Grafika funkcije snage svih različitih snaga. Funkcije i grafovi

Grafikon (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije $f\left(x\right)=x^(2n)$

Svojstva funkcije stepena s prirodnim neparnim eksponentom

Domen definicije su svi realni brojevi.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ je neparna funkcija.

$f(x)$ je kontinuiran na cijelom domenu definicije.

Opseg su svi realni brojevi.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija se povećava u cijelom domenu definicije.

$f\left(x\right)0$, za $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \levo(2n-1\desno)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija je konkavna za $x\in (-\infty ,0)$ i konveksna za $x\in (0,+\infty)$.

Grafikon (slika 3).

Slika 3. Grafikon funkcije $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funkcija stepena s cjelobrojnim eksponentom

Za početak uvodimo koncept stepena sa celobrojnim eksponentom.

Definicija 3

Stepen realnog broja $a$ sa celobrojnim eksponentom $n$ određuje se formulom:

Slika 4

Razmotrimo sada funkciju stepena sa celobrojnim eksponentom, njenim svojstvima i grafom.

Definicija 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ naziva se funkcija stepena sa cjelobrojnim eksponentom.

Ako je stepen veći od nule, dolazimo do slučaja funkcije stepena s prirodnim eksponentom. Već smo to gore razmotrili. Za $n=0$ dobijamo linearnu funkciju $y=1$. Njegovo razmatranje prepuštamo čitaocu. Ostaje da razmotrimo svojstva funkcije stepena sa negativnim celobrojnim eksponentom

Svojstva funkcije stepena s negativnim cijelim eksponentom

Opseg je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent paran, onda je funkcija parna; ako je neparna, onda je funkcija neparna.

$f(x)$ je kontinuiran na cijelom domenu definicije.

Raspon vrijednosti:

Ako je eksponent paran, onda $(0,+\infty)$, ako je neparan, onda $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent neparan, funkcija se smanjuje kao $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Za paran eksponent, funkcija se smanjuje kao $x\in (0,+\infty)$. i raste kao $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ preko cijele domene

Prikazani su svojstva i grafovi funkcija stepena za različite vrijednosti eksponenta. Osnovne formule, domeni i skupovi vrijednosti, parnost, monotonost, povećanje i smanjenje, ekstremi, konveksnost, infleksije, točke presjeka sa koordinatnim osa, granice, pojedine vrijednosti.

Formule funkcije snage

U domeni funkcije stepena y = x p vrijede sljedeće formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Svojstva funkcija stepena i njihovi grafovi

Funkcija stepena sa eksponentom jednakim nuli, p = 0

Ako je eksponent funkcije stepena y = x p jednak nuli, p = 0, tada je funkcija stepena definirana za sve x ≠ 0 i konstantna je, jednaka jedan:
y \u003d x p = x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Funkcija stepena sa prirodnim neparnim eksponentom, p = n = 1, 3, 5, ...

Razmotrimo funkciju stepena y = x p = x n sa prirodnim neparnim eksponentom n = 1, 3, 5, ... . Takav indikator se može zapisati i kao: n = 2k + 1, gdje je k = 0, 1, 2, 3, ... nenegativan cijeli broj. Ispod su svojstva i grafovi takvih funkcija.

Grafikon funkcije stepena y = x n sa prirodnim neparnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 1, 3, 5, ... .

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: -∞ < y < ∞
paritet: neparno, y(-x) = - y(x)
monoton: monotono raste
ekstremi: br
konveksno:
na -∞< x < 0 выпукла вверх
u 0< x < ∞ выпукла вниз
Prelomne tačke: x=0, y=0
x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
na x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
za x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Reverzna funkcija:
za n = 1, funkcija je inverzna samoj sebi: x = y
za n ≠ 1, inverzna funkcija je korijen stepena n:

Funkcija stepena sa prirodnim parnim eksponentom, p = n = 2, 4, 6, ...

Razmotrimo funkciju stepena y = x p = x n sa prirodnim parnim eksponentom n = 2, 4, 6, ... . Takav indikator se može napisati i kao: n = 2k, gdje je k = 1, 2, 3, ... prirodan broj. Svojstva i grafikoni takvih funkcija su dati u nastavku.

Grafikon funkcije stepena y = x n sa prirodnim parnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ... .

