Kujutis sfäärist ja selle osadest. Suur nafta ja gaasi entsüklopeedia

Sissejuhatus

Pall on keha, mis koosneb kõigist ruumipunktidest, mis ei ole antud punktist kaugemal kui etteantud kaugus. Seda punkti nimetatakse palli keskpunktiks ja seda kaugust palli raadiuseks.

Kera piiri nimetatakse sfääriliseks pinnaks ehk sfääriks. Seega on sfääri punktid kõik kuuli punktid, mis asuvad keskpunktist raadiusega võrdsel kaugusel. Mis tahes joonelõik, mis ühendab kuuli keskpunkti kuuli pinna punktiga, mida nimetatakse ka raadiuseks.

Segmenti, mis ühendab sfäärilise pinna kahte punkti, mis läbib kuuli keskpunkti, nimetatakse läbimõõduks. Mis tahes läbimõõduga otsad nimetatakse palli diametraalselt vastassuunalisteks punktideks.

Pall, nagu silinder ja koonus, on pöördeline keha. See saadakse poolringi pööramisel ümber selle läbimõõdu kui telje.

Kera läbilõige tasapinnaga

Iga sfääri tasandi lõik on ring. Selle ringi keskpunkt on kuuli keskpunktist lõiketasandile langenud risti alus.

Tõestus: Olgu lõiketasapind ja O - kuuli keskpunkt (joonis 1) Kujutame risti kuuli keskpunktist tasapinnale ja tähistame selle risti alust tähega O ".

Olgu X tasapinnale kuuluva kuuli suvaline punkt. Pythagorase teoreemi kohaselt on OX2 \u003d OO "2 + O" X2. Kuna OX ei ole suurem kui kuuli raadius R, siis O "X?, st kuuli tasapinnaga läbilõike mis tahes punkt asub punktist O" mitte suuremal kaugusel, seega kuulub see a ring keskpunktiga O "ja raadiusega. Vastupidiselt: selle ringi suvaline punkt X kuulub kuulile, mis tähendab, et kuuli läbilõige tasapinnaga on ringjoon, mille keskpunkt on punkt O". Teoreem on tõestatud.

Sfääri keskpunkti läbivat ala nimetatakse diametraaltasandiks. Diameetrilise tasandiga kuuli ristlõiget nimetatakse suurringiks ja sfääri ristlõiget suurringiks.

Pall tasapinnale on võrdne tasapinna raadiusega, siis puudutab tasapind palli ainult ühes punktis ja ristlõikepindala on null, see tähendab, kui b \u003d R, siis S \u003d 0. Kui b \u003d 0, siis lõiketasand läbib kuuli keskpunkti. Sel juhul on sektsioon ring, mille raadius langeb kokku kuuli raadiusega. Selle ringi pindala on valemi järgi võrdne S = πR^2.

Need kaks äärmuslikku juhtumit annavad piirid, mille vahel soovitud ala alati jääb: 0< S < πR^2. При этом любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти радиус окружности сечения. Тогда площадь этого сечения вычисляется по формуле площади круга.

Kuna kaugus punktist tasapinnani on määratletud kui lõigu pikkus, mis on tasapinnaga risti ja algab punktist, langeb selle lõigu teine ​​ots kokku lõigu ringiga. Selline järeldus tuleneb palli definitsioonist: on ilmne, et kõik lõigu ümbermõõdu punktid kuuluvad sfääri ja asuvad seetõttu kuuli keskpunktist võrdsel kaugusel. See tähendab, et läbilõike ringe võib pidada täisnurkse kolmnurga tipuks, mille hüpotenuus on kuuli raadius, millest üks on kuuli keskpunkti tasandiga ühendav ristilõik ja teine ​​jalg on lõigu ringi raadius.

Selle kolmnurga kolmest küljest on antud kaks - kuuli R raadius ja kaugus b, see tähendab hüpotenuus. Pythagorase teoreemi järgi peab teise jala pikkus olema võrdne √(R^2 - b^2). See on lõikeringi raadius. Asendades leitud väärtuse ringi pindala valemis, on lihtne järeldada, et kuuli ristlõike pindala tasapinnaga on: S = π(R^2 - b^2). leitud tulemusi.

Seotud videod

Allikad:

• sfääri läbilõige tasapinnaga

Kõik päikesesüsteemi planeedid on oma kujuga pall. Lisaks on paljud inimese loodud objektid, sealhulgas tehniliste seadmete detailid, sfäärilise või sellele sarnase kujuga. Kuulil, nagu igal pöördekehal, on telg, mis langeb kokku läbimõõduga. See pole aga ainus oluline omadus. pall. Allpool on toodud selle geomeetrilise kujundi peamised omadused ja selle pindala leidmise meetod.

