Odrediti udaljenost od ravnine do ishodišta. Udaljenost od tačke do ravni: definicija i primjeri nalaženja. Udaljenost od tačke do ravni - teorija, primjeri, rješenja

U ovom članku ćemo definirati udaljenost od tačke do ravni i analizirati koordinatni metod koji vam omogućava da pronađete udaljenost od date tačke do date ravni u trodimenzionalnom prostoru. Nakon izlaganja teorije, detaljno ćemo analizirati rješenja nekoliko tipičnih primjera i problema.

Navigacija po stranici.

Udaljenost od tačke do ravni je definicija.

Udaljenost od tačke do ravni je određena kroz , od kojih je jedna data tačka, a druga je projekcija date tačke na datu ravan.

Neka su tačka M 1 i ravan date u trodimenzionalnom prostoru. Povučemo pravu a kroz tačku M 1, okomitu na ravan. Označimo tačku preseka prave a i ravni sa H 1 . Segment M 1 H 1 se zove okomito, spušten iz tačke M 1 u ravan, a tačka H 1 - osnovicu okomice.

Definicija.

je rastojanje od date tačke do osnove okomice povučene iz date tačke u datu ravan.

Definicija udaljenosti od tačke do ravni je češća u sljedećem obliku.

Definicija.

Udaljenost od tačke do ravni je dužina okomice spuštene iz date tačke na datu ravan.

Treba napomenuti da je ovako određena udaljenost od tačke M 1 do ravni najmanja od udaljenosti od date tačke M 1 do bilo koje tačke u ravni . Zaista, neka tačka H 2 leži u ravni i da je različita od tačke H 1 . Očigledno, trokut M 2 H 1 H 2 je pravougaonog oblika, u njemu je M 1 H 1 krak, a M 1 H 2 hipotenuza, dakle, . Inače, segment M 1 H 2 se zove koso povučen iz tačke M 1 u ravan. Dakle, okomica ispuštena iz date tačke na datu ravan uvijek je manja od nagnute povučene iz iste tačke u datu ravan.

Udaljenost od tačke do ravni - teorija, primjeri, rješenja.

Neki geometrijski problemi u nekoj fazi rješenja zahtijevaju pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni. Metoda za to se bira ovisno o izvornim podacima. Obično je rezultat korištenje ili Pitagorine teoreme, ili znakova jednakosti i sličnosti trokuta. Ako trebate pronaći udaljenost od tačke do ravni, koja je data u trodimenzionalnom prostoru, tada u pomoć dolazi koordinatni metod. U ovom paragrafu članka samo ćemo ga analizirati.

Prvo, formuliramo uslov problema.

U pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru data je tačka , ravni i potrebno je pronaći udaljenost od tačke M 1 do ravni.

Pogledajmo dva načina za rješavanje ovog problema. Prva metoda, koja vam omogućava da izračunate udaljenost od tačke do ravnine, zasniva se na pronalaženju koordinata tačke H 1 - osnovice okomice spuštene iz tačke M 1 na ravninu, a zatim izračunavanje udaljenosti između tačaka M 1 i H 1 . Drugi način za pronalaženje udaljenosti od date tačke do date ravni uključuje korištenje normalne jednadžbe za datu ravan.

Prvi način izračunavanja udaljenosti od tačke u avion.

Neka je H 1 osnova okomice povučene iz tačke M 1 u ravan . Ako odredimo koordinate tačke H 1, tada se tražena udaljenost od tačke M 1 do ravnine može izračunati kao udaljenost između tačaka i prema formuli. Dakle, ostaje pronaći koordinate tačke H 1 .

dakle, algoritam za pronalaženje udaljenosti od tačke do aviona sljedeći:

Druga metoda, pogodna za pronalaženje udaljenosti od tačke u avion.

Pošto nam je data ravan u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz, možemo dobiti normalnu jednačinu ravni u obliku. Zatim udaljenost od tačke na ravan se izračunava po formuli . Valjanost ove formule za određivanje udaljenosti od tačke do ravni utvrđena je sljedećom teoremom.

Teorema.

Neka je pravougaoni koordinatni sistem Oxyz fiksiran u trodimenzionalnom prostoru, tačka i normalna jednadžba ravnine oblika . Udaljenost od tačke M 1 do ravni jednaka je apsolutnoj vrijednosti vrijednosti izraza na lijevoj strani normalne jednačine ravnine, izračunate na , odnosno .

Dokaz.

Dokaz ove teoreme je apsolutno sličan dokazu slične teoreme datom u dijelu Pronalaženje udaljenosti od tačke do prave.

Lako je pokazati da je udaljenost od tačke M 1 do ravni jednaka modulu razlike između numeričke projekcije M 1 i udaljenosti od početka do ravni, tj. , gdje - vektor normale ravni , jednak je jedan, - u smjeru određen vektorom .

i po definiciji je , ali u koordinatnom obliku . Dakle, i kao što je potrebno dokazati.

Na ovaj način, udaljenost od tačke na ravan može se izračunati zamjenom koordinata x 1 , y 1 i z 1 tačke M 1 umjesto x, y i z u lijevu stranu normalne jednačine ravnine i uzimanjem apsolutne vrijednosti dobivene vrijednosti .

Primjeri pronalaženja udaljenosti od tačke u avion.

Primjer.

Pronađite udaljenost od tačke u avion.

Rješenje.

Prvi način.

U uslovu zadatka data nam je opšta jednačina ravni oblika , iz koje se vidi da je normalni vektor ove ravni. Ovaj vektor se može uzeti kao usmjeravajući vektor prave linije okomito na datu ravan. Tada možemo napisati kanonske jednačine prave u prostoru koja prolazi kroz tačku i ima vektor smjera s koordinatama, izgledaju kao .

Počnimo sa pronalaženjem koordinata tačke preseka linije i avioni. Označimo ga H 1 . Da bismo to učinili, prvo izvršimo prijelaz sa kanonskih jednadžbi prave linije na jednadžbe dvije ravnine koje se sijeku:

Sada da riješimo sistem jednačina (ako je potrebno, pogledajte članak). Koristimo:

Na ovaj način, .

Ostaje izračunati potrebnu udaljenost od date tačke do date ravni kao rastojanje između tačaka i :
.

Drugo rješenje.

Hajde da dobijemo normalnu jednačinu date ravni. Da bismo to učinili, moramo opću jednadžbu ravnine dovesti u normalni oblik. Odredivši normalizujući faktor , dobijamo normalnu jednačinu ravni . Ostaje izračunati vrijednost lijeve strane rezultirajuće jednačine za i uzmite modul dobivene vrijednosti - to će dati željenu udaljenost od tačke u avion:

Ovaj članak govori o određivanju udaljenosti od tačke do ravni. hajde da analiziramo koordinatni metod, koji će nam omogućiti da pronađemo rastojanje od date tačke u trodimenzionalnom prostoru. Da biste konsolidirali, razmotrite primjere nekoliko zadataka.

Udaljenost od tačke do ravni nalazi se pomoću poznatog rastojanja od tačke do tačke, pri čemu je jedna od njih data, a druga je projekcija na datu ravan.

Kada je u prostoru dana tačka M 1 sa ravni χ, tada se kroz tačku može povući prava prava okomita na ravan. H 1 je zajednička tačka njihovog preseka. Odavde dobijamo da je segment M 1 H 1 okomica, koja je povučena iz tačke M 1 u ravan χ, gde je tačka H 1 osnova okomice.

Definicija 1

Oni nazivaju udaljenost od date tačke do osnove okomice, koja je povučena iz date tačke u datu ravan.

Definicija se može napisati u različitim formulacijama.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do ravni naziva se dužina okomice, koja je povučena iz date tačke u datu ravan.

Rastojanje od tačke M 1 do ravni χ je definisano na sledeći način: udaljenost od tačke M 1 do ravni χ biće najmanja od date tačke do bilo koje tačke u ravni. Ako se tačka H 2 nalazi u χ ravni i nije jednaka tački H 2, onda se dobija pravougaoni trokut oblika M 2 H 1 H 2 , koji je pravougaoni, gde se nalazi krak M 2 H 1, M 2 H 2 - hipotenuza. Dakle, ovo implicira da je M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 smatra se kosim, koji je povučen iz tačke M 1 u ravan χ. Imamo da je okomica povučena iz date tačke na ravan manja od nagnute povučene iz tačke u datu ravan. Razmotrite ovaj slučaj na donjoj slici.

Udaljenost od tačke do ravni - teorija, primjeri, rješenja

Postoji niz geometrijskih problema čija rješenja moraju sadržavati udaljenost od tačke do ravni. Načini da se ovo otkrije mogu biti različiti. Za rješavanje koristite Pitagorinu teoremu ili sličnost trokuta. Kada je, prema uslovu, potrebno izračunati rastojanje od tačke do ravni, datog u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora, rešavaju se koordinatnom metodom. Ovaj paragraf se bavi ovom metodom.

Prema uslovu zadatka, imamo da je data tačka u trodimenzionalnom prostoru sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) sa ravninom χ, potrebno je odrediti rastojanje od M 1 do ravan χ. Za rješavanje se koristi nekoliko rješenja.

Prvi način

Ova metoda se zasniva na pronalaženju udaljenosti od tačke do ravni koristeći koordinate tačke H 1, koje su osnova okomice iz tačke M 1 na ravan χ. Zatim morate izračunati udaljenost između M 1 i H 1.

Za rješavanje problema na drugi način koristi se normalna jednačina date ravni.

Drugi način

Po uslovu imamo da je H 1 osnova okomice, koja je spuštena iz tačke M 1 u ravan χ. Zatim odredimo koordinate (x 2, y 2, z 2) tačke H 1. Željena udaljenost od M 1 do χ ravni nalazi se po formuli M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, gdje je M 1 (x 1, y 1 , z 1) i H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Da biste to riješili, morate znati koordinate tačke H 1.

Imamo da je H 1 tačka preseka ravni χ sa pravom a, koja prolazi kroz tačku M 1 koja se nalazi okomito na ravan χ. Iz toga slijedi da je potrebno formulisati jednačinu prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu ravan. Tada možemo odrediti koordinate tačke H 1 . Potrebno je izračunati koordinate tačke preseka prave i ravni.

Algoritam za pronalaženje udaljenosti od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do χ ravni:

Definicija 3

• sastaviti jednačinu prave a koja prolazi kroz tačku M 1 i istovremeno
• okomito na ravan χ;
• pronađite i izračunajte koordinate (x 2, y 2, z 2) tačke H 1, koje su tačke
• presek prave a sa ravninom χ ;
• izračunajte udaljenost od M 1 do χ koristeći formulu M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Treći način

U datom pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z postoji ravan χ, tada dobijamo normalnu jednačinu ravni oblika cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Odavde dobijamo da je rastojanje M 1 H 1 sa tačkom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) povučeno u ravan χ, izračunato po formuli M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Ova formula je važeća, jer je uspostavljena zahvaljujući teoremi.

Teorema

Ako je tačka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) data u trodimenzionalnom prostoru, koja ima normalnu jednačinu χ ravnine oblika cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, tada se izračunavanje udaljenosti od tačke do ravnine M 1 H 1 izvodi iz formule M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, budući da je x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Dokaz

Dokaz teoreme se svodi na određivanje udaljenosti od tačke do prave. Odavde dobijamo da je rastojanje od M 1 do χ ravni modul razlike između numeričke projekcije radijus vektora M 1 sa rastojanjem od početka do χ ravni. Tada dobijamo izraz M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Vektor normale ravni χ ima oblik n → = cos α , cos β , cos γ , a njegova dužina je jednaka jedan, n p n → O M → je numerička projekcija vektora O M → = (x 1 , y 1 , z 1) u pravcu određenom vektorom n → .

Primijenimo formulu za izračunavanje skalarnih vektora. Tada dobijamo izraz za pronalaženje vektora oblika n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → , budući da je n → = cos α , cos β , cos γ z i O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Koordinatni oblik notacije će imati oblik n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, zatim M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema je dokazana.

Odavde dobijamo da se udaljenost od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravni χ izračunava zamjenom u lijevu stranu normalne jednadžbe ravnine cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 umjesto x, y, z koordinate x 1 , y 1 i z1 koji se odnosi na tačku M 1 , uzimajući apsolutnu vrijednost dobijene vrijednosti.

Razmotrimo primjere pronalaženja udaljenosti od tačke s koordinatama do date ravni.

Primjer 1

Izračunajte udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (5 , - 3 , 10) do ravni 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Rješenje

Rešimo problem na dva načina.

Prva metoda će započeti izračunavanjem vektora smjera linije a. Po uslovu imamo da je data jednačina 2 x - y + 5 z - 3 = 0 opšta jednačina ravni, a n → = (2 , - 1 , 5) je vektor normale date ravni. Koristi se kao usmjeravajući vektor za pravu a, koja je okomita na datu ravan. Trebalo bi da napišete kanonsku jednačinu prave u prostoru koja prolazi kroz M 1 (5, - 3, 10) sa vektorom pravca sa koordinatama 2, - 1, 5.

Jednačina će izgledati kao x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Treba definisati tačke preseka. Da biste to učinili, lagano kombinirajte jednadžbe u sistem za prijelaz sa kanonske na jednačine dvije linije koje se seku. Uzmimo ovu tačku kao H 1 . Shvatili smo to

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Zatim morate omogućiti sistem

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Okrenimo se pravilu za rješavanje sistema po Gaussu:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Dobijamo da je H 1 (1, - 1, 0) .

Izračunavamo udaljenost od date tačke do ravni. Uzimamo tačke M 1 (5, - 3, 10) i H 1 (1, - 1, 0) i dobijamo

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

Drugo rješenje je da se zadata jednačina 2 x - y + 5 z - 3 = 0 dovede u normalni oblik. Određujemo faktor normalizacije i dobijamo 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . Odavde izvodimo jednačinu ravni 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Lijeva strana jednadžbe izračunava se zamjenom x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10, a trebate uzeti udaljenost od M 1 (5, - 3, 10) do 2 x - y + 5 z - 3 = 0 po modulu. Dobijamo izraz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 = 2 30

Odgovor: 2 30 .

Kada je χ ravan specificirana jednom od metoda metoda presjeka za specificiranje ravnine, tada prvo trebate dobiti jednačinu χ ravni i izračunati potrebnu udaljenost bilo kojom metodom.

Primjer 2

Tačke sa koordinatama M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) postavljene su u trodimenzionalni prostor. Izračunajte udaljenost od M 1 do ravni A B C.

Rješenje

Prvo treba da zapišete jednadžbu ravnine koja prolazi kroz date tri tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - jedan) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Iz toga slijedi da problem ima rješenje slično prethodnom. Dakle, rastojanje od tačke M 1 do ravni A B C je 2 30 .

Odgovor: 2 30 .

Pronalaženje udaljenosti od date tačke na ravni ili do ravni sa kojom su paralelne je pogodnije primenom formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Odavde dobijamo da se normalne jednačine ravni dobijaju u nekoliko koraka.

Primjer 3

Odrediti rastojanje od date tačke sa koordinatama M 1 (- 3 , 2 , - 7) do koordinatne ravni O x y z i ravni date jednadžbom 2 y - 5 = 0 .

Rješenje

Koordinatna ravan O y z odgovara jednačini oblika x = 0. Za ravan O y z, to je normalno. Stoga je potrebno zamijeniti vrijednosti x \u003d - 3 u lijevu stranu izraza i uzeti apsolutnu vrijednost udaljenosti od tačke s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravnine . Dobijamo vrijednost jednaku - 3 = 3 .

Nakon transformacije, normalna jednadžba ravni 2 y - 5 = 0 će poprimiti oblik y - 5 2 = 0 . Tada možete pronaći potrebnu udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 3 , 2 , - 7) do ravni 2 y - 5 = 0 . Zamjenom i računanjem dobijamo 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

odgovor:Željena udaljenost od M 1 (- 3 , 2 , - 7) do O y z ima vrijednost 3 , a do 2 y - 5 = 0 ima vrijednost 5 2 - 2 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Pa sam pročitao nešto na ovoj stranici (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormal);

gdje je vP1 tačka na ravni, a vNormal je normala na ravan. Zanima me kako vam ovo daje udaljenost od početka svijeta, jer će rezultat uvijek biti 0. Također, da bude jasno (pošto sam još uvijek malo maglovit u D dijelu 2D jednačine), je d u 2D jednačini udaljenost od prave kroz početak svijeta prije početka ravni?

3 odgovora

6

Općenito, udaljenost između tačke p i ravni može se izračunati pomoću formule

gdje - rad sa tačkastim proizvodom

= ax*bx + ay*by + az*bz

i gde je p0 tačka u ravni.

Ako n ima jediničnu dužinu, tada je tačkasti proizvod između vektora i njega (potpisana) dužina projekcije vektora na normalu

Formula koju navodite je samo poseban slučaj gdje je tačka p ishodište. U ovom slučaju

Udaljenost = = -

Ova jednakost je tehnički pogrešna jer se tačkasti proizvod odnosi na vektore, a ne na tačke... ali ipak vrijedi numerički. Pisanjem eksplicitne formule dobijate ovo

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

to je isto kao

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

2

Rezultat nije uvijek nula. Rezultat će biti nula samo ako ravan prođe kroz ishodište. (Ovdje, pretpostavimo da avion ne prolazi kroz ishodište.)

U osnovi, data vam je prava od početka do neke tačke na ravni. (tj. imate vektor od početka do vP1). Problem sa ovim vektorom je u tome što je najvjerovatnije zakrivljen i ide ka nekom udaljenom mjestu u avionu, a ne najbližoj tački u avionu. Dakle, ako ste samo uzeli vP1 dužinu, dobit ćete preveliku udaljenost.

Ono što treba da uradite je da dobijete projekciju vP1 na neki vektor za koji znate da je okomit na ravan. To je, naravno, vNormal. Dakle, uzmite tačkasti proizvod vP1 i vNormal i podijelite ga dužinom vNormal i imate svoj odgovor. (Ako su dovoljno ljubazni da vam daju vNormal koji je već veličine jedan, onda nema potrebe za podjelom.)

1

Ovaj problem možete riješiti pomoću Lagrangeovih množitelja:

Znate da bi najbliža tačka u avionu trebala izgledati ovako:

C=p+v

Gdje je c najbliža tačka, a v je vektor duž ravni (koja je prema tome ortogonalna na normalu na n). Pokušavate pronaći c s najmanjom normom (ili normom na kvadrat). Dakle, pokušavate da minimizirate tačku(c,c) sve dok je v ortogonalno na n (dakle, tačka(v,n) = 0).

Dakle, postavite Lagranžijan:

L = tačka(c,c) + lambda * (tačka(v,n)) L = tačka(p+v,p+v) + lambda * (tačka(v,n)) L = tačka(p,p) + 2*tačka(p,v) + tačka(v,v) * lambda * (tačka(v,n))

I uzmite izvod u odnosu na v (i postavite na 0) da dobijete:

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0

Možete riješiti lambda u gornjoj jednadžbi tačkom, dajući obje strane na n da biste dobili

2 * tačka(p,n) + 2 * tačka(v,n) + lambda * tačka(n,n) = 0 2 * tačka(p,n) + lambda = 0 lambda = - 2 * tačka(p,n ) )

Zapazite ponovo da je tačka(n,n) = 1 i tačka(v,n) = 0 (pošto je v u ravni i n je ortogonalno na nju). Zamjena lambda se zatim vraća da dobije:

2 * p + 2 * v - 2 * tačka(p,n) * n = 0

i riješi za v da dobiješ:

V = tačka(p,n) * n - p

Zatim ponovo uključite to u c = p + v da dobijete:

C = tačka(p,n) * n

Dužina ovog vektora je |tačka(p,n)| , a znak vam govori da li je tačka u smjeru vektora normale od početka ili u suprotnom smjeru od početka.

Pretpostavimo da imam jednadžbu ravnine ax+by+cz=d, kako mogu pronaći najkraću udaljenost od ravnine do početka? Vraćam se unazad od ovog posta. U ovom postu oni...

Recimo da Kinect sjedi na (0,0,0) i gleda u smjeru +Z. Pretpostavimo da postoji objekt na (1, 1, 1) i jedan od piksela na Kinect slici dubine predstavlja taj objekt...

Želim da izjednačim rastojanje od početka do svih tačaka gde su tačke date okvirom podataka sa dve koordinate. Imam sve bodove kao: x y 1 0,0 0,0 2 -4,0 -2,8 3 -7,0 -6,5 4 -9,0 -11,1...

Osnovne informacije Razmotrite sferni koordinatni sistem poput ovog prikazanog ovdje: Koordinatni sistem http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif Za određenu tačku, mi...

Imam 3D scenu i kameru definiranu sa gluPerspective. Imam fiksni FOV i znam minimalnu udaljenost bilo koje geometrije od kamere (to je pogled iz prvog lica, tako da je...

Imam trougao sa tačkama A, B, C i tačkom u prostoru (P). Kako mogu dobiti udaljenost od tačke do ravni? Moram da izračunam udaljenost od P do ravni, iako moj...

Želim rotirati CGPoint (crveni pravougaonik) oko drugog CGPoint-a (plavi pravougaonik) ali on mijenja udaljenost od početka (plavi pravougaonik)...kada dam 270 u uglu, stvara se...

Moram dobiti X, Y, Z centar ravnine, kartezijanske koordinate. Imam Normalu ravni i udaljenost od njene središnje tačke do ishodišta. Mogu postaviti tačku(e) bilo gdje i...

Dato: tačka (x1, y1, z1) vektor pravca (a1, b1, c1) ravan ax + by + cz + d = 0 Kako mogu pronaći rastojanje D od tačke do ravni duž ovog vektora? Hvala

Imam koordinatni sistem kamere definisan matricom rotacije R i translacijom T u odnosu na svjetski koordinatni sistem. Ravan je definisana u koordinatama kamere sa normalom N i tačkom P na njoj....