioon;

lõpmatu perioodiline kümnend;

lõpmatu mitteperioodiline koma;

irratsionaalne arv;

tegelik arv.

Saime teada, et murdude võrdsuse seos on ekvivalentsuhe ja kasutasime seda ära, defineerides positiivse ratsionaalarvu mõiste. Samuti saime teada, kuidas on seotud positiivsete ratsionaalarvude liitmine ja korrutamine segmentide pikkuste mõõtmisega ning saadud valemid nende summa ja korrutise leidmiseks.

Seose "vähem kui" määratlus hulgal Q+ võimaldas nimetada selle peamised omadused: see on järjestatud, tihe, ei sisalda väikseimat ja suurimat arvu.

Oleme tõestanud, et positiivsete ratsionaalarvude hulk Q+ täidab kõik tingimused, mis võimaldavad seda pidada naturaalarvude hulga N laiendiks.

Kümnendmurdude kasutuselevõtuga tõestasime, et iga positiivset ratsionaalarvu saab esitada lõpmatu perioodilise kümnendmurruga.

Lõpmatuid mitteperioodilisi murde peetakse irratsionaalarvude kirjeteks.

Kui ühendada positiivsete ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulk, siis saame positiivsete reaalarvude hulga: Q+ ∪ J + = R+.

Kui liidame positiivsetele reaalarvudele negatiivsed reaalarvud ja null, siis saame kõigi reaalarvude hulga R.