Primjeri kako pronaći točke ekstrema funkcije. Kako pronaći ekstrem (minimalne i maksimalne tačke) funkcije. Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije

Prenoseći ove nejednakosti do granice kao Δ x→ 0 i uzimajući u obzir da je izvod f "(x 0) postoji, pa stoga granica na lijevoj strani ne ovisi o tome kako Δ x→ 0, dobijamo: za Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 i na Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Pošto f"(x 0) definira broj, onda su ove dvije nejednakosti kompatibilne samo ako f"(x 0) = 0.

Dokazana teorema kaže da maksimum i minimum točke mogu biti samo među onim vrijednostima argumenta za koje derivacija nestaje.

Razmotrili smo slučaj kada funkcija ima derivaciju u svim tačkama određenog segmenta. Šta se dešava kada izvod ne postoji? Razmotrite primjere.

y=|x|.

Funkcija nema izvod u tački x=0 (u ovom trenutku graf funkcije nema definitivnu tangentu), ali u ovom trenutku funkcija ima minimum, jer y(0)=0, i za sve x≠ 0y > 0.

Dakle, iz datih primera i formulisane teoreme jasno je da funkcija može imati ekstrem samo u dva slučaja: 1) u tačkama gde izvod postoji i jednak je nuli; 2) u tački u kojoj izvod ne postoji.

Međutim, ako u nekom trenutku x 0 mi to znamo f"(x 0 ) =0, onda se iz ovoga ne može zaključiti da je u tački x 0 funkcija ima ekstrem.

Na primjer.

Ali poenta x=0 nije tačka ekstrema, jer se lijevo od ove tačke vrijednosti funkcije nalaze ispod ose Ox, i iznad desno.

Vrijednosti argumenta iz domene funkcije, za koje derivacija funkcije nestaje ili ne postoji, nazivaju se kritične tačke.

Iz prethodnog proizilazi da su tačke ekstrema funkcije među kritičnim tačkama, ali, međutim, nije svaka kritična tačka tačka ekstrema. Stoga, da biste pronašli ekstremu funkcije, morate pronaći sve kritične točke funkcije, a zatim ispitati svaku od ovih tačaka zasebno za maksimum i minimum. Za to služi sljedeća teorema.

Teorema 2. (Dostatan uslov za postojanje ekstrema.) Neka je funkcija kontinuirana na nekom intervalu koji sadrži kritičnu tačku x 0 , i diferencibilan je u svim tačkama ovog intervala (osim, možda, same tačke x 0). Ako pri prolasku s lijeva na desno kroz ovu tačku derivacija promijeni predznak sa plusa na minus, tada u tački x = x 0 funkcija ima maksimum. Ako, prilikom prolaska x 0 s lijeva na desno, derivacija mijenja predznak iz minusa u plus, tada funkcija ima minimum u ovoj tački.

Dakle, ako

f"(x)>0 at x<x 0 i f"(x)< 0 at x > x 0 , onda x 0 - maksimalna tačka;

Dokaz. Pretpostavimo prvo da kada prolazimo x 0, derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, tj. za sve x blizu tačke x 0 f "(x)> 0 for x< x 0 , f"(x)< 0 for x > x 0 . Primijenimo Lagrangeov teorem na razliku f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), gdje c leži između x i x 0 .

Neka x< x 0 . Onda c< x 0 i f "(c)> 0. Zbog toga f "(c)(x-x 0)< 0 i, prema tome,

f(x) - f(x 0 )< 0, tj. f(x)< f(x 0 ).

Neka x > x 0 . Onda c>x 0 i f"(c)< 0. Sredstva f "(c)(x-x 0)< 0. Zbog toga f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Dakle, za sve vrijednosti x dovoljno blizu x 0 f(x)< f(x 0 ) . A to znači da u ovom trenutku x 0 funkcija ima maksimum.

Slično se dokazuje i drugi dio minimalne teoreme.

Ilustrujmo značenje ove teoreme na slici. Neka f"(x 1 ) =0 i za bilo koje x, dovoljno blizu x 1, nejednakosti

f"(x)< 0 at x< x 1 , f "(x)> 0 at x > x 1 .

Zatim lijevo od tačke x 1 funkcija raste, a desno opada, dakle, kada x = x 1 funkcija ide od povećanja ka opadajućoj, odnosno ima maksimum.

Slično, mogu se razmotriti tačke x 2 i x 3 .

Šematski se sve navedeno može prikazati na slici:

Pravilo za proučavanje funkcije y=f(x) za ekstrem

Pronađite opseg funkcije f(x).

Pronađite prvi izvod funkcije f"(x).

Odredite kritične tačke, za ovo:

pronađite prave korijene jednačine f"(x)=0;

pronađite sve vrijednosti x pod kojim derivat f"(x) ne postoji.

Odredite predznak derivacije lijevo i desno od kritične tačke. Pošto predznak izvoda ostaje konstantan između dvije kritične tačke, dovoljno je odrediti predznak izvoda u bilo kojoj tački lijevo i u jednoj tački desno od kritične tačke.

Izračunajte vrijednost funkcije u tačkama ekstrema.

Kao što vidite, ovaj znak ekstrema funkcije zahtijeva postojanje derivacije barem do drugog reda u tački .

Primjer.

Pronađite ekstreme funkcije .

Rješenje.

Počnimo od obima:

Hajde da razlikujemo originalnu funkciju:

x=1, odnosno to je tačka mogućeg ekstremuma. Pronalazimo drugi izvod funkcije i izračunavamo njegovu vrijednost na x=1:

Prema tome, drugim dovoljnim ekstremnim uslovom, x=1- maksimalni poen. Onda je maksimum funkcije.

Grafička ilustracija.

odgovor:

Treći dovoljan uslov za ekstremum funkcije.

Neka funkcija y=f(x) ima derivate do n-ti red u -okolici tačke i derivacije do n+1 red u samoj tački. Neka i .

Primjer.

Pronađite ekstremne tačke funkcije .

Rješenje.

Originalna funkcija je čitava racionalna, njena domena definicije je čitav skup realnih brojeva.

Hajde da razlikujemo funkciju:

Izvod nestaje kada , dakle, ovo su tačke mogućeg ekstremuma. Koristimo treći dovoljan uslov za ekstrem.

Pronalazimo drugu derivaciju i izračunavamo njenu vrijednost u tačkama mogućeg ekstremuma (izostavićemo posredne proračune):

Dakle, je maksimalna tačka (za treći dovoljan znak ekstremuma imamo n=1 i ).

Da razjasnimo prirodu tačaka pronađite treći izvod i izračunajte njegovu vrijednost u ovim tačkama:

Prema tome, je tačka infleksije funkcije ( n=2 i ).

Ostaje da se pozabavimo poentom. Pronalazimo četvrti izvod i izračunavamo njegovu vrijednost u ovoj tački:

Dakle, to je minimalna tačka funkcije.

Grafička ilustracija.

odgovor:

Maksimalna tačka je minimalna tačka funkcije.

10. Ekstremumi funkcije Definicija ekstrema

Poziva se funkcija y = f(x). povećanje (opadanje) u nekom intervalu ako je za x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Ako se diferencijabilna funkcija y = f(x) na segmentu povećava (smanjuje), tada njen izvod na ovom segmentu f "(x)  0

(f "(x)  0).

Dot x o pozvao lokalna maksimalna tačka (minimum) funkcije f(x) ako postoji susjedstvo tačke x o, za sve tačke za koje je tačna nejednakost f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)).

Pozivaju se maksimalne i minimalne tačke ekstremne tačke, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njene extrema.

ekstremne tačke

Neophodni uslovi za ekstrem. Ako tačka x o je tačka ekstrema funkcije f (x), tada ili f "(x o) = 0, ili f (x o) ne postoji. Takve tačke se nazivaju kritičan, gdje je sama funkcija definirana u kritičnoj tački. Ekstreme funkcije treba tražiti među njenim kritičnim tačkama.

Prvi dovoljan uslov. Neka x o- kritična tačka. Ako je f "(x) prilikom prolaska kroz tačku x o mijenja znak plus u minus, a zatim u tački x o funkcija ima maksimum, inače ima minimum. Ako derivacija ne promijeni predznak pri prolasku kroz kritičnu tačku, onda u tački x o ne postoji ekstremum.

Drugi dovoljan uslov. Neka funkcija f(x) ima izvod f"(x) u okolini tačke x o i drugi derivat u samoj tački x o. Ako je f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка x o je lokalna tačka minimuma (maksimuma) funkcije f(x). Ako je =0, onda se mora koristiti ili prvi dovoljan uslov ili uključiti više izvode.

Na segmentu, funkcija y = f(x) može dostići svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost bilo u kritičnim tačkama ili na krajevima segmenta.

Primjer 3.22. Naći ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Rješenje. Budući da je f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x - 2) (x - 3), onda su kritične tačke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremne tačke mogu biti samo u ovim tačkama. Dakle, kada prolazi kroz tačku x 1 \u003d 2, derivacija mijenja znak plus u minus, tada u ovoj tački funkcija ima maksimum. Prilikom prolaska kroz tačku x 2 = 3, derivacija mijenja predznak minus u plus, dakle, u tački x 2 = 3, funkcija ima minimum. Izračunavši vrijednosti funkcije u tačkama x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme od funkcija: maksimalno f (2) = 14 i minimalno f (3) = 13.

Jednostavan algoritam za pronalaženje ekstrema..

• Pronalaženje derivacije funkcije
• Izjednačite ovu derivaciju sa nulom
• Pronalazimo vrijednosti varijable rezultirajućeg izraza (vrijednosti varijable na kojoj se derivacija pretvara u nulu)
• Koordinatnu liniju dijelimo na intervale s ovim vrijednostima (istovremeno ne treba zaboraviti na tačke prekida, koje također treba primijeniti na liniju), sve ove točke se nazivaju "sumnjivim" točkama za ekstrem
• Računamo na kojem će od ovih intervala izvod biti pozitivan, a na kojem negativan. Da biste to učinili, trebate zamijeniti vrijednost iz intervala u derivat.

Od tačaka za koje se sumnja na ekstremum, potrebno je tačno pronaći . Da bismo to učinili, gledamo naše praznine na koordinatnoj liniji. Ako se pri prolasku kroz neku tačku predznak derivacije promijeni iz plusa u minus, tada će ova tačka biti maksimum, a ako od minusa do plusa, onda minimum.

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije, morate izračunati vrijednost funkcije na krajevima segmenta i u tačkama ekstrema. Zatim odaberite najveću i najmanju vrijednost.

Razmotrimo primjer
Pronalazimo derivaciju i izjednačavamo je sa nulom:

Dobivene vrijednosti varijabli primjenjujemo na koordinatnu liniju i izračunavamo predznak derivacije na svakom od intervala. Pa, na primjer, za prvi snimak-2 , tada će izvod biti-0,24 , za drugi snimak0 , tada će izvod biti2 , a za treći uzimamo2 , tada će izvod biti-0,24. Stavili smo odgovarajuće znakove.

Vidimo da prilikom prolaska kroz tačku -1 derivacija mijenja predznak od minusa do plusa, odnosno da će to biti minimalna tačka, a kada prolazi kroz 1, od plusa do minusa, ovo je maksimalna tačka.

Okrenimo se grafu funkcije y = x 3 - 3x 2. Razmotrimo susjedstvo tačke x = 0, tj. neki interval koji sadrži ovu tačku. Logično je da postoji takva okolina tačke x = 0 da funkcija y = x 3 - 3x 2 zauzima najveću vrijednost u ovom susjedstvu u tački x = 0. Na primjer, na intervalu (- 1; 1) najveća vrijednost jednaka 0, funkcija zauzima u tački x = 0. Tačka x = 0 naziva se maksimalna tačka ove funkcije.

Slično tome, tačka x = 2 naziva se minimalna tačka funkcije x 3 - 3x 2, jer u ovom trenutku vrijednost funkcije nije veća od njene vrijednosti u drugoj tački u blizini tačke x = 2 , na primjer, susjedstvo (1,5; 2,5).

Dakle, tačka x 0 naziva se maksimalna tačka funkcije f (x) ako postoji okolina tačke x 0 - takva da je nejednakost f (x) ≤ f (x 0) zadovoljena za sve x iz ovog susjedstvo.

Na primjer, tačka x 0 = 0 je maksimalna tačka funkcije f (x) = 1 - x 2, budući da je f (0) = 1 i nejednakost f (x) ≤ 1 istinita za sve vrijednosti od x.

Minimalna tačka funkcije f (x) naziva se tačka x 0 ako postoji takva okolina tačke x 0 da je nejednakost f (x) ≥ f (x 0) zadovoljena za sve x iz ove okoline.

Na primjer, tačka x 0 \u003d 2 je minimalna tačka funkcije f (x) = 3 + (x - 2) 2, budući da je f (2) = 3 i f (x) ≥ 3 za sve x .

Ekstremne tačke se nazivaju minimalne i maksimalne tačke.

Okrenimo se funkciji f(x), koja je definirana u nekom susjedstvu tačke x 0 i ima izvod u ovoj tački.

Ako je x 0 tačka ekstrema diferencijabilne funkcije f (x), tada je f "(x 0) \u003d 0. Ova izjava se naziva Fermatov teorem.

Fermatova teorema ima jasno geometrijsko značenje: u tački ekstrema, tangenta je paralelna sa x-osi i stoga njen nagib
f "(x 0) je nula.

Na primjer, funkcija f (x) \u003d 1 - 3x 2 ima maksimum u tački x 0 = 0, njen izvod f "(x) = -2x, f "(0) = 0.

Funkcija f (x) = (x - 2) 2 + 3 ima minimum u tački x 0 \u003d 2, f "(x) = 2 (x - 2), f "(2) = 0 .

Imajte na umu da ako je f "(x 0) \u003d 0, onda to nije dovoljno da se tvrdi da je x 0 nužno tačka ekstrema funkcije f (x).

Na primjer, ako je f (x) = x 3, onda je f "(0) = 0. Međutim, točka x = 0 nije tačka ekstrema, budući da se funkcija x 3 povećava na cijeloj realnoj osi.

Dakle, tačke ekstrema diferencijabilne funkcije moraju se tražiti samo među korijenima jednačine
f "(x) \u003d 0, ali korijen ove jednadžbe nije uvijek tačka ekstrema.

Stacionarne tačke su tačke u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli.

Dakle, da bi tačka x 0 bila tačka ekstrema, neophodno je da bude stacionarna tačka.

Uzmite dovoljne uslove da stacionarna tačka bude tačka ekstrema, tj. uslovi pod kojima je stacionarna tačka minimalna ili maksimalna tačka funkcije.

Ako je derivacija lijevo od stacionarne tačke pozitivna, a desno negativna, tj. derivacija mijenja znak "+" u znak "-" kada prolazi kroz ovu tačku, tada je ta stacionarna tačka maksimalna tačka.

Zaista, u ovom slučaju, lijevo od stacionarne tačke, funkcija raste, a desno se smanjuje, tj. ova tačka je maksimalna tačka.

Ako derivacija promijeni znak "-" u znak "+" kada prolazi kroz stacionarnu tačku, tada je ta stacionarna tačka minimalna tačka.

Ako derivacija ne promijeni predznak pri prolasku kroz stacionarnu tačku, tj. derivacija je pozitivna ili negativna lijevo i desno od stacionarne tačke, tada ova tačka nije tačka ekstrema.

Hajde da razmotrimo jedan od problema. Pronađite ekstremne tačke funkcije f (x) = x 4 - 4x 3.

Rješenje.

1) Pronađite izvod: f "(x) = 4x 3 - 12x 2 = 4x 2 (x - 3).

2) Pronađite stacionarne tačke: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 = 3.

3) Koristeći metodu intervala, utvrđujemo da je izvod f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) pozitivan za x\u003e 3, negativan za x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Budući da se prilikom prolaska kroz tačku x 1 \u003d 0, predznak derivacije ne mijenja, ova tačka nije tačka ekstrema.

5) Derivat mijenja znak "-" u znak "+" kada prolazi kroz tačku x 2 \u003d 3. Dakle, x 2 \u003d 3 je minimalna tačka.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Iz ovog članka čitatelj će saznati šta je ekstremum funkcionalne vrijednosti, kao i o značajkama njegove upotrebe u praksi. Proučavanje takvog koncepta izuzetno je važno za razumijevanje osnova više matematike. Ova tema je fundamentalna za dublje proučavanje kursa.

U kontaktu sa

Šta je ekstrem?

U školskom kursu daju se mnoge definicije pojma "ekstremum". Ovaj članak ima za cilj da pruži najdublje i najjasnije razumijevanje pojma za one koji nisu upoznati s tim pitanjem. Dakle, pod pojmom se podrazumijeva u kojoj mjeri funkcionalni interval poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost na određenom skupu.

Ekstremum je istovremeno i minimalna vrijednost funkcije i maksimum. Postoji minimalna i maksimalna tačka, odnosno ekstremne vrijednosti argumenta na grafu. Glavne nauke u kojima se ovaj koncept koristi:

• statistika;
• upravljanje mašinama;
• ekonometrija.

Ekstremne tačke igraju važnu ulogu u određivanju redosleda date funkcije. Koordinatni sistem na grafikonu u svom najboljem izdanju pokazuje promjenu ekstremnog položaja ovisno o promjeni funkcionalnosti.

Ekstremi funkcije derivacije

Postoji i nešto kao "derivat". Potrebno je odrediti tačku ekstrema. Važno je ne brkati minimalne ili maksimalne tačke sa najvećim i najmanjim vrijednostima. To su različiti koncepti, iako mogu izgledati slični.

Vrijednost funkcije je glavni faktor u određivanju kako pronaći maksimalnu tačku. Derivat se ne formira iz vrijednosti, već isključivo iz njegovog ekstremnog položaja u ovom ili onom redu.

Sam izvod se određuje na osnovu podataka ekstremnih tačaka, a ne najveće ili najmanje vrednosti. U ruskim školama granica između ova dva koncepta nije jasno povučena, što utiče na razumijevanje ove teme općenito.

Razmotrimo sada tako nešto kao "oštar ekstremum". Do danas postoji akutna minimalna vrijednost i akutna maksimalna vrijednost. Definicija je data u skladu sa ruskom klasifikacijom kritičnih tačaka funkcije. Koncept tačke ekstrema je osnova za pronalaženje kritičnih tačaka na grafikonu.

Za definiranje takvog koncepta koristi se Fermatova teorema. Najvažnija je u proučavanju ekstremnih tačaka i daje jasnu predstavu o njihovom postojanju u ovom ili onom obliku. Da bi se osigurala ekstremnost, važno je stvoriti određene uslove za smanjenje ili povećanje na grafikonu.

Da biste tačno odgovorili na pitanje "kako pronaći maksimalan poen", morate slijediti ove odredbe:

1. Pronalaženje tačne oblasti definicije na grafikonu.
2. Traži derivaciju funkcije i tačku ekstrema.
3. Riješite standardne nejednakosti za domenu argumenta.
4. Znati dokazati u kojim funkcijama je tačka na grafu definirana i kontinuirana.

Pažnja! Potraga za kritičnom tačkom funkcije je moguća samo ako postoji derivacija najmanje drugog reda, što je osigurano visokim udjelom prisutnosti tačke ekstrema.

Neophodan uslov za ekstremum funkcije

Da bi postojao ekstrem, važno je da postoje i minimalni i maksimalni bodovi. Ako se ovo pravilo poštuje samo djelimično, onda se krši uslov postojanja ekstrema.

Svaka funkcija u bilo kojoj poziciji mora biti diferencirana kako bi se identificirala njena nova značenja. Važno je shvatiti da slučaj kada tačka nestane nije glavni princip pronalaženja diferencijabilne tačke.

Oštar ekstrem, kao i minimum funkcije, izuzetno je važan aspekt rješavanja matematičkog problema korištenjem ekstremnih vrijednosti. Da bismo bolje razumjeli ovu komponentu, važno je obratiti se na tablične vrijednosti za dodjelu funkcionalnosti.

Funkcionalni ekstrem

Da biste pronašli gornju vrijednost, morate se pridržavati sljedećih pravila:

• odrediti potreban uslov za ekstremni omjer;
• uzeti u obzir dovoljan uslov ekstremnih tačaka na grafu;
• izvrši izračunavanje akutnog ekstremuma.

Postoje i koncepti kao što su slab minimum i jak minimum. Ovo se mora uzeti u obzir prilikom određivanja ekstrema i njegovog tačnog izračuna. Istovremeno, oštra funkcionalnost je traženje i stvaranje svih potrebnih uslova za rad sa grafom funkcije.