Arvestades kolmnurga ABC tipud, leidke külje võrrand. Sirge joon lennukis. Lahendusnäited. Mida peate teadma ja suutma edukalt lahendada geomeetria ülesandeid

Kuidas õppida lahendama ülesandeid analüütilises geomeetrias?
Tüüpiline probleem kolmnurgaga tasapinnal

See õppetund loodi ekvaatorile lähenemisest tasapinna geomeetria ja ruumi geomeetria vahel. Hetkel on vaja kogutud info süstematiseerida ja vastata väga olulisele küsimusele: kuidas õppida lahendama ülesandeid analüütilises geomeetrias? Raskus seisneb selles, et geomeetrias on lõpmatult palju ülesandeid ning ükski õpik ei suuda sisaldada kõiki paljusid ja erinevaid näiteid. Ei ole funktsiooni tuletis viie eristamisreegli, tabeli ja mõne tehnikaga...

Lahendus on olemas! Ma ei ütle kõva häälega sõnu, et olen välja töötanud mingi suurejoonelise tehnika, kuid minu arvates on vaadeldavale probleemile tõhus lähenemine, mis võimaldab isegi täis veekeetjaga saavutada häid ja suurepäraseid tulemusi. Vähemalt geomeetriliste ülesannete lahendamise üldine algoritm võttis minu peas väga selgelt kuju.

MIDA SA PEAD TEADMA JA OLEMA OLEMA
geomeetria ülesandeid edukalt lahendada?

Sellest ei saa kuidagi mööda – selleks, et mitte suvaliselt ninaga nuppe torkida, tuleb omandada analüütilise geomeetria põhitõed. Seega, kui olete just alustanud geomeetria õppimist või selle sootuks unustanud, alustage palun õppetunniga Mannekeenide vektorid. Lisaks vektoritele ja nendega seotud toimingutele peate teadma tasapinna geomeetria põhimõisteid, eriti tasapinna sirgjoone võrrand ja . Ruumi geomeetriat esindavad artiklid Tasapinnaline võrrand, Ruumi sirgjoone võrrandid, Põhiülesanded joonel ja lennukil ning mõned muud tunnid. Kumerad jooned ja teist järku ruumipinnad paistavad mõnevõrra üksteisest eemal ning nendega pole nii palju spetsiifilisi probleeme.

Oletame, et õpilasel on juba elementaarsed teadmised ja oskused analüütilise geomeetria lihtsamate ülesannete lahendamiseks. Kuid see juhtub nii: loed probleemi seisu ja ... tahad kogu asja üldse sulgeda, visata selle kaugemasse nurka ja unustada, nagu õudusunenägu. Pealegi ei sõltu see põhimõtteliselt teie kvalifikatsiooni tasemest, aeg-ajalt puutun ise kokku ülesannetega, mille lahendus pole ilmne. Kuidas sellistel juhtudel käituda? Pole vaja karta ülesannet, millest sa aru ei saa!

Esiteks, tuleks seadistada kas see on "tasapinnaline" või ruumiline probleem? Näiteks kui tingimuses esinevad kahe koordinaadiga vektorid, siis loomulikult on see tasapinna geomeetria. Ja kui õpetaja laadis tänulikule kuulajale püramiidi, siis on seal selgelt ruumi geomeetria. Esimese sammu tulemused on juba päris head, sest suutsime ära lõigata tohutu hulga selle ülesande jaoks ebavajalikku infot!

Teiseks. Tingimus puudutab teid reeglina mõne geomeetrilise kujundiga. Tõepoolest, kõndige mööda oma koduülikooli koridore ja näete palju murelikke nägusid.

"Lamedate" ülesannete puhul, rääkimata ilmsetest punktidest ja joontest, on kõige populaarsem kujund kolmnurk. Analüüsime seda väga üksikasjalikult. Järgmiseks tuleb rööpkülik ning ristkülik, ruut, romb, ring ja muud kujundid on palju vähem levinud.

Ruumiülesannetes saavad lennata samad lamedad figuurid + tasapinnad ise ja tavalised rööptahukatega kolmnurksed püramiidid.

Teine küsimus - Kas teate selle kuju kohta kõike? Oletame, et tingimus on umbes võrdhaarne kolmnurk ja te mäletate väga ähmaselt, mis tüüpi kolmnurk see on. Avame kooliõpiku ja loeme võrdhaarse kolmnurga kohta. Mis teha...arst ütles, et romb, seega romb. Analüütiline geomeetria on analüütiline geomeetria, kuid ülesanne aitab lahendada figuuride endi geomeetrilisi omadusi meile kooli õppekavast tuntud. Kui te ei tea, mis on kolmnurga nurkade summa, võite pikka aega kannatada.

Kolmandaks. Püüdke ALATI kavandit järgida(mustandil / puhas / vaimselt), isegi kui tingimus seda ei nõua. "Lamedate" ülesannete puhul käskis Eukleides ise võtta joonlaua, pliiats käes - ja mitte ainult seisundi mõistmiseks, vaid ka enesekontrolli eesmärgil. Sel juhul on kõige mugavam skaala 1 ühik = 1 cm (2 tetraadi). Ärme räägi hooletutest õpilastest ja matemaatikutest, kes haudades keerlevad – selliste ülesannete puhul on pea võimatu eksida. Ruumiülesannete jaoks teostame skemaatilise joonise, mis aitab ka seisundit analüüsida.

Joonis või skemaatiline joonis võimaldab sageli koheselt näha probleemi lahendamise viisi. Loomulikult peate selleks teadma geomeetria aluseid ja lõikama geomeetriliste kujundite omadusi (vt eelmist lõiku).

neljas. Lahendusalgoritmi väljatöötamine. Paljud geomeetriaülesanded on mitmekäigulised, mistõttu on väga mugav lahendust ja selle kujundust punktideks jagada. Sageli meenub algoritm kohe pärast tingimuse lugemist või joonise valmimist. Raskuste korral alustame probleemi KÜSIMUSEGA. Näiteks vastavalt tingimusele "on nõutav sirge rajamine ...". Siin on kõige loogilisem küsimus: "Millest piisab selle liini ehitamiseks teadmisest?". Oletame, et "me teame punkti, me peame teadma suunavektorit." Küsime järgmise küsimuse: „Kuidas leida seda suunavektorit? Kuhu?" jne.

Mõnikord tekib "pistik" - ülesanne jääb lahendamata ja kõik. Korgi põhjused võivad olla järgmised:

- Tõsine lünk algteadmistes. Teisisõnu, sa ei tea või (ja) ei näe mõnda väga lihtsat asja.

- Geomeetriliste kujundite omaduste teadmatus.

- Ülesanne oli raske. Jah, see juhtub. Pole mõtet tundide kaupa aurutada ja pisaraid taskurätikusse koguda. Küsige nõu oma õpetajalt, kaasõpilastelt või küsige foorumis küsimusi. Veelgi enam, parem on selle avaldus konkreetseks muuta - lahenduse selle osa kohta, millest te aru ei saa. Hüüd vormis "Kuidas probleemi lahendada?" ei näe hea välja... ja eelkõige teie enda maine pärast.

Viies etapp. Lahendame-kontrollime, lahendame-kontrollime, lahendame-kontrollime-anname vastuse. Kasulik on kontrollida iga ülesande elementi kohe pärast selle tegemist. See aitab teil vea kohe leida. Loomulikult ei keela keegi kogu probleemi kiiresti lahendada, kuid on oht, et kirjutatakse kõik uuesti (sageli mitu lehekülge).

Siin on ehk kõik peamised kaalutlused, millest on soovitatav probleemide lahendamisel juhinduda.

Tunni praktilist osa kujutab geomeetria tasapinnal. Siin on ainult kaks näidet, kuid see ei tundu piisav =)

Vaatame läbi algoritmi lõime, mille ma just oma väikeses teaduslikus töös läbi vaadasin:

Näide 1

Rööpküliku kolm tippu on antud. Otsige üles.

Hakkame seda välja mõtlema:

Esimene samm: on ilmselge, et me räägime "tasasest" probleemist.

samm kaks: Probleem on rööpkülikuga. Kõik mäletavad sellist rööpkülikukujulist kujundit? Pole vaja naeratada, paljud inimesed saavad hariduse vanuses 30-40-50 või rohkem, nii et isegi lihtsad faktid võivad mälust kustutada. Rööpküliku definitsiooni leiab tunni näitest nr 3 Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektori alus.

Kolmas samm: Teeme joonise, millele märgime kolm teadaolevat tippu. Naljakas on see, et soovitud punkti on lihtne kohe üles ehitada:

Konstrueerimine on muidugi hea, aga lahendus tuleb vormistada analüütiliselt.

Neljas samm: Lahendusalgoritmi väljatöötamine. Esimese asjana tuleb meelde, et punkti võib leida sirgete lõikepunktina. Nende võrrandid on meile tundmatud, seega peame tegelema selle probleemiga:

1) Vastasküljed on paralleelsed. Punktide järgi leida nende külgede suunavektor . See on kõige lihtsam ülesanne, mida tunnis käsitleti. Mannekeenide vektorid.

Märge: õigem on öelda "külge sisaldava sirge võrrand", kuid edaspidi kasutan lühiduse mõttes väljendeid "külje võrrand", "külje suunav vektor" jne.

3) Vastasküljed on paralleelsed. Punktidest leiame nende külgede suunavektori.

4) Koostage sirgjoone võrrand punkti ja suunavektori järgi

Lõigetes 1-2 ja 3-4 lahendasime sama probleemi tegelikult kaks korda, muide, seda analüüsitakse tunni näites nr 3 Lihtsamad ülesanded sirgjoonega tasapinnal. Sai minna pikemat teed pidi - esmalt leidke sirgete võrrandid ja alles siis “tõmmake” neist välja suunavektorid.

5) Nüüd on sirgete võrrandid teada. Jääb alles koostada ja lahendada vastav lineaarvõrrandisüsteem (vt sama õppetüki näited nr 4, 5 Lihtsamad ülesanded sirgjoonega tasapinnal).

Punkt leitud.

Ülesanne on üsna lihtne ja selle lahendus ilmne, kuid on ka lühem tee!

Teine lahendus:

Rööpküliku diagonaalid poolitatakse nende lõikepunkti järgi. Märkisin punkti ära, aga et joonist mitte segamini ajada, siis diagonaale ma ise ei joonistanud.

Koostage külje võrrand punktide kaupa :

Vaimselt või mustandi kontrollimiseks asendage saadud võrrandis iga punkti koordinaadid. Nüüd leiame kalle. Selleks kirjutame üldvõrrandi ümber kaldega võrrandi kujul:

Seega on kaldetegur:

Samamoodi leiame külgede võrrandid. Ma ei näe sama asja maalimisel erilist mõtet, seega annan kohe valmis tulemuse:

2) Leia külje pikkus. See on kõige lihtsam ülesanne, mida tunnis käsitletakse. Mannekeenide vektorid. Punktide eest kasutame valemit:

Sama valemi abil on lihtne leida teiste külgede pikkusi. Kontrollimine toimub väga kiiresti tavalise joonlauaga.

Me kasutame valemit .

Leiame vektorid:

Sellel viisil:

Muide, tee ääres leidsime külgede pikkused.

Tulemusena:

Tundub, et see on tõsi, veenvuse huvides võite nurga külge kinnitada kraadiklaasi.

Tähelepanu! Ärge ajage segi kolmnurga nurka sirgjoonte vahelise nurgaga. Kolmnurga nurk võib olla nüri, aga sirgete vaheline nurk mitte (vt artikli viimast lõiku Lihtsamad ülesanded sirgjoonega tasapinnal). Ülaltoodud õppetunni valemeid saab kasutada ka kolmnurga nurga leidmiseks, kuid karedus seisneb selles, et need valemid annavad alati teravnurga. Nende abiga lahendasin selle probleemi mustandil ja sain tulemuse. Ja puhtale eksemplarile peaksite selle täiendavaid vabandusi üles kirjutama.

4) Kirjutage sirgjoonega paralleelset punkti läbiva sirge võrrand.

Tüüpülesanne, millest on üksikasjalikult juttu tunni näites nr 2 Lihtsamad ülesanded sirgjoonega tasapinnal. Sirge üldvõrrandist tõmmake välja suunavektor . Koostame sirgjoone võrrandi punkti ja suunavektori järgi:

Kuidas leida kolmnurga kõrgust?

5) Koostame kõrgusvõrrandi ja leiame selle pikkuse.

Rangetest määratlustest pole pääsu, seega tuleb kooliõpikust varastada:

kolmnurga kõrgus nimetatakse risti, mis on tõmmatud kolmnurga tipust vastaskülge sisaldavale sirgele.

See tähendab, et on vaja koostada tipust küljele tõmmatud risti võrrand. Seda ülesannet käsitletakse õppetunni näidetes nr 6, 7 Lihtsamad ülesanded sirgjoonega tasapinnal. Võrrandist eemaldada normaalne vektor. Koostame punkti ja suunavektori kõrgusvõrrandi:

Pange tähele, et me ei tea punkti koordinaate.

Mõnikord leitakse kõrgusvõrrand ristsirgete nõlvade suhtest: . Sel juhul siis: . Koostame punkti ja kalde kõrgusvõrrandi (vt õppetunni algust Tasapinna sirgjoone võrrand):

Kõrguse pikkust saab leida kahel viisil.

On olemas ringtee:

a) leida - kõrguse ja külje lõikepunkt;
b) leida lõigu pikkus kahe teadaoleva punkti järgi.

Aga klassis Lihtsamad ülesanded sirgjoonega tasapinnal kaaluti mugavat valemit punkti ja sirge kauguse jaoks. Punkt on teada: , sirge võrrand on samuti teada: , Sellel viisil:

6) Arvutage kolmnurga pindala. Ruumis arvutatakse kolmnurga pindala traditsiooniliselt kasutades vektorite ristkorrutis, kuid siin on tasapinnas antud kolmnurk. Kasutame kooli valemit:
Kolmnurga pindala on pool selle aluse korrutisest selle kõrgusega.

Sel juhul:

Kuidas leida kolmnurga mediaani?

7) Koostage mediaanvõrrand.

Kolmnurga mediaan Nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga.

a) Leia punkt – külje keskpunkt. Me kasutame keskpunkti koordinaatide valemid. Lõigu otste koordinaadid on teada: , siis keskkoha koordinaadid:

Sellel viisil:

Koostame mediaanvõrrandi punktide kaupa :

Võrrandi kontrollimiseks peate sellesse asendama punktide koordinaadid.

8) Leidke kõrguse ja mediaani lõikepunkt. Arvan, et kõik on juba õppinud, kuidas seda iluuisutamise elementi kukkumata sooritada:

Ülesanne 1. Kolmnurga ABC tippude koordinaadid on antud: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Leia: 1) külje AB pikkus; 2) külgede AB ja BC võrrandid ning nende kalded; 3) nurk B radiaanides kahe kümnendkoha täpsusega; 4) kõrguse CD ja selle pikkuse võrrand; 5) mediaani AE võrrand ja selle mediaani lõikepunkti K koordinaadid kõrgusega CD; 6) küljega AB paralleelset punkti K läbiva sirge võrrand; 7) punkti A suhtes sümmeetriliselt sirge CD suhtes paikneva punkti M koordinaadid.

Lahendus:

1. Punktide A(x 1 ,y 1) ja B(x 2 ,y 2) vaheline kaugus d määratakse valemiga

Rakendades (1), leiame külje AB pikkuse:

2. Punkte A (x 1, y 1) ja B (x 2, y 2) läbiva sirge võrrand on kujul

(2)

Asendades punktis (2) punktide A ja B koordinaadid, saame külje AB võrrandi:

Olles lahendanud y viimase võrrandi, leiame külje AB võrrandi kaldega sirge võrrandi kujul:

kus

Asendades punktis (2) punktide B ja C koordinaadid, saame sirge BC võrrandi:

Või

3. On teada, et kahe sirge vahelise nurga puutuja, mille nurkkoefitsiendid on vastavalt võrdsed ja arvutatakse valemiga

(3)

Soovitud nurga B moodustavad sirged AB ja BC, mille nurkkoefitsiendid leitakse: Rakendades (3) saame

Või rõõmus.

4. Antud punkti antud suunas läbiva sirge võrrandil on kuju

(4)

Kõrgus CD on risti küljega AB. Kõrguse CD kalde leidmiseks kasutame sirgete perpendikulaarsuse tingimust. Sellest ajast Asendades (4) punkti C koordinaadid ja leitud kõrguse nurkkoefitsient, saame

Kõrguse CD pikkuse leidmiseks määrame esmalt punkti D koordinaadid - sirgete AB ja CD lõikepunkti. Süsteemi koos lahendamine:

leida need. D(8;0).

Valemi (1) abil leiame kõrguse CD pikkuse:

5. Mediaan AE võrrandi leidmiseks määrame kõigepealt punkti E koordinaadid, mis on külje BC keskpunkt, kasutades lõigu kaheks võrdseks osaks jagamise valemeid:

(5)

Järelikult

Asendades punktis (2) punktide A ja E koordinaadid, leiame mediaanvõrrandi:

Kõrguse CD ja mediaani AE lõikepunkti koordinaatide leidmiseks lahendame ühiselt võrrandisüsteemi

Leiame.

6. Kuna soovitud sirge on paralleelne küljega AB, siis on selle kalle võrdne sirge AB kaldega. Asendades punktis (4) leitud punkti K koordinaadid ja kalde saame

3x + 4a - 49 = 0 (KF)

7. Kuna sirge AB on risti sirgega CD, asub sirgel AB soovitud punkt M, mis asub sümmeetriliselt punkti A suhtes sirge CD suhtes. Lisaks on punkt D lõigu AM keskpunkt. Rakendades valemeid (5), leiame soovitud punkti M koordinaadid:

Kolmnurk ABC, kõrgus merepinnast CD, mediaan AE, joon KF ja punkt M on ehitatud xOy koordinaatsüsteemi joonisel fig. üks.

2. ülesanne. Koostage võrrand punktide asukoha jaoks, mille kauguste suhe antud punktiga A (4; 0) ja antud sirgega x \u003d 1 on võrdne 2-ga.

Lahendus:

Koordinaatsüsteemis xOy konstrueerime punkti A(4;0) ja sirge x = 1. Olgu M(x;y) soovitud punktide lookuse suvaline punkt. Kujutagem risti MB antud sirgele x = 1 ja määrame punkti B koordinaadid. Kuna punkt B asub antud sirgel, on selle abstsiss võrdne 1-ga. Punkti B ordinaat on võrdne ordinaatiga. punktist M. Seetõttu B(1; y) (joonis 2).

Ülesande tingimuse järgi |MA|: |MV| = 2. Kaugused |MA| ja |MB| leiame ülesande 1 valemiga (1):

Vasaku ja parema külje ruudustamisel saame

või

Saadud võrrand on hüperbool, mille tegelik pooltelg on a = 2 ja imaginaarne on

Määratleme hüperbooli fookused. Hüperbooli puhul on võrdsus täidetud.Seetõttu ja on hüperbooli fookused. Nagu näete, on antud punkt A(4;0) hüperbooli õige fookus.

Määrame saadud hüperbooli ekstsentrilisuse:

Hüperbooli asümptootvõrrandid on kujul ja . Seetõttu või ja on hüperbooli asümptoodid. Enne hüperbooli konstrueerimist koostame selle asümptoodid.

3. ülesanne. Koostage võrrand punktist A (4; 3) võrdsel kaugusel asuvate punktide ja sirge y \u003d 1 asukoha jaoks. Taandage saadud võrrand selle lihtsaimale kujule.

Lahendus: Olgu M(x; y) üks soovitud punktide lookuse punktidest. Kukkugem risti MB punktist M antud sirgele y = 1 (joonis 3). Määrame punkti B koordinaadid. On ilmne, et punkti B abstsiss on võrdne punkti M abstsissiga ja punkti B ordinaat on 1, st B (x; 1). Ülesande tingimuse järgi |MA|=|MV|. Seetõttu on võrdsus tõene mis tahes punkti M (x; y), mis kuulub soovitud punktide lookusesse:

Saadud võrrand defineerib parabooli tipuga punktis Parabooli võrrandi taandamiseks selle lihtsaimale kujule määrame ja y + 2 = Y, siis saab parabooli võrrand järgmise kuju:

Lahendus tee seda kalkulaatoriga.
Kolmnurga koordinaadid on antud: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Vektori koordinaadid
Vektorite koordinaadid leitakse valemiga:
X = x j - x i; Y = y j - y i

Näiteks vektori AB jaoks

X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Vektorite moodulid

3) Sirgete vaheline nurk
Vektorite vahelise nurga a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) saab leida valemiga:

kus a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Leidke nurk külgede AB ja AC vahel

γ = arccos(0,6) = 53,13 0
4) Vektorprojektsioon
Vektorprojektsioon b vektori kohta a võib leida järgmise valemi abil:

Leidke vektori AB projektsioon vektorile AC

5) Kolmnurga pindala



Lahendus


Valemi järgi saame:

6) Segmendi jagunemine selles osas
Punkti A raadiuse vektor r, mis jagab lõigu AB suhtes AA:AB = m 1:m 2, määratakse valemiga:

Punkti A koordinaadid leitakse valemitega:




Kolmnurga mediaanvõrrand
Külje BC keskpunkti tähistame tähega M. Seejärel leiame lõigu pooleks jagamise valemitega punkti M koordinaadid.


M(0;-1)
Leiame mediaani AM võrrandi, kasutades kahte antud punkti läbiva sirge võrrandi valemit. Mediaan AM läbib punkte A(2;1) ja M(0;-1), seega:

või

või
y=x-1 või y-x+1=0
7) Sirge võrrand


Sirge AB võrrand

või

või
y = 3x -5 või y -3x +5 = 0
Line AC võrrand

või

või
y = 1/3 x + 1/3 või 3y -x - 1 = 0
Sirge BC võrrand

või

või
y = -x -1 või y + x +1 = 0
8) Tipust A tõmmatud kolmnurga kõrguse pikkus
Kaugus d punktist M 1 (x 1; y 1) sirgjooneni Ax + By + C \u003d 0 on võrdne suuruse absoluutväärtusega:

Leidke punkti A(2;1) ja sirge BC vaheline kaugus (y + x +1 = 0)

9) Kõrgusvõrrand läbi tipu C
Punkti M 0 (x 0 ;y 0) läbival sirgel, mis on risti sirgega Ax + By + C = 0, on suunavektor (A;B) ja seetõttu esitatakse seda võrranditega:


Seda võrrandit võib leida ka muul viisil. Selleks leiame sirge AB kalde k 1.
Võrrand AB: y = 3x -5 s.t. k 1 = 3
Leiame risti kalde k kahe sirge perpendikulaarsuse tingimusest: k 1 *k = -1.
Asendades k 1 asemel selle sirge kalde, saame:
3k = -1, millest k = -1/3
Kuna risti läbib punkti C(-1,0) ja selle k = -1 / 3, siis otsime selle võrrandit kujul: y-y 0 = k(x-x 0).
Asendades x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0, saame:
y-0 = -1/3 (x-(-1))
või
y = -1/3 x -1/3
Kolmnurga poolitaja võrrand
Leiame nurga A poolitaja. Tähistame poolitaja lõikepunkti küljega BC tähega M.
Kasutame valemit:

AB võrrand: y -3x +5 = 0, AC võrrand: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Poolitaja poolitab nurga, seega nurk NAK ≈ 26,5 0
Nõlva AB puutuja on 3 (kuna y -3x +5 = 0). Kaldenurk on 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 – (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
Poolitaja läbib punkti A(2,1), kasutades valemit, saame:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1 (x - 2)
või
y=x-1
Lae alla

Näide. Kolmnurga ABC tippude koordinaadid on antud: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Vajalik: 1) arvutada külje BC pikkus; 2) koostab võrrandi külje BC jaoks; 3) leida kolmnurga sisenurk tipus B; 4) koostab ülalt A tõmmatud AK kõrguse võrrandi; 5) leiab homogeense kolmnurga raskuskeskme (selle mediaanide lõikepunkti) koordinaadid; 6) koostab joonise koordinaatsüsteemis.

Harjutus. Antud kolmnurga ABC tippude koordinaadid: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Nõutud:

1. kirjutage tipust B tõmmatud mediaani võrrand ja arvutage selle pikkus.
2. kirjutage tipust A tõmmatud kõrguse võrrand ja arvutage selle pikkus.
3. leida kolmnurga ABC sisenurga B koosinus.

Näide nr 3. Antud on kolmnurga tipud A(1;1), B(7;4), C(4;5). Leia: 1) külje AB pikkus; 2) sisenurk A radiaanides täpsusega 0,001. Tee joonistus.
Lae alla

Näide nr 4. Antud on kolmnurga tipud A(1;1), B(7;4), C(4;5). Leidke: 1) läbi tipu C tõmmatud kõrguse võrrand; 2) läbi tipu C tõmmatud mediaani võrrand; 3) kolmnurga kõrguste lõikepunkt; 4) tipust C langetatud kõrguse pikkus. Tee joonis.
Lae alla

Näide nr 5. Kolmnurga ABC tipud on antud: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Määrake: 1) külje AB pikkus; 2) külgede AB ja AC võrrand ning nende kalded; 3) kolmnurga pindala.

Vektorite koordinaadid leiame valemiga: X = x j - x i ; Y = y j - y i
siin vektori X,Y koordinaadid; x i, y i - punkti A i koordinaadid; x j , y j - punkti A j koordinaadid
Näiteks vektori AB jaoks
X \u003d x 2 - x 1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Harjutus. Antud püramiidi ABCD tippude koordinaadid. Nõutud:

1. Kirjutage vektorid ort-süsteemi ja leidke nende vektorite moodulid.
2. Leidke vektorite vaheline nurk.
3. Leidke vektori projektsioon vektorile.
4. Leidke näo ABC piirkond.
5. Leia püramiidi ABCD ruumala.

Harjutus. Leidke teravnurk sirgete x + y -5 = 0 ja x + 4y - 8 = 0 vahel.
Soovitused lahenduseks. Probleem lahendatakse kahe liini vahelise nurga teenuse abil.
Vastus: 30.96o

Näide nr 1. Punktide A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) koordinaadid on antud. Leidke serva A1A2 pikkus. Kirjutage võrrand serva A1A4 ja näo A1A2A3 jaoks. Kirjutage võrrand kõrguse kohta, mis langes punktist A4 tasapinnale A1A2A3. Leidke kolmnurga A1A2A3 pindala. Leidke kolmnurkse püramiidi A1A2A3A4 ruumala.

Vektorite koordinaadid leiame valemiga: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z i
siin vektori X,Y,Z koordinaadid; x i, y i, z i - punkti A i koordinaadid; x j , y j , z j - punkti A j koordinaadid;
Niisiis, vektori A 1 A 2 puhul on need järgmised:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A 1 A 2 (1; 1; -1)
A 1 A 3 (-2; 2; -2)
A 1 A 4 (-3; -1; -3)
A 2 A 3 (-3; 1; -1)
A 2 A 4 (-4; -2; -2)
A 3 A 4 (-1; -3; -1)
Vektori a(X;Y;Z) pikkust väljendatakse selle koordinaatidena valemiga: