Trigonometrijske jednadžbe s kosinusom. Složenije trigonometrijske jednadžbe

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u online trgovini "Integral" za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za izgradnju u prostoru
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Šta ćemo studirati:
1. Šta su trigonometrijske jednačine?

3. Dvije glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Šta su trigonometrijske jednačine?

Ljudi, već smo proučavali arksinus, arkkosinus, arktangens i arkkotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.

Trigonometrijske jednadžbe - jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod znakom trigonometrijske funkcije.

Ponavljamo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1) Ako je |a|≤ 1, onda jednačina cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, onda jednačina sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednačina tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednačina ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule, k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T- bilo koja trigonometrijska funkcija.

Riješite jednačine: a) sin(3x)= √3/2

Rješenje:

A) Označimo 3x=t, onda ćemo našu jednačinu prepisati u obliku:

Rješenje ove jednačine će biti: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Iz tabele vrednosti dobijamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se na našu varijablu: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n - minus jedan na stepen n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Rješenje:

A) Ovaj put ćemo odmah prijeći direktno na izračunavanje korijena jednadžbe:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednačine: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Rješenje:

Rešimo našu jednačinu u opštem obliku: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Za k Za k=0, x= π/16, nalazimo se u datom segmentu .
Sa k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, udarili su ponovo.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da nećemo pogoditi ni za veliki k.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Rešimo jednačinu:

Rješenje:
Za rješavanje naše jednadžbe koristimo metodu uvođenja nove varijable, označene: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene, dobijamo: t 2 + 2t -1 = 0

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe: t=-1 i t=1/3

Tada tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobili smo najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu, hajde da nađemo njene korijene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Rješenje:

Koristimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednadžba postaje: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Hajde da uvedemo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može uzeti vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijena.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Jednačine oblika

homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena.

Da bismo riješili homogenu trigonometrijsku jednačinu prvog stepena, podijelimo je sa cos(x): Nemoguće je podijeliti kosinusom ako je jednako nuli, uvjerimo se da to nije tako:
Neka je cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobili smo kontradikciju, tako da možemo bezbedno podijeliti po nuli.

Riješite jednačinu:
Primjer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Rješenje:

Izvadite zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednačine:

cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 za x= π/2 + πk;

Razmotrite jednačinu cos(x)+sin(x)=0 Podijelite našu jednačinu sa cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena?
Ljudi, uvijek se pridržavajte ovih pravila!

1. Pogledajte čemu je koeficijent a jednak, ako je a = 0 onda će naša jednadžba poprimiti oblik cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), čiji je primjer rješenja na prethodnom slajd

2. Ako je a≠0, tada trebate podijeliti oba dijela jednadžbe na kvadrat kosinusa, dobićemo:

Napravimo promjenu varijable t=tg(x) i dobijemo jednačinu:

Riješi primjer #:3

Podijelite obje strane jednačine kosinusnim kvadratom:

Napravimo promjenu varijable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješi primjer #:4

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Možemo riješiti takve jednačine: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješi primjer #:5

Rješenje:
Transformirajmo naš izraz:

Uvodimo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobijamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Zadaci za samostalno rješavanje.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednačine: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednačinu: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Riješite jednačinu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednačinu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednačinu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Koncept rješavanja trigonometrijskih jednačina.

• Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, pretvorite je u jednu ili više osnovnih trigonometrijskih jednačina. Rješavanje trigonometrijske jednadžbe na kraju se svodi na rješavanje četiri osnovne trigonometrijske jednačine.

Zahtijeva poznavanje osnovnih formula trigonometrije - zbira kvadrata sinusa i kosinusa, izraza tangente kroz sinus i kosinus i dr. Za one koji su ih zaboravili ili ne znaju, preporučujemo čitanje članka "".
Dakle, znamo osnovne trigonometrijske formule, vrijeme je da ih provedemo u praksi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s pravim pristupom, to je prilično uzbudljiva aktivnost, poput, na primjer, rješavanja Rubikove kocke.

Na osnovu samog naziva jasno je da je trigonometrijska jednačina jednačina u kojoj je nepoznata pod znakom trigonometrijske funkcije.
Postoje takozvane jednostavne trigonometrijske jednadžbe. Evo kako izgledaju: sinh = a, cos x = a, tg x = a. Uzmite u obzir, kako riješiti takve trigonometrijske jednadžbe, radi jasnoće, koristit ćemo već poznati trigonometrijski krug.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

krevetac x = a

Svaka trigonometrijska jednadžba se rješava u dvije faze: dovedemo jednačinu u najjednostavniji oblik, a zatim je riješimo kao najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.
Postoji 7 glavnih metoda pomoću kojih se rješavaju trigonometrijske jednačine.

1. Zamjena varijable i metoda zamjene

Riješite jednačinu 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Koristeći formule redukcije dobijamo:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Zamijenimo cos(x + /6) sa y radi jednostavnosti i dobijemo uobičajenu kvadratnu jednačinu:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Korijeni od kojih je y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sada idemo unazad

Zamjenjujemo pronađene vrijednosti y i dobijamo dva odgovora:

2. Rješavanje trigonometrijskih jednačina kroz faktorizaciju

Kako riješiti jednačinu sin x + cos x = 1?

Pomaknimo sve ulijevo tako da 0 ostane na desnoj strani:

sin x + cos x - 1 = 0

Koristimo gornje identitete da pojednostavimo jednačinu:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Uradimo faktorizaciju:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dobijamo dvije jednačine

3. Redukcija na homogenu jednačinu

Jednačina je homogena u odnosu na sinus i kosinus ako su svi njeni članovi u odnosu na sinus i kosinus istog stepena i istog ugla. Da biste riješili homogenu jednačinu, postupite na sljedeći način:

a) prebaci sve svoje članove na lijevu stranu;

b) sve uobičajene faktore staviti van zagrada;

c) izjednačiti sve faktore i zagrade sa 0;

d) u zagradama se dobija homogena jednačina manjeg stepena, koja se, pak, deli sinusom ili kosinusom na viši stepen;

e) riješiti rezultirajuću jednačinu za tg.

Riješite jednačinu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Upotrijebimo formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 i riješimo se otvorene dvije na desnoj strani:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Podijelite sa cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Zamijenimo tg x sa y i dobijemo kvadratnu jednačinu:

y 2 + 4y +3 = 0 čiji su korijeni y 1 =1, y 2 = 3

Odavde nalazimo dva rješenja originalne jednadžbe:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Rješavanje jednadžbi, kroz prijelaz na poluugao

Riješite jednačinu 3sin x - 5cos x = 7

Idemo na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Pomeranje svega ulevo:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Podijelite sa cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Uvođenje pomoćnog ugla

Za razmatranje, uzmimo jednadžbu oblika: a sin x + b cos x = c,

gdje su a, b, c neki proizvoljni koeficijenti, a x je nepoznanica.

Podijelite obje strane jednačine sa:



Sada koeficijenti jednadžbe, prema trigonometrijskim formulama, imaju svojstva sin i cos, naime: njihov modul nije veći od 1 i zbir kvadrata = 1. Označimo ih redom kao cos i sin, gdje je so -zvani pomoćni ugao. Tada će jednačina poprimiti oblik:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

ili sin(x + ) = C

Rješenje ove jednostavne trigonometrijske jednadžbe je

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, gdje je



Treba napomenuti da su oznake cos i sin zamjenjive.

Riješite jednačinu sin 3x - cos 3x = 1

U ovoj jednačini koeficijenti su:

a \u003d, b \u003d -1, pa oba dijela podijelimo sa \u003d 2

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!

Jednakost koja sadrži nepoznanicu pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tg x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Napišimo formule korijena za svaku od njih.

1. Jednačina `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

Sa `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednačina `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao iu slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

Sa `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednačina `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednačina `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli

za sinuse:
za kosinus:
Za tangentu i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Rješenje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

• koristeći za pretvaranje u najjednostavniji;
• riješite rezultirajuću jednostavnu jednačinu koristeći gornje formule za korijene i tablice.

Razmotrimo glavne metode rješenja koristeći primjere.

algebarska metoda.

U ovoj metodi se vrši zamjena varijable i njena zamjena u jednakost.

Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.

Rješenje. Pomaknite ulijevo sve pojmove jednakosti: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogenu jednačinu

Prvo, morate ovu trigonometrijsku jednadžbu dovesti u jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednačina prvog stepena) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).

Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` za prvi slučaj i sa `cos^2 x \ne 0` za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje se moraju riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, dijeleći njezinu lijevu i desnu stranu sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, kao rezultat `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Idite u Half Corner

Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rješenje. Primjenom formula dvostrukog ugla, rezultat je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom algebarske metode koja je gore opisana dobijamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Uvođenje pomoćnog ugla

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x je varijabla, oba dijela dijelimo sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime, zbir njihovih kvadrata je jednak 1 i njihov modul nije veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, zatim:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rješenje. Podijelimo obje strane jednačine sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobijamo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označite `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni ugao. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcijsko-racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti sa razlomcima u čijim se brojiocima i nazivnicima nalaze trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednačine sa `(1+cos x)`. Kao rezultat, dobijamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da imenilac ne može biti nula, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačite brojnik razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek ima zadataka za ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednačina - one će vam sigurno dobro doći!

Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći zaključiti. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.

Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednačine, frakcijske jednačine i jednačine koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih zadataka je sljedeći: potrebno je ustanoviti kojoj vrsti pripada problem koji se rješava, zapamtiti potreban redoslijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očigledno, uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema zavisi uglavnom od toga koliko je ispravno određen tip jednačine koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran redoslijed svih faza njenog rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.

Drugačija situacija se dešava sa trigonometrijske jednačine. Nije teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju prilikom određivanja redosleda radnji koje bi dovele do tačnog odgovora.

Ponekad je teško odrediti njen tip po izgledu jednačine. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.

Da bismo riješili trigonometrijsku jednačinu, moramo pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u "iste uglove";
2. dovesti jednačinu na "iste funkcije";
3. faktorizovati lijevu stranu jednačine, itd.

Razmislite osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.

Korak 2 Pronađite argument funkcije koristeći formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Ê Z.

Korak 3 Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Rješenje.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Zamjena varijable

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite jednadžbu u algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2 Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).

Korak 3 Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.

Korak 4 Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5 Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Rješenje.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2 ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednačina

Shema rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom koristeći formule smanjenja snage:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2 Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.

Primjer.

cos2x + cos2x = 5/4.

Rješenje.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite ovu jednačinu u formu

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).

Korak 2 Podijelite obje strane jednačine sa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobijemo jednačinu za tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Korak 3 Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Rješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Neka je onda tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, dakle

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda za transformaciju jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Shema rješenja

Korak 1. Koristeći sve vrste trigonometrijskih formula, dovedite ovu jednačinu u jednačinu koja se može riješiti metodama I, II, III, IV.

Korak 2 Rezultujuću jednadžbu rešite poznatim metodama.

Primjer.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Rješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih jednačina su vrlo Važno je da njihov razvoj zahteva znatan trud, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.

Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina.. Proces rješavanja takvih zadataka, takoreći, sadrži mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednačine zauzimaju značajno mesto u procesu nastave matematike i razvoja ličnosti uopšte.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.