Položaji težišta nekih figura. Određivanje težišta ravnih figura Mjerenje centra gravitacije

Bilješka. Težište simetrične figure nalazi se na osi simetrije.

Težište štapa je na sredini visine. Prilikom rješavanja problema koriste se sljedeće metode:

1. metoda simetrije: težište simetričnih figura je na osi simetrije;

2. metoda razdvajanja: složene sekcije se dijele na nekoliko jednostavnih dijelova čiji je položaj težišta lako odrediti;

3. metoda negativnih površina: šupljine (rupe) se smatraju dijelom presjeka sa negativnom površinom.

Primjeri rješavanja problema

Primjer1. Odredite položaj težišta figure prikazane na sl. 8.4.

Rješenje

Sliku dijelimo na tri dijela:

Slično definisano at C = 4,5 cm.

Primjer 2 Pronađite položaj težišta simetrične šipke ADBE(Sl. 116), čije su dimenzije sljedeće: AB = 6m, D.E.= 3 m i EF= 1m.

Rješenje

Budući da je rešetka simetrična, njeno težište leži na osi simetrije D.F. Sa odabranim (sl. 116) sistemom koordinatnih osa apscise težišta farme

Nepoznata je, dakle, samo ordinata u C centar gravitacije farme. Da bismo to odredili, farmu dijelimo na zasebne dijelove (šipove). Njihove dužine se određuju iz odgovarajućih trouglova.

Od ∆AEF imamo

Od ΔADF imamo

Težište svakog štapa leži u njegovoj sredini, koordinate ovih centara se lako određuju iz crteža (Sl. 116).

Pronađene dužine i ordinate težišta pojedinih dijelova farme unose se u tabelu i prema formuli

odredi ordinatu u s centar gravitacije ove ravne rešetke.

Dakle, centar gravitacije OD cijela rešetka leži na osi D.F. simetrija rešetke na udaljenosti od 1,59 m od tačke F.

Primjer 3 Odredite koordinate težišta kompozitnog presjeka. Sekcija se sastoji od lima i valjanih profila (sl. 8.5).

Bilješka.Često su okviri zavareni iz različitih profila, stvarajući potreban dizajn. Tako se smanjuje potrošnja metala i formira se struktura visoke čvrstoće.

Za standardne valjane profile poznate su njihove vlastite geometrijske karakteristike. Oni su dati u relevantnim standardima.

Rješenje

1. Brojke označavamo brojevima i ispisujemo potrebne podatke iz tabela:

1 - kanal br. 10 (GOST 8240-89); visina h = 100 mm; širina police b= 46 mm; površina poprečnog presjeka A 1\u003d 10,9 cm 2;

2 - I-greda br. 16 (GOST 8239-89); visina 160 mm; širina police 81 mm; površina presjeka A 2 - 20,2 cm 2;

3 - list 5x100; debljina 5 mm; širina 100mm; površina presjeka A 3 = 0,5 10 = 5 cm 2.

2. Koordinate težišta svake figure mogu se odrediti iz crteža.

Kompozitni presjek je simetričan, tako da je centar gravitacije na osi simetrije i koordinata X C = 0.

3. Određivanje težišta kompozitnog presjeka:

Primjer 4 Odredite koordinate centra gravitacije presjeka prikazanog na sl. osam, a. Presek se sastoji od dva ugla 56x4 i kanala br. 18. Proveriti ispravnost određivanja položaja težišta. Navedite njegovu poziciju na sekciji.

Rješenje

1. : dva ugla 56 x 4 i kanal br. 18. Označimo ih sa 1, 2, 3 (vidi sliku 8, a).

2. Označite centre gravitacije svaki profil koristeći tabelu. 1 i 4 adj. I, i označimo ih C 1, C 2, Od 3.

3. Odaberimo sistem koordinatnih osa. Osa at kompatibilan sa osom simetrije i osi X povući kroz težišta uglova.

4. Odrediti koordinate težišta cijelog presjeka. Od ose at poklapa se s osom simetrije, tada prolazi kroz težište presjeka, dakle x s= 0. Koordinata u s definirati formulom

Pomoću tablica primjene određujemo površine svakog profila i koordinate težišta:

Koordinate 1 i u 2 jednake su nuli, budući da je os X prolazi kroz centre gravitacije uglova. Zamijenite dobivene vrijednosti u formulu da biste odredili u s:

5. Označimo težište preseka na sl. 8, a označit ćemo ga slovom C. Prikazujemo udaljenost y C \u003d 2,43 cm od ose X do tačke C.

Pošto su uglovi simetrično locirani, onda imaju istu površinu i koordinate A 1 \u003d A 2, y 1 = y 2 . Dakle, formula za određivanje u C može se pojednostaviti:

6. Hajde da proverimo. Za ovu osu X nacrtajmo duž donje ivice ugaone police (slika 8, b). Osa at Ostavimo kao u prvom rješenju. Formule za određivanje x C i u C ne mijenjaj:

Područja profila će ostati ista, ali će se promijeniti koordinate centara gravitacije uglova i kanala. Hajde da ih ispišemo:

Pronalaženje koordinate centra gravitacije:

Prema pronađenim koordinatama x s i u s na crtež stavljamo tačku C. Položaj težišta nađenog na dva načina je u istoj tački. Hajde da to proverimo. Razlika između koordinata u s, pronađeno u prvom i drugom rješenju je: 6,51 - 2,43 \u003d 4,08 cm.

Ovo je jednako udaljenosti između x-ose u prvom i drugom rješenju: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.

Odgovor: at= 2,43 cm ako x-osa prolazi kroz težišta uglova, ili y c = 6,51 cm ako os x ide duž donje ivice ugaone prirubnice.

Primjer 5 Odredite koordinate centra gravitacije presjeka prikazanog na sl. 9, a. Sekcija se sastoji od I-grede br. 24 i kanala br. 24a. Pokažite položaj centra gravitacije na presjeku.

Rješenje

1.Podijelimo sekciju na valjane profile: I-zraka i kanal. Nazovimo ih 1 i 2.

3. Označavamo centre gravitacije svakog profila C 1 i C 2 koristeći tablice aplikacija.

4. Odaberimo sistem koordinatnih osa. X-osa je kompatibilna sa osom simetrije, a y-os povlačimo kroz težište I-grede.

5. Odredite koordinate težišta presjeka. Y-koordinata c = 0, budući da je os X poklapa se sa osom simetrije. X-koordinata sa određena je formulom

Prema tabeli 3 i 4 app. I i shemu sekcije, definiramo

Zamijenite numeričke vrijednosti u formulu i dobijete

5. Označimo tačku C (težište presjeka) prema pronađenim vrijednostima x c i y c (vidi sliku 9, a).

Provjera rješenja mora se izvršiti nezavisno sa položajem osi, kao što je prikazano na sl. 9, b. Kao rezultat rješenja, dobivamo x c = 11,86 cm. Razlika između vrijednosti x c za prvo i drugo rješenje je 11,86 - 6,11 = 5,75 cm, što je jednako udaljenosti između y osi sa istim rješenjima b dv / 2 = 5,75 cm.

Odgovor: x c \u003d 6,11 cm, ako os y prolazi kroz težište I-snopa; x c \u003d 11,86 cm ako y-osa prolazi kroz lijeve krajnje točke I-zraka.

Primjer 6Željeznička dizalica se oslanja na šine, među kojima je razmak AB = 1,5 m (sl. 1.102). Sila gravitacije kranskih kolica je G r = 30 kN, težište kolica je u tački C koja leži na liniji KL presjeka ravnine simetrije kolica sa ravninom crteža. Sila gravitacije kranskog vitla Q l = 10 kN primjenjuje se u tački D. Sila gravitacije protivtega G„=20 kN primjenjuje se u tački E. Sila gravitacije kraka G c = 5 kN primjenjuje se u tački H. Prevjes dizalice u odnosu na KL liniju je 2 m. Odrediti koeficijent stabilnosti dizalice u neopterećenom stanju i kakvo opterećenje F može se podići ovom dizalicom, pod uslovom da faktor stabilnosti mora biti najmanje dva.

Rješenje

1. U neopterećenom stanju, kran ima opasnost od prevrtanja prilikom okretanja oko šine ALI. Dakle, s obzirom na stvar ALI moment stabilnosti

2. Preokretni trenutak oko tačke ALI stvorena gravitacijom protivteže, tj.

3. Otuda koeficijent stabilnosti dizalice u neopterećenom stanju

4. Prilikom utovara teretom na granu dizalice F postoji opasnost da se dizalica prevrne pri okretanju oko šine B. Stoga, s obzirom na točku AT moment stabilnosti

5. Moment prevrtanja u odnosu na šinu AT

6. Prema uslovu zadatka dozvoljen je rad dizalice sa koeficijentom stabilnosti k B ≥ 2, tj.

Kontrolna pitanja i zadaci

1. Zašto se sile privlačenja prema Zemlji, koje djeluju na tačke tijela, mogu uzeti kao sistem paralelnih sila?

2. Zapišite formule za određivanje položaja težišta nehomogenih i homogenih tijela, formule za određivanje položaja težišta ravnih presjeka.

3. Ponovite formule za određivanje položaja težišta jednostavnih geometrijskih oblika: pravougaonika, trougla, trapeza i pola kruga.

4.
Šta se naziva statički moment površine?

5. Izračunajte statički moment ove figure oko ose Ox. h= 30 cm; b= 120 cm; With= 10 cm (slika 8.6).

6. Odredite koordinate težišta osjenčane figure (slika 8.7). Dimenzije su date u mm.

7. Odredite koordinate at slike 1 kompozitnog preseka (slika 8.8).

Prilikom odlučivanja koristite referentne podatke GOST tablica "Vruće valjani čelik" (vidi Dodatak 1).

Određivanje težišta proizvoljnog tijela sukcesivnim sabiranjem sila koje djeluju na njegove pojedinačne dijelove težak je zadatak; olakšan je samo za tijela relativno jednostavnog oblika.

Neka se tijelo sastoji od samo dva utega mase i spojeno štapom (sl. 125). Ako je masa štapa mala u odnosu na mase i , onda se može zanemariti. Na svaku od masa utiče gravitacija jednaka i respektivno; oba su usmjerena okomito prema dolje, odnosno paralelno jedno s drugim. Kao što znamo, rezultanta dvije paralelne sile primjenjuje se u tački , koja je određena iz uvjeta

Rice. 125. Određivanje težišta tijela koje se sastoji od dva tereta

Prema tome, centar gravitacije dijeli udaljenost između dva tereta u omjeru obrnutom odnosu njihovih masa. Ako je ovo tijelo suspendirano u tački, ono će ostati u ravnoteži.

Budući da dvije jednake mase imaju zajedničko težište u tački koja dijeli rastojanje između ovih masa, odmah je jasno da, na primjer, težište homogenog štapa leži u sredini štapa (Sl. 126) .

Budući da ga bilo koji prečnik homogenog okruglog diska dijeli na dva potpuno identična simetrična dijela (Sl. 127), težište mora ležati na svakom prečniku diska, odnosno na mjestu presjeka prečnika - u geometrijskom centar diska. Argumentirajući na sličan način, možemo naći da težište homogene lopte leži u njenom geometrijskom centru, težište homogenog pravougaonog paralelepipeda leži na preseku njegovih dijagonala, itd. Težište obruča ili prsten leži u njegovom centru. Posljednji primjer pokazuje da težište tijela može ležati izvan tijela.

Rice. 126. Težište homogenog štapa nalazi se u njegovoj sredini

Rice. 127. Centar homogenog diska leži u njegovom geometrijskom centru

Ako tijelo ima nepravilan oblik ili ako je nehomogeno (na primjer, ima šupljine), tada je izračunavanje položaja težišta često teško i ovaj položaj je praktičnije pronaći iskustvom. Neka je, na primjer, potrebno pronaći centar gravitacije komada šperploče. Okačimo ga na konac (Sl. 128). Očigledno, u ravnotežnom položaju, težište tijela mora ležati na nastavku niti, inače će sila gravitacije imati moment u odnosu na tačku ovjesa, koja bi počela rotirati tijelo. Stoga, crtajući pravu liniju na našem komadu šperploče, koja predstavlja nastavak niti, možemo tvrditi da težište leži na ovoj pravoj liniji.

Zaista, vješanjem tijela u različitim tačkama i crtanjem vertikalnih linija, pobrinut ćemo se da se sve one sijeku u jednoj tački. Ova tačka je centar gravitacije tijela (pošto mora ležati istovremeno na svim takvim linijama). Na sličan način se može odrediti položaj težišta ne samo ravne figure, već i složenijeg tijela. Položaj težišta aviona se određuje tako što ga kotrljamo kotačima na platformu vage. Rezultanta sila težine na svakom točku bit će usmjerena okomito, a liniju duž koje djeluje možete pronaći po zakonu zbrajanja paralelnih sila.

Rice. 128. Tačka preseka vertikalnih linija povučenih kroz tačke vešanja je težište tela

Kada se promijene mase pojedinih dijelova tijela ili kada se promijeni oblik tijela, mijenja se i položaj težišta. Dakle, težište aviona se pomera kada se troši gorivo iz rezervoara, kada se utovari prtljag itd. Za vizuelni eksperiment koji ilustruje pomeranje centra gravitacije pri promeni oblika tela, zgodno je uzeti dvije identične šipke povezane šarkom (sl. 129). U slučaju kada se šipke nastavljaju jedna na drugu, težište leži na osi šipki. Ako su šipke savijene na šarki, onda je težište izvan šipki, na simetrali ugla koji formiraju. Ako se na jednu od šipki stavi dodatno opterećenje, tada će se težište pomjeriti prema ovom opterećenju.

Rice. 129. a) Težište šipki spojenih šarkom, koje se nalaze na jednoj pravoj liniji, leži na osi šipki, b) Težište savijenog sistema šipki leži izvan šipki

81.1. Gdje je težište dvije identične tanke šipke, dužine 12 cm i pričvršćene u obliku slova T?

81.2. Dokažite da težište jednolične trouglaste ploče leži na presjeku medijana.

Rice. 130. Za vježbu 81.3

81.3. Homogena daska mase 60 kg leži na dva nosača, kao što je prikazano na sl. 130. Odrediti sile koje djeluju na oslonce.

Težište je tačka kroz koju prolazi linija djelovanja rezultirajućih elementarnih sila gravitacije. Ima svojstvo centra paralelnih sila (E. M. Nikitin, § 42). Zbog toga formule za određivanje položaja težišta raznih tijela izgleda kao:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i .

Ako se tijelo čije težište treba odrediti može se identificirati figurom sastavljenom od linija (na primjer, zatvorena ili otvorena kontura napravljena od žice, kao na slici 173), tada je težina G i svakog segmenta l i može se predstaviti kao proizvod
G i \u003d l i d,
gdje je d težina jedinične dužine materijala koja je konstantna za cijelu figuru.

Nakon zamjene u formule (1) umjesto G i njihovih vrijednosti l i d, konstantni faktor d u svakom članu brojnika i nazivnika može se izvaditi iz zagrada (izvan predznaka zbira) i smanjiti. Na ovaj način, formule za određivanje koordinata težišta figure sastavljene od segmenata, poprimiće oblik:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i ;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i .

Ako tijelo ima oblik figure sastavljene od ravnina ili zakrivljenih površina smještenih na različite načine (slika 174), onda se težina svake ravni (površine) može predstaviti na sljedeći način:
G i = F i p,
gdje su F i površine svake površine, a p je težina po jedinici površine figure.

Nakon zamjene ove vrijednosti G i u formule (1), dobijamo formule za koordinate centra gravitacije figure sastavljene od površina:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i .

Ako se homogeno tijelo može podijeliti na jednostavne dijelove određenog geometrijskog oblika (Sl. 175), onda je težina svakog dijela
G i = V i γ,
gdje je V i zapremina svakog dijela, a γ težina po jedinici volumena tijela.

Nakon zamjene vrijednosti G i u formule (1), dobijamo formule za određivanje koordinata težišta tijela sastavljenog od homogenih zapremina:
x c = (∑ V i x i) / ∑ V i ;
(4) y c = (∑ V i y i) / ∑ V i ;
z c = (∑ V i z i) / ∑ V i .

Prilikom rješavanja nekih zadataka za određivanje položaja težišta tijela, ponekad je potrebno znati gdje se nalazi težište luka kružnice, kružnog sektora ili trougla.

Ako su poluprečnik luka r i središnji ugao 2α, skupljen lukom i izražen u radijanima, poznati, tada je položaj težišta C (slika 176, a) u odnosu na centar luka O jednak određena formulom:
(5) x c = (r sin α)/α.

Ako je zadana tetiva luka AB=b, tada je u formuli (5) moguće izvršiti zamjenu
sinα = b/(2r)
i onda
(5a) x c = b/(2α).

U posebnom slučaju za polukrug, obje formule će imati oblik (slika 176, b):
(5b) x c = OC = 2r/π = d/π.

Položaj težišta kružnog sektora, ako je dat njegov polumjer r (slika 176, c), određuje se pomoću formule:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Ako je dat akord sektora, onda:
(6a) x c = b/(3α).

U posebnom slučaju za polukrug, obje posljednje formule će imati oblik (slika 176, d)
(6b) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Težište površine bilo kojeg trokuta nalazi se s bilo koje strane na udaljenosti jednakoj jednoj trećini odgovarajuće visine.

U pravokutnom trokutu, težište je na sjecištu okomica podignutih na katete iz tačaka koje se nalaze na udaljenosti od jedne trećine dužine kateta, računajući od vrha pravog ugla (Sl. 177).

Prilikom rješavanja zadataka za određivanje položaja težišta bilo kojeg homogenog tijela, sastavljenog ili od tankih šipki (linija), ili od ploča (oblasti), ili od volumena, savjetuje se pridržavati se sljedećeg reda:

1) nacrtati tijelo čiji položaj težišta treba odrediti. Pošto su sve dimenzije tela obično poznate, skala se mora poštovati;

2) razbiti telo na sastavne delove (odseke ili oblasti, ili zapremine), čiji se položaj težišta određuje na osnovu veličine tela;

3) određuje ili dužine, ili površine, ili zapremine sastavnih delova;

4) bira lokaciju koordinatnih osa;

5) utvrđuje koordinate težišta sastavnih delova;

6) zameni pronađene vrednosti dužina ili površina ili zapremina pojedinih delova, kao i koordinate njihovih težišta, u odgovarajuće formule i izračunava koordinate težišta celog tela;

7) prema pronađenim koordinatama navesti na slici položaj težišta tijela.

§ 23. Određivanje položaja težišta tijela sastavljenog od tankih homogenih štapova

§ 24. Određivanje položaja težišta figura sastavljenih od ploča

U posljednjem zadatku, kao i u problemima datim u prethodnom pasusu, podjela figura na sastavne dijelove ne izaziva velike poteškoće. Ali ponekad figura ima takav oblik koji vam omogućava da je podijelite na sastavne dijelove na nekoliko načina, na primjer, tanka pravokutna ploča s trokutastim rezom (Sl. 183). Prilikom određivanja položaja težišta takve ploče, njena površina se može podijeliti na četiri pravokutnika (1, 2, 3 i 4) i jedan pravokutni trokut 5 na više načina. Dvije opcije su prikazane na sl. 183, a i b.

Najracionalniji je način podjele figure na sastavne dijelove, pri čemu se formira najmanji broj njih. Ako figura ima izreze, oni se također mogu uključiti u broj sastavnih dijelova figure, ali se površina izrezanog dijela smatra negativnom. Stoga se ova podjela naziva metodom negativnih područja.

Ploča na sl. 183, c podijeljen je ovom metodom na samo dva dijela: pravougaonik 1 sa površinom cijele ploče, kao da je cijela, i trokut 2 s površinom koju smatramo negativnom.

§ 26. Određivanje položaja težišta tijela sastavljenog od dijelova jednostavnog geometrijskog oblika

Za rješavanje problema određivanja položaja težišta tijela sastavljenog od dijelova koji imaju jednostavan geometrijski oblik, potrebno je posjedovati vještine određivanja koordinata težišta figura sastavljenih od linija ili površina. .

Centar gravitacije

geometrijska tačka, koja je uvijek povezana s čvrstim tijelom, kroz koju rezultanta svih sila gravitacije koje djeluju na čestice ovog tijela prolazi u bilo kojoj poziciji ovog tijela u prostoru; ne može se podudarati ni sa jednom tačkom datog tijela (na primjer, u blizini prstena). Ako je slobodno tijelo obješeno na nitima koje su uzastopno pričvršćene za različite točke tijela, tada će se smjerovi ovih niti ukrštati u središtu tijela. Položaj težišta čvrstog tijela u jednoličnom polju gravitacije poklapa se sa položajem njegovog centra mase. Razbijanje tijela na komade tegovima p k , za koje su koordinate x k , y k , z k njihove C. t. su poznate, možete pronaći koordinate C. t. cijelog tijela koristeći formule:

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Pogledajte šta je "Centar gravitacije" u drugim rječnicima:

Centar mase (centar inercije, baricentar) u mehanici je geometrijska tačka koja karakteriše kretanje tijela ili sistema čestica u cjelini. Sadržaj 1 Definicija 2 Centri mase homogenih figura 3 U mehanici ... Wikipedia

Tačka koja je uvijek povezana s čvrstim tijelom kroz koju rezultanta gravitacijskih sila koja djeluje na čestice ovog tijela prolazi u bilo kojem položaju tijela u prostoru. Za homogeno tijelo sa centrom simetrije (krug, lopta, kocka, itd.), ... ... enciklopedijski rječnik

Geom. tačka, koja je uvek povezana sa čvrstim telom, kroz koju prolazi rezultujuća sila svih sila gravitacije koje deluju na čestice tela u bilo kom položaju u prostoru; možda se ne podudara ni sa jednom tačkom datog tijela (na primjer, na ... ... Physical Encyclopedia

Tačka koja je uvijek povezana s čvrstim tijelom kroz koju rezultanta sila gravitacije koja djeluje na čestice ovog tijela prolazi u bilo kojem položaju tijela u prostoru. Za homogeno tijelo sa centrom simetrije (krug, lopta, kocka, itd.), ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

Centar gravitacije- CENTAR TEŽE, tačka kroz koju prolazi rezultanta gravitacionih sila koje deluju na čestice čvrstog tela u bilo kom položaju tela u prostoru. Za homogeno tijelo sa centrom simetrije (krug, lopta, kocka, itd.), centar gravitacije je ... Ilustrovani enciklopedijski rječnik

CENTAR GRAVITACIJE, tačka u kojoj je koncentrisana težina tela i oko koje je njegova težina raspoređena i uravnotežena. Objekat koji slobodno pada rotira oko svog centra gravitacije, koji se zauzvrat rotira duž putanje koja bi bila opisana točkom ... ... Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

centar gravitacije- kruto tijelo; težište Središte paralelnih sila gravitacije koje djeluju na sve čestice tijela... Politehnički terminološki rječnik

Centroidni rječnik ruskih sinonima. težište br., broj sinonima: 12 glavni (31) duh ... Rečnik sinonima

CENTAR GRAVITACIJE- Ljudsko telo nema stalni anat. položaj unutar tijela, ali se kreće ovisno o promjenama u držanju; njegovi izleti u odnosu na kičmu mogu doseći 20-25 cm Eksperimentalno određivanje položaja centralnog t. cijelog tijela sa ... ... Velika medicinska enciklopedija

Tačka primjene rezultantnih sila gravitacije (težina) svih pojedinačnih dijelova (detalja) koji čine dato tijelo. Ako je tijelo simetrično u odnosu na ravan, pravu liniju ili tačku, tada u prvom slučaju težište leži u ravni simetrije, u drugom, na ... ... Tehnički željeznički rječnik

centar gravitacije- Geometrijska tačka čvrstog tela kroz koju rezultanta svih sila gravitacije koje deluju na čestice ovog tela prolazi na bilo kojoj poziciji u prostoru [Terminološki rečnik za konstrukciju na 12 jezika (VNIIIS Gosstroy ... ... Priručnik tehničkog prevodioca

Knjige

• Težište, A. V. Poljarinov Roman Alekseja Poljarinova podseća na složen sistem jezera. Ima cyberpunka, i veličanstvene dizajne Davida Mitchella, i Borgesa, i Davida Fostera Wallacea... Ali njegovi heroji su mladi novinari,...

Na osnovu gore dobijenih općih formula, moguće je naznačiti specifične metode za određivanje koordinata težišta tijela.

1. Ako homogeno tijelo ima ravan, osu ili centar simetrije, onda njegovo težište leži ili u ravni simetrije, ili na osi simetrije, ili u centru simetrije.

Pretpostavimo, na primjer, da homogeno tijelo ima ravan simetrije. Zatim se ovom ravninom dijeli na dva takva dijela, čije su težine i jedna drugoj jednake, a težišta su na jednakoj udaljenosti od ravni simetrije. Prema tome, težište tijela kao tačke kroz koju prolazi rezultanta dvije jednake i paralelne sile će zaista ležati u ravni simetrije. Sličan rezultat se postiže u slučajevima kada tijelo ima os ili centar simetrije.

Iz svojstava simetrije proizlazi da težište homogenog okruglog prstena, okrugle ili pravokutne ploče, pravokutnog paralelepipeda, lopte i drugih homogenih tijela sa centrom simetrije leži u geometrijskom centru (centru simetrije) ova tijela.

2. Particioniranje. Ako se tijelo može podijeliti na konačan broj takvih dijelova, za svaki od kojih je poznat položaj težišta, tada se koordinate težišta cijelog tijela mogu direktno izračunati pomoću formule (59) - (62). U ovom slučaju, broj članova u svakom od zbira će biti jednak broju dijelova na koje je tijelo podijeljeno.

Zadatak 45. Odrediti koordinate težišta homogene ploče prikazane na sl. 106. Sve mjere su u centimetrima.

Rješenje. Nacrtamo ose x, y i podijelimo ploču na tri pravokutnika (linije reza su prikazane na slici 106). Izračunavamo koordinate težišta svakog od pravougaonika i njihovu površinu (vidi tabelu).

Cijela površina ploče

Zamjenom izračunatih veličina u formule (61) dobijamo:

Pronađeni položaj težišta C prikazan je na crtežu; tačka C je izvan ploče.

3. Dodatak. Ova metoda je poseban slučaj metode particioniranja. Primjenjuje se na tijela sa izrezima ako su poznati centri gravitacije tijela bez izreza i izreza.

Zadatak 46. Odrediti položaj težišta okrugle ploče poluprečnika R sa poluprečnikom rezom (sl. 107). Razdaljina

Rješenje. Težište ploče leži na liniji, jer je ova osa simetrije. Nacrtajte koordinatne ose. Da bismo pronašli koordinatu, dopunjavamo površinu ploče punim krugom (1. dio), a zatim oduzimamo površinu izrezane kružnice od rezultirajuće površine (2. dio). U ovom slučaju, područje dijela 2, kao oduzeto, treba uzeti sa predznakom minus. Onda

Zamjenom pronađenih vrijednosti u formule (61) dobijamo:

Pronađeno težište C, kao što vidite, leži lijevo od tačke

4. Integracija. Ako se tijelo ne može podijeliti na nekoliko konačnih dijelova, čiji su položaji težišta poznati, tada se tijelo prvo dijeli na proizvoljne male zapremine za koje formule (60) imaju oblik

gdje su koordinate neke tačke unutar zapremine, a zatim u jednakosti (63) prelaze na granicu, sve težeći nuli, tj. sažimaju te zapremine u tačke. Tada se zbrojevi u jednačinama pretvaraju u integrale proširene po cijeloj zapremini tijela, a formule (63) daju granicu:

Slično, za koordinate težišta površina i linija dobijamo u granici iz formula (61) i (62):

Primjer primjene ovih formula za određivanje koordinata centra gravitacije razmatra se u sljedećem paragrafu.

5. Eksperimentalna metoda. Težišta nehomogenih tijela složene konfiguracije (aviona, parna lokomotiva, itd.) mogu se odrediti eksperimentalno. Jedna od mogućih eksperimentalnih metoda (metoda ovjesa) je da se tijelo okači na konac ili sajlu na različitim mjestima. Smjer niti na kojoj je tijelo obješeno svaki put će dati smjer gravitacije. Tačka presjeka ovih pravaca određuje težište tijela. Drugi mogući način za eksperimentalno određivanje centra gravitacije je metoda vaganja. Ideja iza ove metode je jasna iz primjera u nastavku.