Определете разстоянието от равнината до началото. Разстояние от точка до равнина: определение и примери за намиране. Разстояние от точка до равнина - теория, примери, решения

В тази статия ще дефинираме разстоянието от точка до равнина и ще анализираме метода на координатите, който ви позволява да намерите разстоянието от дадена точка до дадена равнина в триизмерното пространство. След представянето на теорията ще анализираме подробно решенията на няколко типични примера и задачи.

Навигация в страницата.

Разстоянието от точка до равнина е определение.

Разстоянието от точка до равнина се определя чрез , едната от които е дадена точка, а другата е проекцията на дадена точка върху дадена равнина.

Нека в тримерното пространство са дадени точка M 1 и равнина. Нека начертаем права a през точката M 1, перпендикулярна на равнината. Нека означим пресечната точка на правата a и равнината като H 1 . Отсечката M 1 H 1 се нарича перпендикулярен, спусната от точката M 1 до равнината , а точката H 1 - основата на перпендикуляра.

Определение.

е разстоянието от дадена точка до основата на перпендикуляр, прекаран от дадена точка към дадена равнина.

Дефиницията на разстоянието от точка до равнина е по-често срещана в следната форма.

Определение.

Разстояние от точка до равнинае дължината на перпендикуляра, пуснат от дадена точка към дадена равнина.

Трябва да се отбележи, че така определеното разстояние от точка M 1 до равнината е най-малкото от разстоянията от дадената точка M 1 до всяка точка от равнината. Наистина, нека точката H 2 лежи в равнината и е различна от точката H 1 . Очевидно триъгълникът M 2 H 1 H 2 е правоъгълен, в него M 1 H 1 е крак, а M 1 H 2 е хипотенузата, следователно, . Между другото, сегментът M 1 H 2 се нарича косоначертан от точка M 1 към равнината. И така, перпендикулярът, пуснат от дадена точка към дадена равнина, винаги е по-малък от наклонения, изтеглен от същата точка към дадена равнина.

Разстояние от точка до равнина - теория, примери, решения.

Някои геометрични задачи на някакъв етап от решението изискват намиране на разстоянието от точка до равнина. Методът за това се избира в зависимост от изходните данни. Обикновено резултатът е използването или на Питагоровата теорема, или на знаците за равенство и сходство на триъгълници. Ако трябва да намерите разстоянието от точка до равнина, които са дадени в триизмерното пространство, тогава координатният метод идва на помощ. В този параграф на статията ние просто ще го анализираме.

Първо, формулираме условието на проблема.

В правоъгълна координатна система Oxyz в тримерно пространство е дадена точка , равнина и се изисква да се намери разстоянието от точката M 1 до равнината.

Нека да разгледаме два начина за решаване на този проблем. Първият метод, който ви позволява да изчислите разстоянието от точка до равнина, се основава на намирането на координатите на точката H 1 - основата на перпендикуляра, паднал от точката M 1 към равнината, и след това изчисляване на разстоянието между точките M 1 и H 1 . Вторият начин за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена равнина включва използването на нормалното уравнение за дадена равнина.

Първият начин за изчисляване на разстоянието от точка до самолета.

Нека H 1 е основата на перпендикуляра, прекаран от точката M 1 към равнината. Ако определим координатите на точката H 1, тогава необходимото разстояние от точката M 1 до равнината може да се изчисли като разстоянието между точките и според формулата. Така остава да се намерят координатите на точката H 1 .

Така, алгоритъм за намиране на разстояние от точка до самолетаследващия:

Вторият метод, подходящ за намиране на разстоянието от точка до самолета.

Тъй като ни е дадена равнина в правоъгълната координатна система Oxyz, можем да получим нормалното уравнение на равнината във формата. След това разстоянието от точката към равнината се изчислява по формулата . Валидността на тази формула за намиране на разстоянието от точка до равнина се установява от следната теорема.

Теорема.

Нека правоъгълна координатна система Oxyz е фиксирана в тримерното пространство, точка и нормалното уравнение на равнината от формата . Разстоянието от точката M 1 до равнината е равно на абсолютната стойност на стойността на израза от лявата страна на нормалното уравнение на равнината, изчислена при , т.е.

Доказателство.

Доказателството на тази теорема е абсолютно подобно на доказателството на подобна теорема, дадено в раздела Намиране на разстоянието от точка до права.

Лесно е да се покаже, че разстоянието от точката M 1 до равнината е равно на модула на разликата между числената проекция M 1 и разстоянието от началото до равнината, т.е. , където - нормален вектор на равнината, е равен на едно, - към посоката, определена от вектора.

и по дефиниция е , но в координатна форма . Следователно и както се изисква за доказване.

По този начин, разстояние от точката към равнината може да се изчисли чрез заместване на координатите x 1 , y 1 и z 1 на точката M 1 вместо x, y и z в лявата страна на нормалното уравнение на равнината и вземане на абсолютната стойност на получената стойност .

Примери за намиране на разстояние от точка до самолета.

Пример.

Намерете разстоянието от точката до самолета.

Решение.

Първи начин.

В условието на задачата ни е дадено общо уравнение на равнината от вида , от което се вижда, че е нормалният вектор на тази равнина. Този вектор може да се приеме за насочващ вектор на правата a, перпендикулярна на дадената равнина. Тогава можем да напишем каноничните уравнения на права линия в пространството, която минава през точката и има посока вектор с координати, те изглеждат като.

Нека започнем да намираме координатите на пресечната точка на линията и самолети. Нека го обозначим с H1. За да направим това, първо извършваме прехода от каноничните уравнения на правата към уравненията на две пресичащи се равнини:

Сега нека решим системата от уравнения (ако е необходимо, вижте статията). Ние използваме:

По този начин, .

Остава да изчислим необходимото разстояние от дадена точка до дадена равнина като разстояние между точките и :
.

Второто решение.

Нека получим нормалното уравнение на дадената равнина. За да направим това, трябва да приведем общото уравнение на равнината в нормална форма. След определяне на нормализиращия фактор , получаваме нормалното уравнение на равнината . Остава да се изчисли стойността на лявата страна на полученото уравнение за и вземете модула на получената стойност - това ще даде желаното разстояние от точката да самолет:

Тази статия говори за определяне на разстоянието от точка до равнина. нека анализираме метода на координатите, който ще ни позволи да намерим разстоянието от дадена точка в триизмерното пространство. За да консолидирате, разгледайте примери за няколко задачи.

Разстоянието от точка до равнина се намира с помощта на известно разстояние от точка до точка, като едното от тях е дадено, а другото е проекция върху дадена равнина.

Когато в пространството е дадена точка M 1 с равнина χ, тогава през точката може да се начертае права линия, перпендикулярна на равнината. H 1 е обща точка на тяхното пресичане. От тук получаваме, че отсечката M 1 H 1 е перпендикуляр, който е начертан от точката M 1 към равнината χ, където точката H 1 е основата на перпендикуляра.

Определение 1

Те наричат ​​разстоянието от дадена точка до основата на перпендикуляра, който е прекаран от дадена точка към дадена равнина.

Дефиницията може да бъде написана в различни формулировки.

Определение 2

Разстояние от точка до равнинанарича дължината на перпендикуляра, който е изчертан от дадена точка към дадена равнина.

Разстоянието от точката M 1 до равнината χ се определя, както следва: разстоянието от точката M 1 до равнината χ ще бъде най-малкото от дадена точка до всяка точка в равнината. Ако точката H 2 се намира в равнината χ и не е равна на точката H 2, тогава получаваме правоъгълен триъгълник под формата M 2 H 1 H 2 , който е правоъгълен, където има крак M 2 H 1, M 2 H 2 - хипотенуза. Следователно, това означава, че M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 се счита за наклонена, която се изтегля от точката M 1 към равнината χ. Имаме, че перпендикулярът, прекаран от дадена точка към равнина, е по-малък от наклонения, прекаран от точка към дадена равнина. Разгледайте този случай на фигурата по-долу.

Разстояние от точка до равнина - теория, примери, решения

Има редица геометрични задачи, чиито решения трябва да съдържат разстоянието от точка до равнина. Начините за откриване на това може да са различни. За да разрешите, използвайте Питагоровата теорема или подобието на триъгълници. Когато според условието е необходимо да се изчисли разстоянието от точка до равнина, дадена в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство, те решават с помощта на метода на координатите. Този параграф се занимава с този метод.

Според условието на задачата имаме, че е дадена точка в тримерното пространство с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) с равнината χ, необходимо е да се определи разстоянието от M 1 до равнината χ. За решаване се използват няколко решения.

Първи начин

Този метод се основава на намиране на разстоянието от точка до равнина с помощта на координатите на точката H 1, които са основата на перпендикуляра от точката M 1 към равнината χ. След това трябва да изчислите разстоянието между M 1 и H 1.

За решаване на задачата по втория начин се използва нормалното уравнение на дадена равнина.

Втори начин

По условие имаме, че H 1 е основата на перпендикуляра, който е спуснат от точката M 1 към равнината χ. След това определяме координатите (x 2, y 2, z 2) на точката H 1. Желаното разстояние от M 1 до равнината χ се намира по формулата M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, където M 1 (x 1, y 1, z 1) и H 1 (x 2, y 2, z 2). За да решите, трябва да знаете координатите на точката H 1.

Имаме, че H 1 е пресечната точка на равнината χ с правата a, която минава през точката M 1, разположена перпендикулярно на равнината χ. От това следва, че е необходимо да се формулира уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена равнина. Тогава можем да определим координатите на точката H 1 . Необходимо е да се изчислят координатите на пресечната точка на правата и равнината.

Алгоритъм за намиране на разстоянието от точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) до равнината χ:

Определение 3

• съставете уравнението на права a, минаваща през точката M 1 и в същото време
• перпендикулярна на равнината χ;
• намерете и изчислете координатите (x 2, y 2, z 2) на точката H 1, които са точки
• пресечна точка на правата a с равнината χ ;
• изчислете разстоянието от M 1 до χ, като използвате формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Трети начин

В дадена правоъгълна координатна система O x y z има равнина χ, тогава получаваме нормално уравнение на равнината от вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . От тук получаваме, че разстоянието M 1 H 1 с точката M 1 (x 1 , y 1 , z 1), начертано към равнината χ, изчислено по формулата M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Тази формула е валидна, тъй като е установена благодарение на теоремата.

Теорема

Ако точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) е дадена в триизмерно пространство, имаща нормално уравнение на равнината χ под формата на cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, след това изчисляването на разстоянието от точката до равнината M 1 H 1 се извлича от формулата M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, тъй като x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Доказателство

Доказателството на теоремата се свежда до намиране на разстоянието от точка до права. От тук получаваме, че разстоянието от M 1 до равнината χ е модулът на разликата между числената проекция на радиус вектора M 1 с разстоянието от началото до равнината χ. Тогава получаваме израза M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Нормалният вектор на равнината χ има формата n → = cos α , cos β , cos γ , а дължината му е равна на единица, n p n → O M → е числената проекция на вектора O M → = (x 1 , y 1 , z 1) в посоката, определена от вектора n → .

Нека приложим формулата за изчисляване на скаларни вектори. Тогава получаваме израз за намиране на вектор от вида n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → , тъй като n → = cos α , cos β , cos γ z и O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Координатната форма на нотацията ще приеме формата n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, тогава M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Теоремата е доказана.

От тук получаваме, че разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1, z 1) до равнината χ се изчислява чрез заместване в лявата страна на нормалното уравнение на равнината cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 вместо x, y, z координати x 1 , y 1 и z1отнасящи се до точката M 1 , като се приема абсолютната стойност на получената стойност.

Разгледайте примери за намиране на разстоянието от точка с координати до дадена равнина.

Пример 1

Да се ​​изчисли разстоянието от точката с координати M 1 (5 , - 3 , 10) до равнината 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Решение

Нека решим проблема по два начина.

Първият метод ще започне с изчисляване на вектора на посоката на линията a. По условие имаме, че даденото уравнение 2 x - y + 5 z - 3 = 0 е общо уравнение на равнината, а n → = (2 , - 1 , 5) е нормалният вектор на дадената равнина. Използва се като насочващ вектор за правата a, която е перпендикулярна на дадената равнина. Трябва да напишете каноничното уравнение на права линия в пространството, минаваща през M 1 (5, - 3, 10) с насочващ вектор с координати 2, - 1, 5.

Уравнението ще изглежда като x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Трябва да се определят пресечните точки. За да направите това, внимателно комбинирайте уравненията в система за преход от каноничните към уравненията на две пресичащи се линии. Нека вземем тази точка като H 1 . Разбираме това

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

След това трябва да активирате системата

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Нека се обърнем към правилото за решаване на системата според Гаус:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Получаваме, че H 1 (1, - 1, 0) .

Изчисляваме разстоянието от дадена точка до равнина. Взимаме точки M 1 (5, - 3, 10) и H 1 (1, - 1, 0) и получаваме

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

Второто решение е първо да приведем даденото уравнение 2 x - y + 5 z - 3 = 0 в нормална форма. Определяме нормализиращия коефициент и получаваме 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . Оттук извеждаме уравнението на равнината 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Лявата страна на уравнението се изчислява чрез заместване на x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10 и трябва да вземете разстоянието от M 1 (5, - 3, 10) до 2 x - y + 5 z - 3 = 0 по модул. Получаваме израза:

M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Отговор: 2 30 .

Когато равнината χ е зададена чрез един от методите на методите на сечението за определяне на равнината, тогава първо трябва да получите уравнението на равнината χ и да изчислите необходимото разстояние, като използвате произволен метод.

Пример 2

В тримерното пространство са зададени точки с координати M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1). Изчислете разстоянието от M 1 до равнината A B C.

Решение

Първо трябва да напишете уравнението на равнината, минаваща през дадените три точки с координати M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - едно) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

От това следва, че задачата има решение, подобно на предишната. Следователно разстоянието от точка M 1 до равнината A B C е 2 30 .

Отговор: 2 30 .

Намирането на разстоянието от дадена точка на равнина или до равнина, на която те са успоредни, е по-удобно чрез прилагане на формулата M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . От тук получаваме, че нормалните уравнения на равнините се получават в няколко стъпки.

Пример 3

Намерете разстоянието от дадена точка с координати M 1 (- 3 , 2 , - 7) до координатната равнина O x y z и равнината, дадена от уравнението 2 y ​​- 5 = 0 .

Решение

Координатната равнина O y z съответства на уравнение от вида x = 0. За равнината O y z това е нормално. Следователно е необходимо да замените стойностите x \u003d - 3 в лявата страна на израза и да вземете абсолютната стойност на разстоянието от точката с координати M 1 (- 3, 2, - 7) до равнината . Получаваме стойността, равна на - 3 = 3 .

След трансформацията нормалното уравнение на равнината 2 y - 5 = 0 ще приеме формата y - 5 2 = 0 . След това можете да намерите необходимото разстояние от точката с координати M 1 (- 3 , 2 , - 7) до равнината 2 y - 5 = 0 . Като заместваме и пресмятаме, получаваме 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Отговор:Желаното разстояние от M 1 (- 3, 2, - 7) до O y z има стойност 3, а до 2 y ​​- 5 = 0 има стойност 5 2 - 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Така че прочетох нещо на тази страница (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vНормално);

където vP1 е точка от равнината, а vNormal е нормалата към равнината. Любопитен съм как това ви дава разстоянието от началото на света, тъй като резултатът винаги ще бъде 0. Също така, за да бъде ясно (тъй като все още съм малко мъгляв относно D частта на 2D уравнението), е d в 2D уравнението разстоянието от правата през началото на света преди началото на равнината?

3 отговора

6

Като цяло разстоянието между точка p и равнина може да се изчисли с помощта на формулата

където - операция с точков продукт

= ax*bx + ay*by + az*bz

и където p0 е точка в равнината.

Ако n има единична дължина, тогава скалярното произведение между вектора и него е дължината (подписана) на проекцията на вектора върху нормалата

Формулата, която съобщавате, е само специален случай, при който точката p е началото. В такъв случай

Разстояние = = -

Това равенство е технически погрешно, защото точковото произведение е за вектори, а не за точки... но все пак е валидно числено. Като напишете изрична формула, получавате това

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

същото е като

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

2

Резултатът не винаги е нула. Резултатът ще бъде нула само ако равнината минава през началото. (Тук да приемем, че самолетът не преминава през началната точка.)

По принцип ви е дадена линия от началото до някаква точка на равнината. (Т.е. имате вектор от началото до vP1). Проблемът с този вектор е, че той най-вероятно е изкривен и се насочва към някакво далечно място в равнината, а не към най-близката точка в равнината. Така че, ако просто вземете vP1 дължината, ще получите твърде голямо разстояние.

Това, което трябва да направите, е да получите проекцията на vP1 върху някакъв вектор, за който знаете, че е перпендикулярен на равнината. Това, разбира се, е vNormal. Така че вземете точковото произведение на vP1 и vNormal и го разделете на дължината на vNormal и ще получите своя отговор. (Ако са достатъчно любезни да ви дадат vNormal, който вече е величина, тогава няма нужда да се разделяте.)

1

Можете да разрешите този проблем с множители на Лагранж:

Знаете, че най-близката точка на самолета трябва да изглежда така:

C=p+v

Където c е най-близката точка и v е вектор по протежение на равнината (която следователно е ортогонална на нормалата към n). Опитвате се да намерите c с най-малката норма (или норма на квадрат). Така че се опитвате да минимизирате dot(c,c), докато v е ортогонален на n (по този начин dot(v,n) = 0).

Така задайте лагранжиана:

L = точка (c,c) + ламбда * (точка (v,n)) L = точка (p+v,p+v) + ламбда * (точка (v,n)) L = точка (p,p) + 2*точка(p,v) + точка(v,v) * ламбда * (точка(v,n))

И вземете производната по отношение на v (и задайте 0), за да получите:

2 * p + 2 * v + ламбда * n = 0

Можете да решите ламбда в уравнението по-горе, като поставите точка, създавайки двете страни на n, за да получите

2 * точка(p,n) + 2 * точка(v,n) + ламбда * точка(n,n) = 0 2 * точка(p,n) + ламбда = 0 ламбда = - 2 * точка(p,n) ) )

Отбележете отново, че dot(n,n) = 1 и dot(v,n) = 0 (тъй като v е в равнината и n е ортогонално на нея). След това заместващата ламбда се връща, за да получи:

2 * p + 2 * v - 2 * точка (p,n) * n = 0

и решаваме за v, за да получим:

V = точка (p,n) * n - p

След това го включете обратно в c = p + v, за да получите:

C = точка (p,n) * n

Дължината на този вектор е |точка(p,n)| , а знакът ви казва дали точката е в посоката на нормалния вектор от началото или в обратната посока от началото.

да предположим, че имам уравнение на равнина ax+by+cz=d, как мога да намеря най-късото разстояние от равнината до началото? Връщам се назад от този пост. В този пост те...

Да кажем, че Kinect се намира на (0,0,0) и гледа в посока +Z. Да предположим, че има обект в (1, 1, 1) и един от пикселите в изображението с дълбочина на Kinect представлява този обект....

Искам да изравня разстоянието от началото до всички точки, където точките са дадени от рамка с данни с две координати. Имам всички точки като: x y 1 0.0 0.0 2 -4.0 -2.8 3 -7.0 -6.5 4 -9.0 -11.1...

Основна информация Помислете за сферична координатна система като тази, показана тук: Координатна система http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif За конкретна точка ние...

Имам 3D сцена и камера, дефинирани с gluPerspective. Имам фиксиран FOV и знам минималното разстояние на всяка геометрия от камерата (това е изглед от първо лице, така че е...

Имам триъгълник с точки A, B, C и точка в пространството (P). Как мога да получа разстоянието от точка до равнина? Трябва да изчисля разстоянието от P до равнината, въпреки че моят...

Искам да завъртя CGPoint (червен правоъгълник) около друг CGPoint (син правоъгълник), но той променя разстоянието от началото (син правоъгълник)... когато дам 270 в ъгъла, той създава...

Трябва да получа центъра на равнината X, Y, Z, декартови координати. Имам нормалата на равнината и разстоянието от нейната централна точка до началото. Мога да поставя точка(и) навсякъде и...

Дадено е: точка (x1, y1, z1) насочващ вектор (a1, b1, c1) равнина ax + by + cz + d = 0 Как мога да намеря разстоянието D от точка до равнина по този вектор? Благодаря

Имам координатна система на камера, дефинирана от ротационна матрица R и транслация T спрямо световната координатна система. Една равнина се дефинира в координатите на камерата от нормала N и точка P върху нея....