Sistem linearnih jednačina 3. reda. Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi, metode rješenja, primjeri. V.S. Ščipačev, Viša matematika, gl.10, str.2

Razmotrimo sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate

Koristeći determinante trećeg reda, rješenje takvog sistema se može zapisati u istom obliku kao za sistem od dvije jednačine, tj.

(2.4)

ako je 0. Evo

TO JE Cramerovo pravilo rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe u tri nepoznate.

Primjer 2.3. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovo pravilo:

Rješenje . Pronalaženje determinante glavne matrice sistema

Pošto je 0, da biste pronašli rješenje za sistem, možete primijeniti Cramerovo pravilo, ali prvo izračunajte još tri determinante:

pregled:

Dakle, rješenje je pronađeno ispravno. 

Kramerova pravila dobijena za linearne sisteme 2. i 3. reda sugerišu da se ista pravila mogu formulisati za linearne sisteme bilo kog reda. Zaista se dešava

Cramerova teorema. Kvadratni sistem linearnih jednadžbi sa nenultom determinantom glavne matrice sistema (0) ima jedno i samo jedno rješenje, a to rješenje se izračunava po formulama

(2.5)

gdje  – determinanta glavne matrice,  i – matrična determinanta, izvedeno iz glavnog, zamjenskogikolona slobodnih članova.

Imajte na umu da ako je =0, onda Cramerovo pravilo nije primjenjivo. To znači da sistem ili nema rješenja uopće, ili ima beskonačno mnogo rješenja.

Nakon formulisanja Cramerove teoreme, prirodno se postavlja pitanje izračunavanja determinanti višeg reda.

2.4. determinante n-tog reda

Dodatni minor M ij element a ij naziva se determinanta dobijena iz datog brisanjem i-ti red i j-th kolona. Algebarsko sabiranje A ij element a ij naziva se minor ovog elementa, uzet sa predznakom (–1) i + j, tj. A ij = (–1) i + j M ij .

Na primjer, pronađimo minore i algebarske komplemente elemenata a 23 i a 31 odrednica

Dobijamo



Koristeći koncept algebarskog komplementa, možemo formulisati teorema ekspanzije determinanten-ti red po redu ili koloni.

Teorema 2.1. Matrična determinantaAjednak je zbroju proizvoda svih elemenata nekog reda (ili stupca) i njihovih algebarskih komplementa:

(2.6)

Ova teorema leži u osnovi jedne od glavnih metoda za izračunavanje determinanti, tzv. metoda smanjenja narudžbe. Kao rezultat proširenja determinante n redom u bilo kom redu ili koloni, dobijamo n determinanti ( n–1)-ti red. Da bismo imali manje takvih determinanti, preporučljivo je odabrati red ili kolonu koji ima najviše nula. U praksi, formula ekspanzije za determinantu se obično piše kao:

one. algebarski dodaci su napisani eksplicitno u terminima minora.

Primjeri 2.4. Izračunajte determinante tako da ih prvo proširite u bilo koji red ili kolonu. Obično u takvim slučajevima odaberite kolonu ili red koji ima najviše nula. Odabrani red ili kolona će biti označeni strelicom.



2.5. Osnovna svojstva determinanti

Proširujući determinantu u bilo koji red ili kolonu, dobijamo n determinanti ( n–1)-ti red. Tada svaka od ovih determinanti ( n–1)-ti red se također može rastaviti na zbir determinanti ( n–2)-ti red. Nastavljajući ovaj proces dolazi se do determinanti 1. reda, tj. na elemente matrice čija se determinanta izračunava. Dakle, da biste izračunali determinante 2. reda, moraćete da izračunate zbir dva člana, za determinante 3. reda - zbir 6 članova, za determinante 4. reda - 24 člana. Broj pojmova će se naglo povećati kako se red determinante povećava. To znači da izračunavanje determinanti vrlo visokih redova postaje prilično naporan zadatak, izvan snage čak i kompjutera. Međutim, determinante se mogu izračunati i na drugi način, koristeći svojstva determinanti.

