Хармонично уравнение. Флуктуации. Хармонични вибрации. Характеристики на трептенията: амплитуда, период, честота, циклична честота, фаза

Хармоничното трептене е явление на периодична промяна на някаква величина, при което зависимостта от аргумента има характер на синусова или косинусова функция. Например, количество, което варира във времето, както следва, хармонично се колебае:

където x е стойността на променящото се количество, t е времето, останалите параметри са постоянни: A е амплитудата на трептенията, ω е цикличната честота на трептенията, е пълната фаза на трептенията, е началната фаза на трептенията трептенията.

Обобщено хармонично трептене в диференциална форма

(Всяко нетривиално решение на това диференциално уравнение е хармонично трептене с циклична честота)

Видове вибрации

Свободните трептения се извършват под действието на вътрешните сили на системата след извеждане на системата от равновесно състояние. За да бъдат свободните трептения хармонични, е необходимо трептителната система да е линейна (описана с линейни уравнения на движение) и в нея да няма разсейване на енергия (последното би предизвикало затихване).

Принудените трептения се извършват под въздействието на външна периодична сила. За да бъдат хармонични е достатъчно осцилаторната система да е линейна (описана с линейни уравнения на движение), а самата външна сила да се променя във времето като хармонично трептене (т.е. зависимостта от времето на тази сила да е синусоидална) .

Уравнение на хармоничните вибрации

дава зависимостта на флуктуиращата стойност S от времето t; това е уравнението на свободните хармонични трептения в ясна форма. Въпреки това, уравнението на трептенията обикновено се разбира като различен запис на това уравнение в диференциална форма. За категоричност приемаме уравнение (1) във вида

Разграничете го два пъти по отношение на времето:

Вижда се, че е валидна следната връзка:

което се нарича уравнение на свободните хармонични трептения (в диференциална форма). Уравнение (1) е решение на диференциално уравнение (2). Тъй като уравнение (2) е диференциално уравнение от втори ред, две начални условия са необходими за получаване на пълно решение (тоест, за определяне на константите A и  , включени в уравнение (1); например позицията и скоростта на осцилаторна система при t = 0.

Математическото махало е осцилатор, който е механична система, състояща се от материална точка, разположена върху безтегловна неразтеглива нишка или върху безтегловен прът в еднородно поле на гравитационни сили. Периодът на малките собствени трептения на математическо махало с дължина l, неподвижно окачено в еднородно гравитационно поле с ускорение на свободно падане g, е равен на

и не зависи от амплитудата и масата на махалото.

Физическото махало е осцилатор, което е твърдо тяло, което осцилира в полето на всякакви сили около точка, която не е център на масата на това тяло, или фиксирана ос, перпендикулярна на посоката на силите и не минаваща през центъра на масата на това тяло.

Най-простият вид вибрации са хармонични вибрации- флуктуации, при които изместването на осцилиращата точка от равновесното положение се променя във времето по синус или косинус.

И така, при равномерно въртене на топката около обиколката, нейната проекция (сянка в успоредни лъчи светлина) прави хармонично осцилаторно движение върху вертикален екран (фиг. 13.2).

Изместването от равновесното положение по време на хармонични вибрации се описва с уравнение (нарича се кинематичен закон на хармоничното движение) от формата:

\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) или \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)

където х- смесване - величина, която характеризира положението на осцилиращата точка в момента на времето Tспрямо равновесното положение и измерено чрез разстоянието от равновесното положение до позицията на точката в даден момент от време; НО- амплитуда на трептене - максималното изместване на тялото от равновесното положение; T- период на трептене - времето на едно пълно трептене; тези. най-малкият период от време, след който се повтарят стойностите на физическите величини, характеризиращи трептенето; \(\varphi_0\) - начална фаза; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - фаза на трептене в даден момент T. Фазата на трептене е аргумент на периодична функция, която за дадена амплитуда на трептене определя състоянието на трептящата система (преместване, скорост, ускорение) на тялото във всеки момент.

Ако в началния момент t0 = 0осцилиращата точка е максимално изместена от равновесното положение, тогава \(\varphi_0 = 0\), а изместването на точката от равновесното положение се променя според закона

\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)

Ако осцилиращата точка при t 0 = 0 е в положение на стабилно равновесие, тогава изместването на точката от равновесното положение се променя според закона

\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)

стойността V, реципрочната стойност на периода и равна на броя на пълните трептения, извършени за 1 s, се нарича честота на трептене:

\(\nu = \frac(1)(T) \)(в SI единицата за честота е херц, 1Hz = 1s -1).

Ако навреме Tтялото се ангажира нтогава пълен ход

\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)

Стойността \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\), показваща колко трептения прави тялото за 2 \(\pi\) с, Наречен циклична (кръгова) честота.

Кинематичният закон на хармоничното движение може да се запише като:

\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)

Графично зависимостта на преместването на осцилираща точка от времето се представя чрез косинус (или синусоида).

Фигура 13.3, а показва зависимостта от времето на изместването на осцилиращата точка от равновесното положение за случая \(\varphi_0=0\), т.е. \(~x=A\cos \omega t.\)

Нека разберем как скоростта на осцилираща точка се променя с времето. За да направим това, намираме производната по време на този израз:

\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)

където \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\) е амплитудата на проекцията на скоростта върху оста х.

Тази формула показва, че по време на хармонични трептения проекцията на скоростта на тялото върху оста x също се променя според хармоничния закон със същата честота, с различна амплитуда и изпреварва фазата на смесване с \(\frac(\pi )(2)\) (фиг. 13.3 , b).

Да се ​​установи зависимостта на ускорението a x (t)намерете производната по време на проекцията на скоростта:

\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)

където \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) е амплитудата на проекцията на ускорението върху оста Х.

За хармоничните вибрации проекцията ускорениепред фазовото изместване с k (фиг. 13.3, c).

По подобен начин можете да начертаете \(~x(t), \upsilon_x (t)\) и \(~a_x(t),\), ако \(~x = A \sin \omega t\) с \(\varphi_0 =0.\)

Като се има предвид, че \(A \cos \omega t = x\), може да се напише формулата за ускорение

\(~a_x = - \omega^2 x,\)

тези. за хармоничните трептения проекцията на ускорението е правопропорционална на преместването и противоположна по знак, т.е. ускорението е насочено в посока, противоположна на изместването.

И така, проекцията на ускорението е втората производна на преместването и x \u003d x "", тогава полученото съотношение може да бъде записано като:

\(~a_x + \omega^2 x = 0\) или \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)

Последното равенство се нарича уравнение на хармоничните трептения.

Нарича се физическа система, в която могат да съществуват хармонични трептения хармоничен осцилатор,и уравнението на хармоничните трептения - уравнение на хармоничен осцилатор.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в гимназията: теория. Задачи. Тестове: Proc. надбавка за институции, осигуряващи общ. среда, образование / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракина, К. С. Фарино; Изд. К. С. Фарино. - Мн.: Адукация и възпитание, 2004. - С. 368-370.

Максимални стойности на скоростта и ускорението

След анализ на уравненията на зависимостта v(t) и a(t), може да се предположи, че максималните стойности на скоростта и ускорението се вземат, когато тригонометричният коефициент е равен на 1 или -1. Определя се по формулата

Как да получите зависимости v(t) и a(t)

7. Свободни вибрации. Скорост, ускорение и енергия на колебателното движение. Добавяне на вибрации

Безплатни вибрации(или естествени вибрации) са вибрации на колебателна система, извършвани само поради първоначално отчетената енергия (потенциална или кинетична) при липса на външни въздействия.

Потенциалната или кинетичната енергия може да бъде предадена, например, в механични системи чрез първоначално изместване или начална скорост.

Свободно трептящите тела винаги взаимодействат с други тела и заедно с тях образуват система от тела, наречена осцилаторна система.

Например, пружина, топка и вертикална стойка, към която е прикрепен горният край на пружината (вижте фигурата по-долу), са включени в една осцилаторна система. Тук топката се плъзга свободно по струната (силите на триене са незначителни). Ако вземете топката надясно и я оставите сама, тя ще се люлее свободно около равновесното положение (точка О) поради действието на еластичната сила на пружината, насочена към равновесното положение.

Друг класически пример за механична осцилаторна система е математическото махало (виж фигурата по-долу). AT този случайтопката се колебае свободно под действието на две сили: силата на гравитацията и еластичната сила на нишката (в трептителната система влиза и Земята). Тяхната резултатна е насочена към равновесното положение.

Силите, действащи между телата на една трептителна система, се наричат вътрешни сили. Външни силинаричаме силите, действащи върху системата от телата, които не са включени в нея. От тази гледна точка свободните трептения могат да се определят като трептения в система под действието на вътрешни сили след извеждане на системата от равновесно състояние.

Условията за възникване на свободни вибрации са:

1) появата на сила в тях, която връща системата в положение на стабилно равновесие, след като е била извадена от това състояние;

2) липса на триене в системата.

Динамика на свободните трептения.

Трептения на тялото под действието на еластични сили. Уравнението на трептящото движение на тялото под действието на еластична сила Е(виж фиг.) може да се получи, като се вземе предвид вторият закон на Нютон ( F = ма) и закона на Хук ( F контрол= -kx), където ме масата на топката и е ускорението, придобито от топката под действието на еластичната сила, к- коефициент на твърдост на пружината, х- изместване на тялото от равновесното положение (и двете уравнения са записани в проекция върху хоризонталната ос о). Приравнявайки десните страни на тези уравнения и вземайки предвид, че ускорението ае втората производна на координатата х(отмествания), получаваме:

.

Това е диференциално уравнение на движение на тяло, което се колебае под действието на еластична сила: втората производна на координатата по отношение на времето (ускорението на тялото) е право пропорционална на неговата координата, взета с обратен знак.

