Изображение на сфера и нейните сечения. Голяма енциклопедия на нефта и газа

Въведение

Топката е тяло, което се състои от всички точки в пространството, които са на разстояние не по-голямо от дадено разстояние от дадена точка. Тази точка се нарича център на топката, а това разстояние се нарича радиус на топката.

Границата на една сфера се нарича сферична повърхност или сфера. По този начин точките на сферата са всички точки на топката, които са на разстояние от центъра, равно на радиуса. Всеки линеен сегмент, който свързва центъра на топката с точка от повърхността на топката, наричан още радиус.

Сегментът, свързващ две точки от сферичната повърхност, минаващи през центъра на топката, се нарича диаметър. Краищата на всеки диаметър се наричат ​​диаметрално противоположни точки на топката.

Топката, подобно на цилиндъра и конуса, е тяло на въртене. Получава се чрез завъртане на полукръг около диаметъра му като ос.

Сечение на сфера с равнина

Всяко сечение на сфера от равнина е кръг. Центърът на този кръг е основата на перпендикуляра, пуснат от центъра на топката към режещата равнина.

Доказателство: Нека е сечаща равнина и O - центърът на топката (фиг. 1) Нека пуснем перпендикуляра от центъра на топката към равнината и означим основата на този перпендикуляр с O ".

Нека X е произволна точка от топката, принадлежаща на равнината. Според теоремата на Питагор OX2 \u003d OO "2 + O" X2. Тъй като OX не е по-голям от радиуса R на топката, тогава O "X?, т.е. всяка точка от сечението на топката с равнина се намира от точката O" на разстояние не по-голямо, следователно принадлежи на окръжност с център O "и радиус. Обратно: всяка точка X от тази окръжност принадлежи на топката, което означава, че сечението на топката от равнината е окръжност с център в точка O". Теоремата е доказана.

Площта, минаваща през центъра на сферата, се нарича диаметрална равнина. Напречното сечение на топка с диаметрална равнина се нарича голям кръг, а напречното сечение на сфера се нарича голям кръг.

Топката към равнината е равна на радиуса на равнината, тогава равнината докосва топката само в една точка и площта на напречното сечение ще бъде нула, т.е. ако b \u003d R, тогава S \u003d 0. Ако b \u003d 0, тогава режещата равнина минава през центъра на топката. В този случай секцията ще бъде кръг, чийто радиус съвпада с радиуса на топката. Площта на този кръг ще бъде, според формулата, равна на S = πR^2.

Тези два екстремни случая дават границите, между които винаги ще лежи желаната област: 0< S < πR^2. При этом любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти радиус окружности сечения. Тогда площадь этого сечения вычисляется по формуле площади круга.

Тъй като разстоянието от точка до равнина се определя като дължината на сегмент, перпендикулярен на равнината и започващ в точка, вторият край на този сегмент ще съвпадне с окръжността на сечението. Такова заключение следва от определението за топка: очевидно е, че всички точки от обиколката на сечението принадлежат на сферата и следователно лежат на еднакво разстояние от центъра на топката. Това означава, че кръговете на сечението могат да се считат за върха на правоъгълен триъгълник, чиято хипотенуза е радиусът на топката, единият от които е перпендикулярният сегмент, свързващ центъра на топката с равнината, а вторият крак е радиусът на окръжността на сечението.

От трите страни на този триъгълник са дадени две - радиусът на топката R и разстоянието b, тоест хипотенузата. Според Питагоровата теорема дължината на втория крак трябва да бъде равна на √(R^2 - b^2). Това е радиусът на окръжността на сечението. Замествайки намерената стойност във формулата за площта на кръга, е лесно да се заключи, че площта на напречното сечение на топка от равнина е: S = π(R^2 - b^2). намерени резултати.

Подобни видеа

източници:

• сечение на сфера с равнина

Всички планети в Слънчевата система имат форма топка. В допълнение, много предмети, създадени от човека, включително детайли на технически устройства, имат сферична или близка до такава форма. Топката, като всяко тяло на въртене, има ос, която съвпада с диаметъра. Това обаче не е единственото важно свойство. топка. По-долу са основните свойства на тази геометрична фигура и методът за намиране на нейната площ.

Инструкция

Ако вземете един кръг и го завъртите около оста си, ще получите тяло, наречено топка. С други думи, сферата е тяло, ограничено от сфера. Сферата е черупка топка, и неговата обиколка. от топкаразличава се по това, че е куха. Ос като топка, а сферата съвпада с диаметъра и минава през центъра. Радиус топканарича отсечка от нейния център до всяка външна точка. За разлика от сфера, раздели топкаса кръгове. Форма, близка до сферичната, има повечето небесни тела. В различни точки топкаима еднакви по форма, но различни по размер, т. нар. раздели - кръгове от различни области.

Топката и сферата са взаимозаменяеми тела, за разлика от конуса, въпреки че също е тяло на въртене. Сферичните повърхнини винаги образуват кръг в своето сечение, независимо как е то - хоризонтално или вертикално. Конична повърхност се получава само чрез завъртане на триъгълника по неговата ос, перпендикулярна на основата. Следователно, конусът, за разлика от топка, и не се счита за взаимозаменяемо тяло на революция.

Чрез разрязване се получава възможно най-голям кръг топкаминаваща през центъра O. Всички окръжности, които минават през центъра O, се пресичат една с друга в един и същи диаметър. Радиусът винаги е половината от диаметъра. През две точки A и B, разположени навсякъде по повърхността топка, може да премине през безкраен брой кръгове или кръгове. Именно поради тази причина чрез

Разрез на повърхността на топката

Всеки участък от повърхността на топката с равнина е кръг, който се проектира без изкривяване само ако режещата равнина е успоредна на равнината на проекциите. В общия случай ще получим елипса. В случай, че режещата равнина е перпендикулярна на равнината на проекциите, върху тази равнина проекцията на окръжността е прав сегмент, който е равен на диаметъра на този кръг.

Фигура 109 показва пресечната точка на повърхността на топката с хоризонтална проектираща равнина Р. Разрезът ще бъде проектиран върху хоризонталната равнина като проекционен сегмент Рсамолет Р, която е затворена между контура на топката и е равна на диаметъра на сечещата окръжност. На фронталната равнина получаваме елипса. О 1 е центърът на кръга, който се получава в сечението на топката. Намира се на същата височина като центъра на топката О. Хоризонтална проекция относно 1 център О 1 кръг е разположен в средата на сегмента аб. Перпендикуляр, който е спуснат от точка o до права линия аб, улучва целта относно 1, която представлява хоризонтална проекция на центъра на секционния кръг. фронтална проекция относно 1 от центъра на кръга е центърът на елипсата, която ни интересува.

Ако разглеждаме елипсата като проекция на някакъв кръг, тогава нейната голяма ос винаги ще бъде проекцията на диаметъра на окръжността, която е успоредна на равнината на проекцията, а малката ос на елипсата ще бъде проекцията на диаметъра перпендикулярно на него. В резултат на това голямата ос на проекционната елипса винаги е равна на диаметъра на проектираната окръжност. Тук диаметърът на кръга CDперпендикулярна на равнината зи се проектира без изкривяване върху фронталната равнина. За да намерите краищата на голямата ос на елипсата, е необходимо да легнете надолу и нагоре от центъра относно 1 елипса (перпендикулярна на права линия оо 1) сегменти относно 1 си относно 1 д, които са равни на половината от диаметъра на обиколката на сечението относно 1 с = относно 1 д = 1/2(аб). В същото време диаметърът ABокръжност е успоредна на хоризонталната равнина, а нейната фронтална проекция ab′ е малката ос на разглежданата елипса.

Точки, разделящи видимата част на елипсата от невидимата.Нека започнем с начертаване на фронталната равнина Q, която разполовява топката. Самолет Qще пресече повърхността на топката по окръжност, проектирана върху челната равнина под формата на контур. Тогава частта от линията на сечението, разположена в предната част на топката, ще бъде видима, ако погледнете топката отпред, а останалата част от нея няма да се вижда. Самолет Qще пресече самолета Рчелен Еедин . Пресичане с контура, неговата фронтална проекция Еще определи точките 1 , които разделят видимата част на кривата от невидимата част. Междинните точки 2′ на елипсата могат да бъдат намерени с помощта на спомагателната фронтална равнина R, пресичаща повърхността на топката по окръжност с радиус r 2 и самолета Р- по предната част F 2.

Топката е тяло, състоящо се от всички точки в пространството, които са на разстояние не по-голямо от дадено разстояние от дадена точка. Тази точка се нарича център на топката, а това разстояние се нарича радиус на топката. Границата на една сфера се нарича сферична повърхност или сфера. Точките на сферата са всички точки на топката, които са на разстояние, равно на радиуса от центъра. Всеки сегмент, който свързва центъра на топката с точка от сферичната повърхност, също се нарича радиус. Сегментът, минаващ през центъра на топката, който свързва две точки от сферичната повърхност, се нарича диаметър. Краищата на всеки диаметър се наричат ​​диаметрално противоположни точки на топката.

Топката е въртеливо тяло, също като конуса и цилиндъра. Топка се получава чрез въртене на полукръг около диаметъра си като ос.

Повърхността на една сфера може да се намери с помощта на формулите:

където r е радиусът на топката, d е диаметърът на топката.

Обемът на една сфера се намира по формулата:

V = 4/3 pr 3,

където r е радиусът на топката.

Теорема. Всяко сечение на сфера от равнина е кръг. Центърът на този кръг е основата на перпендикуляра, пуснат от центъра на топката към режещата равнина.

Въз основа на тази теорема, ако топка с център O и радиус R се пресече с равнина α, тогава в сечението се получава окръжност с радиус r с център K. Радиусът на сечението на топката от равнината може да се намери по формулата

От формулата се вижда, че равнини, еднакво отдалечени от центъра, пресичат топката в равни кръгове. Радиусът на сечението е толкова по-голям, колкото секущата равнина е по-близо до центъра на топката, тоест колкото по-малко е разстоянието ОК. Най-големият радиус има сечение с равнина, минаваща през центъра на топката. Радиусът на тази окръжност е равен на радиуса на топката.

Равнината, минаваща през центъра на топката, се нарича диаметрална равнина. Сечението на топката от диаметралната равнина се нарича голям кръг, а сечението на сферата се нарича голям кръг, а сечението на сферата се нарича голям кръг.

Теорема. Всяка диаметрална равнина на топка е нейната равнина на симетрия. Центърът на топката е нейният център на симетрия.

Равнината, която минава през точка А на сферичната повърхност и е перпендикулярна на радиуса, прекаран в точка А, се нарича допирателна равнина. Точка А се нарича допирна точка.

Теорема. Допирателната равнина има само една обща точка с топката - точката на контакт.

Права линия, която минава през точка А на сферичната повърхност, перпендикулярна на радиуса, прекаран до тази точка, се нарича допирателна.

Теорема. През всяка точка от сферичната повърхност има безкрайно много допирателни и всички те лежат в допирателната равнина на топката.

Сферичният сегмент е част от сфера, отсечена от нея с равнина. Окръжност ABC е основата на сферичния сегмент. Отсечката MN от перпендикуляра, прекаран от центъра N на окръжността ABC до пресечната точка със сферичната повърхност, е височината на сферичната отсечка. Точка M е върхът на сферичния сегмент.

Повърхността на сферичен сегмент може да се изчисли по формулата:

Обемът на сферичен сегмент може да се намери по формулата:

V \u003d πh 2 (R - 1/3h),

където R е радиусът на големия кръг, h е височината на сферичния сегмент.

Сферичен сектор се получава от сферичен сегмент и конус, както следва. Ако сферичният сегмент е по-малък от полукълбо, тогава сферичният сегмент се допълва от конус, чийто връх е в центъра на топката и чиято основа е основата на сегмента. Ако сегментът е по-голям от полукълбо, тогава посоченият конус се отстранява от него.

Сферичният сектор е част от сфера, ограничена от извита повърхност на сферичен сегмент (на нашата фигура е AMCB) и конична повърхност (на фигурата е OABC), основата на която е основата на сегмента ( ABC), а върхът е центърът на топката O.

Обемът на сферичния сектор се намира по формулата:

V = 2/3 πR 2 H.

Сферичният слой е част от сфера, затворена между две успоредни равнини (равнини ABC и DEF на фигурата), пресичащи сферична повърхност. Извитата повърхност на сферичен слой се нарича сферичен пояс (зона). Окръжности ABC и DEF са основите на сферичния пояс. Разстоянието NK между основите на сферичния пояс е неговата височина.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.