Nekretnina 1 . Odrednica se neće promijeniti ako se u njoj zamjene redovi i stupci, tj. prilikom transponovanja matrice:

Ovo svojstvo ukazuje na jednakost redova i stupaca determinante. Drugim riječima, bilo koja izjava o stupcima determinante je tačna za njene redove, i obrnuto.

Nekretnina 2 . Odrednica mijenja predznak kada se zamijene dva reda (kolone).

Posljedica . Ako determinanta ima dva identična reda (kolone), onda je jednaka nuli.

Nekretnina 3 . Zajednički faktor svih elemenata u bilo kojem redu (stupcu) može se izvaditi iz predznaka determinante.

Na primjer,

Posljedica . Ako su svi elementi nekog reda (kolone) determinante jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.

Nekretnina 4 . Odrednica se neće promijeniti ako se elementi jednog reda (kolone) dodaju elementima drugog reda (kolone) pomnoženim nekim brojem.

Na primjer,

Svojstvo 5 . Determinanta matričnog proizvoda jednaka je proizvodu matričnih determinanti:

Praktičan rad

"Rješenje sistema linearnih jednačina trećeg reda Cramerovom metodom"

Ciljevi rada:

proširiti razumijevanje metoda za rješavanje SLE i izraditi algoritam za rješavanje SLE Cramor metodom;

razvijati logičko mišljenje učenika, sposobnost pronalaženja racionalnog rješenja problema;

educirati učenike u tačnosti i kulturi pismenog matematičkog govora kada donose odluku.

Osnovni teorijski materijal.

Cramerova metoda. Primjena za sisteme linearnih jednačina.

Dat je sistem od N linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) sa nepoznanicama, čiji su koeficijenti elementi matrice, a slobodni članovi brojevi

Prvi indeks pored koeficijenata označava u kojoj se jednačini koeficijent nalazi, a drugi - na kojoj se od nepoznanica nalazi.

Ako determinanta matrice nije jednaka nuli

tada sistem linearnih algebarskih jednadžbi ima jedinstveno rješenje. Rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina je takav uređeni skup brojeva , koji svaku od jednačina sistema pretvara u tačnu jednakost. Ako su desne strane svih jednačina sistema jednake nuli, onda se sistem jednačina naziva homogenim. U slučaju kada su neki od njih različiti od nule, neujednačeni Ako sistem linearnih algebarskih jednadžbi ima barem jedno rješenje, onda se naziva kompatibilnim, u suprotnom je nekompatibilan. Ako je rješenje sistema jedinstveno, onda se sistem linearnih jednačina naziva definitivnim. U slučaju kada rješenje kompatibilnog sistema nije jedinstveno, sistem jednačina se naziva neodređenim. Dva sistema linearnih jednačina nazivaju se ekvivalentnim (ili ekvivalentnim) ako su sva rješenja jednog sistema rješenja drugog, i obrnuto. Ekvivalentni (ili ekvivalentni) sistemi se dobijaju korišćenjem ekvivalentnih transformacija.

Ekvivalentne transformacije SLAE

1) preuređenje jednačina;

2) množenje (ili deljenje) jednačina brojem različitom od nule;

3) dodavanje nekoj jednačini druge jednačine, pomnožene proizvoljnim brojem koji nije nula.

Rješenje SLAE se može naći na različite načine, na primjer, Cramerovim formulama (Cramerova metoda)

Cramerova teorema. Ako je determinanta sistema linearnih algebarskih jednadžbi s nepoznanicama različita od nule, onda ovaj sistem ima jedinstveno rješenje, koje se nalazi po Cramerovim formulama: - odrednice nastale zamjenom -te kolone, kolona slobodnih članova.

Ako , i barem jedan od je različit od nule, tada SLAE nema rješenja. Ako , onda SLAE ima mnogo rješenja.

Dat je sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate. Riješite sistem Cramerovom metodom

Rješenje.

Naći determinantu matrice koeficijenata za nepoznate

Pošto je , tada je dati sistem jednačina konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Izračunajmo determinante:

Koristeći Cramerove formule, nalazimo nepoznanice

Dakle jedino rešenje za sistem.