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: 0 ≤ y< ∞
paritet: parno, y(-x) = y(x)
monoton:
za x ≤ 0 monotono opada
za x ≥ 0 monotono raste
ekstremi: minimum, x=0, y=0
konveksno: konveksno nadole
Prelomne tačke: br
Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama: x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
za x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Reverzna funkcija:
za n = 2, kvadratni korijen:
za n ≠ 2, korijen stepena n:

Funkcija stepena s cijelim negativnim eksponentom, p = n = -1, -2, -3, ...

Razmotrimo funkciju stepena y = x p = x n sa negativnim cijelim eksponentom n = -1, -2, -3, ... . Ako stavimo n = -k, gdje je k = 1, 2, 3, ... prirodan broj, onda se može predstaviti kao:

Grafikon funkcije stepena y = x n sa negativnim cijelim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = -1, -2, -3, ... .

Neparni eksponent, n = -1, -3, -5, ...

Ispod su svojstva funkcije y = x n sa neparnim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ... .

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y ≠ 0
paritet: neparno, y(-x) = - y(x)
monoton: monotono opada
ekstremi: br
konveksno:
na x< 0 : выпукла вверх
za x > 0 : konveksno nadole
Prelomne tačke: br
Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama: br
znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Reverzna funkcija:
za n = -1,
za n< -2 ,

Parni eksponent, n = -2, -4, -6, ...

Ispod su svojstva funkcije y = x n sa parnim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ... .

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y > 0
paritet: parno, y(-x) = y(x)
monoton:
na x< 0 : монотонно возрастает
za x > 0 : monotono opadajuće
ekstremi: br
konveksno: konveksno nadole
Prelomne tačke: br
Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama: br
znak: y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Reverzna funkcija:
za n = -2,
za n< -2 ,

Funkcija stepena s racionalnim (razlomačnim) eksponentom

Razmotrimo funkciju stepena y = x p sa racionalnim (razlomkom) eksponentom, gdje je n cijeli broj, m > 1 je prirodan broj. Štaviše, n, m nemaju zajedničke djelitelje.

Imenilac frakcionog indikatora je neparan

Neka je imenilac razlomnog eksponenta neparan: m = 3, 5, 7, ... . U ovom slučaju, funkcija snage x p je definirana i za pozitivne i za negativne vrijednosti x. Razmotrite svojstva takvih funkcija stepena kada je eksponent p unutar određenih granica.

p je negativan, p< 0

Neka je racionalni eksponent (sa neparnim nazivnikom m = 3, 5, 7, ... ) manji od nule: .

Grafovi eksponencijalnih funkcija s racionalnim negativnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... neparan.

Neparni brojilac, n = -1, -3, -5, ...

Ovo su svojstva funkcije stepena y = x p sa racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -1, -3, -5, ... neparan negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodan broj.

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y ≠ 0
paritet: neparno, y(-x) = - y(x)
monoton: monotono opada
ekstremi: br
konveksno:
na x< 0 : выпукла вверх
za x > 0 : konveksno nadole
Prelomne tačke: br
Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama: br
znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Reverzna funkcija:

Parni brojilac, n = -2, -4, -6, ...

Svojstva funkcije stepena y = x p s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -2, -4, -6, ... paran negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodan broj .

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y > 0
paritet: parno, y(-x) = y(x)
monoton:
na x< 0 : монотонно возрастает
za x > 0 : monotono opadajuće
ekstremi: br
konveksno: konveksno nadole
Prelomne tačke: br
Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama: br
znak: y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Reverzna funkcija:

P-vrijednost je pozitivna, manja od jedan, 0< p < 1

Grafikon funkcije stepena s racionalnim eksponentom (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Neparni brojilac, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Više vrijednosti: -∞ < y < +∞
paritet: neparno, y(-x) = - y(x)
monoton: monotono raste
ekstremi: br
konveksno:
na x< 0 : выпукла вниз
za x > 0 : konveksno nagore
Prelomne tačke: x=0, y=0
Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama: x=0, y=0
znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = -1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Reverzna funkcija:

Parni brojnik, n = 2, 4, 6, ...

Prikazana su svojstva funkcije stepena y = x p sa racionalnim eksponentom , unutar 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Više vrijednosti: 0 ≤ y< +∞
paritet: parno, y(-x) = y(x)
monoton:
na x< 0 : монотонно убывает
za x > 0 : monotono raste
ekstremi: minimum pri x = 0, y = 0
konveksno: konveksno prema gore na x ≠ 0
Prelomne tačke: br
Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama: x=0, y=0
znak: za x ≠ 0, y > 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = 1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Reverzna funkcija:

Eksponent p je veći od jedan, p > 1

Grafikon funkcije stepena s racionalnim eksponentom (p > 1) za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... neparan.

Neparni brojilac, n = 5, 7, 9, ...

Svojstva funkcije stepena y = x p s racionalnim eksponentom većim od jedan: . Gdje je n = 5, 7, 9, ... neparan prirodan broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodan broj.

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: -∞ < y < ∞
paritet: neparno, y(-x) = - y(x)
monoton: monotono raste
ekstremi: br
konveksno:
na -∞< x < 0 выпукла вверх
u 0< x < ∞ выпукла вниз
Prelomne tačke: x=0, y=0
Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama: x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = -1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Reverzna funkcija:

Parni brojilac, n = 4, 6, 8, ...

Svojstva funkcije stepena y = x p s racionalnim eksponentom većim od jedan: . Gdje je n = 4, 6, 8, ... paran prirodan broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodan broj.

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: 0 ≤ y< ∞
paritet: parno, y(-x) = y(x)
monoton:
na x< 0 монотонно убывает
za x > 0 monotono raste
ekstremi: minimum pri x = 0, y = 0
konveksno: konveksno nadole
Prelomne tačke: br
Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama: x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = 1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Reverzna funkcija:

Imenilac frakcionog indikatora je paran

Neka je imenilac razlomnog eksponenta paran: m = 2, 4, 6, ... . U ovom slučaju, funkcija stepena x p nije definirana za negativne vrijednosti argumenta. Njena svojstva se poklapaju sa svojstvima stepena funkcije s iracionalnim eksponentom (pogledajte sljedeći odjeljak).

Funkcija snage s iracionalnim eksponentom

Razmotrimo funkciju stepena y = x p sa iracionalnim eksponentom p. Osobine takvih funkcija razlikuju se od onih koje su prethodno razmatrane po tome što nisu definirane za negativne vrijednosti argumenta x. Za pozitivne vrijednosti argumenta, svojstva zavise samo od vrijednosti eksponenta p i ne ovise o tome da li je p cijeli broj, racionalan ili iracionalan.

y = x p za različite vrijednosti eksponenta p.

Funkcija snage sa negativnim str< 0

Domena: x > 0
Više vrijednosti: y > 0
monoton: monotono opada
konveksno: konveksno nadole
Prelomne tačke: br
Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama: br
Ograničenja: ;
privatna vrijednost: Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funkcija stepena s pozitivnim eksponentom p > 0

Indikator je manji od jedne 0< p < 1

Domena: x ≥ 0
Više vrijednosti: y ≥ 0
monoton: monotono raste
konveksno: konveksno gore
Prelomne tačke: br
Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama: x=0, y=0
Ograničenja:
Privatne vrijednosti: Za x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikator je veći od jedan p > 1

Domena: x ≥ 0
Više vrijednosti: y ≥ 0
monoton: monotono raste
konveksno: konveksno nadole
Prelomne tačke: br
Tačke ukrštanja sa koordinatnim osama: x=0, y=0
Ograničenja:
Privatne vrijednosti: Za x = 0, y(0) = 0 p = 0.
Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

Funkcija snage, njena svojstva i graf Demonstracioni materijal Lekcija-predavanje Pojam funkcije. Svojstva funkcije. Funkcija snage, njena svojstva i graf. 10. razred Sva prava zadržana. Autorsko pravo uz Autorsko pravo sa

Napredak lekcije: Ponavljanje. Funkcija. Svojstva funkcije. Učenje novog gradiva. 1. Definicija funkcije stepena Definicija funkcije stepena. 2. Svojstva i grafovi funkcija stepena Svojstva i grafovi funkcija stepena. Konsolidacija proučenog materijala. Verbalno brojanje. Verbalno brojanje. Sažetak lekcije. Domaća zadaća.

Domen i opseg funkcije Sve vrijednosti nezavisne varijable čine domenu funkcije x y=f(x) f Domen funkcije Domen funkcije Sve vrijednosti koje zavisna varijabla preuzima iz domene funkcije Funkcija. Svojstva funkcije

Graf funkcije Neka je data funkcija gdje je xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Graf funkcije je skup svih tačaka koordinatne ravni čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. Funkcija. Svojstva funkcije

Y x Domen definicije i opseg funkcije 4 y=f(x) Domen funkcije: Domen funkcije: Funkcija. Svojstva funkcije

Parna funkcija y x y=f(x) Grafikon parne funkcije je simetričan u odnosu na y-osu Funkcija y=f(x) se zove parna ako je f(-x) = f(x) za bilo koji x iz domene funkcije Funkcija. Svojstva funkcije

Neparna funkcija y x y \u003d f (x) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište O (0; 0) Funkcija y = f (x) naziva se neparnom ako je f (-x) \u003d -f (x ) za bilo koji x iz definicije funkcije regije Funkcija. Svojstva funkcije

Definicija funkcije stepena Funkcija, gdje je p dati realni broj, naziva se funkcija stepena. p y = x p P = x y 0 Napredak lekcije

Funkcija stepena x y 1. Područje definicije i domena vrijednosti funkcija stepena oblika, gdje je n prirodan broj, su realni brojevi. 2. Ove funkcije su čudne. Njihov graf je simetričan u odnosu na ishodište. Svojstva i dijagrami funkcije snage

Funkcije stepena s racionalnim pozitivnim eksponentom Područje definicije su svi pozitivni brojevi i broj 0. Opseg funkcija s takvim eksponentom su također svi pozitivni brojevi i broj 0. Ove funkcije nisu ni parne ni neparne. y x Svojstva i grafovi funkcije snage

Funkcija stepena s racionalnim negativnim eksponentom. Područje definicije i raspon takvih funkcija su svi pozitivni brojevi. Funkcije nisu ni parne ni neparne. Takve funkcije se smanjuju u cijelom svom domenu definicije. y x Svojstva i grafikoni funkcije stepena Napredak lekcije

1. Funkcija snage, njena svojstva i graf;

2. Transformacije:

Paralelni prijenos;

Simetrija oko koordinatnih osa;

Simetrija oko porijekla;

Simetrija oko prave y = x;

Istezanje i skupljanje duž koordinatnih osa.

3. Eksponencijalna funkcija, njena svojstva i graf, slične transformacije;

4. Logaritamska funkcija, njena svojstva i graf;

5. Trigonometrijska funkcija, njena svojstva i graf, slične transformacije (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Funkcija: y = x\n - njena svojstva i graf.

Funkcija snage, njena svojstva i graf

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x itd. Sve ove funkcije su posebni slučajevi funkcije snage, tj. funkcije y = xp, gdje je p dati realni broj.
Svojstva i graf funkcije stepena u suštini zavise od svojstava stepena sa realnim eksponentom, a posebno od vrednosti za koje x i str ima smisla xp. Nastavimo na slično razmatranje različitih slučajeva, ovisno o tome
eksponent str.

1. Indeks p = 2n je paran prirodan broj.

y=x2n, gdje n je prirodan broj i ima sljedeća svojstva:

• domen definicije su svi realni brojevi, tj. skup R;
• skup vrijednosti - nenegativni brojevi, tj. y je veći ili jednak 0;
• funkcija y=x2nčak, jer x 2n = (-x) 2n
• funkcija se smanjuje na intervalu x< 0 i povećava se u intervalu x > 0.

Funkcija Graf y=x2n ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y=x4.

2. Indikator p = 2n - 1- neparan prirodni broj

U ovom slučaju, funkcija snage y=x2n-1, gdje je prirodan broj, ima sljedeća svojstva:

• domen definicije - skup R;
• skup vrijednosti - skup R;
• funkcija y=x2n-1čudno jer (- x) 2n-1= x 2n-1 ;
• funkcija raste na cijeloj realnoj osi.

Funkcija Graf y=x2n-1 y=x3.

3. Indikator p=-2n, gdje n- prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x-2n=1/x2n ima sljedeća svojstva:

• skup vrijednosti - pozitivni brojevi y>0;
• funkcija y = 1/x2nčak, jer 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• funkcija raste na intervalu x0.

Grafikon funkcije y = 1/x2n ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y = 1/x2.

4. Indikator p = -(2n-1), gdje n- prirodni broj.
U ovom slučaju, funkcija snage y=x-(2n-1) ima sljedeća svojstva:

• domen definicije je skup R, osim za x = 0;
• skup vrijednosti - skup R, osim y = 0;
• funkcija y=x-(2n-1)čudno jer (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• funkcija se smanjuje na intervalima x< 0 i x > 0.

Funkcija Graf y=x-(2n-1) ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y = 1/x3.