Примери за намиране на точки на екстремум на функция. Как да намерим екстремума (минимална и максимална точка) на функция. Нарастване, намаляване и екстремуми на функция

Въведение

В много области на науката и практиката често се среща проблемът с намирането на екстремума на функция. Факт е, че много технически, икономически и т.н. процесите се моделират от функция или няколко функции, които зависят от променливи - фактори, които влияят върху състоянието на моделираното явление. Необходимо е да се намерят екстремуми на такива функции, за да се определи оптималното (рационално) състояние, управление на процеса. Така че в икономиката проблемите за минимизиране на разходите или максимизиране на печалбите често се решават - микроикономическата задача на компанията. В тази работа ние не разглеждаме проблемите на моделирането, а разглеждаме само алгоритми за намиране на екстремуми на функции в най-простата версия, когато не се налагат ограничения върху променливите (безусловна оптимизация) и екстремумът се търси само за една целева функция.

ЕКСТРЕМУМ НА ФУНКЦИЯТА

Разгледайте графиката на непрекъсната функция y=f(x)показано на фигурата. Стойност на функцията в точка х 1 ще бъде по-голяма от стойностите на функцията във всички съседни точки както отляво, така и отдясно на хедин . В този случай се казва, че функцията има в точката х 1 макс. В точката хФункцията 3 очевидно също има максимум. Ако разгледаме точката х 2 , то стойността на функцията в него е по-малка от всички съседни стойности. В този случай се казва, че функцията има в точката х 2 минимум. По същия начин за точката х 4 .

функция y=f(x)в точката х 0 има максимум, ако стойността на функцията в тази точка е по-голяма от нейните стойности във всички точки на някакъв интервал, съдържащ точката х 0, т.е. ако има такава близост на точката х 0, което е за всички х≠х 0 , принадлежащи към този квартал, имаме неравенството f(x)<f(x 0 ) .

функция y=f(x)То има минимумв точката х 0 , ако има такава близост на точката х 0 , това, което е за всички х≠х 0, принадлежащ на тази околия, имаме неравенството f(x)>f(x0.

Точките, в които функцията достига своя максимум и минимум, се наричат точки на екстремум, а стойностите на функцията в тези точки са екстремуми на функцията.

Нека обърнем внимание на факта, че функция, дефинирана върху сегмент, може да достигне своя максимум и минимум само в точки, съдържащи се в рамките на разглеждания сегмент.

Обърнете внимание, че ако дадена функция има максимум в точка, това не означава, че в тази точка функцията има максимална стойност в цялата област. На фигурата, обсъдена по-горе, функцията в точката х 1 има максимум, въпреки че има точки, в които стойностите на функцията са по-големи, отколкото в точката х 1 . По-специално, f(х 1) < f(х 4) т.е. минимумът на функцията е по-голям от максимума. От дефиницията на максимума следва само, че това е най-голямата стойност на функцията в точки, достатъчно близки до максималната точка.

Теорема 1. (Необходимо условие за съществуване на екстремум.) Ако диференцируема функция y=f(x)има в точката х= х 0 екстремум, тогава нейната производна в тази точка изчезва.

Доказателство. Нека, за категоричност, в точката х 0 функцията има максимум. Тогава за достатъчно малки увеличения Δ хние имаме f(x 0 + Δ х) 0 ) , т.е.

Но след това
Преминавайки в тези неравенства до границата като Δ х→ 0 и като се има предвид, че производната f "(х 0) съществува и следователно границата отляво не зависи от това как Δ х→ 0, получаваме: за Δ х → 0 – 0 е"(х 0) ≥ 0 и при Δ х → 0 + 0 е"(х 0) ≤ 0. Тъй като е"(х 0) дефинира число, тогава тези две неравенства са съвместими само ако е"(х 0) = 0.

Доказаната теорема гласи, че максималните и минималните точки могат да бъдат само сред тези стойности на аргумента, за които производната е нула.

Разгледахме случая, когато една функция има производна във всички точки на определен сегмент. Какво се случва, когато производното не съществува? Разгледайте примери.

г=|х|.

Функцията няма производна в точка х=0 (в тази точка графиката на функцията няма определен тангенс), но в тази точка функцията има минимум, тъй като г(0)=0 и за всички х≠ 0г > 0.
няма производна при х=0, тъй като отива в безкрайност, когато х=0. Но в този момент функцията има максимум. няма производна при х=0, защото при х→0. В този момент функцията няма нито максимум, нито минимум. Наистина ли, f(x)=0 и при х<0f(x)<0, а при х>0f(x)>0.
Така от дадените примери и формулираната теорема става ясно, че функцията може да има екстремум само в два случая: 1) в точките, където производната съществува и е равна на нула; 2) в точката, където производната не съществува.

Ако обаче в даден момент х 0 знаем това f"(x 0 ) =0, то от това не може да се заключи, че в точката х 0 функцията има екстремум.

Например.
.
Но точка х=0 не е екстремна точка, тъй като вляво от тази точка стойностите на функцията са разположени под оста вол, и горе вдясно.

Стойностите на аргумент от домейна на функция, за които производната на функцията изчезва или не съществува, се наричат критични точки.

От казаното по-горе следва, че екстремалните точки на функцията са сред критичните точки, но не всяка критична точка е екстремна точка. Следователно, за да намерите екстремума на функцията, трябва да намерите всички критични точки на функцията и след това да изследвате всяка от тези точки поотделно за максимум и минимум. За това служи следната теорема.

Теорема 2. (Достатъчно условие за съществуване на екстремум.) Нека функцията е непрекъсната на някакъв интервал, съдържащ критичната точка х 0 и е диференцируем във всички точки от този интервал (освен, може би, самата точка х 0). Ако при преминаване отляво надясно през тази точка производната промени знака от плюс на минус, тогава в точката х = х 0 функцията има максимум. Ако при преминаване през х 0 отляво надясно, производната променя знака от минус на плюс, тогава функцията има минимум в тази точка.

По този начин, ако

f"(x)>0 при х<х 0 и f"(x)< 0 при x > x 0, тогава х 0 - максимална точка;
при х<х 0 и f "(x)> 0 при x > x 0, тогава х 0 е минималната точка.
Доказателство. Нека първо приемем, че при преминаване през х 0, производната променя знака от плюс на минус, т.е. за всички хблизо до точката х 0 f "(x)> 0 за х< x 0 , f"(x)< 0 за x > x 0 . Нека приложим теоремата на Лагранж към разликата f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), където ° Слежи между хи х 0 .

Позволявам х< x 0 . Тогава ° С< x 0 и f "(c)> 0. Ето защо f "(c)(x-x 0)< 0 и следователно

f(x) - f(x 0 )< 0, т.е. f(x)< f(x 0 ).

Позволявам x > x 0 . Тогава c> x 0 и е"(в)< 0. Средства f "(c)(x-x 0)< 0. Ето защо f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Така за всички стойности хдостатъчно близо до х 0 f(x)< f(x 0 ) . А това означава, че в точката х 0 функцията има максимум.

Втората част от теоремата за минимума се доказва по подобен начин.

Нека илюстрираме значението на тази теорема на фигурата. Позволявам f"(x 1 ) =0 и за всякакви х,достатъчно близо до х 1 , неравенствата

f"(x)< 0 при х< x 1 , f "(x)> 0 при x > x 1 .

След това вляво от точката х 1 функцията е нарастваща и намаляваща отдясно, следователно, когато х = х 1 функция преминава от нарастваща към намаляваща, тоест има максимум.

По същия начин може да се разгледат точките х 2 и х 3 .

Схематично всичко по-горе може да бъде изобразено на снимката:

Правилото за изследване на функцията y=f(x) за екстремум

Намерете обхвата на функция f(x).

Намерете първата производна на функция f"(x).

Определете критичните точки за това:

намерете истинските корени на уравнението f"(x)=0;

намери всички стойности хпри които производната f"(x)не съществува.

Определете знака на производната отляво и отдясно на критичната точка. Тъй като знакът на производната остава постоянен между две критични точки, достатъчно е да се определи знакът на производната във всяка точка отляво и в една точка отдясно на критичната точка.

Изчислете стойността на функцията в точките на екстремума.

Както можете да видите, този знак на екстремума на функцията изисква наличието на производна поне до втори ред в точката .
Пример.
Намерете екстремума на функцията.
Решение.
Да започнем с обхвата:
Нека разграничим оригиналната функция:
х=1, тоест това е точката на възможен екстремум. Намираме втората производна на функцията и изчисляваме нейната стойност при х=1:
Следователно, чрез второто достатъчно екстремално условие, х=1- максимална точка. Тогава е максимумът на функцията.
Графична илюстрация.
Отговор:
Третото достатъчно условие за екстремум на функция.
Нека функцията y=f(x)има производни до н-ти ред в -околност на точка и производни до n+1ред в самата точка. Нека и .
Пример.
Намерете екстремни точки на функция .
Решение.
Оригиналната функция е цяла рационална, нейната област на дефиниране е целият набор от реални числа.
Нека разграничим функцията:
Производната изчезва, когато , следователно това са точките на възможен екстремум. Нека използваме третото достатъчно условие за екстремум.
Намираме второто производно и изчисляваме стойността му в точките на възможен екстремум (ще пропуснем междинните изчисления):
Следователно е максималната точка (за третия достатъчен знак на екстремума имаме n=1и ).
За да се изясни естеството на точките намерете третата производна и изчислете нейната стойност в тези точки:
Следователно е инфлексната точка на функцията ( n=2и ).
Остава да се справим с точката. Намираме четвъртата производна и изчисляваме нейната стойност в тази точка:
Следователно е минималната точка на функцията.
Графична илюстрация.
Отговор:
Максималната точка е минималната точка на функцията.
10. Екстремуми на функция Дефиниция на екстремум
Извиква се функцията y = f(x). повишаване на (намаляващ) в някакъв интервал, ако за x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).
Ако диференцируема функция y = f(x) на сегмент нараства (намалява), тогава нейната производна на този сегмент f "(x)  0
(f "(x)  0).
Точка х относноНаречен локална максимална точка (минимум) на функцията f(x), ако има околност на точката х относно, за всички точки от които е вярно неравенството f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)).
Извикват се максималните и минималните точки екстремни точки, а стойностите на функцията в тези точки са нейни екстремуми.
екстремни точки
Необходими условия за екстремум. Ако точка х относное екстремна точка на функцията f (x), тогава или f "(x o) \u003d 0, или f (x o) не съществува. Такива точки се наричат критичен,където самата функция е дефинирана в критичната точка. Екстремумите на една функция трябва да се търсят сред нейните критични точки.
Първото достатъчно условие.Позволявам х относно- критична точка. Ако f "(x) при преминаване през точка х относнопроменя знака плюс на минус, след това в точката х относнофункцията има максимум, в противен случай има минимум. Ако производната не променя знака при преминаване през критична точка, тогава в точката х относноняма екстремум.
Второто достатъчно условие.Нека функцията f(x) има производна f "(x) в околност на точката х относнои втората производна в самата точка х относно. Ако f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка х относное локална минимална (максимална) точка на функцията f(x). Ако =0, тогава трябва или да се използва първото достатъчно условие, или да се включат по-високи производни.
На сегмент функцията y = f(x) може да достигне своята минимална или максимална стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.
Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение. Тъй като f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 \u003d 2 и x 2 \u003d 3. Екстремните точки могат бъдете само в тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 \u003d 2, производната променя знака плюс на минус, тогава в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 \u003d 3, производната променя знака минус на плюс, следователно в точката x 2 \u003d 3 функцията има минимум. След като изчислим стойностите на функцията в точките x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Прост алгоритъм за намиране на екстремуми..
Намиране на производната на функция

Приравнете тази производна на нула

Намираме стойностите на променливата на получения израз (стойностите на променливата, при които производната се преобразува в нула)

Разделяме координатната линия на интервали с тези стойности (в същото време не трябва да забравяме за точките на прекъсване, които също трябва да бъдат приложени към линията), всички тези точки се наричат „подозрителни“ точки за екстремума

Изчисляваме на кой от тези интервали производната ще бъде положителна и на кой ще бъде отрицателна. За да направите това, трябва да замените стойността от интервала в производната.

От точките, заподозрени в екстремум, е необходимо да се намери точно . За да направим това, разглеждаме нашите пропуски на координатната линия. Ако при преминаване през някаква точка знакът на производната се промени от плюс на минус, тогава тази точка ще бъде максимум, и ако от минус към плюс, тогава минимум.

За да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция, трябва да изчислите стойността на функцията в краищата на сегмента и в точките на екстремума. След това изберете най-голямата и най-малката стойност.
Помислете за пример
Намираме производната и я приравняваме на нула:

Прилагаме получените стойности на променливите към координатната линия и изчисляваме знака на производната на всеки от интервалите. Е, например, за първи път-2 , тогава производната ще бъде-0,24 , за втори път0 , тогава производната ще бъде2 , а за третото вземаме2 , тогава производната ще бъде-0,24. Поставяме съответните знаци.

Виждаме, че при преминаване през точка -1, производната променя знака от минус на плюс, тоест ще бъде минимална точка, а при преминаване през 1, съответно от плюс към минус, това е максимална точка.

Нека се обърнем към графиката на функцията y \u003d x 3 - 3x 2. Разгледайте околността на точката x = 0, т.е. някакъв интервал, съдържащ тази точка. Логично е да има такова съседство на точката x \u003d 0, че функцията y \u003d x 3 - 3x 2 приема най-голямата стойност в този квартал в точката x \u003d 0. Например, на интервала (- 1; 1) най-голямата стойност, равна на 0, функцията приема в точката x = 0. Точката x = 0 се нарича максимална точка на тази функция.
По същия начин точката x \u003d 2 се нарича минимална точка на функцията x 3 - 3x 2, тъй като в тази точка стойността на функцията не е по-голяма от нейната стойност в друга точка в близост до точката x \u003d 2 , например кварталът (1,5; 2,5).

Така точката x 0 се нарича максимална точка на функцията f (x), ако има околност на точката x 0 - такава, че неравенството f (x) ≤ f (x 0) е изпълнено за всички x от това квартал.

Например, точката x 0 \u003d 0 е максималната точка на функцията f (x) \u003d 1 - x 2, тъй като f (0) \u003d 1 и неравенството f (x) ≤ 1 е вярно за всички стойности от х.

Минималната точка на функцията f (x) се нарича точка x 0, ако има такава околност на точката x 0, че неравенството f (x) ≥ f (x 0) е изпълнено за всички x от тази околност.

Например, точката x 0 \u003d 2 е минималната точка на функцията f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, тъй като f (2) \u003d 3 и f (x) ≥ 3 за всички x .

Крайните точки се наричат минимални точки и максимални точки.

Нека се обърнем към функцията f(x), която е дефинирана в някаква околност на точката x 0 и има производна в тази точка.

Ако x 0 е екстремна точка на диференцируема функция f (x), тогава f "(x 0) \u003d 0. Това твърдение се нарича теорема на Ферма.

Теоремата на Ферма има ясно геометрично значение: в точката на екстремума допирателната е успоредна на оста x и следователно нейният наклон
f "(x 0) е нула.

Например функцията f (x) \u003d 1 - 3x 2 има максимум в точката x 0 \u003d 0, нейната производна f "(x) \u003d -2x, f "(0) = 0.

Функцията f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 има минимум в точката x 0 \u003d 2, f "(x) = 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Имайте предвид, че ако f "(x 0) \u003d 0, тогава това не е достатъчно, за да се твърди, че x 0 е непременно екстремалната точка на функцията f (x).

Например, ако f (x) \u003d x 3, тогава f "(0) \u003d 0. Точката x \u003d 0 обаче не е екстремна точка, тъй като функцията x 3 нараства по цялата реална ос.

Така че точките на екстремум на диференцируема функция трябва да се търсят само сред корените на уравнението
f "(x) \u003d 0, но коренът на това уравнение не винаги е екстремна точка.

Стационарни точки са точки, в които производната на функция е равна на нула.

Следователно, за да бъде точката x 0 точка на екстремум, е необходимо тя да бъде стационарна точка.

Разгледайте достатъчни условия стационарната точка да бъде точка на екстремум, т.е. условия, при които стационарна точка е минимална или максимална точка на функция.

Ако производната отляво на неподвижната точка е положителна, а отдясно е отрицателна, т.е. производната променя знака "+" на знак "-" при преминаване през тази точка, тогава тази стационарна точка е максималната точка.

Наистина, в този случай вляво от стационарната точка функцията расте, а вдясно намалява, т.е. тази точка е максималната точка.

Ако производната промени знака "-" на знак "+", когато преминава през стационарна точка, тогава тази стационарна точка е минимална точка.

Ако производната не променя знака при преминаване през неподвижна точка, т.е. производната е положителна или отрицателна отляво и отдясно на стационарната точка, тогава тази точка не е точка на екстремум.

Нека разгледаме една от задачите. Намерете екстремните точки на функцията f (x) \u003d x 4 - 4x 3.

Решение.

1) Намерете производната: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Намерете стационарни точки: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Използвайки метода на интервала, ние установяваме, че производната f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) е положителна за x\u003e 3, отрицателна за x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Тъй като при преминаване през точката x 1 \u003d 0 знакът на производната не се променя, тази точка не е екстремна точка.

5) Производната променя знака "-" на знака "+", когато преминава през точката x 2 \u003d 3. Следователно x 2 \u003d 3 е минималната точка.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

От тази статия читателят ще научи какво е екстремум на функционална стойност, както и за характеристиките на използването му на практика. Изучаването на такава концепция е изключително важно за разбирането на основите на висшата математика. Тази тема е фундаментална за по-задълбочено изучаване на курса.

Във връзка с

Какво е крайност?

В училищния курс са дадени много определения на понятието "екстремум". Тази статия има за цел да даде най-задълбочено и ясно разбиране на термина за тези, които не са запознати с въпроса. И така, терминът се разбира до каква степен функционалният интервал придобива минимална или максимална стойност на определен набор.

Екстремумът е както минималната стойност на функцията, така и максималната едновременно. Има минимална точка и максимална точка, тоест екстремните стойности на аргумента на графиката. Основните науки, в които се използва тази концепция:

статистика;

управление на машината;

иконометрия.

Екстремните точки играят важна роля при определяне на последователността на дадена функция. Координатната система на графиката най-добре показва промяната в крайната позиция в зависимост от промяната във функционалността.

Екстремуми на производната функция

Има и такова нещо като "производно". Необходимо е да се определи екстремната точка. Важно е да не бъркате минималните или максималните точки с най-големите и най-малките стойности. Това са различни концепции, въпреки че може да изглеждат подобни.

Стойността на функцията е основният фактор при определяне как да се намери максималната точка. Производната не се формира от стойностите, а изключително от нейното крайно положение в един или друг ред.

Самата производна се определя въз основа на данните от екстремните точки, а не най-голямата или най-малката стойност. В руските училища границата между тези две понятия не е ясно очертана, което се отразява на разбирането на тази тема като цяло.

Нека сега разгледаме такова нещо като "остър екстремум". Към днешна дата има остра минимална стойност и остра максимална стойност. Дефиницията е дадена в съответствие с руската класификация на критичните точки на функция. Концепцията за точка на екстремум е основата за намиране на критични точки на диаграма.

За дефиниране на такова понятие се използва теоремата на Ферма. Той е най-важен при изучаването на екстремни точки и дава ясна представа за тяхното съществуване под една или друга форма. За да се осигури екстремност, е важно да се създадат определени условия за намаляване или увеличаване на графиката.

За да отговорите точно на въпроса "как да намерите максималната точка", трябва да следвате следните разпоредби:

Намиране на точната област на дефиниция на диаграмата.

Търсене на производна на функция и точка на екстремум.

Решете стандартни неравенства за домейна на аргумента.

Да може да докаже в кои функции дадена точка на графика е дефинирана и непрекъсната.

внимание!Търсенето на критична точка на функция е възможно само ако има производна от поне втори ред, което се осигурява от висок дял на наличието на екстремна точка.

Необходимо условие за екстремума на функцията

За да съществува екстремум, е важно да има както минимални, така и максимални точки. Ако това правило се спазва само частично, тогава условието за съществуване на екстремум е нарушено.

Всяка функция във всяка позиция трябва да бъде диференцирана, за да се идентифицират нейните нови значения. Важно е да се разбере, че случаят, когато една точка изчезва, не е основният принцип за намиране на диференцируема точка.

Острият екстремум, както и минимумът на функцията, е изключително важен аспект при решаването на математически проблем с помощта на екстремни стойности. За да разберете по-добре този компонент, е важно да се обърнете към табличните стойности за присвояване на функционалността.

Пълно изследване на смисъла Начертаване на стойност
1. Определяне на точки на нарастване и понижение на стойностите.
2. Намиране на точки на прекъсване, екстремум и пресичане с координатни оси.

3. Процесът на определяне на промените в позицията на графиката.

4. Определяне на индекса и посоката на изпъкналост и изпъкналост, като се вземе предвид наличието на асимптоти.

5. Създаване на обобщена таблица на изследването по отношение на определяне на неговите координати.

6. Намиране на интервали на нарастване и намаляване на екстремни и остри точки.

7. Определяне на изпъкналостта и вдлъбнатостта на кривата.

8. Изграждането на графика въз основа на изследването ви позволява да намерите минимум или максимум.
Основният елемент, когато е необходимо да се работи с екстремуми, е точното изграждане на неговата графика.
Учителите често не обръщат максимално внимание на такъв важен аспект, което е грубо нарушение на учебния процес.

Графиката се изгражда само въз основа на резултатите от изследването на функционалните данни, дефинирането на остри екстремуми, както и точки на графиката.

Острите екстремуми на производната на функция се показват на диаграма с точни стойности, като се използва стандартната процедура за определяне на асимптоти.

Максималните и минималните точки на функцията са придружени от по-сложно изобразяване. Това се дължи на една по-дълбока необходимост да се разработи проблемът с резкия екстремум.

Също така е необходимо да се намери производната на сложна и проста функция, тъй като това е едно от най-важните понятия в проблема с екстремума.

Функционален екстремум

За да намерите горната стойност, трябва да се придържате към следните правила:

определят необходимото условие за екстремалното съотношение;

вземете предвид достатъчното условие на екстремните точки на графиката;

извършете изчисляването на остър екстремум.

Има и понятия като слаб минимум и силен минимум. Това трябва да се има предвид при определяне на екстремума и точното му изчисляване. В същото време острата функционалност е търсенето и създаването на всички необходими условия за работа с функционалната графика.