Трептения на математическо махало.За да се получи уравнението за трептенето на математическо махало (фигура), е необходимо да се разшири силата на гравитацията Ф Т= mgкъм нормалното F n(насочени по нишката) и тангенциални F τ(допирателна към траекторията на топката - кръг) компоненти. Нормален компонент на гравитацията F nи еластичната сила на нишката Fynpобщо те придават на махалото центростремително ускорение, което не влияе на големината на скоростта, а само променя посоката си, а тангенциалната компонента F τе силата, която връща топката в нейното равновесно положение и я кара да се колебае. Използвайки, както в предишния случай, закона на Нютон за тангенциално ускорение ma τ = F τи предвид това F τ= -mg sinα, получаваме:

a τ= -g sinα,

Знакът минус се появи поради силата и ъгъла на отклонение от равновесното положение α имат противоположни знаци. За малки ъгли на отклонение sinα ≈ α. на свой ред α = s/l, където с- дъга ОА, аз- дължина на резбата. Като се има предвид това и τ= s", най-накрая получаваме:

Формата на уравнението е подобна на уравнението . Само тук параметрите на системата са дължината на нишката и ускорението на свободното падане, а не твърдостта на пружината и масата на топката; ролята на координата играе дължината на дъгата (т.е. изминатият път, както в първия случай).

По този начин свободните трептения се описват с уравнения от същия тип (подчинени на едни и същи закони) независимо от физическата природа на силите, които причиняват тези трептения.

Решаване на уравнения и е функция на формата:

x = xmcos ω 0T(или x = xmsin ω 0T).

Тоест, координатата на тяло, което извършва свободни трептения, се променя с времето според косинусния или синусния закон и следователно тези трептения са хармонични:

В уравнението x = xmcos ω 0T(или x = xmsin ω 0T), x m- амплитуда на трептене, ω 0 - собствена циклична (кръгова) честота на трептене.

Цикличната честота и периодът на свободните хармонични трептения се определят от свойствата на системата. И така, за вибрациите на тяло, прикрепено към пружина, са верни следните отношения:

.

Собствената честота е толкова по-голяма, колкото по-голяма е твърдостта на пружината или по-малката маса на товара, което е напълно потвърдено от опита.

За математическо махало са валидни следните равенства:

.

Тази формула е получена и тествана за първи път от холандския учен Хюйгенс (съвременник на Нютон).

Периодът на трептене нараства с дължината на махалото и не зависи от неговата маса.

Специално трябва да се отбележи, че хармоничните трептения са строго периодични (тъй като се подчиняват на синус или косинус закон) и дори за математическо махало, което е идеализация на реално (физическо) махало, те са възможни само при малки ъгли на трептене. Ако ъглите на отклонение са големи, изместването на товара няма да бъде пропорционално на ъгъла на отклонение (синус на ъгъла) и ускорението няма да бъде пропорционално на изместването.

Скоростта и ускорението на тяло, което извършва свободни трептения, също ще извършва хармонични трептения. Вземане на производната по време на функцията ( x = xmcos ω 0T(или x = xmsin ω 0T)), получаваме израза за скоростта:

v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

където v m= ω 0 x m- амплитуда на скоростта.

По същия начин изразът за ускорение аполучаваме чрез диференциране ( v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0T,

където a m= ω 2 0x m- амплитуда на ускорение. По този начин амплитудата на скоростта на хармоничните трептения е пропорционална на честотата, а амплитудата на ускорението е пропорционална на квадрата на честотата на трептенията.

ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТИЯ
Флуктуации, при които се извършват промени във физичните величини според косинусния или синусовия закон (хармоничен закон), т.нар. хармонични вибрации.Например, в случай на механични хармонични вибрации: В тези формули ω е честотата на трептене, x m е амплитудата на трептене, φ 0 и φ 0 ’ са началните фази на трептенето. Горните формули се различават в дефиницията на началната фаза и при φ 0 ’ = φ 0 + π/2 напълно съвпадат.
Това е най-простата форма на периодични трептения. Конкретната форма на функцията (синус или косинус) зависи от начина, по който системата е изведена от равновесие. Ако изтеглянето става с тласък (отчита се кинетична енергия), тогава при t=0 изместването x=0, следователно е по-удобно да се използва функцията sin, като се зададе φ 0 '=0; при отклонение от равновесното положение (отчита се потенциална енергия) при t=0, преместването x=x m, следователно е по-удобно да се използва функцията cos и φ 0 =0.
Израз под знака cos или sin, нар. фаза на трептене:. Фазата на трептенето се измерва в радиани и определя стойността на изместването (променлива стойност) в даден момент.
Амплитудата на трептене зависи само от първоначалното отклонение (първоначалната енергия, предадена на осцилиращата система).
Скорост и ускорение при хармонични трептения.
Според определението за скорост, скоростта е производната на координатата по отношение на времето
Така виждаме, че скоростта по време на хармонично колебателно движение също се променя според хармоничния закон, но флуктуациите на скоростта изпреварват флуктуациите на изместване във фаза с π/2.
Стойността е максималната скорост на осцилаторно движение (амплитуда на колебанията на скоростта).
Следователно за скоростта по време на хармонично трептене имаме: , и за случай на нулева начална фаза (вижте графиката).
Според определението за ускорение, ускорението е производната на скоростта спрямо времето: е втората производна на координатата по отношение на времето. Тогава: . Ускорението по време на хармонично трептящо движение също се променя според хармоничния закон, но трептенията на ускорението изпреварват трептенията на скоростта с π/2 и трептенията на изместване с π (те казват, че възникват трептения извън фаза).
Стойност - максимално ускорение (амплитуда на колебанията на ускорението). Следователно за ускорение имаме: и за случая на нулева начална фаза: (вижте графиката).
От анализа на процеса на трептене, графиките и съответните математически изрази се вижда, че когато трептящото тяло премине равновесното положение (преместването е нула), ускорението е нула, а скоростта на тялото е максимална ( тялото преминава равновесното положение по инерция), като при достигане на амплитудната стойност на преместването скоростта е равна на нула, а ускорението е максимално по абсолютна стойност (тялото променя посоката на своето движение).
Нека сравним изразите за преместване и ускорение за хармонични трептения: и .
Можеш да пишеш: - т.е. втората производна на преместването е право пропорционална (с обратен знак) на преместването. Такова уравнение се нарича уравнение на хармоничните трептения. Тази зависимост е изпълнена за всяко хармонично трептене, независимо от неговия характер. Тъй като никъде не сме използвали параметрите на конкретна осцилаторна система, от тях може да зависи само цикличната честота.
Често е удобно да напишете уравненията за трептения във формата: , където T е периодът на трептене. Тогава, ако времето е изразено в части от период, изчисленията ще бъдат опростени. Например, ако трябва да намерите отместването след 1/8 от периода, получаваме: . По същия начин за скоростта и ускорението.

Не е необичайно една система да участва едновременно в две или повече независими трептения. В тези случаи се формира сложно колебателно движение, което се създава чрез наслагване (добавяне) на вибрации едно към друго. Очевидно случаите на сумиране на трептенията могат да бъдат много разнообразни. Те зависят не само от броя на добавените трептения, но и от параметрите на трептенията, от техните честоти, фази, амплитуди, посоки. Не е възможно да се разгледа цялото възможно разнообразие от случаи на сумиране на трептения, затова ще се ограничим до разглеждане само на отделни примери.
1. Добавяне на вибрации в една посока. Нека добавим две трептения с еднаква честота, но различни фази и амплитуди.

(4.40)
Когато трептенията се наслагват едно върху друго


Въвеждаме нови параметри A и j съгласно уравненията:

(4.42)
Системата от уравнения (4.42) се решава лесно.

(4.43)

(4.44)
Така за x най-накрая получаваме уравнението

(4.45)
И така, в резултат на добавяне на еднопосочни трептения със същата честота, получаваме хармонично (синусоидално) трептене, чиято амплитуда и фаза се определят от формули (4.43) и (4.44).
Нека разгледаме специални случаи, при които съотношенията между фазите на две сумирани трептения са различни:


(4.46)
Нека сега добавим еднопосочни трептения със същата амплитуда, същите фази, но различни честоти.


(4.47)
Нека разгледаме случая, когато честотите са близки една до друга, т.е. w1~w2=w
Тогава приблизително ще приемем, че (w1+w2)/2= w и (w2-w1)/2 е малък. Полученото уравнение на трептене ще изглежда така:

(4.48)
Неговата графика е показана на фиг. 4.5 Това трептене се нарича такт. Осъществява се с честота w, но амплитудата му осцилира с голям период.

2. Събиране на две взаимно перпендикулярни трептения. Да приемем, че едното трептене се извършва по оста x, а другото - по оста y. Полученото движение очевидно се намира в равнината xy.
1. Да приемем, че честотите и фазите на трептенията са еднакви, но амплитудите са различни.

(4.49)
За да се намери траекторията на резултантното движение, е необходимо да се изключи времето от уравненията (4.49). За да направите това, достатъчно е да разделите член по член едно уравнение на друго, в резултат на което получаваме

(4.50)
Уравнение (4.50) показва, че в този случай добавянето на трептения води до трептене по права линия, чийто тангенс на ъгъла на наклона се определя от отношението на амплитудите.
2. Нека фазите на добавените трептения се различават една от друга с /2 и уравненията имат вида:

(4.51)
За да се намери траекторията на резултантното движение, като се изключи времето, е необходимо да се повдигнат на квадрат уравненията (4.51), като първо се разделят съответно на A1 и A2 и след това се сумират. Уравнението на траекторията ще приеме формата:

(4.52)
Това е уравнението на елипса. Може да се докаже, че за всякакви начални фази и всякакви амплитуди на две добавени взаимно перпендикулярни трептения със същата честота, резултантното трептене ще се извършва по елипса. Ориентацията му ще зависи от фазите и амплитудите на добавените трептения.
Ако добавените трептения имат различни честоти, тогава траекториите на произтичащите движения са много разнообразни. Само ако честотите на трептене в x и y са кратни една на друга, се получават затворени траектории. Такива движения могат да бъдат приписани на броя на периодичните. В този случай траекториите на движенията се наричат ​​фигури на Лисажу. Да разгледаме една от фигурите на Лисажу, която се получава чрез събиране на трептения с честотни съотношения 1:2, с еднакви амплитуди и фази в началото на движението.

(4.53)
По оста y трептенията се появяват два пъти по-често, отколкото по оста x. Добавянето на такива трептения ще доведе до траектория на движение под формата на осмица (фиг. 4.7).

8. Затихващи трептения и техните параметри: декремент и коефициент на трептене, време на релаксация

)Период на затихнали трептения:

T = (58)

При δ << ω o вибрациите не се различават от хармоничните: T = 2π/ о.

2) Амплитуда на затихващите трептениясе изразява с формула (119).

3) декремент на затихване,равно на отношението на две последователни амплитуди на трептене НО(T) и НО(t+T), характеризира скоростта на намаляване на амплитудата за периода:

= д д Т (59)

4) Логаритмичен декремент на затихване- натурален логаритъм на отношението на амплитудите на две последователни трептения, съответстващи на времеви точки, които се различават с период

q \u003d ln \u003d ln e d T \u003d dT(60)

Логаритмичният декремент на затихване е постоянна стойност за дадена осцилаторна система.

5) Време за релаксациянаречен период от време ( T), по време на което амплитудата на затихналите трептения намалява с фактор e:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/д, (61)

От сравнението на изразите (60) и (61) получаваме:

р= = , (62)

където н е -броят на трептенията, направени по време на релаксационното време.

Ако през времето Tсистемата прави Ν тогава флуктуации T = Ν . Τ и уравнението на затихналите трептения може да бъде представено като:

S \u003d A 0 e -d N T cos(w t+j)\u003d A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Качествен фактор на трептящата система(Q) обичайно е да се нарича количеството, характеризиращо загубата на енергия в системата по време на периода на трептене:

Q= 2стр , (63)

където Уе общата енергия на системата, ∆Wе енергията, разсеяна за периода. Колкото по-малко енергия се разсейва, толкова по-голям е качественият фактор на системата. Изчисленията показват това

Q = = pNe = = . (64)

Като цяло, качественият фактор е обратно пропорционален на логаритмичния декремент на затихване. От формула (64) следва, че качественият фактор е пропорционален на броя на трептенията N eизвършвани от системата по време на времето за релаксация.

7) Потенциална енергиясистема в момент t може да се изрази като потенциална енергия У 0 при най-голямо отклонение:

У = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

Обикновено условно се счита, че трептенията практически са престанали, ако енергията им е намаляла 100 пъти (амплитудата е намаляла 10 пъти). От тук можете да получите израз за изчисляване на броя на трептенията, направени от системата:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

н = = . (66)

9. Принудени вибрации. Резонанс. апериодични колебания. Автоколебания.

За да може системата да извършва незатихващи трептения, е необходимо да се попълнят загубите на енергия от трептения, дължащи се на триене отвън. За да се гарантира, че енергията на трептенията на системата не намалява, обикновено се въвежда сила, която периодично действа върху системата (ще наричаме такава сила завладяващи принудени трептения).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: принуденнаричат ​​​​такива вибрации, които възникват в колебателна система под действието на външна периодично променяща се сила.

Тази сила, като правило, изпълнява двойна роля:

първо, разклаща системата и й дава определено количество енергия;

второ, той периодично попълва енергийните загуби (консумацията на енергия), за да преодолее силите на съпротивление и триене.

Нека движещата сила се променя с времето според закона:

.

Нека съставим уравнение на движението на система, която се колебае под въздействието на такава сила. Предполагаме, че системата също е засегната от квазиеластична сила и сила на съпротивление на средата (което е валидно при допускането на малки колебания). Тогава уравнението на движението на системата ще изглежда така:

Или .

Като заместим , , – собствената честота на трептенията на системата, получаваме нехомогенно линейно диференциално уравнение 2 thпоръчка:

От теорията на диференциалните уравнения е известно, че общото решение на едно нехомогенно уравнение е равно на сумата от общото решение на едно хомогенно уравнение и частното решение на едно нехомогенно уравнение.

Общото решение на хомогенното уравнение е известно:

,

където ; а 0 и а– произволна конст.

.

Използвайки векторна диаграма, можете да се уверите, че такова предположение е вярно и също така да определите стойностите на „ а" и " й”.

Амплитудата на трептене се определя от следния израз:

.

значение " й”, което е големината на фазовото закъснение на принудителното трептене от движещата сила, която го е причинила, също се определя от векторната диаграма и е:

.

И накрая, конкретно решение на нехомогенното уравнение ще приеме формата:

(8.18)

Тази функция, заедно с

(8.19)

дава общо решение на нехомогенно диференциално уравнение, описващо поведението на система при принудителни вибрации. Членът (8.19) играе важна роля в началния етап на процеса, по време на така нареченото установяване на трептения (фиг. 8.10). С течение на времето, поради експоненциалния фактор, ролята на втория член (8.19) намалява все повече и повече и след достатъчно време той може да бъде пренебрегнат, запазвайки само члена (8.18) в решението.

По този начин функцията (8.18) описва устойчиви принудителни трептения. Те са хармонични трептения с честота, равна на честотата на движещата сила. Амплитудата на принудителните трептения е пропорционална на амплитудата на движещата сила. За дадена осцилаторна система (дефинирана w 0 и b) амплитудата зависи от честотата на движещата сила. Принудените трептения изостават от движещата сила във фаза и количеството на изоставането "j" също зависи от честотата на движещата сила.

Зависимостта на амплитудата на принудените трептения от честотата на движещата сила води до факта, че при определена честота, определена за дадена система, амплитудата на трептенията достига своята максимална стойност. Осцилаторната система е особено чувствителна към действието на движещата сила при тази честота. Това явление се нарича резонанс, а съответната честота е резонансна честота.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: явление, при което се наблюдава рязко увеличаване на амплитудата на принудените трептения, се нарича резонанс.

Резонансната честота се определя от максималното условие за амплитудата на принудените трептения:

. (8.20)

След това, замествайки тази стойност в израза за амплитудата, получаваме:

. (8.21)

При липса на средно съпротивление амплитудата на трептенията при резонанс ще се превърне в безкрайност; резонансната честота при същите условия (b=0) съвпада със собствената честота на трептене.

Зависимостта на амплитудата на принудените трептения от честотата на движещата сила (или, което е същото, от честотата на трептенията) може да бъде представена графично (фиг. 8.11). Отделни криви съответстват на различни стойности на "b". Колкото по-малко е „b“, толкова по-високо и вдясно е максимумът на тази крива (виж израза за w res.). При много голямо затихване не се наблюдава резонанс - с увеличаване на честотата амплитудата на принудените трептения намалява монотонно (долната крива на фиг. 8.11).

Наборът от представени графики, съответстващи на различни стойности на b, се нарича резонансни криви.

Забележкиотносно резонансните криви:

тъй като w®0 клони, всички криви достигат до една и съща ненулева стойност, равна на . Тази стойност представлява изместването от равновесното положение, което системата получава под действието на постоянна сила Е 0 .

като w®¥ всички криви клонят асимптотично към нула, тъй като при висока честота силата променя посоката си толкова бързо, че системата няма време забележимо да се измести от равновесното положение.

колкото по-малък е b, толкова по-силна е амплитудата в близост до резонансните промени с честотата, толкова по-рязък е максимумът.

Феноменът на резонанса често е полезен, особено в акустиката и радиотехниката.

Самотрептения- незатихващи трептения в дисипативна динамична система с нелинейна обратна връзка, поддържана от енергията на константата, т.е. непериодичнивъншно влияние.

Собствените колебания са различни от принудителни вибрациитъй като последните са причинени периодично изданиевъншно въздействие и възникват с честотата на това въздействие, докато възникването на собствените трептения и тяхната честота се определят от вътрешните свойства на самата автотрептяща система.

Срок собствени трептениявъведен в руската терминология от А. А. Андронов през 1928 г.

Примери[

Примери за собствени трептения са:

· незатихващи трептения на махалото на часовника поради постоянното действие на гравитацията на тежестта на часовниковия механизъм;

вибрации на цигулкова струна под въздействието на равномерно движещ се лък

появата на променлив ток в мултивибраторните вериги и в други електронни генератори при постоянно захранващо напрежение;

колебание на въздушния стълб в тръбата на органа, с равномерно подаване на въздух в него. (вижте също стояща вълна)

ротационни трептения на месингово часовниково зъбно колело със стоманена ос, окачена на магнит и усукана (опит на Гамазков) (кинетичната енергия на колелото, както в еднополюсен генератор, се преобразува в потенциалната енергия на електрическото поле, потенциалната енергия на електрическото поле, както при еднополюсен двигател, се преобразува в кинетична енергия на колелото и т.н.)

Маклаков чук

Чук, който удря благодарение на енергията на променлив ток с честота многократно по-ниска от честотата на тока в електрическата верига.

Бобината L на колебателния кръг се поставя над масата (или друг предмет, който трябва да бъде ударен). Отдолу в него влиза желязна тръба, чийто долен край е ударната част на чука. Тръбата има вертикален прорез за намаляване на токовете на Фуко. Параметрите на колебателната верига са такива, че естествената честота на нейните трептения съвпада с честотата на тока във веригата (например променлив градски ток, 50 херца).

След включване на тока и установяване на трептения се наблюдава резонанс на токовете на веригата и външната верига и желязната тръба се изтегля в намотката. Индуктивността на намотката се увеличава, колебателната верига излиза от резонанс и амплитудата на текущите колебания в намотката намалява. Следователно тръбата се връща в първоначалното си положение - извън намотката - под въздействието на гравитацията. След това флуктуациите на тока във веригата започват да нарастват и резонансът се появява отново: тръбата отново се изтегля в намотката.

тръба ангажименти собствени трептения, тоест периодични движения нагоре и надолу, като в същото време чука силно по масата, като чук. Периодът на тези механични автоколебания е десетки пъти по-голям от периода на поддържащия ги променлив ток.

Чукът е кръстен на М. И. Маклаков, асистент в Московския физико-технологичен институт, който предложи и проведе такъв експеримент за демонстриране на собствени колебания.

Механизъм на собствените трептения

Фиг. 1.Механизъм на собствените трептения

Собствените трептения могат да имат различно естество: механично, термично, електромагнитно, химическо. Механизмът на възникване и поддържане на автотрептения в различни системи може да се основава на различни закони на физиката или химията. За точно количествено описание на собствените трептения на различни системи може да е необходим различен математически апарат. Въпреки това е възможно да си представим схема, която е обща за всички автоколебателни системи и качествено описва този механизъм (фиг. 1).

На диаграмата: С- източник на постоянно (непериодично) въздействие; Р- нелинеен контролер, който преобразува постоянен ефект в променлив (например периодичен във времето), който се "люлее" осцилатор V- трептящ елемент (елементи) на системата и трептения на осцилатора чрез обратна връзка бконтролират работата на регулатора Р, настройка фазаи честотадействията му. Разсейването (разсейването на енергия) в самоколебателна система се компенсира от енергията, постъпваща в нея от източник на постоянно влияние, поради което автоколебанията не се разпадат.

Ориз. 2Схема на храповия механизъм на часовник с махало

Ако осцилиращ елемент от системата е способен на собствен затихващи трептения(т.нар. хармоничен дисипативен осцилатор), автоколебанията (с еднакво разсейване и вложена енергия в системата през периода) се установяват при честота, близка до резонансенза този осцилатор тяхната форма става близка до хармоничната, а амплитудата в определен диапазон от стойности е толкова по-голяма, колкото по-голяма е величината на постоянното външно влияние.

Пример за такава система е храповият механизъм на часовник с махало, чиято диаграма е показана на фиг. 2. На оста на храповото колело А(който в тази система изпълнява функцията на нелинеен регулатор) има постоянен момент на сила Мпредавани през предавката от главната пружина или от тежестта. Когато колелото се върти Азъбите му предават краткотрайни импулси на сила към махалото П(осцилатор), благодарение на което трептенията му не заглъхват. Кинематиката на механизма играе ролята на обратна връзка в системата, като синхронизира въртенето на колелото с трептенията на махалото по такъв начин, че по време на пълния период на трептене колелото се завърта на ъгъл, съответстващ на един зъб.

Наричат ​​се автоколебателни системи, които не съдържат хармонични осцилатори релаксация. Трептенията в тях могат да бъдат много различни от хармоничните и да имат правоъгълна, триъгълна или трапецовидна форма. Амплитудата и периодът на релаксационните автоколебания се определят от съотношението на големината на постоянното действие и характеристиките на инерцията и разсейването на системата.

Ориз. 3Електрически звънец

Най-простият пример за релаксационни автотрептения е работата на електрическа камбана, показана на фиг. 3. Източникът на постоянно (непериодично) облъчване тук е електрическа батерия U; ролята на нелинеен контролер се изпълнява от хеликоптер T, затваряне и отваряне на електрическата верига, в резултат на което в нея възниква прекъсващ ток; осцилиращите елементи са магнитно поле, периодично индуцирано в сърцевината на електромагнита д, и котва Адвижещи се под въздействието на променливо магнитно поле. Трептенията на арматурата задействат хеликоптера, който формира обратната връзка.

Инерцията на тази система се определя от две различни физични величини: инерционният момент на арматурата НОи индуктивността на намотката на електромагнита д. Увеличаването на някой от тези параметри води до увеличаване на периода на собствени колебания.

Ако в системата има няколко елемента, които осцилират независимо един от друг и едновременно действат върху нелинеен регулатор или регулатори (от които също може да има няколко), собствените колебания могат да придобият по-сложен характер, напр. апериодичен, или динамичен хаос.

В природата и техниката

Собствените колебания са в основата на много природни явления:

колебания на листата на растенията под действието на равномерен въздушен поток;

· образуване на бурни потоци по ниви и бързеи на реките;

Действието на обикновените гейзери и др.

Принципът на работа на голям брой различни технически устройства и устройства се основава на собствени колебания, включително:

работа на всички видове часовници, механични и електрически;

· озвучаване на всички духови и струнни музикални инструменти;

©2015-2019 сайт
Всички права принадлежат на техните автори. Този сайт не претендира за авторство, но предоставя безплатно използване.
Дата на създаване на страницата: 2017-04-04

флуктуациинаричат ​​движения или процеси, които се характеризират с определено повторение във времето. Осцилаторните процеси са широко разпространени в природата и техниката, например люлеенето на махалото на часовника, променливия електрически ток и др. При трептене на махалото се променя координатата на неговия център на масата, а при променлив ток напрежението и токът във веригата се колебаят. Физическата природа на трептенията може да бъде различна, следователно се разграничават механични, електромагнитни и др., но различните колебателни процеси се описват с едни и същи характеристики и същите уравнения. От това идва осъществимостта единен подходза изследване на вибрациите различно физическо естество.

Флуктуациите се наричат Безплатно, ако се осъществяват само под въздействието на вътрешни сили, действащи между елементите на системата, след като системата е изведена от равновесие от външни сили и оставена сама на себе си. Безплатни вибрации винаги затихващи трептения защото загубите на енергия са неизбежни в реалните системи. В идеализирания случай на система без загуба на енергия свободните трептения (продължаващи толкова дълго, колкото желаете) се наричат собствен.

Най-простият тип свободни незатихващи трептения са хармонични трептения -флуктуации, при които флуктуиращата стойност се променя с времето според синус (косинус) закон. Срещаните в природата и техниката колебания често имат характер, близък до хармоничния.

Хармоничните вибрации се описват с уравнение, наречено уравнение на хармоничните вибрации:

където НО- амплитуда на колебанията, максималната стойност на колебанията х; - кръгова (циклична) честота на собствените трептения; - началната фаза на трептенето в даден момент от време T= 0; - фазата на трептенето в момента на времето T.Фазата на трептенето определя стойността на осцилиращото количество в даден момент. Тъй като косинусът варира от +1 до -1, тогава хможе да приема стойности от + Апреди - НО.

време T, за което системата извършва едно пълно трептене, се нарича период на трептене. По време на Tфазата на трептене се увеличава с 2 π , т.е.

Където . (14.2)

Реципрочната стойност на периода на трептене

т.е. броят на пълните трептения за единица време се нарича честота на трептене. Сравнявайки (14.2) и (14.3) получаваме

Единицата за честота е херц (Hz): 1 Hz е честотата, при която се извършва едно пълно трептене за 1 s.

Наричат ​​се системи, в които могат да възникнат свободни вибрации осцилатори . Какви свойства трябва да притежава една система, за да възникнат свободни трептения в нея? Механичната система трябва да има положение на стабилно равновесие, при излизане от която се появява възстановяване на силата към равновесие. Това положение съответства, както е известно, на минимума на потенциалната енергия на системата. Нека разгледаме няколко осцилационни системи, които отговарят на изброените свойства.

Трептения, възникващи под действието на външни, периодично променящи се сили (с периодично подаване на енергия отвън към осцилаторната система)

Трансформация на енергия

Пружинно махало

Цикличната честота и периодът на трептене са съответно:

Материална точка, прикрепена към идеално еластична пружина

Ø графика на потенциалната и кинетичната енергия на пружинно махало върху х-координатата.

Ø качествени графики на зависимостите на кинетичната и потенциалната енергия от времето.

Ø Принуден

Ø Честотата на принудените трептения е равна на честотата на промените във външната сила

Ø Ако Fbc се променя според синусния или косинусния закон, тогава принудителните трептения ще бъдат хармонични

Ø При собствените трептения е необходимо периодично подаване на енергия от собствен източник вътре в осцилаторната система

Хармоничните трептения са трептения, при които осцилиращата стойност се променя с времето според закона на синуса или косинуса

уравненията на хармоничните трептения (законите за движение на точките) имат формата

Хармонични вибрации наричат ​​се такива трептения, при които осцилиращата стойност се променя с времето според законасинусите иликосинус .
Уравнение на хармоничните вибрации изглежда като:

,
къде - амплитуда на трептене (стойността на най-голямото отклонение на системата от равновесното положение); -кръгова (циклична) честота. Периодично променящ се косинус аргумент - наричан фаза на трептене . Фазата на трептене определя изместването на осцилиращото количество от равновесното положение в даден момент t. Константата φ е стойността на фазата в момент t = 0 и се нарича началната фаза на трептенето . Стойността на началната фаза се определя от избора на референтна точка. Стойността x може да приема стойности от -A до +A.
Времевият интервал T, след който се повтарят определени състояния на трептящата система, наречен период на трептене . Косинусът е периодична функция с период от 2π, следователно за период от време T, след което фазата на трептене ще получи увеличение, равно на 2π, състоянието на системата, извършваща хармонични трептения, ще се повтори. Този период от време T се нарича период на хармонични трептения.
Периодът на хармоничните трептения е : T = 2π/.
Броят на трептенията за единица време се нарича честота на трептене ν.
Честота на хармоничните вибрации е равно на: ν = 1/T. Единица за честота херц(Hz) - едно трептене в секунда.
Кръговата честота = 2π/T = 2πν дава броя на трептенията за 2π секунди.

Обобщено хармонично трептене в диференциална форма

Графично хармоничните трептения могат да бъдат изобразени като зависимост на x от t (фиг. 1.1.A), и метод на въртяща се амплитуда (метод на векторна диаграма)(Фиг.1.1.B) .

Методът на въртящата се амплитуда ви позволява да визуализирате всички параметри, включени в уравнението на хармоничните трептения. Наистина, ако амплитудният вектор НОразположен под ъгъл φ спрямо оста x (виж Фигура 1.1. B), тогава неговата проекция върху оста x ще бъде равна на: x = Acos(φ). Ъгълът φ е началната фаза. Ако векторът НОпуснат във въртене с ъглова скорост, равна на кръговата честота на трептенията, тогава проекцията на края на вектора ще се движи по оста x и ще вземе стойности в диапазона от -A до +A, а координатата на тази проекция ще се промени с течение на времето според закона:
.
Така дължината на вектора е равна на амплитудата на хармоничното трептене, посоката на вектора в началния момент образува ъгъл с оста x, равен на началната фаза на трептенето φ, а промяната в посоката ъгъл с времето е равен на фазата на хармоничните трептения. Времето, за което амплитудният вектор прави един пълен оборот, е равно на периода T на хармоничните трептения. Броят на оборотите на вектора за секунда е равен на честотата на трептене ν.