Dat je sistem od četiri linearne algebarske jednačine. Riješite sistem Cramerovom metodom.

Nađimo determinantu matrice koeficijenata za nepoznate. Da bismo to učinili, proširimo ga za prvi red.

Pronađite komponente determinante:

Pronađene vrijednosti zamijenite u determinantu

Determinanta, dakle, sistem jednačina je konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Izračunavamo determinante koristeći Cramerove formule:

Kriterijumi ocjenjivanja:

Rad se ocjenjuje sa "3" ako je: jedan od sistema potpuno i ispravno riješen samostalno.

Rad se ocjenjuje sa "4" ako su: bilo koja dva sistema potpuno i ispravno riješena nezavisno.

Rad se ocjenjuje sa "5" ako su: tri sistema potpuno i pravilno riješena samostalno.

Cramerova metoda se zasniva na korištenju determinanti u rješavanju sistema linearnih jednačina. Ovo uvelike ubrzava proces rješenja.

Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema od onoliko linearnih jednačina koliko ima nepoznatih u svakoj jednačini. Ako determinanta sistema nije jednaka nuli, onda se u rješenju može koristiti Cramerova metoda; ako je jednaka nuli, onda ne može. Osim toga, Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih jednačina koje imaju jedinstveno rješenje.

Definicija. Determinanta, sastavljena od koeficijenata nepoznatih, naziva se determinanta sistema i označava se sa (delta).

Odrednice

dobiju se zamjenom koeficijenata na odgovarajućim nepoznanicama slobodnim terminima:

;

Cramerova teorema. Ako je determinanta sistema različita od nule, onda sistem linearnih jednačina ima jedno jedino rešenje, a nepoznata je jednaka odnosu determinanti. Imenilac je determinanta sistema, a brojilac je determinanta dobijena iz determinante sistema zamenom koeficijenata sa nepoznatim slobodnim članovima. Ova teorema vrijedi za sistem linearnih jednačina bilo kojeg reda.

Primjer 1 Riješite sistem linearnih jednačina:

Prema Cramerova teorema imamo:

Dakle, rješenje sistema (2):

online kalkulator, Cramerova metoda rješenja.

Tri slučaja u rješavanju sistema linearnih jednačina

Kako se čini iz Cramerove teoreme, pri rješavanju sistema linearnih jednačina mogu se pojaviti tri slučaja:

Prvi slučaj: sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rješenje

(sistem je konzistentan i određen)

Drugi slučaj: sistem linearnih jednačina ima beskonačan broj rješenja

(sistem je konzistentan i neodređen)

** ,

one. koeficijenti nepoznatih i slobodnih članova su proporcionalni.

Treći slučaj: sistem linearnih jednačina nema rješenja

(sistem nedosljedan)

Dakle sistem m linearne jednačine sa n varijable se poziva nekompatibilno ako nema rješenja, i joint ako ima barem jedno rješenje. Zove se zajednički sistem jednačina koji ima samo jedno rješenje siguran, i više od jednog neizvjesno.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina Cramer metodom

Pustite sistem

Na osnovu Cramerove teoreme

………….
,

gdje
-

identifikator sistema. Preostale determinante se dobiju zamjenom stupca s koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznate) sa slobodnim članovima:

Primjer 2

Dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante

Po Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sistema.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

Ako u sistemu linearnih jednadžbi nema varijabli u jednoj ili više jednačina, tada su u determinanti elementi koji im odgovaraju jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 3 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pažljivo pogledajte sistem jednačina i determinantu sistema i ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednak nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznate

Po Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, rješenje sistema je (2; -1; 1).

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

Vrh stranice

Nastavljamo da zajedno rješavamo sisteme koristeći Cramerovu metodu

Kao što je već spomenuto, ako je determinanta sistema jednaka nuli, a determinante za nepoznate nisu jednake nuli, sistem je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Ilustrirajmo sljedećim primjerom.

Primjer 6 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Determinanta sistema je jednaka nuli, pa je sistem linearnih jednačina ili nekonzistentan i određen, ili nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Da pojasnimo, izračunavamo determinante za nepoznate

Odrednice za nepoznate nisu jednake nuli, dakle sistem je nekonzistentan, odnosno nema rješenja.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

U zadacima o sistemima linearnih jednačina postoje i oni u kojima se pored slova koja označavaju varijable nalaze i druga slova. Ova slova označavaju neki broj, najčešće pravi broj. U praksi, takve jednačine i sistemi jednačina dovode do problema u pronalaženju općih svojstava bilo kojeg fenomena i predmeta. Odnosno, izmislili ste neki novi materijal ili uređaj, a da biste opisali njegova svojstva koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili broj kopija, potrebno je riješiti sistem linearnih jednačina, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable postoje slova. Ne morate daleko tražiti primjere.

Sljedeći primjer je za sličan problem, samo se povećava broj jednačina, varijabli i slova koja označavaju neki realni broj.

Primjer 8 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pronalaženje determinanti za nepoznate

KOSTROMA FILIJALA VOJNOG UNIVERZITETA RCHB ZAŠTITE

Katedra za "Automatizaciju komandovanja i upravljanja"

Samo za nastavnike

"odobravam"

Šef odjeljenja br.9

Pukovnik YAKOVLEV A.B.

"____" ______________ 2004

Vanredni profesor A.I. Smirnova

„ODREĐIVAČI.

RJEŠENJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA"

PREDAVANJE № 2 / 1

Razgovarano na sednici Odeljenja br.9

"____" ___________ 2004

Protokol br. ___________

Kostroma, 2004.

Uvod

1. Determinante drugog i trećeg reda.

2. Svojstva determinanti. Teorema dekompozicije.

3. Cramerova teorema.

Zaključak

Književnost

1. V.E. Schneider et al., Kratki kurs visoke matematike, tom I, Ch. 2, tačka 1.

2. V.S. Ščipačev, Viša matematika, gl.10, str.2.

UVOD

Predavanje se bavi determinantama drugog i trećeg reda, njihovim svojstvima. Kao i Cramerova teorema, koja omogućava rješavanje sistema linearnih jednačina korištenjem determinanti. Determinante se također koriste kasnije u temi "Vektorska algebra" kada se računa unakrsni proizvod vektora.

1. studijsko pitanje KVALIFIKACIJE DRUGE I TREĆE

ORDER

Razmotrite tabelu sa četiri broja u obliku

Brojevi u tabeli su označeni slovom sa dva indeksa. Prvi indeks označava broj reda, drugi indeks broj kolone.

DEFINICIJA 1.Odrednica drugog reda pozvaoizrazvrsta:

(1)

Brojevi a 11, …, a 22 se nazivaju elementi determinante.

Dijagonala formirana elementima a 11 ; a 22 se naziva glavnom, a dijagonala koju čine elementi a 12 ; a 21 - sa strane.

Dakle, determinanta drugog reda jednaka je razlici između proizvoda elemenata glavne i sekundarne dijagonale.

Imajte na umu da je odgovor broj.

PRIMJERI. Izračunati:

Pogledajmo sada tabelu od devet brojeva napisanih u tri reda i tri kolone:

DEFINICIJA 2. Odrednica trećeg reda naziva se izrazom forme:

Elementi a 11; a 22 ; a 33 - formira glavnu dijagonalu.

Brojevi a 13; a 22 ; a 31 - formira bočnu dijagonalu.

Opišimo, šematski, kako se formiraju pojmovi sa plusom i minusom:

" + " " – "

Plus uključuje: proizvod elemenata na glavnoj dijagonali, druga dva člana su proizvod elemenata koji se nalaze na vrhovima trokuta sa bazama paralelnim sa glavnom dijagonalom.

Članovi sa minusom formiraju se na isti način u odnosu na sekundarnu dijagonalu.

Ovo pravilo za izračunavanje determinante trećeg reda se zove

u pravu

PRIMJERI. Izračunaj po pravilu trouglova:

KOMENTAR. Determinante se takođe nazivaju determinante.

2. studijsko pitanje SVOJSTVA DETERMINARA.

TEOREMA EKSPANZIJE

Nekretnina 1. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se njeni redovi zamijene odgovarajućim stupcima.

Proširujući obje determinante, uvjeravamo se u valjanost jednakosti.

Svojstvo 1 postavlja jednakost redova i stupaca determinante. Stoga će sva daljnja svojstva determinante biti formulirana i za redove i za stupce.

Nekretnina 2. Kada se dva reda (ili stupca) zamijene, determinanta mijenja predznak u suprotan, čuvajući apsolutnu vrijednost.

Nekretnina 3. Uobičajeni množitelj elemenata reda(ili kolona)može se izvaditi iz predznaka determinante.

Nekretnina 4. Ako determinanta ima dva identična reda (ili stupca), onda je jednaka nuli.

Ovo svojstvo se može dokazati direktnom provjerom, ili se može koristiti svojstvo 2.

Označimo determinantu sa D. Kada se dva identična prva i druga reda zamijene, ona se neće promijeniti, a po drugom svojstvu mora promijeniti predznak, tj.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Svojstvo 5. Ako su svi elementi nekog niza(ili kolona)su nula, onda je determinanta nula.

Ovo svojstvo se može smatrati posebnim slučajem imovine 3 sa

Nekretnina 6. Ako su elementi dva reda(ili kolone)determinante su proporcionalne, tada je determinanta nula.

Može se dokazati direktnom provjerom ili korištenjem svojstava 3 i 4.

Nekretnina 7. Vrijednost determinante se ne mijenja ako se elementi bilo kojeg reda (ili stupca) dodaju odgovarajućim elementima drugog reda (ili stupca), pomnoženim istim brojem.

To se dokazuje direktnom provjerom.

Upotreba ovih svojstava u nekim slučajevima može olakšati proces izračunavanja determinanti, posebno trećeg reda.

Za ono što slijedi, potrebni su nam koncepti mola i algebarskog komplementa. Razmotrite ove koncepte da biste definirali treći red.

DEFINICIJA 3. Minor datog elementa determinante trećeg reda naziva se determinanta drugog reda koja se dobije iz date brisanjem reda i stupca na čijem presjeku se nalazi dati element.

Element minor aij označeno Mij. Dakle za element a 11 maloljetnik

Dobiva se brisanjem prvog reda i prve kolone u determinanti trećeg reda.

DEFINICIJA 4. Algebarski komplement determinantnog elementa nazovite to molom pomnoženim sa(-1)k, gdjek- zbir brojeva reda i kolone na čijem se presjeku nalazi dati element.

Algebarsko sabiranje elemenata aij označeno ALIij.

Na ovaj način, ALIij =

Napišimo algebarske komplemente za elemente a 11 i a 12.

. .

Korisno je zapamtiti pravilo: algebarski komplement elementa determinante jednak je njegovom predznakom plus, ako je zbir brojeva reda i stupca u kojima se element nalazi, čak, i sa znakom oduzeti ako je ovaj iznos odd.

PRIMJER. Naći minore i algebarske komplemente za elemente prvog reda determinante:

Jasno je da se minori i algebarski komplementi mogu razlikovati samo po predznaku.

Razmotrimo bez dokaza jednu važnu teoremu - teorema ekspanzije determinante.

TEOREMA EKSPANZIJE

Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda ili stupca i njihovih algebarskih komplementa.

Koristeći ovu teoremu, zapisujemo ekspanziju determinante trećeg reda u prvi red.

Prošireno:

Posljednja formula se može koristiti kao glavna pri izračunavanju determinante trećeg reda.

Teorema dekompozicije nam omogućava da svedemo izračunavanje determinante trećeg reda na izračunavanje tri determinante drugog reda.

Teorema dekompozicije daje drugi način izračunavanja determinanti trećeg reda.

PRIMJERI. Izračunajte determinantu koristeći teorem o proširenju.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) je nesumnjivo najvažnija tema kursa linearne algebre. Ogroman broj zadataka iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ovi faktori objašnjavaju razlog za kreiranje ovog članka. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
proučavati teoriju odabrane metode,
riješite svoj sistem linearnih jednačina, detaljno razmotrivši rješenja tipičnih primjera i zadataka.

Kratak opis materijala članka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo neke oznake.

Zatim se razmatraju metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo, hajde da se fokusiramo na Cramerovu metodu, drugo, pokazaćemo matričnu metodu za rešavanje ovakvih sistema jednačina, i treće, analiziraćemo Gaussov metod (metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, u kojima se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema degenerisana. Formuliramo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogućava da utvrdimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (u slučaju njihove kompatibilnosti) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Obavezno se zadržite na strukturi opšteg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažimo kako se opšte rešenje SLAE piše pomoću vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

U zaključku razmatramo sisteme jednačina koji se svode na linearne, kao i različite probleme u čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, koncepti, oznake.

Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni članovi (također realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik SLAE se zove koordinata.

AT matrični oblik ovaj sistem jednačina ima oblik ,
gdje - glavna matrica sistema, - matrica-kolona nepoznatih varijabli, - matrica-kolona slobodnih članova.

Ako matrici A kao (n + 1)-ti stupac dodamo matricu-kolona slobodnih termina, onda dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvojen je okomitom linijom od ostalih kolona, tj.

Rješavanjem sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli, koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli također se pretvara u identitet.

Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.

Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove nekompatibilno.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, onda - neizvjesno.

Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli , tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.

Rješenje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Ako je broj sistemskih jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada ćemo takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sistema sve nepoznate varijable su jednake nuli.

Takve SLAE smo počeli učiti u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu kroz druge i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine, itd. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.

Rješavanje sistema linearnih jednačina Cramerovom metodom.

Hajde da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina

u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.

Neka je determinanta glavne matrice sistema, i su determinante matrica koje se dobivaju iz A zamjenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih članova:

Uz takvu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju po formulama Cramerove metode kao . Ovako se Cramerovom metodom pronalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Cramer metoda .

Rješenje.

Glavna matrica sistema ima oblik . Izračunajte njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.

Sastavite i izračunajte potrebne determinante (determinanta se dobije zamjenom prvog stupca u matrici A kolonom slobodnih članova, determinanta - zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih članova, - zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih članova ):

Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula :

odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj sistemskih jednačina veći od tri.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.

Budući da je , tada je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica . Ako oba dijela jednakosti pomnožimo sa lijevo, onda ćemo dobiti formulu za pronalaženje matrice stupaca nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom.

Primjer.

Riješi sistem linearnih jednačina matrična metoda.

Rješenje.

Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku:

Jer

tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sistema se može naći kao .

Napravimo inverznu matricu koristeći matricu algebarskih komplemenata elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matrici-koloni slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak):

odgovor:

ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem u pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom je složenost nalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se u sukcesivnom isključivanju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednačini. Takav proces transformacije jednadžbi sistema za uzastopno eliminisanje nepoznatih varijabli naziva se direktna Gaussova metoda. Nakon završetka napredovanja Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednačine, x n-1 se izračunava iz pretposljednje jednačine koristeći ovu vrijednost, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.

Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Nepoznatu varijablu x 1 izuzimamo iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da biste to uradili, dodajte prvu jednačinu pomnoženu sa drugoj jednačini sistema, dodajte prvu pomnoženu sa trećoj jednačini, i tako dalje, dodajte prvu pomnoženu sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje , a .

Do istog rezultata bismo došli ako bismo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da biste to uradili, dodajte drugo pomnoženo sa trećoj jednačini sistema, dodajte drugo pomnoženo sa četvrtoj jednačini, i tako dalje, dodajte drugo pomnoženo sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje , a . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, postupajući na sličan način sa dijelom sistema označenim na slici

Dakle, nastavljamo direktni tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnutim tokom Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačina.

Primjer.

Riješi sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.

Rješenje.

Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, oba dijela druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa:

Sada isključujemo x 2 iz treće jednačine dodavanjem lijevog i desnog dijela druge jednadžbe, pomnoženih sa:

Na ovome je završen kurs naprijed Gaussove metode, počinjemo obrnuti kurs.

Iz posljednje jednadžbe rezultirajućeg sistema jednačina nalazimo x 3:

Iz druge jednačine dobijamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time završavamo obrnuti tok Gaussove metode.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

U opštem slučaju, broj jednačina sistema p ne poklapa se sa brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se također odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i degenerirana.

Kronecker-Capelli teorem.

Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Daje se odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekompatibilan Kronecker–Capelli teorem:
da bi sistem od p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n ) bio konzistentan potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, odnosno Rank( A)=Rang(T) .

Razmotrimo kao primjer primjenu Kronecker-Cappellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.

Primjer.

Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima rješenja.

Rješenje.

. Koristimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda različito od nule. Idemo preko maloletnika trećeg reda koji ga okružuju:

Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice je jednako tri, pošto je minor trećeg reda

različito od nule.

Na ovaj način, Rang(A) , dakle, prema Kronecker-Capellijevoj teoremi, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.

odgovor:

Ne postoji sistem rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.

Ali kako pronaći rješenje SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog minora matrice i teorema o rangu matrice.

Zove se minor najvišeg reda matrice A, osim nule osnovni.

Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko osnovnih minora; uvijek postoji jedan osnovni minor.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorema o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p prema n r, tada se svi elementi redova (i stupaca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata redova (i stupaca) ) koji čine osnovni mol.

Šta nam daje teorema o rangu matrice?

Ako smo Kronecker-Capellijevom teoremom utvrdili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji osnovni minor glavne matrice sistema (njegov red je jednak r), a iz sistema isključujemo sve jednačine koje ne odgovaraju formiraju izabrani osnovni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).

Kao rezultat, nakon odbacivanja prekomjernih jednačina sistema moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

Rješenje.

Rang glavne matrice sistema je jednako dva, pošto je minor drugog reda različito od nule. Prošireni matrični rang je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda jednak nuli

a minor drugog reda razmatranog iznad je različit od nule. Na osnovu Kronecker-Capelli teoreme, može se tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine:

Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju osnovnog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice:

Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Rešimo ga Cramerovom metodom:

odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n , tada ostavljamo članove koji čine osnovni minor u lijevom dijelu jednačine, a preostale članove prenosimo u desne dijelove jednadžbe sistema sa suprotnim predznakom.

Nepoznate varijable (ima ih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbe nazivaju se main.

Nepoznate varijable (ima ih n - r) koje su završile na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada pretpostavljamo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli na jedinstven način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE Cramer metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih algebarskih jednadžbi .

Rješenje.

Pronađite rang glavne matrice sistema metodom graničnih maloljetnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao minor prvog reda koji nije nula. Počnimo tražiti minor drugog reda različit od nule koji okružuje ovaj minor:

Tako smo pronašli minor koji nije nula drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda:

Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.

Pronađeni minor trećeg reda različit od nule će se uzeti kao osnovni.

Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor:

Članove koji učestvuju u osnovnom molu ostavljamo na lijevoj strani jednadžbe sistema, a ostale sa suprotnim predznacima prenosimo na desnu stranu:

Dajemo slobodne nepoznate varijable x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno uzimamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE ima oblik

Dobijeni elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi rješavamo Cramerovom metodom:

Shodno tome, .

U odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Sažmite.

Da bismo riješili sistem linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, prvo saznajemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker-Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekonzistentan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo osnovni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog osnovnog minora.

Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje se može naći bilo kojom metodom koja nam je poznata.

Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, onda ostavljamo članove sa glavnim nepoznatim varijablama na lijevoj strani jednadžbe sistema, preostale članove prenosimo na desnu stranu i dodjeljujemo proizvoljne vrijednosti na slobodne nepoznate varijable. Iz rezultujućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznate varijable Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Koristeći Gaussovu metodu, može se riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez njihovog preliminarnog ispitivanja kompatibilnosti. Proces uzastopne eliminacije nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nekonzistentnosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga i pronalaženje.

Sa stanovišta računskog rada, Gausova metoda je poželjnija.

Njen detaljan opis i analizirane primjere pogledajte u članku Gausova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Snimanje opšteg rešenja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sistema korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.

U ovom dijelu ćemo se fokusirati na zajedničke homogene i nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi koje imaju beskonačan broj rješenja.

Hajde da se prvo pozabavimo homogenim sistemima.

Fundamentalni sistem odlučivanja Homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.

Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su matrice stupaca dimenzije n sa 1 ) , onda je opšte rešenje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rešenja sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima S 1 , S 2 , …, S (n-r), odnosno .

Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula specificira sva moguća rješenja originalnog SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , prema formuli koju će dobiti jedno od rješenja originalne homogene SLAE.

Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo postaviti sva rješenja ovog homogenog SLAE kao .

Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.

Biramo osnovni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i prenosimo na desnu stranu jednačina sistema suprotnih predznaka sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable. Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, Cramerovom metodom. Tako će se dobiti X (1) – prvo rješenje fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznate, onda ćemo dobiti X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama damo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, onda ćemo dobiti X (n-r) . Tako će se konstruisati osnovni sistem rešenja homogene SLAE i njegovo opšte rešenje se može zapisati u obliku .

Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno kao

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi .

Rješenje.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Nađimo rang glavne matrice metodom rubnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Pronađite granični minor drugog reda koji nije nula:

Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice dva. Uzmimo osnovni mol. Radi jasnoće, napominjemo elemente sistema koji ga čine:

Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju osnovnog mola, stoga se može isključiti:

Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ovog SLAE sastoji se od dva rješenja, budući da originalni SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njegovog osnovnog minora je dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a zatim pronađemo glavne nepoznanice iz sistema jednačina
.

Rešimo ga Cramerovom metodom:

Na ovaj način, .

Sada napravimo X (2) . Da bismo to učinili, dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 0, x 4 = 1, a zatim pronađemo glavne nepoznanice iz sistema linearnih jednadžbi
.

Koristimo ponovo Cramerovu metodu:

Dobijamo .

Tako smo dobili dva vektora fundamentalnog sistema rješenja i , sada možemo zapisati opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi:

, gdje su C 1 i C 2 proizvoljni brojevi., jednaki su nuli. Uzimamo i minor kao osnovnu, treću jednačinu isključujemo iz sistema, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desnu stranu sistemske jednačine:

Da bismo pronašli, dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 0 i x 4 = 0, tada sistem jednadžbi poprima oblik , iz koje pronalazimo glavne nepoznate varijable koristeći Cramerovu metodu:

Imamo , Shodno tome,

gdje su C 1 i C 2 proizvoljni brojevi.

Treba napomenuti da rješenja neodređenog homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi generiraju linearni prostor

Rješenje.

Kanonska jednadžba elipsoida u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu ima oblik . Naš zadatak je odrediti parametre a, b i c. Pošto elipsoid prolazi kroz tačke A, B i C, onda kada se njihove koordinate zamijene u kanonsku jednadžbu elipsoida, on bi se trebao pretvoriti u identitet. Tako dobijamo sistem od tri jednačine:

Označite , tada sistem postaje sistem linearnih algebarskih jednadžbi .

Izračunajmo determinantu glavne matrice sistema:

Pošto je različit od nule, rješenje možemo pronaći Cramerovom metodom:
). Očigledno, x = 0 i x = 1 su korijeni ovog polinoma. količnik od dijeljenja na je . Dakle, imamo dekompoziciju i originalni izraz će poprimiti oblik .

Koristimo metodu neodređenih koeficijenata.

Izjednačavajući odgovarajuće koeficijente brojilaca, dolazimo do sistema linearnih algebarskih jednadžbi . Njegovo rješenje će nam dati željene neodređene koeficijente A, B, C i D.

Sistem rješavamo Gaussovom metodom:

U obrnutom toku Gaussove metode, nalazimo D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.

Dobijamo

odgovor: