Система линейни уравнения от 3-ти ред. Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, методи за решаване, примери. СРЕЩУ. Щипачев, Висша математика, гл.10, с.2
Да разгледаме система от 3 уравнения с три неизвестни
Използвайки детерминанти от трети ред, решението на такава система може да бъде написано в същата форма, както за система от две уравнения, т.е.
(2.4)
ако 0. Тук
то е Правилото на Крамър решаване на система от три линейни уравнения с три неизвестни.
Пример 2.3.Решете система от линейни уравнения, като използвате правилото на Крамър:
Решение . Намиране на детерминантата на основната матрица на системата
Тъй като 0, за да намерите решение на системата, можете да приложите правилото на Крамър, но първо изчислете още три детерминанта:
Преглед:
Следователно решението е намерено правилно.
Правилата на Крамър, получени за линейни системи от 2-ри и 3-ти ред, предполагат, че същите правила могат да бъдат формулирани за линейни системи от всякакъв ред. Наистина се провежда
Теорема на Крамър. Квадратна система от линейни уравнения с ненулев детерминант на основната матрица на системата (0) има едно и само едно решение и това решение се изчислява по формулите
(2.5)
където – основна детерминанта на матрицата, аз – матрична детерминанта, произлизащи от основния, заместващазth колона безплатни членове колона.
Имайте предвид, че ако =0, тогава правилото на Cramer не е приложимо. Това означава, че системата или няма никакви решения, или има безкрайно много решения.
След като формулирахме теоремата на Крамър, естествено възниква въпросът за изчисляване на детерминанти от по-висок ред.
2.4. детерминанти от n-ти ред
Допълнителен минор М ijелемент а ijсе нарича детерминанта, получена от даденото чрез изтриване аз-ти ред и й-та колона. Алгебрично събиране А ijелемент а ijсе нарича минор на този елемент, взет със знака (–1) аз + й, т.е. А ij = (–1) аз + й М ij .
Например, нека намерим второстепенни и алгебрични допълнения на елементи а 23 и а 31 детерминанти
Получаваме
Използвайки понятието алгебрично допълнение, можем да формулираме детерминантната теорема за разширениен-ти ред по ред или колона.
Теорема 2.1. Матрична детерминантаАе равно на сумата от продуктите на всички елементи на някакъв ред (или колона) и техните алгебрични допълнения:
(2.6)
Тази теорема е в основата на един от основните методи за изчисляване на детерминанти, т.нар. метод за намаляване на поръчката. В резултат на разширяването на определителя нти ред във всеки ред или колона, получаваме n детерминанти ( н–1)-ти ред. За да има по-малко такива детерминанти, препоръчително е да изберете реда или колоната, които имат най-много нули. На практика формулата за разширяване на детерминантата обикновено се записва като:
тези. алгебричните допълнения се записват изрично в термините на минори.
Примери 2.4.Изчислете детерминантите, като първо ги разгънете във всеки ред или колона. Обикновено в такива случаи изберете колоната или реда, който има най-много нули. Избраният ред или колона ще бъдат отбелязани със стрелка.
2.5. Основни свойства на детерминантите
Разширявайки детерминантата във всеки ред или колона, получаваме n детерминанти ( н–1)-ти ред. Тогава всяка от тези детерминанти ( н–1)-ти ред също може да се разложи на сума от детерминанти ( н–2) ред. Продължавайки този процес, може да се стигне до детерминантите от 1-ви ред, т.е. към елементите на матрицата, чиято детерминанта се изчислява. И така, за да изчислите детерминантите от 2-ри ред, ще трябва да изчислите сумата от два термина, за детерминантите от 3-ти ред - сумата от 6 термина, за детерминантите от 4-ти ред - 24 термина. Броят на членовете ще се увеличи рязко с увеличаване на реда на детерминантата. Това означава, че изчисляването на детерминанти от много високи порядки се превръща в доста трудоемка задача, която не е по силите дори на компютър. Детерминантите обаче могат да бъдат изчислени по друг начин, като се използват свойствата на детерминантите.
Имот 1 . Детерминантата няма да се промени, ако в нея се разменят редове и колони, т.е. при транспониране на матрица:
.
Това свойство показва равенството на редовете и колоните на детерминантата. С други думи, всяко твърдение за колоните на детерминанта е вярно за неговите редове и обратно.
Имот 2 . Детерминантата променя знака си, когато два реда (колони) се разменят.
Последица . Ако детерминантата има два еднакви реда (колони), тогава тя е равна на нула.
Имот 3 . Общият множител на всички елементи във всеки ред (колона) може да бъде изваден от знака на детерминантата.
Например,
Последица . Ако всички елементи на някакъв ред (колона) на детерминантата са равни на нула, то самата детерминанта е равна на нула.
Имот 4 . Детерминантата няма да се промени, ако елементите на един ред (колона) се добавят към елементите на друг ред (колона), умножени по някакво число.
Например,
Имот 5 . Детерминантата на матричното произведение е равна на произведението на матричните детерминанти:
Практическа работа
"Решаване на системи от линейни уравнения от трети ред по метода на Крамер"
Цели на работата:
разширяване на разбирането за методите за решаване на SLE и разработване на алгоритъма за решаване на SLE по метода на Cramor;
да развие логическото мислене на учениците, способността за намиране на рационално решение на проблема;
да възпитава учениците в точност и култура на писмената математическа реч, когато вземат своето решение.
Основен теоретичен материал.
Методът на Крамер. Приложение за системи от линейни уравнения.
Дадена е система от N линейни алгебрични уравнения (СЛАУ) с неизвестни, чиито коефициенти са елементите на матрицата , а свободните членове са числата
Първият индекс до коефициентите показва в кое уравнение се намира коефициентът, а вторият - при кое от неизвестните се намира. 
Ако детерминантата на матрицата не е равна на нула
тогава системата от линейни алгебрични уравнения има единствено решение. Решението на система от линейни алгебрични уравнения е такъв подреден набор от числа, който превръща всяко от уравненията на системата в правилно равенство. Ако десните страни на всички уравнения на системата са равни на нула, тогава системата от уравнения се нарича хомогенна. В случай, че някои от тях са ненулеви, неравномерни 
Ако система от линейни алгебрични уравнения има поне едно решение, тогава тя се нарича съвместима, в противен случай е несъвместима. Ако решението на системата е единствено, тогава системата от линейни уравнения се нарича определена. В случай, че решението на съвместимата система не е единствено, системата от уравнения се нарича неопределена. Две системи от линейни уравнения се наричат еквивалентни (или еквивалентни), ако всички решения на една система са решения на втората и обратно. Еквивалентни (или еквивалентни) системи се получават чрез еквивалентни трансформации. 
Еквивалентни трансформации на SLAE
1) пренареждане на уравнения;
2) умножение (или деление) на уравнения с различно от нула число;
3) добавяне към някое уравнение на друго уравнение, умножено по произволно различно от нула число.
Решението на SLAE може да се намери по различни начини, например чрез формулите на Cramer (метод на Cramer)
Теорема на Крамър. Ако детерминантата на система от линейни алгебрични уравнения с неизвестни е различна от нула, тогава тази система има уникално решение, което се намира по формулите на Крамер: 
- детерминанти, образувани със замяната на -тата колона, колона от свободни членове.
Ако и поне едно от е различно от нула, тогава SLAE няма решения. Ако 
, тогава SLAE има много решения.
Дадена е система от три линейни уравнения с три неизвестни. Решете системата по метода на Крамер
Решение. 
Намерете детерминантата на матрицата от коефициенти за неизвестни
Тъй като , тогава дадената система от уравнения е последователна и има единствено решение. Нека изчислим детерминантите:
Използвайки формулите на Креймър, намираме неизвестните
Така 
единственото решение на системата.
Дадена е система от четири линейни алгебрични уравнения. Решете системата по метода на Крамер.
Нека намерим детерминантата на матрицата на коефициентите за неизвестните. За да направите това, ние го разширяваме с първия ред.
Намерете компонентите на детерминантата:
Заместете намерените стойности в детерминанта
Детерминантата, следователно, системата от уравнения е последователна и има единствено решение. Изчисляваме детерминантите с помощта на формулите на Cramer:
Критерии за оценяване:
Работата се оценява с "3", ако: една от системите е напълно и правилно решена самостоятелно.
Работата се оценява на "4", ако: всеки две системи са напълно и правилно решени независимо.
Работата се оценява с "5", ако: три системи са напълно и правилно решени самостоятелно.
Методът на Крамър се основава на използването на детерминанти при решаване на системи от линейни уравнения. Това значително ускорява процеса на решение.
Методът на Крамър може да се използва за решаване на система от толкова линейни уравнения, колкото неизвестни има във всяко уравнение. Ако детерминантата на системата не е равна на нула, тогава методът на Крамер може да се използва в решението; ако е равна на нула, тогава не може. В допълнение, методът на Cramer може да се използва за решаване на системи от линейни уравнения, които имат уникално решение.
Определение. Детерминантата, съставена от коефициентите на неизвестните, се нарича детерминанта на системата и се означава с (делта).
Детерминанти
се получават чрез заместване на коефициентите при съответните неизвестни със свободни членове:
;
.
Теорема на Крамър. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата от линейни уравнения има едно единствено решение и неизвестното е равно на отношението на детерминантите. Знаменателят съдържа детерминантата на системата, а числителят съдържа детерминантата, получена от детерминантата на системата чрез заместване на коефициентите с неизвестните със свободни членове. Тази теорема е валидна за система от линейни уравнения от произволен ред.
Пример 1Решете системата от линейни уравнения:
Според Теорема на Крамърние имаме:
И така, решението на система (2):
онлайн калкулатор, метод на решение на Cramer.
Три случая при решаване на системи от линейни уравнения
Както се вижда от Теореми на Крамър, при решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат три случая:
Първи случай: системата от линейни уравнения има единствено решение
(системата е последователна и категорична)
Втори случай: системата от линейни уравнения има безкраен брой решения
(системата е последователна и неопределена)
** 
,
тези. коефициентите на неизвестните и свободните членове са пропорционални.
Трети случай: системата от линейни уравнения няма решения
(непоследователна система)
Така че системата млинейни уравнения с нпроменливи се нарича несъвместимиако няма решения и ставаако има поне едно решение. Съвместна система от уравнения, която има само едно решение, се нарича определени, и повече от един несигурен.
Примери за решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер
Нека системата
.
Въз основа на теоремата на Крамър
………….
,
където 
-
системен идентификатор. Останалите детерминанти се получават чрез замяна на колоната с коефициентите на съответната променлива (неизвестна) със свободни членове:
Пример 2
.
Следователно системата е категорична. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите
По формулите на Крамер намираме:
И така, (1; 0; -1) е единственото решение на системата.
За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, методът за решаване на Cramer.
Ако в системата от линейни уравнения няма променливи в едно или повече уравнения, то в детерминантата съответните им елементи са равни на нула! Това е следващият пример.
Пример 3Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:
.
Решение. Намираме детерминантата на системата:
Разгледайте внимателно системата от уравнения и детерминантата на системата и повторете отговора на въпроса в кои случаи един или повече елементи от детерминантата са равни на нула. И така, детерминантата не е равна на нула, следователно системата е определена. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите за неизвестните
По формулите на Крамер намираме:
И така, решението на системата е (2; -1; 1).
За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, методът за решаване на Cramer.
Най-горе на страницата
Продължаваме заедно да решаваме системи, използвайки метода на Крамер
Както вече споменахме, ако детерминантата на системата е равна на нула, а детерминантите за неизвестните не са равни на нула, системата е непоследователна, тоест няма решения. Нека илюстрираме със следния пример.
Пример 6Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:
Решение. Намираме детерминантата на системата:
Детерминантата на системата е равна на нула, следователно системата от линейни уравнения е или непоследователна и определена, или непоследователна, т.е. няма решения. За да изясним, изчисляваме детерминантите за неизвестните
Детерминантите за неизвестните не са равни на нула, следователно системата е непоследователна, тоест няма решения.
За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатора, методът за решаване на Cramer.
В задачи върху системи от линейни уравнения има и такива, в които освен буквите, обозначаващи променливи, има и други букви. Тези букви означават някакво число, най-често реално число. На практика такива уравнения и системи от уравнения водят до проблеми за намиране на общите свойства на всякакви явления и обекти. Тоест вие сте изобретили някакъв нов материал или устройство и за да опишете неговите свойства, които са общи, независимо от размера или броя на копията, трябва да решите система от линейни уравнения, където вместо някои коефициенти за променливи има букви. Не е нужно да търсите далеч за примери.
Следващият пример е за подобен проблем, само че броят на уравненията, променливите и буквите, обозначаващи някакво реално число, се увеличава.
Пример 8Решете системата от линейни уравнения по метода на Крамер:
Решение. Намираме детерминантата на системата:
Намиране на детерминанти за неизвестни
КОЛОН КОСТРОМА НА ВОЕННИЯ УНИВЕРСИТЕТ ПО ЗАЩИТА НА RCHB
Катедра "Автоматизация на управлението"
Само за учители
"Аз одобрявам"
Началник отделение No9
Полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
"____" ______________ 2004 г
Доцент А. И. Смирнова
„ОПРЕДЕЛЯТЕЛИ.
РЕШЕНИЕ НА СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ"
ЛЕКЦИЯ № 2 / 1
Обсъдено на заседанието на катедра №9
"____" ___________ 2004 г
Протокол № ___________
Кострома, 2004 г.
Въведение
1. Детерминанти от втори и трети ред.
2. Свойства на детерминантите. Теорема за разлагане.
3. Теорема на Крамър.
Заключение
Литература
1. В.Е. Шнайдер и др., Кратък курс по висша математика, том I, гл. 2, т.1.
2. В.С. Щипачев, Висша математика, гл.10, с.2.
ВЪВЕДЕНИЕ
В лекцията се разглеждат детерминанти от втори и трети ред, техните свойства. Както и теоремата на Крамер, която позволява решаване на системи от линейни уравнения с помощта на детерминанти. Детерминантите се използват и по-късно в темата "Векторна алгебра", когато се изчислява кръстосаното произведение на вектори.
1-ви учебен въпрос КВАЛИФИКАТОРИ НА ВТОРИ И ТРЕТИ
ПОРЪЧКА
Помислете за таблица с четири числа на формуляра
Числата в таблицата са означени с буква с два индекса. Първият индекс показва номера на реда, вторият индекс показва номера на колоната.
ДЕФИНИЦИЯ 1.Детерминанта от втори ред Нареченизразяванемил:
(1)Числа а 11, …, а 22 се наричат елементи на определителя.
Диагонал, образуван от елементи а 11 ; а 22 се нарича основен, а диагоналът, образуван от елементите а 12 ; а 21 - отстрани.
По този начин детерминантът от втори ред е равен на разликата между продуктите на елементите на главния и второстепенния диагонал.
Имайте предвид, че отговорът е число.
ПРИМЕРИ.Изчисли:
Помислете сега за таблица с девет числа, записани в три реда и три колони:
ДЕФИНИЦИЯ 2. Детерминанта от трети ред се нарича израз на формата:
Елементи а 11; а 22 ; а 33 - образуват главния диагонал.
Числа а 13; а 22 ; а 31 - образуват страничен диагонал.
Нека изобразим схематично как се образуват членовете с плюс и минус:
" + " " – "Плюсът включва: произведението на елементите по главния диагонал, другите два термина са произведението на елементите, разположени във върховете на триъгълници с основи, успоредни на главния диагонал.
Членовете с минус се образуват по същия начин по отношение на вторичния диагонал.
Това правило за изчисляване на детерминанта от трети ред се нарича
точно
ПРИМЕРИ.Изчислете по правилото на триъгълниците:
КОМЕНТИРАЙТЕ. Детерминантите се наричат още детерминанти.
2-ри учебен въпрос СВОЙСТВА НА ДЕТЕРМИНАТОРИТЕ.
ТЕОРЕМА ЗА РАЗШИРЯВАНЕ
Имот 1. Стойността на детерминантата няма да се промени, ако нейните редове се сменят със съответните колони.
.Разширявайки и двете детерминанти, ние се убеждаваме в валидността на равенството.
Свойство 1 задава равенството на редовете и колоните на детерминантата. Следователно всички допълнителни свойства на детерминантата ще бъдат формулирани както за редове, така и за колони.
Имот 2. Когато два реда (или колони) се разменят, детерминантата променя знака на противоположния, запазвайки абсолютната стойност.
.Имот 3. Общ множител на елементи на ред(или колона)могат да бъдат извадени от знака на определителя.
.Имот 4. Ако детерминантата има два еднакви реда (или колони), тогава тя е равна на нула.
Това свойство може да се докаже чрез директна проверка или може да се използва свойство 2.
Означим детерминантата с D. При размяна на два еднакви първи и втори ред тя няма да се промени, а по второто свойство трябва да смени знака, т.е.
D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.
Имот 5. Ако всички елементи на някакъв низ(или колона)са нула, тогава детерминантата е нула.
Този имот може да се разглежда като частен случай на имот 3 с
Имот 6. Ако елементите от два реда(или колони)детерминантата е пропорционална, тогава детерминантата е нула.
.Може да се докаже чрез директна проверка или чрез използване на свойства 3 и 4.
Имот 7. Стойността на детерминантата не се променя, ако елементите на който и да е ред (или колона) се добавят към съответните елементи на друг ред (или колона), умножени по същото число.
.Доказва се чрез пряка проверка.
Използването на тези свойства може в някои случаи да улесни процеса на изчисляване на детерминанти, особено от трети ред.
За това, което следва, имаме нужда от понятията минор и алгебрично допълнение. Разгледайте тези понятия, за да дефинирате третия ред.
ДЕФИНИЦИЯ 3. Незначителен на даден елемент от детерминанта от трети ред се нарича детерминанта от втори ред, получена от даден чрез изтриване на реда и колоната, в пресечната точка на които стои дадения елемент.
Минорен елемент аазйозначено Мазй. Така че за елемент а 11 второстепенни
Получава се чрез изтриване на първия ред и първата колона в детерминанта от трети ред.
ДЕФИНИЦИЯ 4. Алгебрично допълнение на детерминантния елемент наречете го второстепенно, умножено по(-1)к, къдеток- сумата от номерата на редовете и колоните, в пресечната точка на които се намира дадения елемент.
Събиране на алгебричен елемент аазйозначено НОазй.
По този начин, НОазй =
.Нека напишем алгебричните допълнения за елементите а 11 и а 12.
. .Полезно е да запомните правилото: алгебричното допълнение на елемент от детерминанта е равно на неговия минор със знак плюс, ако сумата от номерата на редовете и колоните, в които се намира елементът, дори,и със знак минусако тази сума странно.
ПРИМЕР.Намерете второстепенни и алгебрични допълнения за елементи от първия ред на детерминанта:
Ясно е, че минори и алгебрични добавки могат да се различават само по знак.
Нека разгледаме без доказателство една важна теорема - детерминантната теорема за разширение.
ТЕОРЕМА ЗА РАЗШИРЯВАНЕ
Детерминантата е равна на сумата от произведенията на елементите на всеки ред или колона и техните алгебрични допълнения.
Използвайки тази теорема, ние записваме разширението на детерминанта от трети ред в първия ред.
.Разширено:
.Последната формула може да се използва като основна при изчисляване на детерминанта от трети ред.
Теоремата за разлагане ни позволява да намалим изчисляването на детерминанта от трети ред до изчисляването на три детерминанти от втори ред.
Теоремата за разлагане дава втори начин за изчисляване на детерминанти от трети ред.
ПРИМЕРИ.Изчислете детерминантата, като използвате теоремата за разлагане.
Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) несъмнено е най-важната тема в курса по линейна алгебра. Огромен брой задачи от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за създаването на тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете
- изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
- изучаване на теорията на избрания метод,
- решите вашата система от линейни уравнения, като разгледате подробно решенията на типични примери и задачи.
Кратко описание на материала на статията.
Първо даваме всички необходими дефиниции, концепции и въвеждаме някои обозначения.
След това разглеждаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, нека се съсредоточим върху метода на Крамер, второ, ще покажем матричния метод за решаване на такива системи от уравнения и трето, ще анализираме метода на Гаус (методът на последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.
След това се обръщаме към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е изродена. Ние формулираме теоремата на Kronecker-Capelli, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (в случай на тяхната съвместимост), използвайки концепцията за базисния минор на матрицата. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.
Не забравяйте да се спрете на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как общото решение на SLAE се записва с помощта на векторите на фундаменталната система от решения. За по-добро разбиране нека разгледаме няколко примера.
В заключение разглеждаме системи от уравнения, които се свеждат до линейни, както и различни задачи, при чието решаване възникват SLAE.
Навигация в страницата.
Дефиниции, понятия, обозначения.
Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да е равно на n) от вида
Неизвестни променливи, - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - свободни членове (също реални или комплексни числа).
Тази форма на SLAE се нарича координирам.
AT матрична форматази система от уравнения има формата,
където 
- основната матрица на системата, - колоната на матрицата на неизвестните променливи, - колоната на матрицата на свободните членове.
Ако към матрицата А добавим като (n + 1)-та колона матрицата-стълб от свободни членове, то получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни членове е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е. 
Чрез решаване на система от линейни алгебрични уравнениянаречен набор от стойности на неизвестни променливи, който превръща всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за дадените стойности на неизвестните променливи също се превръща в идентичност.
Ако система от уравнения има поне едно решение, тогава тя се нарича става.
Ако системата от уравнения няма решения, тогава тя се нарича несъвместими.
Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени; ако има повече от едно решение, тогава - несигурен.
Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула 
, тогава системата се извиква хомогенен, в противен случай - разнородни.
Решаване на елементарни системи линейни алгебрични уравнения.
Ако броят на системните уравнения е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната му матрица не е равна на нула, тогава ще наречем такива SLAE елементарен. Такива системи от уравнения имат уникално решение и в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.
Започнахме да изучаваме такъв SLAE в гимназията. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на добавяне, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме подробно на тези методи, тъй като по същество те са модификации на метода на Гаус.
Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, матричният метод и методът на Гаус. Нека ги подредим.
Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.
Нека трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения 
в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.
Нека е детерминантата на основната матрица на системата и 
са детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, …, n-тиколона съответно към колоната безплатни членове: 
С такава нотация неизвестните променливи се изчисляват по формулите на метода на Cramer като 
. Така се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.
Пример.
Метод на Крамер 
.
Решение.
Основната матрица на системата има формата 
. Изчислете неговия детерминант (ако е необходимо, вижте статията): 
Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамер.
Съставете и изчислете необходимите детерминанти 
(детерминантата се получава чрез заместване на първата колона в матрица А с колона от свободни членове, детерминантата - чрез заместване на втората колона с колона от свободни членове, - чрез заместване на третата колона на матрица А с колона от свободни членове ): 
Намиране на неизвестни променливи с помощта на формули 
:
Отговор:
Основният недостатък на метода на Крамър (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляване на детерминантите, когато броят на системните уравнения е повече от три.
Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричен метод (с помощта на обратната матрица).
Нека системата от линейни алгебрични уравнения е дадена в матрична форма, където матрицата A има размерност n на n и нейният детерминант е различен от нула.
Тъй като , тогава матрицата A е обратима, т.е. има обратна матрица . Ако умножим двете части на равенството по отляво, тогава получаваме формула за намиране на матрицата на колоната на неизвестни променливи. Така че получихме решението на системата от линейни алгебрични уравнения по матричния метод.
Пример.
Решаване на система от линейни уравнения матричен метод.
Решение.
Нека пренапишем системата от уравнения в матрична форма: 
защото
тогава SLAE може да се реши по матричния метод. Използвайки обратната матрица, решението на тази система може да се намери като 
.
Нека изградим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични допълнения на елементите на матрица A (ако е необходимо, вижте статията): 
Остава да се изчисли - матрицата на неизвестните променливи чрез умножаване на обратната матрица 
в колоната на матрицата на безплатните членове (ако е необходимо, вижте статията): 
Отговор:
или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Основният проблем при намирането на решения на системи от линейни алгебрични уравнения чрез матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици с порядък по-висок от третия.
Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус.
Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи 
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.
Същността на метода на Гауссе състои в последователно изключване на неизвестни променливи: първо x 1 се изключва от всички уравнения на системата, като се започне от второто, след това x 2 се изключи от всички уравнения, като се започне от третото и така нататък, докато само неизвестната променлива x n остава в последното уравнение. Такъв процес на трансформиране на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на напредването на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, x n-1 се изчислява от предпоследното уравнение, като се използва тази стойност, и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратен метод на Гаус.
Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.
Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Изключваме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по към второто уравнение на системата, добавете първото умножено по към третото уравнение и така нататък, добавете първото умножено по към n-то уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата 
къде 
.
Ще стигнем до същия резултат, ако изразим x 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и заместим получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.
След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата 
За да направите това, добавете второто, умножено по, към третото уравнение на системата, добавете второто, умножено по, към четвъртото уравнение и така нататък, добавете второто, умножено по, към n-тото уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата 
къде 
. Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.
След това пристъпваме към елиминирането на неизвестното x 3, като действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата 
Така че продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата 
От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение.
Пример.
Решаване на система от линейни уравнения Метод на Гаус.
Решение.
Нека изключим неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направим това, към двете части на второто и третото уравнение добавяме съответните части на първото уравнение, умножени съответно по и по: 
Сега изключваме x 2 от третото уравнение, като добавяме към лявата и дясната му части лявата и дясната част на второто уравнение, умножени по: 
С това предният ход на метода на Гаус е завършен, започваме обратния ход.
От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3: 
От второто уравнение получаваме.
От първото уравнение намираме останалата неизвестна променлива и това завършва обратния ход на метода на Гаус.
Отговор:
X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.
Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.
В общия случай броят на уравненията на системата p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:
Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение се отнася и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и изродена.
Теорема на Кронекер-Капели.
Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога е несъвместим, дава Теорема на Кронекер–Капели:
за система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n), за да бъде последователна, е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да е равен на ранга на разширената матрица, т.е. Rank( A)=Ранг(T) .
Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер-Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.
Пример.
Разберете дали системата от линейни уравнения има 
решения.
Решение.
. Нека използваме метода на граничещи непълнолетни. Минор от втори ред 
различен от нула. Нека да разгледаме непълнолетните от трети ред около него: 
Тъй като всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, рангът на основната матрица е две.
От своя страна, рангът на увеличената матрица 
е равно на три, тъй като минорът от трети ред 
различен от нула.
По този начин, Следователно Rang(A) , съгласно теоремата на Кронекер-Капели, можем да заключим, че оригиналната система от линейни уравнения е непоследователна.
Отговор:
Няма система за решение.
И така, ние се научихме да установяваме непоследователността на системата, използвайки теоремата на Кронекер-Капели.
Но как да намерим решението на SLAE, ако неговата съвместимост е установена?
За да направим това, имаме нужда от концепцията за базисния минор на матрица и теоремата за ранга на матрица.
Извиква се минор от най-висок порядък на матрицата A, различен от нула основен.
От дефиницията на базисния минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко базисни минора; винаги има един основен минор.
Например, помислете за матрицата 
.
Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.
Следните минори от втори ред са основни, тъй като са различни от нула 
Непълнолетни 
не са основни, тъй като са равни на нула.
Теорема за ранга на матрицата.
Ако рангът на матрица от ред p по n е r, тогава всички елементи на редовете (и колоните) на матрицата, които не образуват избрания основен минор, се изразяват линейно чрез съответните елементи на редовете (и колоните) ), които формират основния минор.
Какво ни дава теоремата за ранга на матрицата?
Ако чрез теоремата на Кронекер-Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме всеки основен минор от главната матрица на системата (нейният ред е равен на r) и изключваме от системата всички уравнения, които не образуват избрания основен минор. Полученият по този начин SLAE ще бъде еквивалентен на оригиналния, тъй като отхвърлените уравнения все още са излишни (според теоремата за матричния ранг те са линейна комбинация от останалите уравнения).
В резултат на това, след отхвърляне на излишните уравнения на системата, са възможни два случая.
Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава тя ще бъде определена и единственото решение може да бъде намерено чрез метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.
Пример.
.
Решение.
Ранг на основната матрица на системата 
е равно на две, тъй като минорът от втори ред 
различен от нула. Разширен матричен ранг 
също е равно на две, тъй като единственият минор от третия ред е равен на нула 
и минорът от втория ред, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Kronecker-Capelli може да се твърди съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като Rank(A)=Rank(T)=2.
Като основен минор приемаме . Образува се от коефициентите на първото и второто уравнения: 
Третото уравнение на системата не участва във формирането на основния минор, така че го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранга на матрицата: 
Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим по метода на Крамър: 
Отговор:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Ако броят на уравненията r в резултантния SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава оставяме членовете, които формират основния минор в левите части на уравненията, и прехвърляме останалите членове в десните части на уравненията на системата с обратен знак.
Неизвестните променливи (има r от тях), останали в лявата страна на уравненията, се наричат основен.
Извикват се неизвестни променливи (има n - r от тях), които са се оказали от дясната страна Безплатно.
Сега приемаме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности, докато r главните неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободните неизвестни променливи по уникален начин. Техният израз може да бъде намерен чрез решаване на получената SLAE по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.
Да вземем пример.
Пример.
Решаване на система от линейни алгебрични уравнения 
.
Решение.
Намерете ранга на основната матрица на системата 
по метода на граничещите непълнолетни. Нека вземем 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред около този минор: 
Така че намерихме ненулев минор от втори порядък. Нека започнем да търсим ненулев граничен минор от трети ред: 
По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на разширената матрица също е равен на три, т.е. системата е последователна.
Намереният ненулев минор от трети ред ще бъде взет като основен.
За по-голяма яснота показваме елементите, които формират основния минор: 
Членовете, участващи в основния минор, оставяме от лявата страна на уравненията на системата, а останалите с противоположни знаци прехвърляме в десните страни: 
Даваме безплатни неизвестни променливи x 2 и x 5 произволни стойности, тоест вземаме 
, където са произволни числа. В този случай SLAE приема формата 
Решаваме получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер: 
Следователно,.
В отговора не забравяйте да посочите безплатни неизвестни променливи.
Отговор:
Къде са произволните числа.
Обобщете.
За да решим система от линейни алгебрични уравнения от общ вид, първо намираме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер-Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е непоследователна.
Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава избираме основния минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания основен минор.
Ако редът на базисния минор е равен на броя на неизвестните променливи, тогава SLAE има уникално решение, което може да бъде намерено по всеки познат ни метод.
Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава оставяме членовете с основните неизвестни променливи от лявата страна на уравненията на системата, прехвърляме останалите членове в десните страни и присвояваме произволни стойности към свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.
Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.
С помощта на метода на Гаус могат да се решават системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид без тяхното предварително изследване за съвместимост. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъответствието на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.
От гледна точка на изчислителната работа методът на Гаус е за предпочитане.
Вижте подробното му описание и анализирани примери в статията Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.
Записване на общото решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на векторите на основната система от решения.
В този раздел ще се съсредоточим върху съвместни хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения, които имат безкраен брой решения.
Нека първо да разгледаме хомогенните системи.
Фундаментална система за вземане на решенияХомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е набор от (n – r) линейно независими решения на тази система, където r е редът на базисния минор на основната матрица на системата.
Ако обозначим линейно независими решения на хомогенен SLAE като X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) са колони на матрици с размерност n чрез 1 ) , тогава общото решение на тази хомогенна система се представя като линейна комбинация от вектори на фундаменталната система от решения с произволни постоянни коефициенти С 1 , С 2 , …, С (n-r), т.е.
Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (орослау)?
Значението е просто: формулата дефинира всички възможни решения на оригиналния SLAE, с други думи, като се вземе всеки набор от стойности на произволни константи C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , съгласно формулата, която ние ще получи едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.
По този начин, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да зададем всички решения на тази хомогенна SLAE като .
Нека покажем процеса на конструиране на фундаментална система от решения за хомогенна SLAE.
Избираме основния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме към дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи. Нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 1,0,0,…,0 и да изчислим основните неизвестни чрез решаване на получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например по метода на Крамер. Така ще се получи X (1) – първото решение на фундаменталната система. Ако дадем на свободните неизвестни стойностите 0,1,0,0,…,0 и изчислим основните неизвестни, тогава получаваме X (2) . И така нататък. Ако дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 0,0,…,0,1 и изчислим основните неизвестни, тогава получаваме X (n-r) . Така ще бъде построена фундаменталната система от решения на хомогенната СЛАУ и нейното общо решение може да се запише във вида .
За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения общото решение се представя като
Нека да разгледаме примерите.
Пример.
Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения 
.
Решение.
Рангът на основната матрица на хомогенните системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на главната матрица по метода на периферните второстепенни. Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Намерете граничния ненулев минор от втори ред: 
Намира се минор от втори порядък, различен от нула. Нека да преминем през минори от трети ред, граничещи с него, в търсене на различен от нула: 
Всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрица е две. Нека вземем основния минор. За по-голяма яснота отбелязваме елементите на системата, които я формират: 
Третото уравнение на оригиналния SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено: 
Оставяме членовете, съдържащи основните неизвестни от дясната страна на уравненията, и прехвърляме членовете със свободни неизвестни в дясната страна:
Нека изградим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Фундаменталната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи, а редът на основния минор е два. За да намерим X (1), даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения 
.
Нека го решим по метода на Крамър: 
По този начин, .
Сега нека изградим X (2) . За да направим това, даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 \u003d 0, x 4 \u003d 1, след което намираме основните неизвестни от системата от линейни уравнения 
.
Нека отново използваме метода на Cramer: 
Получаваме .
Така че имаме два вектора на фундаменталната система от решения и сега можем да запишем общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения: 
, където C 1 и C 2 са произволни числа., са равни на нула. Ние също приемаме второстепенното като основно, изключваме третото уравнение от системата и прехвърляме членовете със свободни неизвестни в дясната страна на уравненията на системата: 
За да намерим, даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 \u003d 0 и x 4 \u003d 0, след което системата от уравнения приема формата 
, от който намираме основните неизвестни променливи, използвайки метода на Cramer: 
Ние имаме 
, следователно, 
където C 1 и C 2 са произволни числа.
Трябва да се отбележи, че решенията на неопределена хомогенна система от линейни алгебрични уравнения генерират линейно пространство Решение.
Каноничното уравнение на елипсоид в правоъгълна декартова координатна система има формата 
. Нашата задача е да определим параметрите a, b и c. Тъй като елипсоидът минава през точки A, B и C, тогава при заместване на техните координати в каноничното уравнение на елипсоида, той трябва да се превърне в идентичност. Така получаваме система от три уравнения: 
Обозначете 
, тогава системата става система от линейни алгебрични уравнения 
.
Нека изчислим детерминантата на основната матрица на системата: 
Тъй като не е нула, можем да намерим решението по метода на Крамър:
). Очевидно x = 0 и x = 1 са корените на този полином. частно от деление 
на 
е . Така имаме разлагане и оригиналният израз ще приеме формата 
.
Нека използваме метода на неопределените коефициенти. 
Приравнявайки съответните коефициенти на числителите, стигаме до система от линейни алгебрични уравнения 
. Неговото решение ще ни даде желаните неопределени коефициенти A, B, C и D.
Решаваме системата по метода на Гаус: 
В обратния ход на метода на Гаус намираме D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.
Получаваме 
Отговор:
.
