Дадени са върховете на триъгълник aBC, намерете уравнението на страната. Права линия в равнината. Примери за решения. Какво трябва да знаете и да можете да решавате успешно задачи по геометрия

Как да се научим да решаваме задачи по аналитична геометрия?
Типична задача с триъгълник на равнина

Този урок е създаден за подхода към екватора между геометрията на равнината и геометрията на пространството. В момента има нужда от систематизиране на натрупаната информация и отговор на един много важен въпрос: как да се научите да решавате задачи в аналитичната геометрия?Трудността се състои в това, че има безкрайно много задачи в геометрията и нито един учебник не може да съдържа всички много и разнообразни примери. Не е производна на функцияс пет правила за разграничаване, таблица и няколко техники...

Има решение! Няма да кажа силни думи, че съм разработил някаква грандиозна техника, но според мен има ефективен подход към разглеждания проблем, който позволява дори пълен чайник да постигне добри и отлични резултати. Поне общият алгоритъм за решаване на геометрични задачи се оформи много ясно в главата ми.

КАКВО ТРЯБВА ДА ЗНАЕТЕ И МОЖЕТЕ
за успешно решаване на задачи по геометрия?

От това няма как да се измъкнете - за да не бъркате случайно в бутоните с носа си, трябва да овладеете основите на аналитичната геометрия. Ето защо, ако току-що сте започнали да изучавате геометрия или напълно сте я забравили, моля, започнете с урока Вектори за манекени. В допълнение към векторите и действията с тях, трябва да знаете основните понятия на равнинната геометрия, по-специално, уравнение на права линия в равнинаи . Геометрията на пространството е представена чрез статии Уравнение на равнината, Уравнения на права линия в пространството, Основни задачи по права и равнина и някои други уроци. Извитите линии и пространствените повърхности от втори ред стоят малко отделно и няма толкова много специфични проблеми с тях.

Да предположим, че студентът вече има елементарни знания и умения за решаване на най-простите задачи на аналитичната геометрия. Но това се случва така: четете условието на проблема и ... искате да затворите цялото нещо, да го хвърлите в далечния ъгъл и да го забравите, като кошмар. Освен това това не зависи фундаментално от нивото на вашата квалификация, от време на време самият аз се сблъсквам със задачи, чието решение не е очевидно. Как да действаме в такива случаи? Няма нужда да се страхувате от задача, която не разбирате!

Първо, трябва да се настрои на "равнинен" или пространствен проблем ли е?Например, ако в условието се появят вектори с две координати, тогава, разбира се, това е геометрията на равнината. И ако учителят зареди благодарния слушател с пирамида, тогава очевидно има геометрия на пространството. Резултатите от първата стъпка вече са доста добри, защото успяхме да отсечем огромно количество ненужна за тази задача информация!

Второ. Условието, като правило, ще ви засяга някаква геометрична фигура. Наистина, разходете се по коридорите на родния си университет и ще видите много разтревожени лица.

В "плоските" задачи, да не говорим за очевидните точки и линии, най-популярната фигура е триъгълник. Ще го анализираме много подробно. Следва паралелограма, а много по-рядко се срещат правоъгълник, квадрат, ромб, кръг и други фигури.

В пространствени задачи могат да летят същите плоски фигури + самите самолети и обикновени триъгълни пирамиди с паралелепипеди.

Въпрос втори - Знаете ли всичко за тази фигура?Да предположим, че условието е за равнобедрен триъгълник и вие си спомняте много смътно какъв вид триъгълник е. Отваряме учебник и четем за равнобедрен триъгълник. Какво да правя ... лекарят каза ромб, така че ромб. Аналитичната геометрия си е аналитична геометрия, но задачата ще помогне да се решат геометричните свойства на самите фигурипознати ни от училищната програма. Ако не знаете каква е сумата от ъглите на триъгълника, тогава можете да страдате дълго време.

трето. ВИНАГИ се опитвайте да следвате плана(на чернова / чисто / мислено), дори това да не се изисква от условието. При „плоските“ задачи самият Евклид нарежда да се вземе линийка с молив в ръка – и не само за да се разбере условието, но и с цел самопроверка. В този случай най-удобната скала е 1 единица = 1 cm (2 тетрадни клетки). Да не говорим за небрежни студенти и математици, които се въртят в гробовете си - в такива задачи е почти невъзможно да се сгреши. За пространствени задачи изпълняваме схематичен чертеж, който също ще помогне за анализ на състоянието.

Чертеж или схематичен чертеж често веднага ви позволява да видите начина за решаване на проблема. Разбира се, за това трябва да знаете основите на геометрията и да изрежете свойствата на геометричните фигури (вижте предишния параграф).

четвърто. Разработване на алгоритъм за решение. Много геометрични задачи са многопроходими, така че е много удобно решението и неговият дизайн да се разделят на точки. Често алгоритъмът веднага идва на ум, след като сте прочели условието или сте завършили чертежа. При затруднения започваме с ВЪПРОСА на проблема. Например, според условието "необходимо е да се изгради права линия ...". Тук най-логичният въпрос е: „Какво е достатъчно да знаете, за да изградите тази линия?“. Да предположим, че "знаем точката, трябва да знаем вектора на посоката." Задаваме следния въпрос: „Как да намерим този вектор на посоката? Където?" и т.н.

Понякога има "тапа" - задачата не е решена и това е. Причините за запушването могат да бъдат следните:

- Сериозен пропуск в елементарните знания. С други думи, вие не знаете или (и) не виждате някои много прости неща.

- Непознаване на свойствата на геометричните фигури.

- Задачата беше трудна. Да, случва се. Няма смисъл да париш с часове и да събираш сълзи в носна кърпа. Попитайте вашия учител, състуденти или задайте въпрос във форума за съвет. Освен това е по-добре да направите изявлението си конкретно - за тази част от решението, която не разбирате. Вик под формата на "Как да реша проблема?" не изглежда добре... и преди всичко за собствената ви репутация.

Етап пети. Решаваме-проверяваме, решаваме-проверяваме, решаваме-проверяваме-даваме отговор. Полезно е да проверите всеки елемент от задачата веднага след като е направено. Това ще ви помогне незабавно да откриете грешката. Естествено, никой не забранява бързото решаване на целия проблем, но съществува риск от пренаписване на всичко отново (често няколко страници).

Тук може би са всички основни съображения, от които е препоръчително да се ръководите при решаването на проблеми.

Практическата част на урока е представена чрез геометрия върху равнина. Ще има само два примера, но няма да изглежда достатъчно =)

Нека да преминем през нишката на алгоритъма, който току-що прегледах в моя малък научен труд:

Пример 1

Дадени са три върха на успоредник. Намерете върха.

Нека започнем да го разбираме:

Първа стъпка: очевидно е, че говорим за „плосък“ проблем.

стъпка втора: Задачата е за успоредник. Всеки помни такава паралелограмна фигура? Няма нужда да се усмихвате, много хора са образовани на 30-40-50 или повече години, така че дори простите факти могат да бъдат изтрити от паметта. Дефиницията на успоредник се намира в пример № 3 от урока Линейна (не)зависимост на векторите. Векторна основа.

Стъпка трета: Нека направим чертеж, на който маркираме три известни върха. Странно е, че е лесно веднага да се изгради желаната точка:

Конструирането, разбира се, е добро, но решението трябва да бъде формализирано аналитично.

Стъпка четвърта: Разработване на алгоритъм за решение. Първото нещо, което идва на ум е, че точка може да се намери като пресечна точка на прави. Техните уравнения са неизвестни за нас, така че трябва да се справим с този проблем:

1) Противоположните страни са успоредни. По точки намерете насочващия вектор на тези страни. Това е най-простата задача, която беше разгледана в урока. Вектори за манекени.

Забележка: по-правилно е да се каже „уравнението на правата, съдържаща страната“, но по-нататък за краткост ще използвам фразите „уравнение на страната“, „насочващ вектор на страната“ и т.н.

3) Противоположните страни са успоредни. От точките намираме насочващия вектор на тези страни.

4) Съставете уравнението на права линия чрез точка и насочващ вектор

В параграфи 1-2 и 3-4 всъщност решихме една и съща задача два пъти, между другото, тя е анализирана в пример № 3 от урока Най-прости задачи с права на равнина. Възможно е да се измине по-дълъг път - първо да се намерят уравненията на линиите и едва след това да се „извади“ векторите на посоката от тях.

5) Сега уравненията на линиите са известни. Остава да се състави и реши съответната система от линейни уравнения (виж примери № 4, 5 от същия урок Най-прости задачи с права на равнина).

Намерена точка.

Задачата е съвсем проста и решението й е очевидно, но има по-кратък път!

Вторият начин за решаване:

Диагоналите на успоредник се делят на две от пресечната си точка. Отбелязах точката, но за да не претрупам чертежа, не начертах сам диагоналите.

Съставете уравнението на страната по точки :

За да проверите, мислено или на чернова, заменете координатите на всяка точка в полученото уравнение. Сега нека намерим наклона. За да направим това, пренаписваме общото уравнение под формата на уравнение с наклон:

Така че факторът на наклона е:

По същия начин намираме уравненията на страните. Не виждам много смисъл да рисувам едно и също нещо, така че веднага ще дам крайния резултат:

2) Намерете дължината на страната. Това е най-простата задача, разгледана в урока. Вектори за манекени. За точки използваме формулата:

Използвайки същата формула, е лесно да намерите дължините на другите страни. Проверката се извършва много бързо с обикновена линийка.

Използваме формулата .

Нека намерим векторите:

По този начин:

Между другото, по пътя намерихме дължините на страните.

Като резултат:

Е, изглежда, че е вярно, за убедителност можете да прикрепите транспортир към ъгъла.

внимание! Не бъркайте ъгъла на триъгълник с ъгъла между прави линии. Ъгълът на триъгълника може да е тъп, но ъгълът между прави линии не е (вижте последния параграф на статията Най-прости задачи с права на равнина). Формулите от горния урок обаче могат да се използват и за намиране на ъгъла на триъгълник, но грапавостта е, че тези формули винаги дават остър ъгъл. С тяхна помощ реших този проблем на чернова и получих резултата. И на чистото копие ще трябва да напишете допълнителни извинения, които.

4) Напишете уравнението на права линия, минаваща през точка, успоредна на права линия.

Типова задача, разгледана подробно в пример No2 от урока Най-прости задачи с права на равнина. От общото уравнение на права линия издърпайте вектора на посоката. Нека съставим уравнението на права линия от точка и насочващ вектор:

Как да намерим височината на триъгълник?

5) Нека съставим уравнението на височината и ще намерим нейната дължина.

Няма измъкване от строгите дефиниции, така че трябва да крадете от училищен учебник:

височина на триъгълник наречен перпендикуляр, изтеглен от върха на триъгълника към правата, съдържаща противоположната страна.

Тоест, необходимо е да се състави уравнението на перпендикуляра, изтеглен от върха към страната. Тази задача е разгледана в примери № 6, 7 от урока Най-прости задачи с права на равнина. От уравнението премахнете нормалния вектор. Ще съставим уравнението на височината за точката и вектора на посоката:

Моля, обърнете внимание, че не знаем координатите на точката.

Понякога уравнението на височината се намира от съотношението на наклоните на перпендикулярните линии: . В този случай тогава: . Ще съставим уравнението на височината за точка и наклон (вижте началото на урока Уравнение на права на равнина):

Дължината на височината може да се намери по два начина.

Има заобиколен път:

а) намерете - точката на пресичане на височината и страната;
б) намерете дължината на отсечката по две известни точки.

Но в час Най-прости задачи с права на равнинабеше разгледана удобна формула за разстоянието от точка до права. Точката е известна: , уравнението на правата също е известно: , По този начин:

6) Изчислете площта на триъгълника. В космоса площта на триъгълника традиционно се изчислява с помощта кръстосано произведение на вектори, но тук е даден триъгълник в равнината. Използваме училищната формула:
Площта на триъгълник е половината от произведението на основата му, умножена по височината му.

В такъв случай:

Как да намерим медианата на триъгълник?

7) Съставете медианното уравнение.

Медиана на триъгълник Отсечка, свързваща върха на триъгълник със средата на срещуположната страна, се нарича.

а) Намерете точка - средата на страната. Ние използваме координатни формули на средна точка. Координатите на краищата на сегмента са известни: , след това координатите на средата:

По този начин:

Съставяме уравнението на медианата по точки :

За да проверите уравнението, трябва да замените координатите на точките в него.

8) Намерете пресечната точка на височина и медиана. Мисля, че всички вече са се научили как да изпълняват този елемент от фигурното пързаляне, без да падат:

Задача 1. Дадени са координатите на върховете на триъгълника ABC: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Намерете: 1) дължината на страната AB; 2) уравнения на страните AB и BC и техните наклони; 3) ъгъл B в радиани с точност до два знака след десетичната запетая; 4) уравнението на височината CD и нейната дължина; 5) уравнението на медианата AE и координатите на точката K на пресечната точка на тази медиана с височината CD; 6) уравнението на права линия, минаваща през точката K, успоредна на страната AB; 7) координатите на точка М, разположена симетрично на точка А спрямо правата линия CD.

Решение:

1. Разстоянието d между точките A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) се определя по формулата

Прилагайки (1), намираме дължината на страната AB:

2. Уравнението на права линия, минаваща през точките A (x 1, y 1) и B (x 2, y 2), има формата

(2)

Замествайки в (2) координатите на точките A и B, получаваме уравнението на страната AB:

След като решихме последното уравнение за y, намираме уравнението на страната AB под формата на уравнение на права линия с наклон:

където

Замествайки в (2) координатите на точки B и C, получаваме уравнението на правата линия BC:

Или

3. Известно е, че тангенсът на ъгъла между две прави, чиито ъглови коефициенти са съответно равни и се изчислява по формулата

(3)

Желаният ъгъл B се образува от правите линии AB и BC, чиито ъглови коефициенти се намират: Прилагайки (3), получаваме

Или се радвам.

4. Уравнението на права линия, минаваща през дадена точка в дадена посока, има вида

(4)

Височината CD е перпендикулярна на страната AB. За да намерим наклона на височината CD, използваме условието за перпендикулярност на правите. От тогава Замествайки в (4) координатите на точка C и намерения ъглов коефициент на височина, получаваме

За да намерим дължината на височината CD, първо определяме координатите на точка D - пресечната точка на правите AB и CD. Решаване на системата заедно:

намирам тези. D(8;0).

Използвайки формула (1), намираме дължината на височината CD:

5. За да намерим уравнението за медианата AE, първо определяме координатите на точката E, която е средата на страната BC, като използваме формулите за разделяне на отсечката на две равни части:

(5)

Следователно,

Замествайки в (2) координатите на точките A и E, намираме средното уравнение:

За да намерим координатите на пресечната точка на височината CD и медианата AE, съвместно решаваме системата от уравнения

Намираме .

6. Тъй като желаната права е успоредна на страната AB, тогава нейният наклон ще бъде равен на наклона на правата AB. Замествайки в (4) координатите на намерената точка K и наклона, получаваме

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. Тъй като правата AB е перпендикулярна на правата CD, търсената точка M, разположена симетрично на точка A спрямо правата CD, лежи на правата AB. Освен това точка D е средата на отсечка AM. Прилагайки формули (5), намираме координатите на желаната точка M:

Триъгълник ABC, надморска височина CD, медиана AE, права KF и точка M са построени в координатната система xOy на фиг. един.

Задача 2. Съставете уравнение за геометричното място на точките, чието съотношение на разстоянията до дадена точка A (4; 0) и към дадена права линия x \u003d 1 е равно на 2.

Решение:

В координатната система xOy конструираме точката A(4;0) и правата x = 1. Нека M(x;y) е произволна точка от желаното геометрично място от точки. Нека спуснем перпендикуляра MB към дадената права x = 1 и определим координатите на точка B. Тъй като точка B лежи на дадената права, нейната абциса е равна на 1. Ординатата на точка B е равна на ординатата на точката M. Следователно B(1; y) (фиг. 2).

По условието на задачата |MA|: |MV| = 2. Разстояния |MA| и |MB| намираме по формула (1) на задача 1:

Като повдигнем на квадрат лявата и дясната страна, получаваме

или

Полученото уравнение е хипербола, в която реалната полуос е a = 2, а имагинерната е

Нека дефинираме фокусите на хиперболата. За хипербола равенството е изпълнено. Следователно и са фокусите на хиперболата. Както можете да видите, дадената точка A(4;0) е десният фокус на хиперболата.

Нека определим ексцентричността на получената хипербола:

Асимптотните уравнения на хиперболата имат формата и . Следователно, или и са асимптоти на хиперболата. Преди да построим хипербола, изграждаме нейните асимптоти.

Задача 3. Съставете уравнение за геометричното място на точки, еднакво отдалечени от точката A (4; 3) и правата линия y = 1. Редуцирайте полученото уравнение до най-простата му форма.

Решение:Нека M(x; y) е една от точките на желаното геометрично място от точки. Нека спуснем перпендикуляра MB от точката M към дадената права y = 1 (фиг. 3). Нека да определим координатите на точка B. Очевидно е, че абсцисата на точка B е равна на абсцисата на точка M, а ординатата на точка B е 1, т.е. B (x; 1). По условието на задачата |MA|=|MV|. Следователно, за всяка точка M (x; y), принадлежаща на желаното геометрично място от точки, равенството е вярно:

Полученото уравнение дефинира парабола с връх в точка. За да намалим уравнението на параболата до най-простата му форма, задаваме и y + 2 = Y, след което уравнението на параболата приема формата:

Решениенаправете го с калкулатор.
Координатите на триъгълника са дадени: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Векторни координати
Координатите на векторите се намират по формулата:
X = x j - x i; Y = y j - y i

Например за вектор AB

X=1-2=-1; Y=-2-1=-3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
пр.н.е.(-2;2)
2) Модули на вектори

3) Ъгъл между прави
Ъгълът между векторите a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) може да се намери по формулата:

където a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Намерете ъгъла между страните AB и AC

γ = arccos(0,6) = 53,13 0
4) Векторна проекция
Векторна проекция bна вектор аможе да се намери с помощта на формулата:

Намерете проекцията на вектора AB върху вектора AC

5) Площ на триъгълник



Решение


По формулата получаваме:

6) Разделяне на сегмента в това отношение
Радиус-векторът r на точката A, която разделя отсечката AB спрямо AA:AB = m 1:m 2 , се определя по формулата:

Координатите на точка А се намират по формулите:




Медианно уравнение на триъгълник
Означаваме средата на страната BC с буквата M. След това намираме координатите на точката M по формулите за разделяне на сегмента наполовина.


М(0;-1)
Намираме уравнението за медианата AM, като използваме формулата за уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки. Медианата AM минава през точките A(2;1) и M(0;-1), следователно:

или

или
y=x-1 или y-x+1=0
7) Уравнение на права линия


Уравнение на права AB

или

или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Линия AC уравнение

или

или
y = 1/3 x + 1/3 или 3y -x - 1 = 0
Уравнение на линия BC

или

или
y = -x -1 или y + x +1 = 0
8) Дължината на височината на триъгълника, изтеглена от върха A
Разстоянието d от точката M 1 (x 1; y 1) до правата Ax + By + C \u003d 0 е равно на абсолютната стойност на количеството:

Намерете разстоянието между точка A(2;1) и права BC (y + x +1 = 0)

9) Уравнение на височината през върха C
Правата, минаваща през точката M 0 (x 0 ; y 0) и перпендикулярна на правата Ax + By + C = 0, има насочен вектор (A; B) и следователно е представена от уравненията:


Това уравнение може да се намери и по друг начин. За да направите това, намираме наклона k 1 на правата линия AB.
Уравнение AB: y = 3x -5 т.е. k 1 = 3
Нека намерим наклона k на перпендикуляра от условието за перпендикулярност на две прави линии: k 1 *k = -1.
Замествайки вместо k 1 наклона на тази права линия, получаваме:
3k = -1, откъдето k = -1 / 3
Тъй като перпендикулярът минава през точката C(-1,0) и има k = -1 / 3, ще търсим уравнението му във формата: y-y 0 = k(x-x 0).
Замествайки x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0 получаваме:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
или
y = -1 / 3 x - 1 / 3
Уравнение на ъглополовяща триъгълник
Нека намерим ъглополовящата на ъгъл A. Пресечната точка на ъглополовящата със страната BC означаваме с M.
Нека използваме формулата:

Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Симетралата разполовява ъгъла, следователно ъгълът NAK ≈ 26,5 0
Тангенсът на наклон AB е 3 (защото y -3x +5 = 0). Ъгълът на наклона е 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
Симетралата минава през точката A(2,1), използвайки формулата, имаме:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1 (x - 2)
или
у=х-1
Изтегли

Пример. Дадени са координатите на върховете на триъгълника ABC: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Необходимо е: 1) да се изчисли дължината на страната BC; 2) съставете уравнение за страната BC; 3) намерете вътрешния ъгъл на триъгълника при върха B; 4) направете уравнение за височината на AK, изтеглена от върха A; 5) намиране на координатите на центъра на тежестта на хомогенен триъгълник (точката на пресичане на неговите медиани); 6) направете чертеж в координатната система.

Упражнение. Дадени са координатите на върховете на триъгълник ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Задължително:

1. напишете уравнение за медианата, изтеглена от върха B, и изчислете нейната дължина.
2. напишете уравнение за височината, изтеглена от върха A, и изчислете дължината му.
3. намерете косинуса на вътрешния ъгъл B на триъгълник ABC.

Пример #3. Дадени са върхове A(1;1), B(7;4), C(4;5) на триъгълник. Намерете: 1) дължината на страната AB; 2) вътрешен ъгъл А в радиани с точност 0,001. Направете рисунка.
Изтегли

Пример #4. Дадени са върхове A(1;1), B(7;4), C(4;5) на триъгълник. Намерете: 1) уравнението на височината, прекарана през върха C ; 2) уравнението на медианата, прекарана през върха C ; 3) пресечната точка на височините на триъгълника; 4) дължината на височината, спусната от върха C. Начертайте.
Изтегли

Пример #5. Дадени са върховете на триъгълник ABC: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Определете: 1) дължината на страната AB; 2) уравнение на страните AB и AC и техните наклони; 3) площта на триъгълника.

Намираме координатите на векторите по формулата: X = x j - x i ; Y = y j - y i
тук X,Y координати на вектора; x i , y i - координати на точката A i ; x j , y j - координати на точка A j
Например за вектор AB
X \u003d x 2 - x 1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y=-9-0=-9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Упражнение. Дадени са координатите на върховете на пирамидата ABCD. Задължително:

1. Запишете векторите в системата ort и намерете модулите на тези вектори.
2. Намерете ъгъла между векторите.
3. Намерете проекцията на вектор върху вектор.
4. Намерете площта на лицето ABC.
5. Намерете обема на пирамидата ABCD.

Упражнение. Намерете острия ъгъл между правите x + y -5 = 0 и x + 4y - 8 = 0 .
Препоръки за решение. Проблемът се решава с услугата Ъгъл между две линии.
Отговор: 30.96o

Пример #1. Дадени са координатите на точки A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1). Намерете дължината на ръба A1A2. Напишете уравнение за ръба A1A4 и лицето A1A2A3. Напишете уравнение за височината, паднала от точка A4 до равнината A1A2A3. Намерете площта на триъгълник A1A2A3. Намерете обема на триъгълната пирамида A1A2A3A4.

Намираме координатите на векторите по формулата: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z i
тук X,Y,Z координати на вектора; x i , y i , z i - координати на точката A i ; x j, y j, z j - координатите на точката A j;
И така, за вектора A 1 A 2 те ще бъдат както следва:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X=2-1; Y=1-0; Z=1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
Дължината на вектора a(X;Y;Z) се изразява чрез неговите координати по формулата: