S obzirom na vrhove trougla aBC pronađite jednačinu stranice. Prava linija u avionu. Primjeri rješenja. Šta treba da znate i umete da uspešno rešavate probleme iz geometrije

Kako naučiti rješavati probleme u analitičkoj geometriji?
Tipičan problem sa trouglom na ravni

Ova lekcija je kreirana o pristupu ekvatoru između geometrije ravni i geometrije prostora. Trenutno postoji potreba da se sistematiziraju prikupljene informacije i odgovori na vrlo važno pitanje: kako naučiti rješavati probleme u analitičkoj geometriji? Poteškoća je u tome što u geometriji postoji beskonačan broj zadataka, a nijedan udžbenik ne može sadržavati sve brojne i raznovrsne primjere. Nije derivat funkcije sa pet pravila diferencijacije, tablicom i nekoliko tehnika...

Postoji rješenje! Neću reći glasne riječi da sam razvio nekakvu grandioznu tehniku, međutim, po mom mišljenju, postoji efikasan pristup problemu koji se razmatra, koji čak i punom čajniku omogućava postizanje dobrih i odličnih rezultata. Barem se opšti algoritam za rješavanje geometrijskih problema vrlo jasno uobličio u mojoj glavi.

ŠTA TREBA ZNATI I MOĆI
uspješno rješavati probleme iz geometrije?

Od ovoga se ne može pobjeći - kako ne biste nasumično pickali dugmad nosom, morate savladati osnove analitičke geometrije. Stoga, ako ste tek počeli učiti geometriju ili ste je potpuno zaboravili, počnite s lekcijom Vektori za lutke. Pored vektora i radnji s njima, morate znati osnovne koncepte geometrije ravnine, posebno, jednačina prave linije u ravni i . Geometrija prostora predstavljena je člancima Jednačina ravnine, Jednačine prave u prostoru, Osnovni zadaci na liniji i ravni i neke druge lekcije. Zakrivljene linije i prostorne plohe drugog reda se donekle izdvajaju i s njima nema toliko specifičnih problema.

Pretpostavimo da učenik već ima elementarna znanja i vještine u rješavanju najjednostavnijih problema analitičke geometrije. Ali to se dešava ovako: pročitate stanje problema i ... želite da zatvorite celu stvar u potpunosti, bacite je u dalji ugao i zaboravite, kao noćnu moru. Štaviše, to suštinski ne zavisi od nivoa vaših kvalifikacija, s vremena na vreme i sam se susrećem sa zadacima za koje rešenje nije očigledno. Kako postupiti u takvim slučajevima? Nema potrebe da se plašite zadatka koji ne razumete!

Prvo, treba postaviti na da li je to "planarni" ili prostorni problem? Na primjer, ako se u uvjetu pojavljuju vektori s dvije koordinate, onda je to, naravno, geometrija ravnine. A ako je učitelj zahvalnog slušaoca napunio piramidom, onda je jasno da postoji geometrija prostora. Rezultati prvog koraka su već prilično dobri, jer smo uspjeli odrezati ogromnu količinu informacija nepotrebnih za ovaj zadatak!

Sekunda. Uslov će vas po pravilu ticati neke geometrijske figure. Zaista, prošetajte hodnicima svog matičnog univerziteta i vidjet ćete mnoga zabrinuta lica.

U "ravnim" problemima, da ne spominjemo očigledne tačke i linije, najpopularnija figura je trougao. Analiziraćemo ga vrlo detaljno. Slijedi paralelogram, a pravougaonik, kvadrat, romb, krug i druge figure su mnogo rjeđe.

U prostornim zadacima mogu letjeti iste ravne figure + same ravnine i uobičajene trokutaste piramide s paralelepipedima.

Drugo pitanje - Znate li sve o ovoj figuri? Pretpostavimo da je uslov oko jednakokračnog trougla, a vi se vrlo nejasno sjećate o kakvoj se vrsti trougla radi. Otvaramo školski udžbenik i čitamo o jednakokračnom trouglu. Šta da se radi... doktor je rekao romb, pa romb. Analitička geometrija je analitička geometrija, ali problem će pomoći u rješavanju geometrijskih svojstava samih figura poznato nam iz školskog programa. Ako ne znate koliki je zbir uglova trougla, onda možete dugo patiti.

Treće. UVIJEK pokušajte slijediti plan(na propuhu / čisto / mentalno), čak i ako to ne zahtijeva uvjet. U "ravnim" zadacima, sam Euklid je naredio da uzme ravnalo s olovkom u ruci - i to ne samo da bi razumio stanje, već i u svrhu samotestiranja. U ovom slučaju, najpogodnija skala je 1 jedinica = 1 cm (2 tetradne ćelije). Da ne pričamo o nemarnim studentima i matematičarima koji se vrte u grobovima - gotovo je nemoguće pogriješiti u ovakvim problemima. Za prostorne zadatke izvodimo šematski crtež, koji će također pomoći u analizi stanja.

Crtež ili šematski crtež vam često odmah omogućava da vidite način rješavanja problema. Naravno, za ovo morate znati osnove geometrije i rezati u svojstvima geometrijskih oblika (vidi prethodni pasus).

četvrto. Razvoj algoritma rješenja. Mnogi geometrijski problemi su višeprolazni, tako da je vrlo zgodno razbiti rješenje i njegov dizajn na tačke. Često vam algoritam pada na pamet odmah nakon što pročitate uslov ili završite crtež. U slučaju poteškoća počinjemo sa PITANJEM problema. Na primjer, prema uvjetu "potrebno je izgraditi pravu liniju ...". Ovdje je najlogičnije pitanje: “Šta je dovoljno znati da se izgradi ova linija?”. Pretpostavimo, "znamo tačku, moramo znati vektor smjera." Postavljamo sljedeće pitanje: „Kako pronaći ovaj vektor smjera? Gdje?" itd.

Ponekad postoji "čep" - zadatak nije riješen i to je to. Razlozi za zaustavljanje mogu biti sljedeći:

- Ozbiljan jaz u elementarnom znanju. Drugim riječima, ne znate ili (i) ne vidite neku vrlo jednostavnu stvar.

- Nepoznavanje svojstava geometrijskih oblika.

- Zadatak je bio težak. Da, dešava se. Nema smisla pariti se satima i skupljati suze u maramicu. Pitajte svog nastavnika, kolege studente ili postavite pitanje na forumu za savjet. Štaviše, bolje je konkretizirati njenu izjavu - o onom dijelu rješenja koji ne razumijete. Krik u obliku "Kako riješiti problem?" ne izgleda dobro... i iznad svega, zbog vlastite reputacije.

Peta faza. Mi rješavamo-provjeravamo, rješavamo-provjeravamo, rješavamo-provjeravamo-dajemo odgovor. Korisno je provjeriti svaku stavku zadatka odmah po završetku. Ovo će vam pomoći da odmah pronađete grešku. Naravno, niko ne zabranjuje brzo rješavanje cijelog problema, ali postoji rizik da se sve ponovo prepiše (često nekoliko stranica).

Evo, možda, svih glavnih razmatranja kojima je preporučljivo voditi se pri rješavanju problema.

Praktični dio časa predstavlja geometrija na ravni. Biće samo dva primera, ali neće se činiti dovoljno =)

Hajde da prođemo kroz nit algoritma koji sam upravo pregledao u svom malom naučnom radu:

Primjer 1

Zadata su tri vrha paralelograma. Find top.

Hajde da počnemo da shvatamo:

Prvi korak: Očigledno je da je riječ o "ravnom" problemu.

korak dva: Problem je oko paralelograma. Svi se sjećaju takve figure paralelograma? Nema potrebe da se smiješite, dosta ljudi se obrazuje sa 30-40-50 ili više godina, tako da se i jednostavne činjenice mogu izbrisati iz sjećanja. Definicija paralelograma nalazi se u primjeru br. 3 lekcije Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova.

Treći korak: Napravimo crtež na kojem ćemo označiti tri poznata vrha. Smiješno je da je lako odmah izgraditi željenu tačku:

Konstrukcija je, naravno, dobra, ali rješenje mora biti formalizirano analitički.

Četvrti korak: Razvoj algoritma rješenja. Prva stvar koja pada na pamet je da se tačka može naći kao presek linija. Njihove jednačine su nam nepoznate, pa se moramo pozabaviti ovim pitanjem:

1) Suprotne strane su paralelne. Po bodovima pronađite vektor smjera ovih stranica. Ovo je najjednostavniji zadatak koji je razmatran u lekciji. Vektori za lutke.

Bilješka: ispravnije je reći "jednačina prave linije koja sadrži stranu", ali ću u nastavku, radi sažetosti, koristiti izraze "jednačina stranice", "usmjeravajući vektor stranice" itd.

3) Suprotne strane su paralelne. Iz tačaka nalazimo vektor smjera ovih stranica.

4) Sastaviti jednačinu prave linije po tački i vektoru pravca

U paragrafima 1-2 i 3-4 zapravo smo dva puta riješili isti problem, usput rečeno, analiziran je u primjeru br. 3 lekcije Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni. Moglo se ići dužim putem - prvo pronaći jednadžbe linija i tek onda iz njih "izvući" vektore smjera.

5) Sada su jednačine pravih poznate. Ostaje sastaviti i riješiti odgovarajući sistem linearnih jednačina (vidi primjere br. 4, 5 iste lekcije Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni).

Tačka pronađena.

Zadatak je prilično jednostavan i njegovo rješenje je očigledno, ali postoji kraći put!

Drugi način rješavanja:

Dijagonale paralelograma su prepolovljene točkom preseka. Označio sam tačku, ali da ne bih zatrpao crtež, nisam sam crtao dijagonale.

Sastavite jednadžbu stranice po tačkama :

Da biste provjerili, mentalno ili na nacrtu, zamijenite koordinate svake tačke u rezultirajućoj jednadžbi. Sada pronađimo nagib. Da bismo to učinili, prepisujemo opću jednadžbu u obliku jednadžbe s nagibom:

Dakle, faktor nagiba je:

Slično, nalazimo jednačine stranica. Ne vidim puno smisla slikati istu stvar, pa ću odmah dati gotov rezultat:

2) Pronađite dužinu stranice. Ovo je najjednostavniji zadatak o kojem se govori u lekciji. Vektori za lutke. Za bodove koristimo formulu:

Koristeći istu formulu, lako je pronaći dužine drugih strana. Provjera se vrlo brzo obavlja običnim ravnalom.

Koristimo formulu .

Nađimo vektore:

Na ovaj način:

Usput, usput smo pronašli dužine stranica.

Kao rezultat:

Pa, čini se da je istina, radi uvjerljivosti, možete pričvrstiti kutomjer na ugao.

Pažnja! Nemojte brkati ugao trougla sa uglom između pravih linija. Ugao trokuta može biti tup, ali ugao između pravih nije (vidi poslednji pasus članka Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni). Međutim, formule iz gornje lekcije mogu se koristiti i za pronalaženje ugla trokuta, ali hrapavost je u tome što te formule uvijek daju oštar ugao. Uz njihovu pomoć riješio sam ovaj problem na nacrtu i dobio rezultat. A na čistoj kopiji, morali biste zapisati dodatne izgovore za to.

4) Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku paralelnu pravoj.

Standardni zadatak, detaljno razmotren u primjeru br. 2 lekcije Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni. Iz opšte jednačine prave linije izvucite vektor smjera. Sastavimo jednačinu prave linije sa tačkom i usmjeravajućim vektorom:

Kako pronaći visinu trougla?

5) Napravimo jednačinu visine i naći ćemo njenu dužinu.

Od strogih definicija se ne može pobjeći, pa morate krasti iz školskog udžbenika:

visina trougla naziva se okomica povučena iz vrha trougla na pravu koja sadrži suprotnu stranu.

Odnosno, potrebno je sastaviti jednadžbu okomice povučene iz vrha u stranu. Ovaj zadatak se razmatra u primjerima br. 6, 7 lekcije Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni. Iz jednadžbe ukloniti normalni vektor. Sastavit ćemo jednadžbu visine za tačku i vektor smjera:

Napominjemo da ne znamo koordinate tačke.

Ponekad se jednadžba visine nalazi iz omjera nagiba okomitih linija: . U ovom slučaju, tada: . Sastavit ćemo visinsku jednačinu za tačku i nagib (pogledajte početak lekcije Jednačina prave linije na ravni):

Dužina visine se može naći na dva načina.

Postoji kružni tok:

a) nađi - tačku preseka visine i stranice;
b) pronaći dužinu segmenta po dvije poznate tačke.

Ali na času Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni razmatrana je pogodna formula za udaljenost od tačke do prave. Tačka je poznata: , poznata je i jednačina prave: , Na ovaj način:

6) Izračunajte površinu trougla. U prostoru se površina trokuta tradicionalno izračunava pomoću unakrsni proizvod vektora, ali ovdje je u ravni dat trokut. Koristimo školsku formulu:
Površina trokuta je polovina umnožaka njegove osnove puta njegove visine.

U ovom slučaju:

Kako pronaći medijanu trougla?

7) Sastavite jednačinu medijana.

Medijan trougla Segment prave koji spaja vrh trougla sa sredinom suprotne strane naziva se.

a) Pronađite tačku - sredinu stranice. Koristimo koordinatne formule srednje tačke. Poznate su koordinate krajeva segmenta: , zatim koordinate sredine:

Na ovaj način:

Jednačinu medijana sastavljamo po tačkama :

Da biste provjerili jednačinu, morate u nju zamijeniti koordinate tačaka.

8) Pronađite tačku preseka visine i medijane. Mislim da su svi već naučili kako izvesti ovaj element umjetničkog klizanja bez pada:

Zadatak 1. Date su koordinate vrhova trougla ABC: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Naći: 1) dužinu stranice AB; 2) jednačine stranica AB i BC i njihovih nagiba; 3) ugao B u radijanima sa tačnošću do dve decimale; 4) jednačina visine CD i njene dužine; 5) jednačina medijane AE i koordinate tačke K preseka ove medijane sa visinom CD; 6) jednačina prave koja prolazi kroz tačku K paralelnu sa stranicom AB; 7) koordinate tačke M, koja se nalazi simetrično u odnosu na tačku A u odnosu na pravu liniju CD.

Rješenje:

1. Udaljenost d između tačaka A(x 1 ,y 1) i B(x 2 ,y 2) određena je formulom

Primjenom (1) nalazimo dužinu stranice AB:

2. Jednačina prave koja prolazi kroz tačke A (x 1, y 1) i B (x 2, y 2) ima oblik

(2)

Zamjenjujući u (2) koordinate tačaka A i B, dobijamo jednačinu stranice AB:

Nakon što smo riješili posljednju jednačinu za y, nalazimo jednadžbu stranice AB u obliku pravolinijske jednadžbe sa nagibom:

gdje

Zamjenom u (2) koordinate tačaka B i C, dobijamo jednačinu prave BC:

Or

3. Poznato je da je tangenta ugla između dve prave, čiji su ugaoni koeficijenti jednaki, i izračunava se po formuli

(3)

Željeni ugao B formiraju prave AB i BC, čiji se ugaoni koeficijenti nalaze: Primenom (3) dobijamo

Ili drago.

4. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu ima oblik

(4)

Visina CD je okomita na stranu AB. Da bismo pronašli nagib visine CD, koristimo uslov okomitosti pravih. Od tada Zamjenom u (4) koordinate tačke C i pronađeni ugaoni koeficijent visine dobijamo

Da bismo pronašli dužinu visine CD, prvo odredimo koordinate tačke D - tačke preseka pravih AB i CD. Zajedno rješavanje sistema:

naći one. D(8;0).

Koristeći formulu (1), nalazimo dužinu visine CD:

5. Da bismo pronašli jednačinu za medijanu AE, prvo odredimo koordinate tačke E, koja je sredina stranice BC, koristeći formule za podjelu segmenta na dva jednaka dijela:

(5)

shodno tome,

Zamjenjujući u (2) koordinate tačaka A i E, nalazimo jednačinu medijana:

Da bismo pronašli koordinate tačke preseka visine CD i medijane AE, zajednički rešavamo sistem jednačina

Mi nalazimo .

6. Pošto je željena prava paralelna sa stranicom AB, onda će njen nagib biti jednak nagibu prave AB. Zamjenom u (4) koordinate pronađene tačke K i nagib dobijamo

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. Pošto je prava AB okomita na pravu CD, željena tačka M, koja se nalazi simetrično na tačku A u odnosu na pravu CD, leži na pravoj AB. Dodatno, tačka D je središte segmenta AM. Primjenom formule (5) nalazimo koordinate željene tačke M:

Trougao ABC, visina CD, medijana AE, prava KF i tačka M izgrađeni su u xOy koordinatnom sistemu na sl. jedan.

Zadatak 2. Sastavite jednadžbu za lokus tačaka, čiji je omjer udaljenosti do date tačke A (4; 0) i do date prave linije x = 1 jednak 2.

Rješenje:

U koordinatnom sistemu xOy konstruišemo tačku A(4;0) i pravu liniju x = 1. Neka je M(x;y) proizvoljna tačka željenog lokusa tačaka. Spustimo okomicu MB na datu pravu x = 1 i odredimo koordinate tačke B. Pošto tačka B leži na datoj pravoj, njena apscisa je jednaka 1. Ordinata tačke B jednaka je ordinati tačke M. Dakle, B(1; y) (slika 2).

Po uslovu zadatka |MA|: |MV| = 2. Udaljenosti |MA| i |MB| nalazimo po formuli (1) zadatka 1:

Kvadriranjem lijeve i desne strane dobijamo

ili

Rezultirajuća jednačina je hiperbola, u kojoj je realna polu-osa a = 2, a imaginarna je

Definirajmo fokuse hiperbole. Za hiperbolu, jednakost je zadovoljena. Dakle, i su fokusi hiperbole. Kao što vidite, data tačka A(4;0) je desni fokus hiperbole.

Odredimo ekscentricitet rezultirajuće hiperbole:

Asimptotne jednadžbe hiperbole imaju oblik i . Prema tome, ili i su asimptote hiperbole. Prije konstruiranja hiperbole, konstruiramo njene asimptote.

Zadatak 3. Sastavite jednadžbu za lokus tačaka jednako udaljenih od točke A (4; 3) i prave linije y = 1. Smanjite rezultirajuću jednadžbu na njen najjednostavniji oblik.

Rješenje: Neka je M(x; y) jedna od tačaka željenog lokusa tačaka. Ispustimo okomicu MB iz tačke M na datu pravu y = 1 (slika 3). Odredimo koordinate tačke B. Očigledno je da je apscisa tačke B jednaka apscisi tačke M, a ordinata tačke B je 1, odnosno B (x; 1). Po uslovu zadatka |MA|=|MV|. Prema tome, za bilo koju tačku M (x; y) koja pripada željenom lokusu tačaka, jednakost je tačna:

Rezultirajuća jednačina definira parabolu s vrhom u tački Da bismo sveli jednadžbu parabole na njen najjednostavniji oblik, postavljamo i y + 2 = Y, tada jednadžba parabole poprima oblik:

Rješenje uradite to pomoću kalkulatora.
Date su koordinate trougla: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Vektorske koordinate
Koordinate vektora nalaze se po formuli:
X = x j - x i ; Y = y j - y i

Na primjer, za vektor AB

X=1-2=-1; Y=-2-1=-3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Moduli vektora

3) Ugao između pravih linija
Ugao između vektora a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) može se naći po formuli:

gdje je a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Pronađite ugao između stranica AB i AC

γ = arccos(0,6) = 53,13 0
4) Vektorska projekcija
Vektorska projekcija b po vektoru a može se pronaći pomoću formule:

Pronađite projekciju vektora AB na vektor AC

5) Površina trougla



Rješenje


Prema formuli dobijamo:

6) Podjela segmenta u ovom pogledu
Vektor radijusa r tačke A, koji deli segment AB u odnosu na AA:AB = m 1:m 2 , određen je formulom:

Koordinate tačke A nalaze se po formulama:




Jednačina medijana trougla
Polovinu stranice BC označavamo slovom M. Zatim pronalazimo koordinate tačke M formulama za dijeljenje segmenta na pola.


M(0;-1)
Jednačinu za medijan AM nalazimo koristeći formulu za jednadžbu ravne linije koja prolazi kroz dvije date tačke. Medijan AM prolazi kroz tačke A(2;1) i M(0;-1), dakle:

ili

ili
y=x-1 ili y-x+1=0
7) Pravolinijska jednačina


Jednadžba prave AB

ili

ili
y = 3x -5 ili y -3x +5 = 0
Linija AC jednadžba

ili

ili
y = 1 / 3 x + 1 / 3 ili 3y -x - 1 = 0
Linija BC jednadžba

ili

ili
y = -x -1 ili y + x +1 = 0
8) Dužina visine trougla povučena iz temena A
Udaljenost d od tačke M 1 (x 1; y 1) do prave linije Ax + By + C = 0 jednaka je apsolutnoj vrijednosti veličine:

Pronađite udaljenost između tačke A(2;1) i prave BC (y + x +1 = 0)

9) Jednačina visine kroz vrh C
Prava koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 ;y 0) i okomita na pravu Ax + By + C = 0 ima vektor pravca (A; B) i stoga je predstavljena jednadžbama:


Ova jednačina se može naći i na drugi način. Da bismo to uradili, nalazimo nagib k 1 prave AB.
Jednačina AB: y = 3x -5, tj. k 1 = 3
Nađimo nagib k okomice iz uslova okomitosti dvije prave: k 1 *k = -1.
Zamjenjujući umjesto k 1 nagib ove prave linije, dobijamo:
3k = -1, odakle je k = -1 / 3
Kako okomica prolazi kroz tačku C(-1,0) i ima k = -1 / 3, tražićemo njenu jednačinu u obliku: y-y 0 = k(x-x 0).
Zamjenom x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 = 0 dobijamo:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
ili
y = -1 / 3 x - 1 / 3
Jednačina simetrale trokuta
Nađimo simetralu ugla A. Tačku preseka simetrale sa stranicom BC označimo sa M.
Koristimo formulu:

AB jednadžba: y -3x +5 = 0, AC jednačina: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Simetrala prepolovi ugao, pa je ugao NAK ≈ 26,5 0
Tangenta nagiba AB je 3 (jer je y -3x +5 = 0). Ugao nagiba je 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
Simetrala prolazi kroz tačku A(2,1), koristeći formulu, imamo:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1(x - 2)
ili
y=x-1
Skinuti

Primjer. Date su koordinate vrhova trougla ABC: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Potrebno: 1) izračunati dužinu stranice BC; 2) sastaviti jednačinu za stranu BC; 3) naći unutrašnji ugao trougla u vrhu B; 4) napraviti jednačinu za visinu AK povučenu iz vrha A; 5) naći koordinate težišta homogenog trougla (tačka preseka njegovih medijana); 6) napraviti crtež u koordinatnom sistemu.

Vježbajte. Date su koordinate vrhova trougla ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Obavezno:

1. napišite jednačinu za medijanu povučenu iz temena B i izračunajte njegovu dužinu.
2. napišite jednačinu za visinu povučenu iz vrha A i izračunajte njegovu dužinu.
3. naći kosinus unutrašnjeg ugla B trougla ABC.

Primjer #3. Dati su vrhovi A(1;1), B(7;4), C(4;5) trougla. Naći: 1) dužinu stranice AB; 2) unutrašnji ugao A u radijanima sa tačnošću od 0,001. Napravite crtež.
Skinuti

Primjer #4. Dati su vrhovi A(1;1), B(7;4), C(4;5) trougla. Naći: 1) jednačinu visine povučene kroz vrh C ; 2) jednačina medijane povučene kroz vrh C ; 3) tačka preseka visina trougla; 4) dužina visine spuštene od temena C. Nacrtaj.
Skinuti

Primjer #5. Dati su vrhovi trougla ABC: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Odrediti: 1) dužinu stranice AB; 2) jednačina stranica AB i AC i njihovih nagiba; 3) površina trougla.

Koordinate vektora nalazimo po formuli: X = x j - x i ; Y = y j - y i
ovdje X,Y koordinate vektora; x i , y i - koordinate tačke A i ; x j , y j - koordinate tačke A j
Na primjer, za vektor AB
X \u003d x 2 - x 1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y=-9-0=-9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Vježbajte. Date koordinate vrhova piramide ABCD. Obavezno:

1. Zapišite vektore u ort sistem i pronađite module ovih vektora.
2. Pronađite ugao između vektora.
3. Pronađite projekciju vektora na vektor.
4. Pronađite površinu lica ABC.
5. Pronađite zapreminu piramide ABCD.

Vježbajte. Pronađite oštar ugao između pravih x + y -5 = 0 i x + 4y - 8 = 0 .
Preporuke za rješenje. Problem je riješen korištenjem usluge Ugao između dvije linije.
Odgovori: 30.96o

Primjer #1. Date su koordinate tačaka A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1). Pronađite dužinu ivice A1A2. Napišite jednačinu za rub A1A4 i lice A1A2A3. Napišite jednadžbu za visinu spuštenu iz tačke A4 u ravan A1A2A3. Pronađite površinu trokuta A1A2A3. Odredite zapreminu trouglaste piramide A1A2A3A4.

Koordinate vektora nalazimo po formuli: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z i
ovdje X,Y,Z koordinate vektora; x i , y i , z i - koordinate tačke A i ; x j , y j , z j - koordinate tačke A j ;
Dakle, za vektor A 1 A 2 oni će biti sljedeći:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X=2-1; Y=1-0; Z=1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
Dužina vektora a(X;Y;Z) izražava se u smislu njegovih koordinata formulom: