Kuidas leida funktsiooni näidete äärmuspunkte. Kuidas leida funktsiooni ekstreemumi (minimaalne ja maksimaalne punkt). Funktsiooni suurenemine, vähenemine ja ekstreemsus

Nende võrratuste ülekandmine piirini Δ x→ 0 ja võttes arvesse, et tuletis f "(x 0) on olemas ja seega ei sõltu vasakpoolne piirang sellest, kuidas Δ x→ 0, saame: Δ jaoks x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 ja Δ juures x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Alates f"(x 0) defineerib arvu, siis on need kaks võrratust ühilduvad ainult siis, kui f"(x 0) = 0.

Tõestatud teoreem ütleb, et maksimum- ja miinimumpunktid võivad olla ainult nende argumendi väärtuste hulgas, mille tuletis kaob.

Oleme käsitlenud juhtumit, kui funktsioonil on tuletis teatud segmendi kõigis punktides. Mis juhtub, kui tuletist ei eksisteeri? Kaaluge näiteid.

y=|x|.

Funktsioonil ei ole punktis tuletist x=0 (sellel hetkel ei ole funktsiooni graafikul kindlat puutujat), kuid sellel hetkel on funktsioonil miinimum, kuna y(0)=0 ja kõigi jaoks x≠ 0y > 0.

Seega on antud näidetest ja sõnastatud teoreemist selge, et funktsioonil saab ekstreemum olla ainult kahel juhul: 1) punktides, kus tuletis eksisteerib ja on võrdne nulliga; 2) kohas, kus tuletist ei eksisteeri.

Kui aga ühel hetkel x 0 me teame seda f"(x 0 ) =0, siis sellest ei saa järeldada, et punktis x 0 funktsioonil on äärmus.

Näiteks.

Aga punkt x=0 ei ole äärmuspunkt, kuna sellest punktist vasakul asuvad funktsiooni väärtused telje all Ox, ja ülal paremal.

Funktsiooni domeeni argumendi väärtusi, mille puhul funktsiooni tuletis kaob või puudub, nimetatakse kriitilised punktid.

Eelnevast järeldub, et funktsiooni äärmuspunktid kuuluvad kriitiliste punktide hulka, kuid mitte iga kriitiline punkt ei ole äärmuspunkt. Seetõttu peate funktsiooni ekstreemumi leidmiseks leidma kõik funktsiooni kriitilised punktid ja seejärel uurima kõiki neid punkte eraldi maksimumi ja miinimumi jaoks. Selleks kasutatakse järgmist teoreemi.

Teoreem 2. (Piisav tingimus ekstreemumi olemasoluks.) Olgu funktsioon pidev mingil kriitilist punkti sisaldaval intervallil x 0 ja on diferentseeruv selle intervalli kõigis punktides (välja arvatud võib-olla punkt ise x 0). Kui sellest punktist vasakult paremale liikudes muudab tuletis märgi plussist miinusesse, siis punktis x = x 0 funktsioonil on maksimum. Kui läbimisel x 0 vasakult paremale, tuletis muudab märgi miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis miinimum.

Seega, kui

f"(x)>0 kl x<x 0 ja f"(x)< 0 kl x > x 0 siis x 0 - maksimaalne punkt;

Tõestus. Oletame esmalt, et läbisõidul x 0, tuletis muudab märgi plussist miinusesse, st. kõigi jaoks x punkti lähedal x 0 f "(x)> 0 eest x< x 0 , f"(x)< 0 eest x > x 0 . Rakendame erinevusele Lagrange'i teoreemi f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), kus c jääb vahele x ja x 0 .

Lase x< x 0 . Siis c< x 0 ja f "(c)> 0. Sellepärast f "(c)(x-x 0)< 0 ja seetõttu

f(x) - f(x 0 )< 0, st. f(x)< f(x 0 ).

Lase x > x 0 . Siis c>x 0 ja f"(c)< 0. Tähendab f "(c)(x-x 0)< 0. Sellepärast f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Seega kõigi väärtuste puhul x piisavalt lähedal x 0 f(x)< f(x 0 ) . Ja see tähendab, et hetkel x 0 funktsioonil on maksimum.

Samamoodi on tõestatud ka miinimumteoreemi teine ​​osa.

Illustreerime selle teoreemi tähendust joonisel. Lase f"(x 1 ) =0 ja mis tahes x, piisavalt lähedal x 1 , ebavõrdsused

f"(x)< 0 kl x< x 1 , f "(x)> 0 kl x > x 1 .

Seejärel punktist vasakule x 1 funktsioon suureneb ja paremal väheneb, seega millal x = x 1 funktsioon läheb suurenevalt kahanemisele, see tähendab, et sellel on maksimum.

Samamoodi võib kaaluda punkte x 2 ja x 3 .

Skemaatiliselt saab kõike ülaltoodut kujutada pildil:

Ekstreemumi funktsiooni y=f(x) uurimise reegel

Funktsiooni ulatuse leidmine f(x).

Leia funktsiooni esimene tuletis f"(x).

Selleks määrake kriitilised punktid:

leida võrrandi tegelikud juured f"(x)=0;

leida kõik väärtused x mille alusel tuletis f"(x) ei eksisteeri.

Määrake kriitilisest punktist vasakul ja paremal asuva tuletise märk. Kuna tuletise märk jääb kahe kriitilise punkti vahel konstantseks, piisab tuletise märgi määramisest ühes punktis kriitilisest punktist vasakul ja ühes punktis paremal.

Arvutage funktsiooni väärtus äärmuspunktides.

Nagu näete, nõuab see funktsiooni ekstreemumi märk tuletise olemasolu vähemalt teise järguni punktis .

Näide.

Leia funktsiooni äärmuspunkt.

Lahendus.

Alustame ulatusega:

Eristame algset funktsiooni:

x=1, see tähendab, et see on võimaliku ekstreemumi punkt. Leiame funktsiooni teise tuletise ja arvutame selle väärtuse at x=1:

Seetõttu teise piisava äärmusliku tingimuse kohaselt x=1- maksimumpunkt. Siis on funktsiooni maksimum.

Graafiline illustratsioon.

Vastus:

Funktsiooni ekstreemumi kolmas piisav tingimus.

Laske funktsioonil y=f(x) on tuletised kuni n-ndas järgus -punkti naabruses ja tuletised kuni n+1 järjekorras punktis endas. Lase ja .

Näide.

Funktsiooni äärmuspunktide leidmine .

Lahendus.

Algfunktsioon on terve ratsionaalne funktsioon, selle määratluspiirkond on kogu reaalarvude komplekt.

Eristame funktsiooni:

Tuletis kaob, kui , seega on need võimaliku ekstreemumi punktid. Kasutame ekstreemumi jaoks kolmandat piisavat tingimust.

Leiame teise tuletise ja arvutame selle väärtuse võimaliku ekstreemumi punktides (vahearvutused jätame vahele):

Seetõttu on maksimumpunkt (ekstreemumi kolmanda piisava märgi jaoks on meil n = 1 ja ).

Punktide olemuse selgitamiseks leidke kolmas tuletis ja arvutage selle väärtus järgmistes punktides:

Seetõttu on funktsiooni käändepunkt ( n = 2 ja ).

Jääb üle asjaga tegeleda. Leiame neljanda tuletise ja arvutame selle väärtuse siinkohal:

Seetõttu on funktsiooni miinimumpunkt.

Graafiline illustratsioon.

Vastus:

Maksimaalne punkt on funktsiooni miinimumpunkt.

10. Funktsiooni ekstreemumid Ekstreemumi definitsioon

Kutsutakse funktsioon y = f(x). suureneb (kahanev) mõnes intervallis, kui x 1 korral< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Kui diferentseeruv funktsioon y = f(x) lõigul suureneb (väheneb), siis selle tuletis sellel lõigul f "(x)  0

(f "(x)  0).

Punkt x umbes helistas kohalik maksimumpunkt (miinimum) funktsiooni f(x) korral, kui on olemas punkti naabrus x umbes, kõigi punktide puhul, mille võrratus f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)) on tõene.

Nimetatakse maksimum- ja miinimumpunktid äärmuslikud punktid, ja funktsiooni väärtused nendes punktides on selle äärmuslik.

äärmuslikud punktid

Ekstreemumiks vajalikud tingimused. Kui punkt x umbes on funktsiooni f (x) äärmuspunkt, siis kas f "(x o) \u003d 0 või f (x o) pole olemas. Selliseid punkte nimetatakse kriitiline, kus funktsioon ise on määratletud kriitilises punktis. Funktsiooni äärmusi tuleks otsida selle kriitiliste punktide hulgast.

Esimene piisav tingimus. Lase x umbes- kriitiline punkt. Kui f "(x) punkti läbimisel x umbes muudab plussmärgi miinusmärgiks, seejärel punktis x umbes funktsioonil on maksimum, muidu on miinimum. Kui tuletis kriitilist punkti läbides märki ei muuda, siis punktis x umbes ekstreemumit pole.

Teine piisav tingimus. Olgu funktsioonil f(x) punkti naabruses tuletis f "(x). x umbes ja teine ​​tuletis just selles punktis x umbes. Kui f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка x umbes on funktsiooni f(x) lokaalne miinimum (maksimaalne) punkt. Kui =0, siis tuleb kas kasutada esimest piisavat tingimust või kaasata kõrgemad tuletised.

Lõigul võib funktsioon y = f(x) saavutada oma minimaalse või maksimaalse väärtuse kas kriitilistes punktides või lõigu otstes.

Näide 3.22. Leidke funktsiooni f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 äärmuspunkt.

Lahendus. Kuna f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), siis funktsiooni kriitilised punktid x 1 \u003d 2 ja x 2 \u003d 3. Äärmuslikud punktid võivad olema ainult nendes punktides. Kuna punkti x 1 \u003d 2 läbimisel muudab tuletise plussmärgi miinusmärgiks, siis selles punktis on funktsioonil maksimum.Punkti x 2 \u003d 3 läbimisel on tuletis muudab miinusmärgi plussiks, seetõttu on punktis x 2 \u003d 3 funktsioonil miinimum. Olles arvutanud funktsiooni väärtused punktides x 1 = 2 ja x 2 = 3, leiame äärmuse funktsioon: maksimaalne f (2) = 14 ja minimaalne f (3) = 13.

Lihtne algoritm äärmuste leidmiseks.

• Funktsiooni tuletise leidmine
• Võrdsusta see tuletis nulliga
• Leiame saadud avaldise muutuja väärtused (muutuja väärtused, mille juures tuletis teisendatakse nulliks)
• Jagame koordinaatjoone nende väärtustega intervallideks (samal ajal ei tohiks unustada katkestuspunkte, mida tuleb ka joonele rakendada), kõiki neid punkte nimetatakse ekstreemumi jaoks "kahtlasteks" punktideks.
• Arvutame, millisel neist intervallidest on tuletis positiivne ja millisel negatiivne. Selleks peate intervalli väärtuse asendama tuletisega.

Ekstreemumikahtlusega punktidest on vaja täpselt leida . Selleks vaatame oma lünki koordinaatjoonel. Kui mingi punkti läbimisel muutub tuletise märk plussist miinusesse, siis see punkt on maksimaalselt, ja kui miinusest plussile, siis miinimum.

Funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks tuleb välja arvutada funktsiooni väärtus segmendi otstes ja äärmuspunktides. Seejärel valige suurim ja väikseim väärtus.

Kaaluge näidet
Leiame tuletise ja võrdsustame selle nulliga:

Saadud muutujate väärtused rakendame koordinaatjoonele ja arvutame iga intervalli tuletise märgi. No näiteks esimeseks võtmiseks-2 , siis on tuletis-0,24 , teiseks võtmiseks0 , siis on tuletis2 , ja kolmandaks võtame2 , siis on tuletis-0,24. Panime maha vastavad sildid.

Näeme, et punkti -1 läbimisel muudab tuletis märgi miinusest plussiks, see tähendab, et see on miinimumpunkt ja punkti 1 läbimisel vastavalt plussist miinusesse on see maksimumpunkt.

Pöördume funktsiooni y \u003d x 3 - 3x 2 graafiku poole. Vaatleme punkti x = 0 ümbrust, s.o. mingi intervall, mis sisaldab seda punkti. On loogiline, et punkti x \u003d 0 naabrus on selline, et funktsioon y \u003d x 3 - 3x 2 võtab selle ümbruskonna suurima väärtuse punktis x \u003d 0. Näiteks intervallil (- 1; 1) suurim väärtus, mis on võrdne 0-ga, võtab funktsioon punktis x = 0. Punkti x = 0 nimetatakse selle funktsiooni maksimumpunktiks.

Samamoodi nimetatakse punkti x \u003d 2 funktsiooni x 3 - 3x 2 miinimumpunktiks, kuna selles punktis ei ole funktsiooni väärtus suurem kui selle väärtus teises punkti x \u003d 2 läheduses. , näiteks naabruskond (1,5; 2,5).

Seega nimetatakse punkti x 0 funktsiooni f (x) maksimumpunktiks, kui punktile x 0 on naabrus – selline, et võrratus f (x) ≤ f (x 0) on täidetud kõigi x-de korral sellest. naabruskond.

Näiteks punkt x 0 \u003d 0 on funktsiooni f (x) \u003d 1 - x 2 maksimaalne punkt, kuna f (0) \u003d 1 ja ebavõrdsus f (x) ≤ 1 kehtib kõigi väärtuste puhul x-st.

Funktsiooni f (x) miinimumpunkti nimetatakse punktiks x 0, kui punktil x 0 on selline naabrus, et ebavõrdsus f (x) ≥ f (x 0) on täidetud kõigi selle naabruse x jaoks.

Näiteks punkt x 0 \u003d 2 on funktsiooni f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2 miinimumpunkt, kuna f (2) \u003d 3 ja f (x) ≥ 3 kõigi x .

Äärmuspunkte nimetatakse miinimumpunktideks ja maksimumpunktideks.

Pöördume funktsiooni f(x) poole, mis on defineeritud punkti x 0 mõnes naabruses ja millel on selles punktis tuletis.

Kui x 0 on diferentseeruva funktsiooni f (x) äärmuspunkt, siis f "(x 0) \u003d 0. Seda väidet nimetatakse Fermat' teoreemiks.

Fermat' teoreemil on selge geomeetriline tähendus: ekstreemumipunktis on puutuja paralleelne x-teljega ja seega ka selle kalle.
f "(x 0) on null.

Näiteks funktsiooni f (x) \u003d 1 - 3x 2 maksimum on punktis x 0 \u003d 0, selle tuletis f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

Funktsioonil f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 on miinimum punktis x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Pange tähele, et kui f "(x 0) \u003d 0, siis sellest ei piisa kinnitamaks, et x 0 on tingimata funktsiooni f (x) äärmuspunkt.

Näiteks kui f (x) \u003d x 3, siis f "(0) \u003d 0. Punkt x \u003d 0 ei ole aga äärmuspunkt, kuna funktsioon x 3 suureneb kogu reaalteljel.

Seega tuleb diferentseeruva funktsiooni äärmuspunkte otsida ainult võrrandi juurte hulgast
f "(x) \u003d 0, kuid selle võrrandi juur ei ole alati äärmuspunkt.

Statsionaarsed punktid on punktid, kus funktsiooni tuletis on võrdne nulliga.

Seega selleks, et punkt x 0 oleks äärmuspunkt, on vajalik, et see oleks statsionaarne punkt.

Arvesta piisavateks tingimusteks, et statsionaarne punkt oleks äärmuspunkt, s.t. tingimused, mille korral statsionaarne punkt on funktsiooni miinimum- või maksimumpunkt.

Kui statsionaarsest punktist vasakul olev tuletis on positiivne ja paremal negatiivne, s.t. tuletis muudab selle punkti läbimisel märgi "+" märgiks "-", siis on see statsionaarne punkt maksimumpunkt.

Tõepoolest, antud juhul statsionaarsest punktist vasakul funktsioon suureneb, paremal aga väheneb, s.t. see punkt on maksimumpunkt.

Kui tuletis muudab statsionaarse punkti läbimisel märgi "-" märgiks "+", siis on see statsionaarne punkt miinimumpunkt.

Kui tuletis statsionaarse punkti läbimisel märki ei muuda, s.o. tuletis on positiivne või negatiivne statsionaarsest punktist vasakul ja paremal, siis see punkt ei ole äärmuspunkt.

Vaatleme ühte ülesannetest. Leidke funktsiooni f (x) \u003d x 4 - 4x 3 äärmuspunktid.

Lahendus.

1) Leidke tuletis: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Leidke statsionaarsed punktid: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Intervallmeetodi abil tuvastame, et tuletis f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) on positiivne x\u003e 3 jaoks, negatiivne x jaoks< 0 и при 0 < х < 3.

4) Kuna punkti x 1 \u003d 0 läbimisel tuletise märk ei muutu, pole see punkt äärmuspunkt.

5) Tuletis muudab punkti x 2 \u003d 3 läbimisel märgi "-" märgiks "+". Seetõttu on x 2 \u003d 3 miinimumpunkt.

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Sellest artiklist saab lugeja teada, mis on funktsionaalse väärtuse ekstreemum, samuti selle praktikas kasutamise iseärasusi. Sellise kontseptsiooni uurimine on ülimalt oluline kõrgema matemaatika aluste mõistmiseks. See teema on kursuse põhjalikumaks uurimiseks ülioluline.

Kokkupuutel

Mis on äärmus?

Koolikursusel antakse mõiste "ekstreemum" palju definitsioone. Selle artikli eesmärk on anda terminist kõige sügavam ja selgeim arusaam neile, kes pole probleemist teadlikud. Seega mõistetakse mõistet, mil määral omandab funktsionaalne intervall konkreetses komplektis minimaalse või maksimaalse väärtuse.

Ekstreemum on korraga nii funktsiooni minimaalne väärtus kui ka maksimum. Seal on miinimumpunkt ja maksimumpunkt, see tähendab argumendi äärmuslikud väärtused graafikul. Peamised teadused, milles seda mõistet kasutatakse:

• statistika;
• masina juhtimine;
• ökonomeetria.

Äärmuslikud punktid mängivad antud funktsiooni järjestuse määramisel olulist rolli. Graafikul olev koordinaatsüsteem näitab parimal juhul äärmuspositsiooni muutust sõltuvalt funktsionaalsuse muutumisest.

Tuletisfunktsiooni äärmus

On olemas ka selline asi nagu "tuletis". On vaja määrata äärmuspunkt. Oluline on mitte segi ajada miinimum- või maksimumpunkte suurimate ja väikseimate väärtustega. Need on erinevad mõisted, kuigi võivad tunduda sarnased.

Funktsiooni väärtus on peamine tegur maksimumpunkti leidmise määramisel. Tuletis ei moodustu väärtustest, vaid eranditult selle äärmisest positsioonist ühes või teises järjekorras.

Tuletis ise määratakse äärmuslike punktide andmete, mitte suurima või väikseima väärtuse põhjal. Vene koolides pole nende kahe mõiste vahel selgelt piiritletud, mis mõjutab selle teema mõistmist üldiselt.

Vaatleme nüüd sellist asja nagu "terav äärmus". Praeguseks on olemas äge miinimumväärtus ja äge maksimumväärtus. Määratlus on antud vastavalt funktsiooni kriitiliste punktide venekeelsele klassifikatsioonile. Ekstreemumipunkti mõiste on aluseks diagrammil kriitiliste punktide leidmisel.

Sellise mõiste defineerimiseks kasutatakse Fermat' teoreemi. See on äärmuslike punktide uurimisel kõige olulisem ja annab selge ettekujutuse nende olemasolust ühel või teisel kujul. Ekstreemsuse tagamiseks on oluline luua graafikul teatud tingimused kahanemiseks või suurendamiseks.

Küsimusele "kuidas maksimumpunkti leida" täpselt vastamiseks peate järgima järgmisi sätteid:

1. Täpse määratlusala leidmine diagrammil.
2. Otsige funktsiooni ja ekstreemumipunkti tuletist.
3. Lahendage argumendi valdkonna standardvõrratused.
4. Oskab tõestada, millistes funktsioonides on graafik punkt defineeritud ja pidev.

Tähelepanu! Funktsiooni kriitilise punkti otsimine on võimalik ainult siis, kui on olemas vähemalt teist järku tuletis, mille tagab äärmuspunkti esinemise suur osakaal.

Funktsiooni ekstreemumi vajalik tingimus

Ekstreemumi olemasoluks on oluline, et oleks olemas nii miinimum- kui ka maksimumpunktid. Kui seda reeglit järgitakse ainult osaliselt, rikutakse ekstreemumi olemasolu tingimust.

Iga funktsiooni mis tahes asendis tuleb eristada, et tuvastada selle uusi tähendusi. Oluline on mõista, et punkti kadumise juhtum ei ole eristatava punkti leidmise peamine põhimõte.

Terav ekstreemum, nagu ka funktsioonimiinimum, on ülimalt oluline aspekt äärmuslikke väärtusi kasutades matemaatilise ülesande lahendamisel. Selle komponendi paremaks mõistmiseks on oluline funktsionaalsuse määramisel viidata tabeliväärtustele.

Funktsionaalne äärmus

Ülaltoodud väärtuse leidmiseks peate järgima järgmisi reegleid:

• määrata äärmussuhte jaoks vajalik tingimus;
• arvestama graafiku äärmiste punktide piisavat seisukorda;
• viia läbi ägeda ekstreemumi arvutamine.

On ka selliseid mõisteid nagu nõrk miinimum ja tugev miinimum. Seda tuleb ekstreemumi määramisel ja selle täpsel arvutamisel arvestada. Samas on terav funktsionaalsus funktsioonigraafikuga töötamiseks kõigi vajalike tingimuste otsimine ja loomine.