Позиции на центъра на тежестта на някои фигури. Определяне на центъра на тежестта на равнинни фигури Измерване на центъра на тежестта

Забележка.Центърът на тежестта на симетрична фигура е върху оста на симетрия.

Центърът на тежестта на пръта е в средата на височината. При решаване на проблеми се използват следните методи:

1. метод на симетрия: центърът на тежестта на симетричните фигури е върху оста на симетрия;

2. метод на разделяне: сложните участъци се разделят на няколко прости части, положението на центровете на тежестта на които е лесно да се определи;

3. метод на отрицателните площи: кухините (дупките) се разглеждат като част от сечение с отрицателна площ.

Примери за решаване на проблеми

Пример1.Определете позицията на центъра на тежестта на фигурата, показана на фиг. 8.4.

Решение

Разделяме фигурата на три части:

По подобен начин се определя при C = 4,5 см.

Пример 2Намерете позицията на центъра на тежестта на симетрична прътова ферма ADBE(фиг. 116), чиито размери са както следва: AB = 6м, D.E.= 3 м и EF= 1м.

Решение

Тъй като фермата е симетрична, нейният център на тежестта лежи върху оста на симетрия Д.Ф.С избраната (фиг. 116) система от координатни оси на абсцисата на центъра на тежестта на фермата

Следователно неизвестна е само ординатата при Cцентър на тежестта на фермата. За да го определим, разделяме фермата на отделни части (пръчки). Дължините им се определят от съответните триъгълници.

от ∆AEFние имаме

от ΔADFние имаме

Центърът на тежестта на всеки прът е в средата му, координатите на тези центрове се определят лесно от чертежа (фиг. 116).

Намерените дължини и ординати на центровете на тежестта на отделните части на фермата се въвеждат в таблицата и по формулата

определяне на ординатата насцентъра на тежестта на тази плоска ферма.

Следователно центърът на тежестта ОТцялата ферма лежи на оста Д.Ф.симетрия на фермата на разстояние 1,59 m от точката Е.

Пример 3Определете координатите на центъра на тежестта на съставното сечение. Секцията се състои от лист и валцовани профили (фиг. 8.5).

Забележка.Често рамките са заварени от различни профили, създавайки необходимия дизайн. По този начин се намалява консумацията на метал и се образува структура с висока якост.

За стандартните валцувани профили са известни техните собствени геометрични характеристики. Те са дадени в съответните стандарти.

Решение

1. Обозначаваме цифрите с числа и изписваме необходимите данни от таблиците:

1 - канал № 10 (GOST 8240-89); височина h = 100 mm; ширина на рафта b= 46 mm; площ на напречното сечение A 1\u003d 10,9 cm 2;

2 - I-лъч № 16 (GOST 8239-89); височина 160 мм; ширина на рафта 81 мм; площ на сечението A 2 - 20,2 cm 2;

3 - лист 5x100; дебелина 5 мм; ширина 100 мм; площ на сечението A 3 \u003d 0,5 10 \u003d 5 cm 2.

2. От чертежа могат да се определят координатите на центровете на тежестта на всяка фигура.

Композитното сечение е симетрично, така че центърът на тежестта е върху оста на симетрия и координатната хС = 0.

3. Определяне на центъра на тежестта на съставно сечение:

Пример 4Определете координатите на центъра на тежестта на сечението, показано на фиг. осем, а.Секцията се състои от два ъгъла 56x4 и канал № 18. Проверете правилността на определяне на позицията на центъра на тежестта. Посочете позицията му в секцията.

Решение

1. : два ъгъла 56 x 4 и канал № 18. Нека ги обозначим с 1, 2, 3 (виж фиг. 8, а).

2. Посочете центровете на тежесттавсеки профил използване на таблица. 1 и 4 прил. I, и ги обозначават C 1, C 2,От 3 .

3. Да изберем система от координатни оси.ос присъвместими с оста на симетрия и ос хнарисувайте през центровете на тежестта на ъглите.

