Kuidas arvutada geomeetrilist keskmist. Geomeetriline keskmine statistikas

Arvutamisel keskmine väärtus on kadunud.

Keskmine tähenduses arvude hulk võrdub arvude S summaga, mis on jagatud nende arvude arvuga. See tähendab, et selgub, et keskmine tähenduses võrdub: 19/4 = 4,75.

Märge

Kui teil on vaja leida vaid kahe arvu geomeetriline keskmine, pole teil vaja insenerikalkulaatorit: saate kõige tavalisema kalkulaatori abil eraldada mis tahes arvu teise astme juure (ruutjuure).

Kasulikud nõuanded

Erinevalt aritmeetilisest keskmisest ei mõjuta geomeetrilist keskmist nii tugevalt uuritud näitajate komplekti üksikute väärtuste vahelised suured kõrvalekalded ja kõikumised.

Allikad:

• Interneti-kalkulaator, mis arvutab geomeetrilise keskmise
• geomeetrilise keskmise valem

Keskmine väärtus on üks arvude hulga tunnuseid. Esindab arvu, mis ei saa olla väljaspool selle numbrikomplekti suurima ja väikseima väärtusega määratud vahemikku. Keskmine aritmeetiline väärtus - kõige sagedamini kasutatav keskmiste väärtus.

Juhend

Lisage kõik komplektis olevad arvud ja jagage need liikmete arvuga, et saada aritmeetiline keskmine. Sõltuvalt arvutamise konkreetsetest tingimustest on mõnikord lihtsam jagada iga numbrit komplekti kuuluvate väärtuste arvuga ja summeerida tulemus.

Kasutage näiteks Windowsi operatsioonisüsteemis sisalduvat, kui aritmeetilist keskmist ei ole mõtetes võimalik arvutada. Saate selle avada programmikäivitusdialoogi abil. Selleks vajutage "kiire klahve" WIN + R või klõpsake nuppu "Start" ja valige peamenüüst käsk "Käivita". Seejärel tippige sisestusväljale calc ja vajutage sisestusklahvi või klõpsake nuppu OK. Sama saab teha peamenüü kaudu - avage see, minge jaotisse "Kõik programmid" ja jaotises "Standardne" ja valige rida "Kalkulaator".

Sisestage järjestikku kõik komplekti kuuluvad numbrid, vajutades nende järel plussklahvi (v.a viimane) või klõpsates kalkulaatori liideses vastavat nuppu. Samuti saate numbreid sisestada nii klaviatuurilt kui klõpsates vastavaid liidese nuppe.

Vajutage kaldkriipsu klahvi või klõpsake seda kalkulaatori liideses pärast viimase seatud väärtuse sisestamist ja printige jadas olevate numbrite arv. Seejärel vajutage võrdusmärki ja kalkulaator arvutab ja kuvab aritmeetilise keskmise.

Samal eesmärgil saate kasutada tabeliredaktorit Microsoft Excel. Sel juhul käivitage redaktor ja sisestage kõik numbrite jada väärtused külgnevatesse lahtritesse. Kui vajutate pärast iga numbri sisestamist sisestusklahvi või alla- või paremnooleklahvi, liigutab redaktor ise sisendi fookuse kõrvalasuvasse lahtrisse.

Kui te ei soovi ainult aritmeetilist keskmist näha, klõpsake viimase sisestatud arvu kõrval olevat lahtrit. Laiendage vahekaardi Avaleht redigeerimiskäskude rippmenüüd Kreeka sigma (Σ). Valige rida " Keskmine” ja redaktor sisestab valitud lahtrisse soovitud valemi aritmeetilise keskmise arvutamiseks. Vajutage sisestusklahvi ja väärtus arvutatakse.

Aritmeetiline keskmine on üks keskse tendentsi mõõte, mida kasutatakse laialdaselt matemaatikas ja statistilistes arvutustes. Mitme väärtuse aritmeetilise keskmise leidmine on väga lihtne, kuid igal ülesandel on oma nüansid, mida on õigete arvutuste tegemiseks lihtsalt vaja teada.

Mis on aritmeetiline keskmine

Kuidas leida aritmeetiline keskmine

Negatiivsete arvudega töötamise omadused

1. Ühise aritmeetilise keskmise leidmine standardmeetodil;
2. Negatiivsete arvude aritmeetilise keskmise leidmine.
3. Positiivsete arvude aritmeetilise keskmise arvutamine.

Iga toimingu vastused on eraldatud komadega.

Naturaalsed ja kümnendmurrud

Naturaalmurdudega töötamisel tuleks need taandada ühise nimetajani, mis korrutatakse massiivi arvude arvuga. Vastuse lugejaks saab algsete murdosaelementide etteantud lugejate summa.

Tehnikakalkulaator.

Juhend

Pidage meeles, et üldjuhul leitakse arvude geomeetriline keskmine, korrutades need arvud ja eraldades neist arvude arvule vastava astme juur. Näiteks kui teil on vaja leida viie arvu geomeetriline keskmine, peate korrutisest eraldama astme juure.

Kahe arvu geomeetrilise keskmise leidmiseks kasutage põhireeglit. Leidke nende korrutis ja eraldage sellest ruutjuur, kuna arvud on kaks, mis vastab juure astmele. Näiteks arvude 16 ja 4 geomeetrilise keskmise leidmiseks leidke nende korrutis 16 4=64. Saadud arvust eraldage ruutjuur √64=8. See on soovitud väärtus. Pange tähele, et nende kahe arvu aritmeetiline keskmine on suurem ja võrdne 10-ga. Kui juur pole täielikult võetud, ümardage tulemus soovitud järjestusse.

Rohkem kui kahe arvu geomeetrilise keskmise leidmiseks kasutage ka põhireeglit. Selleks leidke kõigi nende arvude korrutis, mille geomeetrilist keskmist soovite leida. Saadud korrutisest eraldage arvude arvuga võrdne astme juur. Näiteks arvude 2, 4 ja 64 geomeetrilise keskmise leidmiseks leidke nende korrutis. 2 4 64=512. Kuna peate leidma kolme arvu geomeetrilise keskmise tulemuse, eraldage korrutisest kolmanda astme juur. Seda on raske suuliselt teha, seega kasutage insenerikalkulaatorit. Selleks on sellel nupp "x ^ y". Valige number 512, vajutage nuppu "x^y", seejärel valige number 3 ja vajutage nuppu "1/x". Väärtuse 1/3 leidmiseks vajutage nuppu "=". Saame tulemuse 512 tõstmisel astmeni 1/3, mis vastab kolmanda astme juurele. Hankige 512^1/3=8. See on arvude 2,4 ja 64 geomeetriline keskmine.

Insenerikalkulaatori abil saate geomeetrilise keskmise leida muul viisil. Leidke oma klaviatuurilt loginupp. Pärast seda võtke iga arvu jaoks logaritm, leidke nende summa ja jagage see arvude arvuga. Saadud arvust võtke antilogaritm. See on arvude geomeetriline keskmine. Näiteks samade arvude 2, 4 ja 64 geomeetrilise keskmise leidmiseks tehke kalkulaatoris tehtekomplekt. Tippige number 2, seejärel vajutage loginuppu, vajutage nuppu "+", tippige number 4 ja vajutage uuesti logi ja "+", tippige 64, vajutage logi ja "=". Tulemuseks on arv, mis on võrdne arvude 2, 4 ja 64 kümnendlogaritmide summaga. Jagage saadud arv 3-ga, kuna see on arvude arv, mille järgi otsitakse geomeetrilist keskmist. Tulemusest võtke registriklahvi ümberlülitamisega antilogaritm ja kasutage sama logiklahvi. Tulemuseks on number 8, see on soovitud geomeetriline keskmine.

Keskmised väärtused statistikas mängivad olulist rolli, sest need võimaldavad saada analüüsitava nähtuse üldistava tunnuse. Kõige tavalisem keskmine on loomulikult . See tekib siis, kui koondnäitaja moodustatakse elementide summa abil. Näiteks mitme õuna mass, iga müügipäeva kogutulu jne. Kuid see ei ole alati nii. Mõnikord moodustub koondnäitaja mitte summeerimise, vaid muude matemaatiliste toimingute tulemusena.

Mõelge järgmisele näitele. Kuu inflatsioon on ühe kuu hinnataseme muutus võrreldes eelmisega. Kui iga kuu inflatsioonimäärad on teada, siis kuidas saada aastaväärtust? Statistilisest seisukohast on tegemist ahelindeksiga, seega on õige vastus: igakuiste inflatsioonimäärade korrutamisega. See tähendab, et koguinflatsioonimäär ei ole summa, vaid korrutis. Ja kuidas nüüd teada saada kuu keskmist inflatsiooni, kui on aastane väärtus? Ei, ärge jagage 12-ga, vaid võtke 12. astme juur (aste sõltub tegurite arvust). Üldjuhul arvutatakse geomeetriline keskmine valemiga:

See tähendab, et see on algandmete korrutise juur, kus astme määrab tegurite arv. Näiteks kahe arvu geomeetriline keskmine on nende korrutise ruutjuur

kolmest numbrist - toote kuupjuur

jne.

Kui iga algne arv asendada nende geomeetrilise keskmisega, annab korrutis sama tulemuse.

Et paremini mõista, mis on geomeetriline keskmine ja kuidas see erineb aritmeetilisest keskmisest, vaadake järgmist joonist. Ringi on kirjutatud täisnurkne kolmnurk.

Mediaan jäetakse õigest nurgast välja a(hüpotenuusi keskpaigani). Ka õige nurga alt on kõrgus välja jäetud b, mis on punktis P jagab hüpotenuusi kaheks osaks m ja n. Sest hüpotenuus on piiritletud ringi läbimõõt ja mediaan on raadius, on ilmne, et mediaani pikkus a on aritmeetiline keskmine m ja n.

Arvutage, mis on kõrgus b. Kolmnurkade sarnasuse tõttu ABP ja BCPõiglane võrdsus

See tähendab, et täisnurkse kolmnurga kõrgus on nende segmentide geomeetriline keskmine, milleks see hüpotenuusi jagab. Selline selge vahe.

MS Excelis saab geomeetrilise keskmise leida funktsiooni CPGEOM abil.

Kõik on väga lihtne: helistage funktsioonile, määrake vahemik ja oletegi valmis.

Praktikas ei kasutata seda näitajat nii sageli kui aritmeetilist keskmist, kuid siiski esineb. Näiteks on selline inimarengu indeks, mis võrdleb erinevate riikide elatustaset. See arvutatakse mitme indeksi geomeetrilise keskmisena.

On ka teisi keskmisi. Nendest teine ​​kord.

Erinevalt aritmeetilisest keskmisest mõõdab geomeetriline keskmine, kui palju muutuja on aja jooksul muutunud. Geomeetriline keskmine on n väärtuse korrutise n-nda astme juur (Excelis kasutatakse funktsiooni = CVGEOM):

G = (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n

Sarnane parameeter - tulumäära geomeetriline keskmine - määratakse järgmise valemiga:

G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,

kus R i on i-nda perioodi tulumäär.

Oletagem näiteks, et esialgne investeering on 100 000 dollarit. Esimese aasta lõpuks langeb see 50 000 dollarini ja teise aasta lõpuks taastub algse 100 000 dollarini. Selle investeeringu tootlus kahe aasta jooksul aasta periood võrdub 0-ga, kuna vahendite esialgne ja lõppsumma on üksteisega võrdsed. Aasta tulumäärade aritmeetiline keskmine on aga = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 või 25%, kuna esimese aasta tootlus R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5 ja teises R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. Samal ajal on kahe aasta tulumäära geomeetriline keskmine: G = [(1-0,5) * (1+1 )] 1 /2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. Seega peegeldab geomeetriline keskmine täpsemalt investeeringu muutust (täpsemalt muutuse puudumist) kahe aasta jooksul kui aritmeetiline keskmine.

Huvitavaid fakte. Esiteks on geomeetriline keskmine alati väiksem kui samade arvude aritmeetiline keskmine. Välja arvatud juhul, kui kõik võetud numbrid on üksteisega võrdsed. Teiseks, olles kaalunud täisnurkse kolmnurga omadusi, saab aru, miks keskmist nimetatakse geomeetriliseks. Hüpotenuusile langenud täisnurkse kolmnurga kõrgus on keskmine proportsionaalne jalgade projektsioonide vahel hüpotenuusil ja iga jalg on keskmine proportsionaalne hüpotenuusi ja selle hüpotenuusi projektsiooni vahel. See annab geomeetrilise võimaluse kahe (pikkuse) segmendi geomeetrilise keskmise konstrueerimiseks: nende kahe segmendi summale tuleb ehitada ring läbimõõduna, seejärel kõrgusena, mis taastatakse nende ühenduspunktist lõikumispunktini ring, annab soovitud väärtuse:

Riis. neli.

Arvandmete teine ​​oluline omadus on nende varieeruvus, mis iseloomustab andmete hajutatuse astet. Kaks erinevat proovi võivad erineda nii keskmiste väärtuste kui ka variatsioonide poolest.

Andmete varieerumisel on viis hinnangut:

interkvartiilne vahemik,

dispersioon,

standardhälve,

variatsioonikoefitsient.

Vahemik on erinevus valimi suurima ja väikseima elemendi vahel:

Vahemik \u003d X Max - X Min

15 väga kõrge riskiga investeerimisfondi keskmist aastatootlust sisaldava valimi vahemikku saab arvutada järjestatud massiivi abil: Vahemik = 18,5 - (-6,1) = 24,6. See tähendab, et väga kõrge riskiga fondide kõrgeima ja madalaima keskmise aastatootluse vahe on 24,6%.

Vahemik mõõdab andmete üldist levikut. Kuigi valimivahemik on andmete kogulevi väga lihtne hinnang, on selle nõrkuseks see, et see ei võta täpselt arvesse, kuidas andmed jaotuvad miinimum- ja maksimumelementide vahel. B-skaala näitab, et kui valim sisaldab vähemalt ühte äärmuslikku väärtust, on valimivahemik väga ebatäpne andmete hajuvuse hinnang.

Rakendatud geomeetriline keskmine juhtudel, kui atribuudi individuaalsed väärtused on dünaamika suhtelised väärtused, mis on üles ehitatud ahelväärtuste kujul, suhtena dünaamikaseeria iga taseme eelmise tasemega, st iseloomustab keskmist kasvu faktor.

Väga sageli arvutatakse moodi ja mediaani statistikaülesannetes ning need on üldkogumi lisatunnused ning neid kasutatakse matemaatilises statistikas jaotusrea tüübi analüüsimiseks, mis võib olla normaalne, asümmeetriline, sümmeetriline jne.

Lisaks mediaanile arvutatakse ka atribuudi väärtused, jagades populatsiooni neljaks võrdseks osaks - kvartlid, viieks osaks - kvintlid, kümneks võrdseks osaks - aeglustub, sajaks võrdseks osaks - protsentilid. Vaadeldavate tunnuste jaotuse kasutamine statistikas variatsiooniridade analüüsimisel võimaldab uuritavat üldkogumit sügavamalt ja detailsemalt iseloomustada.

Aritmeetilise ja geomeetrilise keskmise teema on matemaatika programmis 6.-7.klassile. Kuna lõigust on üsna lihtne aru saada, saab see kiiresti läbi ja kooliaasta lõpuks unustavad õpilased selle. Kuid eksami sooritamiseks ja ka rahvusvaheliste SAT-eksamite jaoks on vaja teadmisi põhistatistikast. Ja igapäevaeluks ei tee arenenud analüütiline mõtlemine kunagi paha.

Kuidas arvutada arvude aritmeetilist ja geomeetrilist keskmist

Oletame, et on arvude jada: 11, 4 ja 3. Aritmeetiline keskmine on kõigi arvude summa jagatud antud arvude arvuga. See tähendab, et numbrite 11, 4, 3 puhul on vastuseks 6. Kuidas saadakse 6?

Lahendus: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Nimetaja peab sisaldama arvu, mis on võrdne nende arvude arvuga, mille keskmine tuleb leida. Summa jagub 3-ga, kuna liikmeid on kolm.

Nüüd peame tegelema geomeetrilise keskmisega. Oletame, et on arvude jada: 4, 2 ja 8.

Geomeetriline keskmine on kõigi antud arvude korrutis, mis on antud arvude arvuga võrdse astmega juure all ehk siis arvude 4, 2 ja 8 puhul on vastus 4. Nii juhtus :

Lahendus: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Mõlema variandi puhul saadi terved vastused, kuna näiteks võeti erinumbrid. See ei ole alati nii. Enamikul juhtudel tuleb vastus ümardada või jätta juure. Näiteks arvude 11, 7 ja 20 aritmeetiline keskmine on ≈ 12,67 ja geomeetriline keskmine on ∛1540. Ja numbrite 6 ja 5 puhul on vastused vastavalt 5,5 ja √30.

Kas võib juhtuda, et aritmeetiline keskmine võrdub geomeetrilise keskmisega?

Muidugi saab. Kuid ainult kahel juhul. Kui on arvude jada, mis koosneb ainult ühtedest või nullidest. Tähelepanuväärne on ka see, et vastus ei sõltu nende arvust.

Tõestus ühikutega: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmeetiline keskmine).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geomeetriline keskmine).

Tõestus nullidega: (0 + 0) / 2=0 (aritmeetiline keskmine).

√(0 × 0) = 0 (geomeetriline keskmine).

Muud võimalust ei ole ega saagi olla.