Juhend

Kui võtate kas ringi ja pöörate seda ümber oma telje, saate keha, mida nimetatakse kuuliks. Teisisõnu, sfäär on keraga piiratud keha. Kera on kest pall ja selle ümbermõõt. Alates pall see erineb selle poolest, et on õõnes. Telg nagu pall, ja kera ühtib läbimõõduga ja läbib keskpunkti. Raadius pall nimetatakse lõiguks selle keskpunktist mis tahes välispunktini. Erinevalt sfäärist, lõigud pall on ringid. Sfäärilisele lähedasel kujul on suurem osa taevakehadest. Erinevates punktides pall on identse kujuga, kuid ebavõrdse suurusega, nn lõigud - erinevate alade ringid.

Kuul ja kera on erinevalt koonusest vahetatavad kehad, hoolimata sellest, et nad on ka pöördekeha. Sfäärilised pinnad moodustavad oma lõigus alati ringi, olenemata sellest, kuidas see on - horisontaalselt või vertikaalselt. Kooniline pind saadakse ainult kolmnurga pööramisel piki selle telge alusega risti. Seetõttu koonus, erinevalt pall, ja seda ei peeta revolutsiooni vahetatavaks kehaks.

Lõikamisega saadakse suurim võimalik ring pall läbides keskpunkti O. Kõik ringid, mis läbivad keskpunkti O, lõikuvad üksteisega sama läbimõõduga. Raadius on alati pool läbimõõdust. Läbi kahe punkti A ja B, mis asuvad mis tahes pinnal pall, võib läbida lõpmatu arvu ringe või ringe. Just sel põhjusel, et läbi

Palli pinna osa

Kuuli pinna mis tahes lõige tasapinnaga on ring, mis projitseeritakse moonutusteta ainult siis, kui lõiketasand on paralleelne projektsioonitasandiga. Üldjuhul saame ellipsi. Juhul, kui lõiketasand on projektsioonide tasapinnaga risti, on sellel tasapinnal ringi projektsioon sirge segment, mis võrdub selle ringi läbimõõduga.

Joonisel 109 on kujutatud kuuli pinna ja horisontaalse eenduva tasapinna ristumiskoht R. Lõik projitseeritakse horisontaaltasandile projektsioonisegmendina R lennuk R, mis jääb kuuli kontuuri vahele ja on võrdne lõikeringi läbimõõduga. Frontaaltasandil saame ellipsi. O 1 on ringi keskpunkt, mis saadakse kuuli lõikes. See asub palli keskpunktiga samal kõrgusel O. Horisontaalne projektsioon umbes 1 keskus O 1 ring asub segmendi keskel ab. Perpendikulaar, mis langeb punktist o sirgele ab, tabab asja umbes 1 , mis on läbilõike ringi keskpunkti horisontaalprojektsioon. eesmine projektsioon umbes 1 ringi keskpunktist on meid huvitava ellipsi keskpunkt.

Kui vaadelda ellipsi mingi ringi projektsioonina, siis on selle peateljeks alati ringi läbimõõdu projektsioon, mis on paralleelne projektsioonitasandiga ja ellipsi väiketelg on läbimõõdu projektsioon. sellega risti. Selle tulemusena on projektsiooniellipsi peatelg alati võrdne projekteeritud ringi läbimõõduga. Siin on ringi läbimõõt CD tasapinnaga risti H ja projitseeritakse ilma moonutusteta frontaaltasandile. Ellipsi peatelje otste leidmiseks on vaja pikali ja ülespoole keskelt umbes 1 ellips (risti sirgjoonega oo 1) segmendid umbes 1 Koos ja umbes 1 d, mis on võrdsed poolega sektsiooni ümbermõõdu läbimõõdust umbes 1 Koos = umbes 1 d = 1/2(ab). Samal ajal läbimõõt AB ringjoon on paralleelne horisontaaltasapinnaga ja selle esiprojektsioon ab′ on vaadeldava ellipsi väiketelg.

Punktid, mis eraldavad ellipsi nähtavat osa nähtamatust. Alustame frontaaltasandi joonistamisega K, mis poolitab palli. Lennuk K lõikub palli pinnaga piki ringjoont, mis on projitseeritud esipinnale kontuuri kujul. Siis on eestpoolt vaadates nähtav palli esiküljel asuv lõikejoone osa ja ülejäänud osa pole näha. Lennuk Kületab lennuki R eesmine Füks . Lõikus kontuuriga, selle frontaalprojektsioon F määrab punktid 1 , mis eraldavad kõvera nähtava osa nähtamatust osast. Ellipsi vahepunktid 2′ saab leida abiotsapinna R abil, mis lõikab kuuli pinda piki raadiusega ringi r 2 ja lennuk R- piki esiosa F 2.

Pall on keha, mis koosneb kõigist ruumipunktidest, mis ei ole antud punktist kaugemal kui etteantud kaugus. Seda punkti nimetatakse palli keskpunktiks ja seda kaugust palli raadiuseks. Sfääri piiri nimetatakse sfääriliseks pinnaks või sfääriks. Sfääri punktid on kõik palli punktid, mis asuvad tsentrist raadiusega võrdsel kaugusel. Iga lõiku, mis ühendab kuuli keskpunkti sfäärilise pinna punktiga, nimetatakse ka raadiuseks. Kuuli keskpunkti läbivat segmenti, mis ühendab sfäärilise pinna kahte punkti, nimetatakse läbimõõduks. Mis tahes läbimõõduga otsad nimetatakse palli diametraalselt vastassuunalisteks punktideks.

Pall on pöördeline keha, täpselt nagu koonus ja silinder. Pall saadakse poolringi pööramisel ümber selle läbimõõdu kui telje.

Kera pindala saab leida valemite abil:

kus r on kuuli raadius, d on kuuli läbimõõt.

Kera ruumala leitakse järgmise valemiga:

V = 4/3 3 kohta,

kus r on kuuli raadius.

Teoreem. Iga sfääri tasandi lõik on ring. Selle ringi keskpunkt on kuuli keskpunktist lõiketasandile langenud risti alus.

Selle teoreemi alusel, kui kuuli keskpunktiga O ja raadiusega R lõikab tasapind α, siis saadakse läbilõikes ring raadiusega r keskpunktiga K. Kuuli läbilõike raadiuse tasapinnast saab leida valemi järgi

Valemist on näha, et keskpunktist võrdsel kaugusel asuvad tasapinnad lõikuvad kuuli võrdsetes ringides. Lõigu raadius on seda suurem, mida lähemal on lõiketasand palli keskpunktile, st seda väiksem on vahemaa OK. Suurima raadiusega on osa, mille tasapind läbib kuuli keskpunkti. Selle ringi raadius on võrdne kuuli raadiusega.

Tasapinda, mis läbib kuuli keskpunkti, nimetatakse diametraaltasandiks. Kuuli läbilõiget diametraaltasandil nimetatakse suureks ringiks ja sfääri lõiku nimetatakse suureks ringiks ja sfääri lõiku nimetatakse suureks ringiks.

Teoreem. Kuuli mis tahes diametraaltasand on selle sümmeetriatasand. Palli keskpunkt on selle sümmeetriakeskus.

Tasapinda, mis läbib kerapinna punkti A ja on risti punktile A tõmmatud raadiusega, nimetatakse puutujatasandiks. Punkti A nimetatakse puutepunktiks.

Teoreem. Puutujatasandil on kuuliga ainult üks ühine punkt – kokkupuutepunkt.

Sirget, mis läbib sfäärilise pinna punkti A risti sellesse punkti tõmmatud raadiusega, nimetatakse puutujaks.

Teoreem. Läbi sfäärilise pinna mis tahes punkti on lõpmatult palju puutujaid ja kõik need asuvad kuuli puutujatasandil.

Sfääriline segment on sfääri osa, mis on sellest tasapinnaga ära lõigatud. Ring ABC on sfäärilise segmendi alus. Ringjoone ABC keskpunktist N sfäärilise pinnaga ristumiskohani tõmmatud risti lõik MN on sfäärilise lõigu kõrgus. Punkt M on sfäärilise segmendi tipp.

Sfäärilise segmendi pindala saab arvutada järgmise valemi abil:

Sfäärilise segmendi ruumala saab leida järgmise valemiga:

V \u003d πh 2 (R - 1/3 h),

kus R on suure ringi raadius, h on sfäärilise segmendi kõrgus.

Sfääriline sektor saadakse sfäärilisest segmendist ja koonusest järgmiselt. Kui sfääriline segment on poolkerast väiksem, siis sfäärilist segmenti täiendab koonus, mille tipp on kuuli keskpunktis ja mille alus on segmendi alus. Kui segment on suurem kui poolkera, eemaldatakse sellelt näidatud koonus.

Sfääriline sektor on osa sfäärist, mis on piiratud sfäärilise segmendi (meie joonisel on see AMCB) kõverpinna ja koonilise pinnaga (joonisel OABC), mille alus on segmendi alus ( ABC) ja tipp on kuuli O keskpunkt.

Sfäärilise sektori maht leitakse järgmise valemiga:

V = 2/3 πR 2 H.

Sfääriline kiht on kera osa, mis jääb kahe paralleelse tasandi (joonisel tasandid ABC ja DEF) vahele, mis lõikuvad sfäärilise pinnaga. Sfäärilise kihi kõverat pinda nimetatakse sfääriliseks vööks (tsooniks). Ringid ABC ja DEF on sfäärilise vöö alused. Sfäärilise vöö aluste vaheline kaugus NK on selle kõrgus.

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.