4. Определете координатите на центъра на тежестта на целия участък.Тъй като оста присъвпада с оста на симетрия, след това минава през центъра на тежестта на сечението, следователно x s= 0. Координата насдефинирайте по формулата

Използвайки таблиците за приложение, ние определяме площите на всеки профил и координатите на центровете на тежестта:

Координати 1и на 2са равни на нула, тъй като ос хпреминава през центровете на тежестта на ъглите. Заместете получените стойности във формулата, за да определите нас:

5. Нека посочим центъра на тежестта на сечението на фиг. 8 и ще го обозначим с буквата С.Показваме разстоянието y C \u003d 2,43 cm от оста хдо точка С.

Тъй като ъглите са разположени симетрично, имат еднаква площ и координати, тогава A 1 \u003d A 2, y 1 = y 2 .Следователно формулата за определяне при Cможе да се опрости:

6. Да направим проверка.За тази ос хнека начертаем по долния ръб на ъгловия рафт (фиг. 8, b). ос приНека го оставим както в първото решение. Формули за определяне x Cи при Cне се променят:

Площите на профила ще останат същите, но координатите на центровете на тежестта на ъглите и канала ще се променят. Нека ги изпишем:

Намиране на координатата на центъра на тежестта:

Според намерените координати x sи наспоставяме на чертежа точка C. Положението на центъра на тежестта, намерено по два начина, е в една и съща точка. Нека го проверим. Разлика между координатите при s,намерени в първото и второто решение е: 6,51 - 2,43 \u003d 4,08 cm.

Това е равно на разстоянието между осите x в първото и второто решение: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.

Отговор: при= 2,43 cm, ако оста x минава през центровете на тежестта на ъглите, или y c = 6,51 cm, ако оста x минава по долния ръб на ъгловия фланец.

Пример 5Определете координатите на центъра на тежестта на сечението, показано на фиг. 9, а.Участъкът се състои от I-лъч № 24 и канал № 24а. Покажете позицията на центъра на тежестта върху секцията.

Решение

1.Нека разделим секцията на валцувани профили: I-лъч и канал. Нека ги наречем 1 и 2.

3. Посочваме центровете на тежестта на всеки профил C 1 и C 2 с помощта на таблици за приложение.

4. Да изберем система от координатни оси. Оста x е съвместима с оста на симетрия, а оста y прекарваме през центъра на тежестта на I-лъча.

5. Определете координатите на центъра на тежестта на сечението. Y-координатата c = 0, тъй като оста хсъвпада с оста на симетрия. Координатата x с се определя по формулата

Според таблицата 3 и 4 ап. I и схемата на раздела, ние определяме

Заменете числовите стойности във формулата и получете

5. Нека маркираме точката C (център на тежестта на секцията) според намерените стойности x c и y c (виж фиг. 9, а).

Проверката на решението трябва да се извърши независимо с позицията на осите, както е показано на фиг. 9, б. В резултат на решението получаваме x c \u003d 11,86 см. Разликата между стойностите на x c за първото и второто решение е 11,86 - 6,11 \u003d 5,75 см, което е равно на разстоянието между y оси със същите решения b dv / 2 = 5,75 cm.

Отговор: x c \u003d 6,11 cm, ако оста y минава през центъра на тежестта на I-лъча; x c \u003d 11,86 cm, ако оста y минава през лявата крайна точка на I-лъча.

Пример 6Железопътният кран лежи върху релси, разстоянието между които е AB = 1,5 m (фиг. 1.102). Силата на тежестта на количката на крана е G r = 30 kN, центърът на тежестта на количката е в точка C, която лежи на линията KL на пресечната точка на равнината на симетрия на количката с равнината на чертежа. Силата на тежестта на лебедката на крана Q l \u003d 10 kN се прилага в точката Д.В точка E се прилага силата на тежестта на противотежестта G„=20 kN. В точка H се прилага силата на тежестта на стрелата G c = 5 kN. Надвесът на крана спрямо линията KL е 2 m. коефициент на устойчивост на крана в ненатоварено състояние и какъв товар Еможе да се повдигне с този кран, при условие че коефициентът на стабилност трябва да бъде поне два.

Решение

1. В ненатоварено състояние кранът има опасност от преобръщане при завъртане около релсата НО.Следователно, по отношение на точката НОмомент на стабилност

2. Преобръщащ момент около точка НОсъздадена от гравитацията на противотежестта, т.е.

3. Оттук и коефициентът на устойчивост на крана в ненатоварено състояние

4. При натоварване на стрелата на крана с товар Еима опасност от преобръщане на крана при завъртане около релсата B. Следователно по отношение на точката ATмомент на стабилност

5. Преобръщащ момент спрямо релсата AT

6. Според условието на задачата работата на крана е разрешена с коефициент на устойчивост k B ≥ 2, т.е.

Контролни въпроси и задачи

1. Защо силите на привличане към Земята, действащи върху точките на тялото, могат да се приемат като система от паралелни сили?

2. Запишете формули за определяне на положението на центъра на тежестта на нехомогенни и еднородни тела, формули за определяне на положението на центъра на тежестта на плоски секции.

3. Повторете формулите за определяне на положението на центъра на тежестта на прости геометрични фигури: правоъгълник, триъгълник, трапец и половин кръг.

4.
Какво се нарича статичен момент на площта?

5. Изчислете статичния момент на тази фигура спрямо оста вол. ч= 30 см; b= 120 см; с= 10 cm (фиг. 8.6).

6. Определете координатите на центъра на тежестта на защрихованата фигура (фиг. 8.7). Размерите са дадени в мм.

7. Определете координатата прифигури 1 на съставното сечение (фиг. 8.8).

Когато решавате, използвайте референтните данни на таблиците на GOST "Гореща валцована стомана" (вижте Приложение 1).

Определянето на центъра на тежестта на произволно тяло чрез последователно сумиране на силите, действащи върху отделните му части, е трудна задача; улеснява се само за тела със сравнително проста форма.

Нека тялото се състои само от две тежести с маса и свързани с прът (фиг. 125). Ако масата на пръта е малка в сравнение с масите и , тогава тя може да бъде пренебрегната. Всяка от масите се влияе от гравитацията, равна съответно на и; и двете са насочени вертикално надолу, тоест успоредни един на друг. Както знаем, резултантната на две успоредни сили е приложена в точката , която се определя от условието

Ориз. 125. Определяне на центъра на тежестта на тяло, състоящо се от два товара

Следователно центърът на тежестта разделя разстоянието между два товара в съотношение, обратно на отношението на техните маси. Ако това тяло е окачено в точка, то ще остане в равновесие.

Тъй като две равни маси имат общ център на тежестта в точка, която разполовява разстоянието между тези маси, веднага става ясно, че например центърът на тежестта на хомогенен прът се намира в средата на пръта (фиг. 126) .

Тъй като всеки диаметър на хомогенен кръгъл диск го разделя на две напълно еднакви симетрични части (фиг. 127), центърът на тежестта трябва да лежи върху всеки диаметър на диска, т.е. в точката на пресичане на диаметрите - в геометричния центъра на диска. Разсъждавайки по подобен начин, можем да установим, че центърът на тежестта на хомогенна топка е в нейния геометричен център, центърът на тежестта на хомогенен правоъгълен паралелепипед е в пресечната точка на неговите диагонали и т.н. Центърът на тежестта на обръч или пръстен лежи в центъра му. Последният пример показва, че центърът на тежестта на тялото може да лежи извън тялото.

Ориз. 126. Центърът на тежестта на еднороден прът е в средата му

Ориз. 127. Центърът на хомогенен диск лежи в неговия геометричен център

Ако тялото има неправилна форма или ако е нехомогенно (например има кухини), тогава изчисляването на позицията на центъра на тежестта често е трудно и тази позиция е по-удобна за намиране чрез опит. Нека, например, е необходимо да се намери центърът на тежестта на парче шперплат. Нека го закачим на конец (фиг. 128). Очевидно в равновесно положение центърът на тежестта на тялото трябва да лежи върху продължението на нишката, в противен случай силата на тежестта ще има момент спрямо точката на окачване, който ще започне да върти тялото. Следователно, начертавайки права линия върху нашето парче шперплат, представляваща продължението на нишката, можем да твърдим, че центърът на тежестта лежи на тази права линия.

Наистина, като окачим тялото в различни точки и начертаем вертикални линии, ще се уверим, че всички те се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на тежестта на тялото (тъй като трябва да лежи едновременно на всички такива линии). По подобен начин може да се определи положението на центъра на тежестта не само на плоска фигура, но и на по-сложно тяло. Положението на центъра на тежестта на самолета се определя чрез търкалянето му с колела върху платформата на везната. Резултатът от силите на тежестта върху всяко колело ще бъде насочен вертикално и можете да намерите линията, по която действа, по закона за добавяне на успоредни сили.

Ориз. 128. Точката на пресичане на вертикални линии, начертани през точките на окачване, е центърът на тежестта на тялото

При промяна на масите на отделните части на тялото или при промяна на формата на тялото се променя положението на центъра на тежестта. И така, центърът на тежестта на самолета се движи, когато горивото се изразходва от резервоарите, когато се зарежда багаж и т.н. За визуален експеримент, илюстриращ движението на центъра на тежестта, когато се променя формата на тялото, е удобно да се вземе две еднакви пръти, свързани с панта (фиг. 129). В случай, че прътите са продължение един на друг, центърът на тежестта лежи върху оста на прътите. Ако прътите са огънати на пантата, тогава центърът на тежестта е извън прътите, върху ъглополовящата на ъгъла, който образуват. Ако върху една от решетките се постави допълнително натоварване, тогава центърът на тежестта ще се премести към това натоварване.

Ориз. 129. а) Центърът на тежестта на прътите, свързани с шарнир, разположен на една права линия, лежи върху оста на прътите, б) Центърът на тежестта на огъната система от пръти е извън прътите

81.1. Къде е центърът на тежестта на две еднакви тънки пръчици с дължина 12 см и закрепени под формата на буквата Т?

81.2. Докажете, че центроидът на равномерна триъгълна плоча лежи в пресечната точка на медианите.

Ориз. 130. Към упражнение 81.3

81.3. Хомогенна дъска с маса 60 kg лежи върху две опори, както е показано на фиг. 130. Определете силите, действащи върху опорите.

Центърът на тежестта е точката, през която минава линията на действие на резултантните елементарни сили на тежестта. Той има свойството на център на паралелни сили (Е. М. Никитин, § 42). Ето защо формули за определяне на положението на центъра на тежестта на различни телаизглежда като:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i .

Ако тялото, чийто център на тежестта трябва да се определи, може да бъде идентифицирано с фигура, съставена от линии (например затворен или отворен контур, направен от тел, както на фиг. 173), тогава теглото G i на всеки сегмент l i може да се представи като продукт
G i \u003d l i d,
където d е теглото на единица дължина на материала, което е постоянно за цялата фигура.

След заместване във формули (1) вместо G i техните стойности l i d, постоянният фактор d във всеки член на числителя и знаменателя може да бъде изваден от скоби (извън знака на сумата) и намален. По този начин, формули за определяне на координатите на центъра на тежестта на фигура, съставена от отсечки, ще приеме формата:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i ;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i.

Ако тялото има формата на фигура, съставена от равнини или извити повърхности, разположени по различни начини (фиг. 174), тогава теглото на всяка равнина (повърхност) може да бъде представено по следния начин:
G i = F i p,
където F i са площите на всяка повърхност, а p е теглото на единица площ на фигурата.

След като заместим тази стойност на G i във формули (1), получаваме формули за координатите на центъра на тежестта на фигура, съставена от площи:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i .

Ако едно хомогенно тяло може да бъде разделено на прости части с определена геометрична форма (фиг. 175), тогава теглото на всяка част
G i = V i γ,
където V i е обемът на всяка част, а γ е теглото на единица обем на тялото.

След като заместим стойностите на G i във формули (1), получаваме формули за определяне на координатите на центъра на тежестта на тяло, съставено от хомогенни обеми:
x c = (∑ V i x i) / ∑ V i ;
(4) y c = (∑ V i y i) / ∑ V i ;
z c = (∑ V i z i) / ∑ V i .

Когато се решават някои задачи за определяне на положението на центъра на тежестта на телата, понякога е необходимо да се знае къде се намира центърът на тежестта на дъга от окръжност, кръгъл сектор или триъгълник.

Ако радиусът на дъгата r и централния ъгъл 2α, свити от дъгата и изразени в радиани, са известни, тогава позицията на центъра на тежестта C (фиг. 176, а) спрямо центъра на дъгата O е определя се по формулата:
(5) x c = (r sin α)/α.

Ако е дадена хорда AB=b на дъгата, то във формула (5) е възможно да се направи замяната
sinα = b/(2r)
и тогава
(5a) x c = b/(2α).

В специален случай за полукръг и двете формули ще приемат формата (фиг. 176, b):
(5b) x c = OC = 2r/π = d/π.

Положението на центъра на тежестта на кръговия сектор, ако е даден неговият радиус r (фиг. 176, c), се определя по формулата:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Ако е дадена хордата на сектора, тогава:
(6a) x c = b/(3α).

В специален случай за полукръг и двете последни формули ще приемат формата (фиг. 176, d)
(6b) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Центърът на тежестта на площта на всеки триъгълник е разположен от всяка страна на разстояние, равно на една трета от съответната височина.

В правоъгълен триъгълник центърът на тежестта е в пресечната точка на перпендикуляри, повдигнати към краката от точки, разположени на разстояние една трета от дължината на краката, като се брои от върха на правия ъгъл (фиг. 177).

При решаване на задачи за определяне на положението на центъра на тежестта на всяко еднородно тяло, съставено или от тънки пръти (линии), или от плочи (площи), или от обеми, е препоръчително да се придържате към следния ред:

1) начертайте тяло, чието положение на центъра на тежестта трябва да се определи. Тъй като всички размери на тялото обикновено са известни, трябва да се спазва мащабът;

2) разделяне на тялото на съставни части (линейни сегменти или области или обеми), чието положение на центровете на тежестта се определя въз основа на размера на тялото;

3) определят или дължините, или площите, или обемите на съставните части;

4) изберете местоположението на координатните оси;

5) определяне на координатите на центровете на тежестта на съставните части;

6) заменете намерените стойности на дължините или площите или обемите на отделните части, както и координатите на техните центрове на тежестта, в подходящите формули и изчислете координатите на центъра на тежестта на цялото тяло;

7) според намерените координати, посочете на фигурата позицията на центъра на тежестта на тялото.

§ 23. Определяне на положението на центъра на тежестта на тяло, съставено от тънки хомогенни пръти

§ 24. Определяне на положението на центъра на тежестта на фигури, съставени от плочи

В последната задача, както и в задачите, дадени в предходния параграф, разделянето на фигурите на съставни части не създава особени затруднения. Но понякога фигурата има такава форма, която ви позволява да я разделите на съставните части по няколко начина, например тънка правоъгълна плоча с триъгълен разрез (фиг. 183). Когато се определя позицията на центъра на тежестта на такава плоча, нейната площ може да бъде разделена на четири правоъгълника (1, 2, 3 и 4) и един правоъгълен триъгълник 5 по няколко начина. Две опции са показани на фиг. 183, а и б.

Най-рационален е начинът за разделяне на фигурата на съставните й части, при който се образува най-малък брой от тях. Ако фигурата има изрези, тогава те също могат да бъдат включени в броя на съставните части на фигурата, но площта на изрязаната част се счита за отрицателна. Следователно това разделение се нарича метод на отрицателните площи.

Плочата на фиг. 183, c се разделя с помощта на този метод само на две части: правоъгълник 1 с площта на цялата плоча, сякаш е цяла, и триъгълник 2 с площ, която считаме за отрицателна.

§ 26. Определяне на положението на центъра на тежестта на тяло, съставено от части с проста геометрична форма

За решаване на задачи за определяне на позицията на центъра на тежестта на тяло, съставено от части, които имат проста геометрична форма, е необходимо да имате умения за определяне на координатите на центъра на тежестта на фигури, съставени от линии или области .

Център на тежестта

геометрична точка, неизменно свързана с твърдо тяло, през която резултатът от всички гравитационни сили, действащи върху частиците на това тяло, преминава във всяко положение на последното в пространството; може да не съвпада с никоя от точките на дадено тяло (например близо до пръстен). Ако свободно тяло е окачено на нишки, които са прикрепени последователно към различни точки на тялото, тогава посоките на тези нишки ще се пресичат в центъра на тялото. Положението на центъра на тежестта на твърдо тяло в еднородно поле на тежестта съвпада с положението на неговия център на масата. Разбиване на тялото на парчета с тежести p k ,за които координатите x k, y k, z kтехните C. t. са известни, можете да намерите координатите на C. t. на цялото тяло, като използвате формулите:

Велика съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .

Вижте какво е "центърът на тежестта" в други речници:

Центърът на масата (център на инерцията, барицентър) в механиката е геометрична точка, която характеризира движението на тяло или система от частици като цяло. Съдържание 1 Определение 2 Центрове на маса на хомогенни фигури 3 В механиката ... Wikipedia

Точка, неизменно свързана с твърдо тяло, през която резултантната сила на гравитацията, действаща върху частиците на това тяло, преминава във всяка позиция на тялото в пространството. За хомогенно тяло с център на симетрия (кръг, топка, куб и др.), ... ... енциклопедичен речник

Geom. точка, неизменно свързана с твърдо тяло, през която преминава резултантната сила на всички сили на гравитацията, действащи върху частиците на тялото във всяка позиция в пространството; може да не съвпада с никоя от точките на дадено тяло (например при ... ... Физическа енциклопедия

Точка, неизменно свързана с твърдо тяло, през която резултатът от силите на гравитацията, действащи върху частиците на това тяло, преминава при всяко положение на тялото в пространството. За хомогенно тяло с център на симетрия (кръг, топка, куб и др.), ... ... Голям енциклопедичен речник

Център на тежестта- ЦЕНТЪР НА ТЕЖЕСТТА, точката, през която преминава резултантната на гравитационните сили, действащи върху частици от твърдо тяло при всяко положение на тялото в пространството. За хомогенно тяло с център на симетрия (кръг, топка, куб и т.н.) центърът на тежестта е ... Илюстрован енциклопедичен речник

ЦЕНТЪР НА ТЕЖЕСТТА, точката, в която е съсредоточена тежестта на тялото и около която е разпределена и балансирана. Свободно падащ обект се върти около своя център на тежестта, който от своя страна се върти по траектория, която би била описана от точка ... ... Научно-технически енциклопедичен речник

център на тежестта- твърдо тяло; център на тежестта Центърът на успоредни сили на тежестта, действащи върху всички частици на тялото ... Политехнически терминологичен тълковен речник

Centroid речник на руските синоними. център на тежестта n., брой синоними: 12 основен (31) дух ... Речник на синонимите

ЦЕНТЪР НА ТЕЖЕСТТА- Човешкото тяло няма постоянен анат. местоположение вътре в тялото, но се движи в зависимост от промените в позата; екскурзиите му спрямо гръбначния стълб могат да достигнат 20-25 см. Експериментално определяне на позицията на централната т. на цялото тяло с ... ... Голяма медицинска енциклопедия

Точката на приложение на резултантните сили на тежестта (теглата) на всички отделни части (детайли), които изграждат дадено тяло. Ако тялото е симетрично по отношение на равнина, права линия или точка, тогава в първия случай центърът на тежестта лежи в равнината на симетрия, във втория - на ... ... Технически железопътен речник

център на тежестта- Геометричната точка на твърдо тяло, през която резултатът от всички гравитационни сили, действащи върху частиците на това тяло, преминава във всяка позиция в пространството [Терминологичен речник за строителство на 12 езика (VNIIIS Gosstroy ... ... Наръчник за технически преводач

Книги

• Център на тежестта, А. В. Поляринов Романът на Алексей Поляринов наподобява сложна система от езера. Има киберпънк и величествените дизайни на Дейвид Мичъл, Борхес и Дейвид Фостър Уолъс... Но неговите герои са млади журналисти,...

Въз основа на общите формули, получени по-горе, е възможно да се посочат специфични методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата.

1. Ако едно хомогенно тяло има равнина, ос или център на симетрия, тогава неговият център на тежестта лежи съответно или в равнината на симетрия, или върху оста на симетрия, или в центъра на симетрия.

Да предположим например, че едно хомогенно тяло има равнина на симетрия. След това от тази равнина тя се разделя на две такива части, чиито тегла и са равни една на друга, а центровете на тежестта са на равни разстояния от равнината на симетрия. Следователно центърът на тежестта на тялото като точка, през която минава резултантната на две равни и успоредни сили, наистина ще лежи в равнината на симетрия. Подобен резултат се получава в случаите, когато тялото има ос или център на симетрия.

От свойствата на симетрията следва, че центърът на тежестта на хомогенен кръгъл пръстен, кръгла или правоъгълна плоча, правоъгълен паралелепипед, топка и други хомогенни тела с център на симетрия се намира в геометричния център (център на симетрия) на тези тела.

2. Преграждане. Ако тялото може да бъде разделено на краен брой такива части, за всяка от които е известно положението на центъра на тежестта, тогава координатите на центъра на тежестта на цялото тяло могат да бъдат директно изчислени с помощта на формули (59) - (62). В този случай броят на членовете във всяка от сумите ще бъде равен на броя на частите, на които е разделено тялото.

Задача 45. Определете координатите на центъра на тежестта на хомогенната плоча, показана на фиг. 106. Всички мерки са в сантиметри.

Решение. Начертаваме осите x, y и разделяме плочата на три правоъгълника (линиите на рязане са показани на фиг. 106). Изчисляваме координатите на центровете на тежестта на всеки от правоъгълниците и тяхната площ (виж таблицата).

Площ на цялата плоча

Замествайки изчислените количества във формули (61), получаваме:

Намереното положение на центъра на тежестта C е показано на чертежа; точка C е извън плочата.

3. Добавяне. Този метод е специален случай на метода на разделяне. Прилага се за тела с изрези, ако са известни центровете на тежестта на тялото без изрез и на изреза.

Задача 46. Определете положението на центъра на тежестта на кръгла плоча с радиус R с радиус на разрез (фиг. 107). Разстояние

Решение. Центърът на тежестта на плочата лежи върху линията, тъй като тази линия е оста на симетрия. Начертайте координатни оси. За да намерим координатата, допълваме площта на плочата до пълен кръг (част 1) и след това изваждаме площта на изрязания кръг от получената област (част 2). В този случай площта на част 2, както е извадена, трябва да се вземе със знак минус. Тогава

Замествайки намерените стойности във формули (61), получаваме:

Намереният център на тежестта C, както можете да видите, лежи вляво от точката

4. Интеграция. Ако тялото не може да бъде разделено на няколко крайни части, чиито позиции на центровете на тежестта са известни, тогава тялото първо се разделя на произволни малки обеми, за които формулите (60) приемат формата

където са координатите на някаква точка, лежаща вътре в обема.Тогава в равенства (63) те преминават към границата, клонейки всичко към нула, т.е.свивайки тези обеми в точки. Тогава сумите в равенствата се превръщат в интеграли, разширени по целия обем на тялото, а формулите (63) дават в границата:

По същия начин, за координатите на центровете на тежестта на площи и линии, ние получаваме в границата от формули (61) и (62):

Пример за прилагане на тези формули за определяне на координатите на центъра на тежестта е разгледан в следващия параграф.

5. Експериментален метод. Центровете на тежестта на нехомогенни тела със сложна конфигурация (самолет, парен локомотив и др.) Могат да се определят експериментално. Един от възможните експериментални методи (метод на окачване) е тялото да бъде окачено на нишка или кабел в различните му точки. Посоката на нишката, на която е окачено тялото, всеки път ще дава посоката на гравитацията. Пресечната точка на тези посоки определя центъра на тежестта на тялото. Друг възможен начин за експериментално определяне на центъра на тежестта е методът на претегляне. Идеята зад този метод е ясна от примера по-долу.