Kümnendlogaritm 1 5. Logaritm. Kümnendlogaritm

Logaritm on astendamise pöördtehte. Kui mõtlete, millise võimsusega peate 2 tõstma, et saada 10, siis tuleb teile appi logaritm.

Astendamise pöördtehte

Astendamine on korduv korrutamine. Kahe tõstmiseks kolmandale astmele peame arvutama avaldise 2 × 2 × 2. Korrutamise pöördtehte on jagamine. Kui avaldis a × b = c on tõene, siis on tõene ka pöördavaldis b = a / c. Aga kuidas eksponentsimist ümber pöörata? Korrutamise inversiooniülesandel on elegantne lahendus tänu lihtsale omadusele, et a × b = b × a. Kuid a b ei ole võrdne b a -ga, välja arvatud üksikjuhtum, kus 2 2 = 4 2 . Avaldises a b = c saame a väljendada c b-nda juurena, aga kuidas väljendada b-d? Siin tulevad mängu logaritmid.

Logaritmi mõiste

Proovime lahendada lihtsat võrrandit nagu 2 x = 16. See on eksponentsiaalvõrrand, sest me peame leidma eksponendi. Lihtsamaks mõistmiseks püstitame ülesande järgmiselt: mitu korda pead korrutama kahe endaga, et saada tulemuseks 16? Ilmselgelt 4, seega on selle võrrandi juur x = 4.

Nüüd proovime lahendada 2 x = 20. Mitu korda tuleb 2 korrutada iseendaga, et saada 20? See on keeruline, sest 2 4 \u003d 16 ja 2 5 \u003d 32. Loogiliselt võttes asub selle võrrandi juur 4 ja 5 vahel ja lähemal 4-le, võib-olla 4,3? Matemaatikud ei salli umbkaudseid arvutusi ja tahavad teada täpset vastust. Selleks kasutavad nad logaritme ja selle võrrandi juur on x = log2 20.

Avaldis log2 20 loetakse logaritmiks 20 alusest 2. See on vastus, millest rangetele matemaatikutele piisab. Kui soovite seda arvu täpselt väljendada, arvutage see välja insenerikalkulaatori abil. Sel juhul log2 20 = 4,32192809489. See on irratsionaalne lõpmatu arv ja log2 20 on selle kompaktne tähistus.

Sel elegantsel viisil saate lahendada mis tahes lihtsa eksponentsiaalvõrrandi. Näiteks võrrandite jaoks:

• 4 x = 125, x = log4 125;
• 12 x = 432, x = log12 432;
• 5 x = 25, x = log5 25.

Viimane vastus x = log5 25 matemaatikule ei meeldi. Seda seetõttu, et log5 25 on lihtne arvutada ja see on täisarv, seega peate selle defineerima. Mitu korda on vaja 5 korrutada iseendaga, et saada 25? Põhimõtteliselt kaks korda. 5 × 5 \u003d 5 2 \u003d 25. Seega võrrandi puhul kujul 5 x \u003d 25, x \u003d 2.

Kümnendlogaritm

Kümnendlogaritm on 10. baasfunktsioon. See on populaarne matemaatikatööriist, seega kirjutatakse see erinevalt. Näiteks millise võimsusega peate 10 tõstma, et saada 30? Vastus oleks log10 30, kuid matemaatikud lühendavad kümnendlogaritme ja kirjutavad selle lg30. Samamoodi kirjutatakse log10 50 ja log10 360 vastavalt lg50 ja lg360.

naturaallogaritm

Naturaallogaritm on funktsioon baasis e. Selles pole midagi loomulikku ja selline funktsioon lihtsalt hirmutab paljusid algajaid. Arv e = 2,718281828 on konstant, mis loomulikult tekib pideva kasvu protsesside kirjeldamisel. Sama oluline kui pi on geomeetria jaoks, mängib arv e olulist rolli ajaprotsesside modelleerimisel.

Millise astmeni tuleb e tõsta, et saada 10? Vastus oleks loge 10, kuid matemaatikud tähistavad naturaallogaritmi kui ln, seega oleks vastus ln10. Sama kehtib ka avaldiste loge 35 ja loge 40 kohta, mille õige tähistus on ln34 ja ln40.

Antilog

Antilogaritm on arv, mis vastab valitud logaritmi väärtusele. Lihtsamalt öeldes loetakse avaldises loga b arvu b a antilogaritmiks. Kümnendlogaritmi lga korral on antilogaritm 10 a ja loomuliku lna puhul on antilogaritm e a . Tegelikult on see ka astendamine ja logaritmi pöördtehte.

Logaritmi füüsikaline tähendus

Võimude leidmine on puhtalt matemaatiline probleem, kuid milleks on logaritmid reaalses elus? Logaritmi idee väljatöötamise alguses kasutati seda matemaatilist tööriista mahuarvutuste vähendamiseks. Suur füüsik ja astronoom Pierre-Simon Laplace ütles, et "logaritmide leiutamine lühendas astronoomi tööd ja kahekordistas tema eluiga". Matemaatilise tööriista arendamisega tekkisid terved logaritmilised tabelid, mille abil said teadlased opereerida tohutute arvudega ning funktsioonide omadused võimaldavad irratsionaalarvudel opereerivaid avaldisi teisendada täisarvulisteks avaldisteks. Samuti võimaldab logaritmiline tähistus esitada kompaktsel kujul liiga väikeseid ja liiga suuri numbreid.

Logaritmid on leidnud rakendust ka graafiliste protsesside kuvamise vallas. Kui soovite joonistada funktsiooni graafiku, mis võtab väärtused 1, 10, 1000 ja 100 000, siis on väikesed väärtused nähtamatud ja visuaalselt sulanduvad need nullilähedaseks punktiks. Selle probleemi lahendamiseks kasutatakse kümnendlogaritmi, mis võimaldab joonistada funktsioonigraafiku, mis kuvab adekvaatselt kõiki selle väärtusi.

Logaritmi füüsikaline tähendus on ajaliste protsesside ja muutuste kirjeldus. Näiteks võimaldab 2. aluse logaritm määrata, mitu algväärtust on teatud tulemuse saavutamiseks vaja kahekordistada. Kümnendfunktsiooni kasutatakse vajalike kümnendkohtade arvu leidmiseks ja loomulik funktsioon on aeg, mis kulub etteantud tasemeni jõudmiseks.

Meie programm koosneb neljast veebikalkulaatorist, mis võimaldavad teil arvutada logaritmi mis tahes baasi, kümnend- ja naturaallogaritmilisi funktsioone ning kümnendkoha antilogaritmi. Arvutuste tegemiseks peate sisestama aluse ja arvu või lihtsalt kümnend- ja naturaallogaritmi arvu.

Näited elust

kooli ülesanne

Nagu eespool mainitud, ei vaja log2 345 tüüpi irratsionaalsed väärtused täiendavaid teisendusi ja selline vastus rahuldab matemaatikaõpetajat täielikult. Kui aga logaritm on arvutatud, peate selle esitama täisarvuna. Oletame, et olete algebras lahendanud 5 ülesannet ja peate kontrollima tulemusi täisarvulise esituse võimaluse suhtes. Kontrollime neid logaritmikalkulaatoriga mis tahes alusele:

• log7 65 - irratsionaalne arv;
• log3 243 - täisarv 5;
• log5 95 - irratsionaalne;
• log8 512 - täisarv 3;
• log2 2046 - irratsionaalne.

Seega tuleks log3 243 ja log8 512 ümber kirjutada vastavalt 5-ks ja 3-ks.

Potentsieerimine

Potentsieerimine on arvu antilogaritmi leidmine. Meie kalkulaator võimaldab leida antilogaritme baasist 10, mis tähendab kümne tõstmist astmeni n. Arvutame antilogaritmid järgmiste n väärtuste jaoks:

• n = 1 antlog = 10;
• n = 1,5 antlog = 31,623;
• n = 2,71 antlog = 512,861 jaoks.

Pidev kasv

Naturaalne logaritm võimaldab kirjeldada pideva kasvu protsesse. Kujutage ette, et Krakozhia riigi SKT kasvas 10 aastaga 5,5 miljardilt dollarilt 7,8 miljardile dollarile. Määrame naturaallogaritmi kalkulaatori abil SKP aastakasvu protsentides. Selleks peame arvutama ln(7,8/5,5) naturaallogaritmi, mis on võrdne ln(1,418). Sisestame selle väärtuse kalkulaatori lahtrisse ja saame tulemuseks 0,882 ehk 88,2% kogu aja kohta. Kuna SKP on kasvanud 10 aastat, siis on selle aastakasv 88,2 / 10 = 8,82%.

Kümnendkohtade arvu leidmine

Oletame, et 30 aastaga on personaalarvutite arv kasvanud 250 000-lt 1 miljardile. Mitu korda on arvutite arv selle aja jooksul 10 korda kasvanud? Sellise huvitava parameetri arvutamiseks peame arvutama kümnendlogaritmi lg(1 000 000 000 / 250 000) või lg(4 000). Valime kümnendlogaritmi kalkulaatori ja arvutame selle väärtuseks lg(4000) = 3,60. Selgub, et aja jooksul on personaalarvutite arv kasvanud 10 korda iga 8 aasta ja 4 kuu järel.

Järeldus

Hoolimata logaritmide keerukusest ja laste vastumeelsusest koolieas, kasutatakse seda matemaatilist tööriista teaduses ja statistikas laialdaselt. Kasutage meie veebikalkulaatorite kollektsiooni kooliülesannete ja erinevate teadusvaldkondade probleemide lahendamiseks.

Võtke sageli number kümme. Kutsutakse arvude logaritme kümne baasini kümnend. Kümnendlogaritmiga arvutuste tegemisel on tavaline operatsioon märgiga lg, kuid mitte logi; samas kui arvu kümme, mis määrab baasi, pole märgitud. Jah, me asendame logi 10 105 lihtsustatud juurde lg105; a log102 peal lg2.

Sest kümnendlogaritmid tüüpilised on samad tunnused, mis on logaritmidel, mille baas on suurem kui üks. Nimelt iseloomustatakse kümnendlogaritme eranditult positiivsete arvude puhul. Ühest suuremate arvude kümnendlogaritmid on positiivsed ja ühest väiksemad arvud negatiivsed; Kahest mittenegatiivsest arvust on suurem kümnendlogaritm samaväärne ka suuremaga jne. Lisaks on kümnendlogaritmidel eristavaid jooni ja iseärasusi, mis seletavad, miks on mugav eelistada logaritmide aluseks olevat arvu kümmet.

Enne nende omaduste analüüsimist vaatleme järgmisi koostisi.

Arvu kümnendlogaritmi täisarv a helistas iseloomulik, ja murdosa mantiss see logaritm.

Iseloomulik arvu kümnendlogaritmile a tähistatud kui , ja mantiss kui (lg a}.

Võtame näiteks lg 2 ≈ 0,3010. Vastavalt sellele = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Sama kehtib ka lg 543,1 ≈2,7349 kohta. Vastavalt = 2, (lg 543,1)≈ 0,7349.

Üsna laialdaselt kasutatakse positiivsete arvude kümnendlogaritmide arvutamist tabelitest.

Kümnendlogaritmide iseloomulikud märgid.

Kümnendlogaritmi esimene märk. mittenegatiivne täisarv, mida esindab 1, millele järgnevad nullid, on positiivne täisarv, mis võrdub nullide arvuga valitud arvus .

Võtame lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Üldiselt, kui

See a= 10n , millest me saame

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Teine märk. Positiivse kümnendkoha kümnendlogaritm, mida näitab üks koos eesolevate nullidega, on − P, kus P- nullide arv selle arvu esituses, võttes arvesse täisarvude nulli.

Kaaluge , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.

Üldiselt, kui

,

See a= 10-n ja selgub

lga = lg 10n =-n lg 10 =-n

Kolmas märk.Ühest suurema mittenegatiivse arvu kümnendlogaritmi tunnus on võrdne numbrite arvuga selle arvu täisarvulises osas, välja arvatud üks.

Analüüsime seda tunnust 1) Logaritmi lg 75.631 tunnus võrdsustatakse 1-ga.

Tõepoolest, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

See tähendab,

lg 75,631 = 1 + b,

Koma nihutamine kümnendmurrus paremale või vasakule on samaväärne toiminguga, mille käigus korrutatakse see murdosa kümnendarvuga täisarvu eksponendiga P(positiivne või negatiivne). Ja seetõttu, kui positiivse kümnendmurru koma nihutatakse vasakule või paremale, ei muutu selle murru kümnendlogaritmi mantiss.

Niisiis, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

Ühe arvu astet nimetatakse matemaatiliseks terminiks, mis võeti kasutusele mitu sajandit tagasi. Geomeetrias ja algebras on kaks võimalust – kümnend- ja naturaallogaritmid. Neid arvutatakse erinevate valemitega, samas kui kirjalikult erinevad võrrandid on alati üksteisega võrdsed. See identiteet iseloomustab omadusi, mis on seotud funktsiooni kasuliku potentsiaaliga.

Omadused ja olulised omadused

Hetkel on teada kümme matemaatilist omadust. Kõige tavalisemad ja populaarsemad neist on:

• Juurlogaritm jagatud juurväärtusega on alati sama, mis 10 baaslogaritm √.
• Palgi korrutis on alati võrdne tootja summaga.
• Lg = võimsuse väärtus korrutatuna sellele tõstetud arvuga.
• Kui lahutame logidividendist jagaja, saame jagatise lg.

Lisaks on võrrand, mis põhineb põhiidentiteedil (mida peetakse võtmeks), üleminek uuendatud alusele ja mitmed väiksemad valemid.

10 baaslogaritmi arvutamine on üsna spetsiifiline ülesanne, seega tuleb omaduste integreerimisele lahendusse suhtuda ettevaatlikult ja järjepidevuse tagamiseks regulaarselt üle vaadata. Me ei tohi unustada tabeleid, mille abil peate pidevalt kontrollima ja juhinduma ainult seal leiduvatest andmetest.

Matemaatilise termini variandid

Matemaatilise arvu peamised erinevused on "peidetud" alusesse (a). Kui selle eksponent on 10, on see kümnendlogi. Vastasel juhul muudetakse "a" "y"-ks ja sellel on transtsendentaalsed ja irratsionaalsed tunnused. Märkimist väärib ka see, et loodusväärtus arvutatakse erivõrrandiga, kus tõestuseks saab väljaspool gümnaasiumi õppekava õpitud teooria.

Kümnendtüüpi logaritme kasutatakse laialdaselt keerukate valemite arvutamisel. Arvutuste hõlbustamiseks on koostatud terved tabelid, mis näitavad selgelt probleemi lahendamise protsessi. Samal ajal, enne kui asute otse juhtumi juurde, peate sisse logima. Lisaks leiate igast koolitarvete poest spetsiaalse prinditud skaalaga joonlaua, mis aitab lahendada mis tahes keerukusega võrrandit.

Arvu kümnendlogaritmi nimetatakse Briggi ehk Euleri numbriks selle teadlase auks, kes avaldas esimesena väärtuse ja avastas kahe definitsiooni vastanduse.

Kaks tüüpi valemit

Kõik vastuse arvutamise ülesannete tüübid ja sordid, mille tingimuses on termin log, on eraldi nimega ja range matemaatilise seadmega. Eksponentvõrrand on peaaegu täpne logaritmiliste arvutuste koopia, kui vaadata lahenduse õigsuse poolelt. Lihtsalt esimene valik sisaldab spetsialiseeritud numbrit, mis aitab seisundist kiiresti aru saada, ja teine ​​asendab logi tavalise kraadiga. Sel juhul peavad viimast valemit kasutavad arvutused sisaldama muutuja väärtust.

Erinevus ja terminoloogia

Mõlemal põhinäitajal on oma omadused, mis eristavad numbreid üksteisest:

• Kümnendlogaritm. Numbri oluline detail on aluse kohustuslik olemasolu. Väärtuse standardversioon on 10. See on tähistatud järjestusega - log x või lg x.
• Loomulik. Kui selle aluseks on märk "e", mis on konstant, mis on identne rangelt arvutatud võrrandiga, kus n liigub kiiresti lõpmatuse suunas, siis on arvu ligikaudne suurus digitaalses vormis 2,72. Nii kooli- kui ka keerukamates erialavalemites kasutusele võetud ametlik märgistus on ln x.
• Erinevad. Lisaks põhilogaritmidele on olemas kuueteistkümnend- ja kahendsüsteemi tüübid (baas vastavalt 16 ja 2). Samuti on kõige keerulisem variant baasindikaatoriga 64, mis langeb adaptiivse tüübi süstematiseeritud kontrolli alla, mis arvutab lõpptulemuse geomeetrilise täpsusega.

Terminoloogia sisaldab järgmisi algebralises ülesandes sisalduvaid koguseid:

• tähendus;
• argument;
• alus.

Loginumbri arvutamine

Kõigi vajalike arvutuste kiireks ja verbaalseks tegemiseks, et leida huvipakkuv tulemus koos lahenduse kohustusliku õige tulemusega, on kolm võimalust. Algselt lähendame kümnendlogaritmi selle järjekorda (arvu teaduslik märkimine kraadis). Iga positiivse väärtuse saab määrata võrrandiga, kus see on võrdne mantissiga (arv 1 kuni 9), mis on korrutatud kümnega n-nda astmeni. See arvutusvalik loodi kahe matemaatilise fakti põhjal:

• korrutis ja logi summa on alati sama astendajaga;
• logaritm, mis on võetud arvust ühest kümneni, ei tohi ületada 1 punkti.

1. Kui arvutuses tekib viga, ei ole see lahutamise suunas kunagi väiksem kui üks.
2. Täpsus paraneb, kui arvestada, et lg kolme baasiga on lõpptulemuseks viis kümnendikku ühest. Seetõttu lisab iga matemaatiline väärtus, mis on suurem kui 3, vastusele automaatselt ühe punkti.
3. Peaaegu täiuslik täpsus saavutatakse, kui käepärast on spetsiaalne tabel, mida saab hõlpsasti oma hindamistegevuses kasutada. Selle abil saate teada, milline on kümnendlogaritm kuni kümnendiku protsendini esialgsest arvust.

Tõeline logi ajalugu

Kuueteistkümnendal sajand vajas hädasti keerulisemat arvutust, kui tolleaegne teadus teadis. See kehtis eriti mitmekohaliste arvude jagamisel ja korrutamisel suure jadaga, sealhulgas murdedega.

Ajastu teise poole lõpus jõudis mitu mõtet korraga järeldusele, et numbrite liitmise kohta tabeli abil, mis võrdles kahte ja geomeetrilist. Sel juhul pidid kõik põhiarvutused tuginema viimasele väärtusele. Samamoodi on teadlased integreerinud ja lahutanud.

Lg esmamainimine toimus 1614. aastal. Seda tegi amatöörmatemaatik nimega Napier. Väärib märkimist, et vaatamata saadud tulemuste tohutule populariseerimisele tehti valemis viga, mis oli tingitud mõne hiljem ilmunud määratluse teadmatusest. See algas indeksi kuuenda märgiga. Kõige lähemal logaritmi mõistmisele olid vennad Bernoullid ja Euleri debüüdi seadustamine toimus XVIII sajandil. Ta laiendas funktsiooni ka hariduse valdkonda.

Keerulise logi ajalugu

Debüütkatsed lg massidesse integreerida tegid 18. sajandi koidikul Bernoulli ja Leibniz. Kuid nad ei suutnud koostada terviklikke teoreetilisi arvutusi. Selle üle oli terve arutelu, kuid numbri täpset määratlust ei määratud. Hiljem dialoog jätkus, kuid Euleri ja d'Alemberti vahel.

Viimane oli põhimõtteliselt nõus paljude suurusjärgu asutaja pakutud faktidega, kuid arvas, et positiivsed ja negatiivsed näitajad peaksid olema võrdsed. Sajandi keskel demonstreeriti valemit lõpliku versioonina. Lisaks avaldas Euler kümnendlogaritmi tuletise ja koostas esimesed graafikud.

tabelid

Numbri omadused näitavad, et mitmekohalisi numbreid ei saa korrutada, vaid need leitakse logist ja lisatakse spetsiaalsete tabelite abil.

See näitaja on muutunud eriti väärtuslikuks astronoomide jaoks, kes on sunnitud töötama suure hulga järjestustega. Nõukogude ajal otsiti kümnendlogaritmi 1921. aastal ilmunud Bradise kogust. Hiljem, 1971. aastal, ilmus Vega väljaanne.

Tere tulemast veebipõhisesse logaritmikalkulaatorisse.

Milleks see kalkulaator mõeldud on? Noh, kõigepealt selleks, et kontrollida oma kirjalikke või peamisi arvutusi. Logaritme (vene koolides) võib kohata juba 10. klassis. Ja seda teemat peetakse üsna keeruliseks. Logaritmide lahendamine, eriti suurte või murdarvude puhul, ei ole lihtne. Parem on mängida ohutult ja kasutada kalkulaatorit. Täitmisel olge ettevaatlik, et mitte ajada alust numbriga segamini. Logaritmikalkulaator sarnaneb mõneti faktorikalkulaatoriga, mis genereerib automaatselt mitu lahendust.
Selles kalkulaatoris peate täitma ainult kaks välja. Numbriväli ja põhiväli. Noh, proovime kalkulaatorit praktikas ohjeldada. Näiteks tuleb leida log 2 8 (logaritm 8-st 2-st või logaritm 2-st alusest 8-st, ära karda erinevaid hääldusi). Seega sisestage väljale "Sisesta alus" 2 ja väljale "Sisestage number" 8. Seejärel vajutage "leia logaritm" või sisestage. Järgmiseks võtab logaritmikalkulaator antud avaldise logaritmi ja kuvab sellise tulemuse sinu ekraanidel.

Logaritmikalkulaator (päris) – see kalkulaator leiab veebist antud baasi logaritmi.
Kümnendlogaritmi kalkulaator on kalkulaator, mis otsib võrgust 10 baasi 10 logaritmi.
Naturaallogaritmi kalkulaator – see kalkulaator, mis leiab veebist logaritmi baasi e.
Binary Log Calculator on kalkulaator, mis leiab võrgust 2 baaslogaritmi.

Reaalse logaritmi mõiste: logaritmi definitsioone on palju erinevaid. Esiteks oleks tore teada, et logaritm on mingi algebraline tähistus, mida tähistatakse kui log a b, kus a on alus, b on arv. Ja seda kirjet loetakse järgmiselt: Logaritm arvu b alusele a. Mõnikord kasutatakse tähistuslogi b.
Alus, see tähendab "a", on alati allosas. Kuna see tõstetakse alati võimule.
Ja nüüd, tegelikult logaritmi enda definitsioon:
Positiivse arvu b logaritm alusele a (kus a>0, a≠1) on aste, milleni peate arvu b saamiseks suurendama arvu a. Muide, mitte ainult alus peab olema positiivses vormis. Ka arv (argument) peab olema positiivne. Vastasel juhul käivitab logaritmikalkulaator vastiku häire. Logaritm on logaritmi leidmise operatsioon, arvestades baasi. See tehe on vastava baasiga eksponentsimise pöördväärtus. Võrdlema:

Ja logaritmiga pöördtehte on Potentsiatsioon.
Lisaks reaallogaritmile, mille baas võib olla suvaline arv (lisaks negatiivsetele arvudele null ja üks), on olemas ka konstantse baasiga logaritmid. Näiteks kümnendlogaritm.
Arvu 10 baaslogaritm on 10 baaslogaritm, mis on kirjutatud kui lg6 või lg14. See näeb välja nagu kirjavea või isegi kirjavea, milles puudub ladina täht "o".
Naturaallogaritm on logaritm, mille alus on võrdne arvuga e, näiteks ln7, ln9, e≈2,7. Samuti on olemas kahendlogaritm, mis ei ole matemaatikas nii oluline kui infoteoorias ja informaatikas. Kahendlogaritmi baas on 2. Näiteks: log 2 10.
Kümnend- ja naturaallogaritmidel on samad omadused kui mis tahes positiivse alusega arvude logaritmidel.