Határozzuk meg az ellipszoid főtengelyének hosszát! Másodrendű sorok. Ellipszis és kanonikus egyenlete. Kör

11.1. Alapfogalmak

Tekintsük a másodfokú egyenletek által meghatározott egyeneseket az aktuális koordinátákhoz képest

Az egyenlet együtthatói valós számok, de az A, B vagy C számok közül legalább egy nem nulla. Az ilyen vonalakat másodrendű vonalaknak (görbéknek) nevezzük. Az alábbiakban megállapítható, hogy a (11.1) egyenlet egy kört, ellipszist, hiperbolát vagy parabolát határoz meg a síkban. Mielőtt ezt az állítást folytatnánk, tanulmányozzuk a felsorolt ​​görbék tulajdonságait.

11.2. Kör

A másodrendű legegyszerűbb görbe egy kör. Emlékezzünk vissza, hogy egy pontban középpontban lévő R sugarú kör a sík összes Μ pontjának halmaza, amely teljesíti a feltételt. Legyen egy pont egy téglalap alakú koordinátarendszerben x 0, y 0 a - a kör tetszőleges pontja (lásd 48. ábra).

Ekkor a feltételből megkapjuk az egyenletet

(11.2)

A (11.2) egyenletet az adott kör bármely pontjának koordinátái kielégítik, és nem teljesülnek olyan pontok koordinátái, amelyek nem a körön találhatók.

A (11.2) egyenletet nevezzük a kör kanonikus egyenlete

Különösen, és feltételezve, megkapjuk az origó középpontú kör egyenletét .

A (11.2) köregyenlet egyszerű transzformációk után a következő alakot veszi fel. Ha ezt az egyenletet összehasonlítjuk egy másodrendű görbe (11.1) általános egyenletével, könnyen belátható, hogy a kör egyenletére két feltétel teljesül:

1) az x 2 és y 2 együtthatók egyenlőek egymással;

2) nincs olyan tag, amely az aktuális koordináták xy szorzatát tartalmazza.

Tekintsük az inverz problémát. A (11.1) egyenletbe beillesztve az és értékeket, megkapjuk

Alakítsuk át ezt az egyenletet:

(11.4)

Ebből következik, hogy a (11.3) egyenlet egy kört határoz meg a feltétel alatt . A középpontja a ponton van , és a sugár

.

Ha , akkor a (11.3) egyenlet alakja

.

Ezt egyetlen pont koordinátái elégítik ki . Ebben az esetben azt mondják: „a kör ponttá fajult” (nulla sugara van).

Ha egy , akkor a (11.4) egyenlet, és ezért az ekvivalens (11.3) egyenlet sem határoz meg egyetlen egyenest sem, mivel a (11.4) egyenlet jobb oldala negatív, a bal oldala pedig nem negatív (mondjuk: „képzeletbeli kör”).

11.3. Ellipszis

Ellipszis kanonikus egyenlete

Ellipszis a sík összes pontjának halmaza, a távolságok összege ezektől a sík két adott pontjától, ún. trükköket , egy állandó érték, amely nagyobb, mint a gócok közötti távolság.

Jelölje a fókuszt F1és F2, a köztük lévő távolság 2-ben c, és az ellipszis tetszőleges pontja és a fókusz közötti távolságok összege - 2-ig a(lásd 49. ábra). Definíció szerint 2 a > 2c, azaz a > c.

Az ellipszis egyenletének levezetéséhez olyan koordinátarendszert választunk, hogy a fókusz F1és F2 tengelyen fekszik, és az origó egybeesik a szakasz felezőpontjával F 1 F 2. Ekkor a fókuszpontok a következő koordinátákkal rendelkeznek: és .

Legyen az ellipszis tetszőleges pontja. Ekkor az ellipszis definíciója szerint, i.e.

Ez valójában egy ellipszis egyenlete.

A (11.5) egyenletet egyszerűbb formára alakítjuk a következőképpen:

Mert a>Val vel, akkor . Tegyük fel

(11.6)

Ekkor az utolsó egyenlet a vagy alakot veszi fel

(11.7)

Bebizonyítható, hogy a (11.7) egyenlet ekvivalens az eredeti egyenlettel. Ezt hívják az ellipszis kanonikus egyenlete .

Az ellipszis egy másodrendű görbe.

Ellipszis alakjának vizsgálata egyenlete szerint

Határozzuk meg az ellipszis alakját a kanonikus egyenlet segítségével.

1. A (11.7) egyenletben x és y csak páros hatványokban szerepel, tehát ha egy pont egy ellipszishez tartozik, akkor a ,, pontok is hozzá tartoznak. Ebből következik, hogy az ellipszis szimmetrikus a és a tengelyekre, valamint a pontra, amelyet az ellipszis középpontjának nevezünk.

2. Keresse meg az ellipszis és a koordinátatengelyek metszéspontjait! Elhelyezve találunk két pontot és , ahol a tengely metszi az ellipszist (lásd 50. ábra). Feltéve a (11.7) egyenletet, megtaláljuk az ellipszis és a tengely metszéspontjait: és . pontokat A 1 , A2 , B1, B2 hívott az ellipszis csúcsai. Szegmensek A 1 A2és B1 B2, valamint hosszuk 2 aés 2 b rendre hívják nagy- és melléktengelyek ellipszis. Számok aés b nagynak, illetve kicsinek nevezik. tengelytengelyek ellipszis.

3. A (11.7) egyenletből következik, hogy a bal oldalon lévő tagok nem haladják meg az egyet, azaz. vannak egyenlőtlenségek és vagy és . Ezért az ellipszis minden pontja az egyenesek által alkotott téglalap belsejében található.

4. A (11.7) egyenletben a és nem negatív tagok összege egyenlő eggyel. Következésképpen az egyik tag növekedésével a másik csökkenni fog, vagyis ha nő, akkor csökken és fordítva.

Az elmondottakból az következik, hogy az ellipszis alakja az ábrán látható. 50 (ovális zárt görbe).

Bővebben az ellipszisről

Az ellipszis alakja az aránytól függ. Amikor az ellipszis körré változik, a (11.7) ellipszisegyenlet a következőt veszi fel. Az ellipszis alakjának jellemzőjeként az arányt gyakrabban használják. A fókuszpontok és az ellipszis fél-főtengelye közötti távolság felének arányát az ellipszis excentricitásának nevezzük, az o6o-t pedig ε ("epszilon") betűvel jelöljük:

0-val<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Ez azt mutatja, hogy minél kisebb az ellipszis excentricitása, annál kevésbé lesz lapított az ellipszis; ha ε = 0-t teszünk, akkor az ellipszis körré változik.

Legyen M(x; y) az ellipszis tetszőleges pontja F 1 és F 2 fókuszokkal (lásd 51. ábra). Az F 1 M=r 1 és F 2 M = r 2 szakaszok hosszát az M pont fókuszsugarának nevezzük. Nyilvánvalóan,

Vannak képletek

Az egyenes vonalakat hívják

11.1. Tétel. Ha az ellipszis egy tetszőleges pontja és egy fókusz távolsága, d pedig ugyanannak a pontnak a távolsága az ennek a fókusznak megfelelő irányítóponttól, akkor az arány állandó érték, amely megegyezik az ellipszis excentricitásával:

A (11.6) egyenlőségből következik, hogy . Ha , akkor a (11.7) egyenlet definiál egy ellipszist, amelynek a főtengelye az Oy tengelyen, a melléktengelye pedig az Ox tengelyen fekszik (lásd 52. ábra). Egy ilyen ellipszis fókuszai az és a pontokban vannak, ahol .

11.4. Hiperbola

Hiperbola kanonikus egyenlete

Túlzás a sík összes pontjának halmazát nevezzük, melynek modulusa a két adott sík ponttól való távolságkülönbség modulusa, ún. trükköket , egy állandó érték, kisebb, mint a gócok közötti távolság.

Jelölje a fókuszt F1és F2 a köztük lévő távolságot 2s, valamint a hiperbola egyes pontjaitól az átmenő gócok közötti távolságok különbségének modulusa 2a. Definíció szerint 2a < 2s, azaz a < c.

A hiperbola egyenlet levezetéséhez olyan koordináta-rendszert választunk, hogy a fókusz F1és F2 a tengelyen fekszenek, és az origó egybeesett a szakasz felezőpontjával F 1 F 2(lásd 53. ábra). Ekkor a gócoknak lesznek koordinátái és

Legyen a hiperbola tetszőleges pontja. Majd a hiperbola definíciója szerint vagy , azaz egyszerűsítések után, ahogy az ellipszis egyenlet levezetésekor tették, azt kapjuk hiperbola kanonikus egyenlete

(11.9)

(11.10)

A hiperbola egy másodrendű vonal.

Hiperbola alakjának vizsgálata egyenlete szerint

Határozzuk meg a hiperbola alakját a kakonikus egyenlet segítségével.

1. A (11.9) egyenlet csak páros hatványokban tartalmazza az x-et és az y-t. Ezért a hiperbola szimmetrikus a és a tengelyekre, valamint a pontra, amelyet ún. a hiperbola középpontja.

2. Keresse meg a hiperbola és a koordinátatengelyek metszéspontjait! A (11.9) egyenletet beépítve a hiperbola két metszéspontját találjuk a következő tengellyel: és . A (11.9) beírásával megkapjuk a , ami nem lehet. Ezért a hiperbola nem metszi az y tengelyt.

A pontokat és hívják csúcsok hiperbolák és a szegmens

valódi tengely , vonalszakasz - valódi féltengely túlzás.

A pontokat összekötő szakaszt ún képzeletbeli tengely , b szám - képzeletbeli tengely . Téglalap oldalakkal 2aés 2b hívott a hiperbola fő téglalapja .

3. A (11.9) egyenletből következik, hogy a minuend nem kisebb egynél, azaz az vagy . Ez azt jelenti, hogy a hiperbola pontjai az egyenestől jobbra (a hiperbola jobb ága) és az egyenestől balra (a hiperbola bal ága) helyezkednek el.

4. A hiperbola (11.9) egyenletéből látható, hogy ha növekszik, akkor növekszik is. Ez abból következik, hogy a különbség állandó értéket tart eggyel.

Az elmondottakból következik, hogy a hiperbolának az 54. ábrán látható alakja van (két határtalan ágból álló görbe).

A hiperbola aszimptotái

Az L vonalat aszimptotának nevezzük egy határtalan K görbe, ha a K görbe M pontja és az egyenes közötti d távolság nullára hajlik, amikor az M pont a K görbe mentén korlátlanul mozog az origótól. Az 55. ábra szemlélteti az aszimptota fogalmát: az L egyenes a K görbe aszimptotája.

Mutassuk meg, hogy a hiperbolának két aszimptotája van:

(11.11)

Mivel a (11.11) egyenesek és a hiperbola (11.9) szimmetrikusak a koordinátatengelyekre, elegendő a jelzett egyeneseknek csak azokat a pontjait figyelembe venni, amelyek az első negyedben találhatók.

Vegyünk egy egyenest egy olyan N pontot, amelynek ugyanaz az x abszcissza, mint egy hiperbolán (lásd 56. ábra), és keresse meg a ΜN különbséget az egyenes ordinátái és a hiperbola ága között:

Amint látja, x növekszik, a tört nevezője növekszik; A számláló egy állandó érték. Ezért a szegmens hossza ΜN nullára hajlik. Mivel ΜN nagyobb, mint a Μ pont és az egyenes közötti d távolság, ezért d még inkább nullára hajlik. Így a vonalak a hiperbola (11.9) aszimptotái.

Hiperbola (11.9) készítésekor célszerű először megszerkeszteni a hiperbola fő téglalapját (lásd 57. ábra), megrajzolni ennek a téglalapnak a szemközti csúcsain átmenő vonalakat - a hiperbola aszimptotáit, és megjelölni a csúcsokat és , hiperbolát .

Az egyenlő oldalú hiperbola egyenlete.

amelyeknek aszimptotái a koordinátatengelyek

A hiperbolát (11.9) egyenlő oldalúnak nevezzük, ha féltengelyei egyenlőek (). A kanonikus egyenlete

(11.12)

Az egyenlő oldalú hiperbola aszimptotáinak egyenletei vannak, ezért a koordinátaszögek felezői.

Tekintsük ennek a hiperbolának az egyenletét egy új koordinátarendszerben (lásd 58. ábra), amelyet a koordinátatengelyek szöggel történő elforgatásával kapunk a régiből. A koordinátatengelyek elforgatására a képleteket használjuk:

Behelyettesítjük x és y értékét a (11.12) egyenletben:

Az egyenlő oldalú hiperbola egyenlete, amelyre az Ox és Oy tengelyek aszimptoták, a következő alakú lesz.

Bővebben a hiperboláról

különcség hiperbola (11.9) a fókuszpontok távolságának és a hiperbola valós tengelyének értékének aránya, amelyet ε-val jelölünk:

Mivel egy hiperbola esetében a hiperbola excentricitása nagyobb, mint egy: . Az excentricitás a hiperbola alakját jellemzi. Valóban, a (11.10) egyenlőségből következik, hogy i.e. és .

Ez azt mutatja, hogy minél kisebb a hiperbola excentricitása, annál kisebb a féltengelyeinek aránya, ami azt jelenti, hogy a fő téglalap annál jobban megnyúlik.

Az egyenlő oldalú hiperbola excentricitása . Igazán,

Fókusz sugarak és mert a hiperbola jobb oldali ágának pontjai a és alakúak, a bal oldali pedig - és .

Az egyeneseket hiperbola direktrixeinek nevezzük. Mivel ε > 1 hiperbolára, akkor . Ez azt jelenti, hogy a jobb oldali direktrix a hiperbola középpontja és a jobb oldali csúcsa között helyezkedik el, a bal oldali pedig a középpont és a bal csúcs között.

A hiperbola irányító tengelyei ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az ellipszisek iránymutatói.

Az egyenlettel definiált görbe egyben hiperbola is, melynek 2b valós tengelye az Oy tengelyen, a képzeletbeli 2 tengelyen helyezkedik el. a- az Ox tengelyen. Az 59. ábrán szaggatott vonalként látható.

Nyilvánvaló, hogy a hiperbolák és a közös aszimptoták. Az ilyen hiperbolákat konjugáltnak nevezzük.

11.5. Parabola

Kanonikus parabola egyenlet

A parabola egy síkban lévő összes pont halmaza, amelyek mindegyike egyenlő távolságra van egy adott ponttól, amelyet fókusznak nevezünk, és egy adott egyenestől, amelyet irányítópontnak nevezünk. Az F fókusz és az irányító távolságát a parabola paraméterének nevezzük, és p-vel jelöljük (p > 0).

A parabola egyenlet levezetéséhez az Oxy koordináta-rendszert úgy választjuk meg, hogy az Oxy tengely az F fókuszon az irányítóra merőlegesen haladjon át a direktrixtől F felé eső irányban, az O origó pedig középen helyezkedik el a fókusz és a direktrix között. (lásd 60. ábra). A kiválasztott rendszerben az F fókusz koordinátái , a direktrix egyenlet pedig alakja , vagy .

1. A (11.13) egyenletben az y változó páros fokozatban szerepel, ami azt jelenti, hogy a parabola szimmetrikus az Ox tengelyére; az x tengely a parabola szimmetriatengelye.

2. Mivel ρ > 0, a (11.13)-ból következik, hogy . Ezért a parabola az y tengelytől jobbra helyezkedik el.

3. Ha y \u003d 0. Ezért a parabola áthalad az origón.

4. Az x korlátlan növekedésével az y modul is korlátlanul növekszik. A parabola alakja (alakja) a 61. ábrán látható. Az O (0; 0) pontot a parabola csúcsának, az FM \u003d r szakaszt az M pont fókuszsugarának nevezzük.

egyenletek , , ( p>0) parabolákat is definiálnak, ezeket a 62. ábra mutatja

Könnyen kimutatható, hogy egy négyzetes trinom gráfja, ahol , B és C bármely valós szám, parabola a fenti definíció értelmében.

11.6. Másodrendű sorok általános egyenlete

Másodrendű görbék egyenletei a koordinátatengelyekkel párhuzamos szimmetriatengelyekkel

Először keressük meg egy olyan ellipszis egyenletét, amelynek középpontja egy olyan pontban van, amelynek szimmetriatengelyei párhuzamosak az Ox és Oy koordinátatengelyekkel, a féltengelyek pedig egyenlőek aés b. Tegyük az O 1 ellipszis középpontjába az új koordinátarendszer origóját, melynek tengelyei és féltengelyei aés b(lásd: 64. ábra):

És végül, a 65. ábrán látható paraboláknak megfelelő egyenletei vannak.

Az egyenlet

Az ellipszis, a hiperbola, a parabola és a kör egyenlete transzformációk után (zárójelek kinyitása, az egyenlet összes tagjának egy irányba mozgatása, hasonló tagok hozása, új jelölések bevezetése az együtthatókra) egyetlen egyenlet segítségével írhatók fel. a nyomtatvány

ahol az A és C együtthatók egyszerre nem egyenlők nullával.

Felmerül a kérdés: meghatározza-e bármely (11.14) alakú egyenlet valamelyik másodrendű görbét (kör, ellipszis, hiperbola, parabola)? A választ a következő tétel adja meg.

Tétel 11.2. A (11.14) egyenlet mindig meghatározza: vagy kört (A = C esetén), ellipszist (A C > 0 esetén), vagy hiperbolát (A C esetén< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Másodrendű általános egyenlet

Tekintsük most a másodfokú általános egyenletet két ismeretlennel:

Ez abban különbözik a (11.14) egyenlettől, hogy van egy tag a koordináták szorzatával (B¹ 0). A koordinátatengelyek a szöggel történő elforgatásával ezt az egyenletet úgy alakíthatjuk át, hogy a koordináták szorzatával rendelkező tag hiányzik belőle.

A tengelyek esztergálására szolgáló képletek használata

A régi koordinátákat fejezzük ki az új koordinátákkal:

Az a szöget úgy választjuk meg, hogy az x "y"-nél lévő együttható eltűnjön, azaz az egyenlőség

Így, ha a tengelyeket a (11.17) feltételnek megfelelő szögben elforgatjuk, a (11.15) egyenlet a (11.14) egyenletre redukálódik.

Következtetés: a másodrendű (11.15) általános egyenlet a síkon (a degeneráció és bomlás eseteit kivéve) a következő görbéket határozza meg: kör, ellipszis, hiperbola, parabola.

Megjegyzés: Ha A = C, akkor a (11.17) egyenlet értelmét veszti. Ebben az esetben cos2α = 0 (lásd (11.16)), majd 2α = 90°, azaz α = 45°. Tehát A = C esetén a koordinátarendszert 45 ° -kal el kell forgatni.

Meghatározás 7.1. A sík azon pontjainak halmazát, amelyekre két fix pont F 1 és F 2 távolságának összege adott állandó, az ún. ellipszis.

Az ellipszis definíciója a következő módot adja a geometriai felépítésre. Rögzítünk két F 1 és F 2 pontot a síkon, és egy nem negatív állandó értéket jelölünk 2a-val. Legyen az F 1 és F 2 pontok távolsága 2c. Képzeljük el, hogy például két tű segítségével egy 2a hosszúságú nyújthatatlan szálat rögzítünk az F 1 és F 2 pontokhoz. Nyilvánvaló, hogy ez csak ≥ c esetén lehetséges. A szálat ceruzával húzva húzzon egy vonalat, amely ellipszis lesz (7.1. ábra).

Tehát a leírt halmaz nem üres, ha a ≥ c. Ha a = c, akkor az ellipszis F 1 és F 2 végű szakasz, ha pedig c = 0, azaz. ha az ellipszis definíciójában megadott fix pontok egybeesnek, akkor a sugarú körről van szó. Ha elvetjük ezeket a degenerált eseteket, akkor általában azt feltételezzük, hogy a > c > 0.

Az ellipszis 7.1 definíciójában szereplő F 1 és F 2 rögzített pontokat (lásd 7.1. ábra) ún. ellipszis trükkök, a köztük lévő távolságot 2c jelöli, - gyújtótávolság, valamint az F 1 M és F 2 M szakaszok, amelyek az ellipszis egy tetszőleges M pontját kapcsolják össze annak fókuszával, - fókuszsugarak.

Az ellipszis formáját teljesen meghatározza a fókusztávolság |F 1 F 2 | = 2с és az a paraméter, valamint annak helyzete a síkon - F 1 és F 2 pontpárral.

Az ellipszis definíciójából következik, hogy szimmetrikus az F 1 és F 2 fókuszokon áthaladó egyenesre, valamint az F 1 F 2 szakaszt kettéosztó, rá merőleges egyenesre (1. 7.2, a). Ezeket a vonalakat hívják ellipszis tengelyek. Metszéspontjuk O pontja az ellipszis szimmetriaközéppontja, és ún az ellipszis középpontja, valamint az ellipszis és a szimmetriatengelyek metszéspontjai (A, B, C és D pontok a 7.2. ábrán, a) - az ellipszis csúcsai.

Az a számot hívják ellipszis fél-főtengelye, és b = √ (a 2 - c 2) - annak fél-minor tengely. Könnyen belátható, hogy c > 0 esetén az a fő féltengely egyenlő az ellipszis középpontja és azon csúcsai közötti távolsággal, amelyek ugyanazon a tengelyen vannak, mint az ellipszis fókuszai (az A és B csúcsok az ábrán). 7.2, a), és a b kis féltengely egyenlő a középső ellipszis és a másik két csúcs (a 7.2. ábrán a C és D csúcsok a) távolságával.

Ellipszis egyenlet. Tekintsünk néhány ellipszist a síkon, amelynek fókuszai az F 1 és F 2 pontokban, a 2a főtengelyen vannak. Legyen 2c a gyújtótávolság, 2c = |F 1 F 2 |

A síkon egy téglalap alakú Oxy koordináta-rendszert választunk úgy, hogy az origója egybeessen az ellipszis középpontjával, és a fókuszok abszcissza(7.2. ábra, b). Ezt a koordinátarendszert ún kánoni a vizsgált ellipszisre, és a megfelelő változók kánoni.

A kiválasztott koordinátarendszerben a fókuszpontok koordinátái F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). A pontok közötti távolság képletével felírjuk az |F 1 M| feltételt + |F 2 M| = 2a koordinátákban:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Ez az egyenlet kényelmetlen, mert két négyzetgyököt tartalmaz. Tehát alakítsuk át. A (7.2) egyenletben szereplő második gyököt átvisszük a jobb oldalra, és négyzetbe helyezzük:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

A zárójelek kinyitása és a hasonló kifejezések redukálása után azt kapjuk

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

ahol ε = c/a. A négyzetesítési műveletet megismételjük a második gyök eltávolításához is: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, vagy a megadott ε paraméter értékével (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Mivel a 2 - c 2 = b 2 > 0, akkor

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4.)

A (7.4) egyenletet az ellipszisen fekvő összes pont koordinátái teljesítik. Ennek az egyenletnek a származtatása során azonban az eredeti (7.2) egyenlet nem egyenértékű transzformációit használták – két négyzetre emelést, amelyek eltávolítják a négyzetgyököket. Egy egyenlet négyzetesítése ekvivalens transzformáció, ha mindkét oldalon azonos előjelű mennyiségek vannak, de ezt nem ellenőriztük a transzformációinknál.

Nem biztos, hogy ellenőrizzük a transzformációk egyenértékűségét, ha figyelembe vesszük a következőket. F 1 és F 2 pontpár, |F 1 F 2 | = 2c, a síkon egy ellipsziscsaládot határoz meg ezeken a pontokon fókuszokkal. A sík minden pontja, kivéve az F 1 F 2 szakasz pontjait, a megadott család valamelyik ellipsziséhez tartozik. Ebben az esetben nincs két ellipszis metszéspontja, mivel a fókuszsugarak összege egyértelműen meghatároz egy adott ellipszist. Tehát a metszéspontok nélküli ellipszisek leírt családja lefedi a teljes síkot, kivéve az F 1 F 2 szakasz pontjait. Tekintsünk egy olyan ponthalmazt, amelyek koordinátái kielégítik a (7.4) egyenletet az a paraméter adott értékével. Elosztható ez a halmaz több ellipszis között? A halmaz egyes pontjai egy fél-nagy tengelyű ellipszishez tartoznak a. Legyen ebben a halmazban egy pont, amely egy a fél-nagy tengelyű ellipszisen fekszik. Ekkor ennek a pontnak a koordinátái engedelmeskednek az egyenletnek

azok. a (7.4) és (7.5) egyenletnek közös megoldása van. Könnyű azonban ellenőrizni, hogy a rendszer

ã ≠ a-nak nincs megoldása. Ehhez elegendő például az x-et kizárni az első egyenletből:

amely transzformációk után az egyenlethez vezet

nincs megoldása ã ≠ a-ra, mert . Tehát a (7.4) egyenlet annak az ellipszisnek az egyenlete, amelynek fél-nagy tengelye a > 0 és mellék-féltengelye b = √ (a 2 - c 2) > 0. az ellipszis kanonikus egyenlete.

Ellipszis nézet. Az ellipszis felépítésének fentebb tárgyalt geometriai módszere kellő képet ad az ellipszis megjelenéséről. De az ellipszis alakja a (7.4) kanonikus egyenlet segítségével is vizsgálható. Például, ha y ≥ 0, akkor kifejezheti y-t x-szel: y = b√(1 - x 2 /a 2), és miután megvizsgálta ezt a függvényt, elkészítheti a gráfját. Van egy másik módja az ellipszis felépítésének. Az ellipszis (7.4) kanonikus koordináta-rendszerének origójában lévő a sugarú kört az x 2 + y 2 = a 2 egyenlet írja le. Ha az a/b > 1 együtthatóval tömörítjük végig y tengely, akkor egy görbét kapunk, amelyet az x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2 egyenlet ír le, azaz egy ellipszis.

Megjegyzés 7.1. Ha ugyanazt a kört összenyomjuk az a/b együtthatóval

Ellipszis excentricitás. Az ellipszis fókusztávolságának és főtengelyének arányát nevezzük ellipszis excentricitásés ε-vel jelöljük. Adott ellipszisre

kanonikus egyenlet (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Ha a (7.4)-ben az a és b paramétereket az a egyenlőtlenség kapcsolja össze

Ha c = 0, amikor az ellipszis körré változik, és ε = 0. Más esetekben 0

A (7.3) egyenlet ekvivalens a (7.4) egyenlettel, mert a (7.4) és (7.2) egyenletek egyenértékűek. Ezért (7.3) is ellipszis egyenlet. Ráadásul a (7.3) összefüggés érdekessége, hogy egyszerű gyökmentes képletet ad az |F 2 M| hosszra. az ellipszis M(x; y) pontjának egyik fókuszsugara: |F 2 M| = a + εx.

Hasonló képletet kaphatunk a második fókuszsugárra szimmetria-megfontolások alapján vagy olyan számítások megismétlésével, amelyekben a (7.2) egyenlet négyzetesítése előtt az első gyök kerül át a jobb oldalra, és nem a második. Tehát az ellipszis bármely M(x; y) pontjára (lásd a 7.2. ábrát)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

és ezen egyenletek mindegyike ellipszis-egyenlet.

7.1. példa. Keressük meg egy 5-ös félnagytengelyű és 0,8 excentricitású ellipszis kanonikus egyenletét, és állítsuk össze.

Ismerve az ellipszis fő féltengelyét a = 5 és az excentricitást ε = 0,8, megtaláljuk a b kis féltengelyét. Mivel b \u003d √ (a 2 - c 2), és c \u003d εa \u003d 4, akkor b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Tehát a kanonikus egyenlet alakja x 2 / 5 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Ellipszis készítéséhez célszerű a kanonikus koordináta-rendszer origójának középpontjában álló téglalapot rajzolni, amelynek oldalai párhuzamosak az ellipszis szimmetriatengelyével és egyenlőek az ellipszis szimmetriatengelyével megfelelő tengelyek (7.4. ábra). Ez a téglalap metszi a

az ellipszis tengelyei A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) csúcsaiban, és maga az ellipszis is bele van írva. ábrán. A 7.4 az ellipszis F 1,2 (±4; 0) fókuszát is mutatja.

Az ellipszis geometriai tulajdonságai.Írjuk át a (7.6) első egyenletét |F 1 M|-re = (а/ε - x)ε. Figyeljük meg, hogy a / ε - x értéke a > c esetén pozitív, mivel az F 1 fókusz nem tartozik az ellipszishez. Ez az érték a d függőleges egyenes távolsága: x = a/ε az ettől az egyenestől balra lévő M(x; y) ponttól. Az ellipszis egyenlet így írható fel

|F 1 M|/(а/ε - x) = ε

Ez azt jelenti, hogy ez az ellipszis a sík azon M (x; y) pontjaiból áll, amelyeknél az F 1 M fókuszsugár hosszának és a d egyenes távolságának aránya ε-val egyenlő állandó érték. 7.5).

A d vonalnak van egy "dupla" - egy függőleges d vonala, amely szimmetrikus d-vel az ellipszis középpontjához képest, amelyet az x \u003d -a / ε egyenlet ad meg. A d tekintetében az ellipszist írjuk le ugyanúgy, mint d tekintetében. Mind a d, mind a d" sort hívják ellipszis direktixek. Az ellipszis irányvonalai merőlegesek az ellipszis szimmetriatengelyére, amelyen a gócok találhatók, és az ellipszis középpontjától a / ε = a 2 / c távolsággal választják el őket (lásd 7.5. ábra).

A direktixtől a legközelebbi fókusztól mért p távolságot nevezzük az ellipszis fókuszparamétere. Ez a paraméter egyenlő

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Az ellipszisnek van még egy fontos geometriai tulajdonsága: az F 1 M és F 2 M fókuszsugarak egyenlő szöget zárnak be az ellipszis érintőjével az M pontban (7.6. ábra).

Ennek a tulajdonságnak egyértelmű fizikai jelentése van. Ha egy fényforrást helyezünk az F 1 fókuszba, akkor az ebből a fókuszból kilépő nyaláb az ellipszisről való visszaverődés után a második fókuszsugár mentén megy, mivel visszaverődés után ugyanolyan szögben lesz a görbével, mint a visszaverődés előtt. . Így az F 1 fókuszt elhagyó összes sugár a második F 2 fókuszban összpontosul, és fordítva. Ezen értelmezés alapján ezt a tulajdonságot ún egy ellipszis optikai tulajdonsága.

Másodrendű sorok.
Ellipszis és kanonikus egyenlete. Kör

Alapos tanulmányozás után egyenes vonalak a síkon folytatjuk a kétdimenziós világ geometriájának tanulmányozását. A tét megduplázódik, és meghívlak, hogy látogassa meg az ellipszisek, hiperbolák, parabolák festői galériáját, amelyek tipikus képviselői másodrendű sorok. A túra már elkezdődött, és először egy rövid ismertető a teljes kiállításról a múzeum különböző szintjein:

Az algebrai egyenes fogalma és sorrendje

Egy síkon lévő egyenest ún algebrai, ha bent affin koordinátarendszer egyenletének alakja , ahol egy polinom, amely a (valós szám, nem negatív egész számok) alak tagjaiból áll.

Mint látható, az algebrai egyenes egyenlete nem tartalmaz szinuszokat, koszinuszokat, logaritmusokat és egyéb funkcionális beau monde-okat. Csak "x" és "y" van benne egész szám nem negatív fokon.

Sorrend egyenlő a benne foglalt kifejezések maximális értékével.

A megfelelő tétel szerint az algebrai egyenes fogalma, valamint sorrendje nem függ a választástól affin koordinátarendszer, ezért a könnyebbség kedvéért úgy gondoljuk, hogy minden további számítás ebben a témában történik Derékszögű koordináták.

Általános egyenlet a másodrendű sor alakja , ahol tetszőleges valós számok (szorzóval szokás írni - "kettő"), és az együtthatók egyidejűleg nem egyenlők nullával.

Ha , akkor az egyenlet leegyszerűsödik , és ha az együtthatók egyidejűleg nem egyenlők nullával, akkor ez pontosan így van "lapos" egyenes általános egyenlete, amely képviseli első rendű sor.

Sokan megértették az új kifejezések jelentését, de ennek ellenére az anyag 100%-os asszimilációja érdekében az ujjunkat bedugjuk a foglalatba. A sorok sorrendjének meghatározásához ismételje meg az ismétlést minden kifejezést egyenleteit és mindegyikre találja meg erők összege bejövő változók.

Például:

a kifejezés 1. fokig "x"-et tartalmaz;
a kifejezés „Y”-t tartalmaz az 1. hatványig;
a kifejezésben nincsenek változók, így hatványaik összege nulla.

Most nézzük meg, miért állítja be az egyenlet az egyenest második rendelés:

a kifejezés "x"-et tartalmaz a 2. fokozatban;
a tag a változók fokszámainak összegét tartalmazza: 1 + 1 = 2;
a kifejezés "y"-t tartalmaz a 2. fokozatban;
minden egyéb kifejezés - kevesebb fokozat.

Maximális érték: 2

Ha hozzáadjuk az egyenletünkhöz, mondjuk, akkor már meghatározza harmadik rendű sor. Nyilvánvaló, hogy a 3. rendű soregyenlet általános formája a tagok „teljes halmazát” tartalmazza, amelyben a változók fokszámainak összege három:
, ahol az együtthatók egyidejűleg nem egyenlők nullával.

Abban az esetben, ha egy vagy több megfelelő kifejezést adnak hozzá, amelyek tartalmazzák , akkor megbeszéljük 4. rendű sorok stb.

A 3., 4. és magasabb rendű algebrai sorokkal többször kell majd foglalkoznunk, különösen a poláris koordináta-rendszer.

Térjünk azonban vissza az általános egyenlethez, és idézzük fel annak legegyszerűbb iskolai változatait. Ilyen például a parabola, amelynek egyenlete könnyen általános alakra redukálható, és a hiperbola egy ekvivalens egyenlettel. Azért nem minden olyan sima....

Az általános egyenlet jelentős hátránya, hogy szinte mindig nem egyértelmű, hogy melyik egyenest határozza meg. Még a legegyszerűbb esetben sem fogja azonnal észrevenni, hogy ez hiperbola. Az ilyen elrendezések csak maszlagban jók, ezért az analitikus geometria során egy tipikus probléma merül fel. a 2. rendű egyenes egyenlet kanonikus formára redukálása.

Mi az egyenlet kanonikus formája?

Ez az egyenlet általánosan elfogadott standard formája, amikor pillanatok alatt kiderül, hogy milyen geometriai objektumot határoz meg. Ezenkívül a kanonikus forma nagyon kényelmes számos gyakorlati feladat megoldásához. Tehát például a kanonikus egyenlet szerint "lapos" egyenes, egyrészt azonnal látható, hogy ez egy egyenes, másrészt a hozzá tartozó pont és az irányvektor egyszerűen látható.

Nyilván bármilyen 1. rendű sor egyenest ábrázol. A második emeleten már nem portás vár ránk, hanem egy sokkal változatosabb kilenc szobor társaság:

Másodrendű sorok osztályozása

Egy speciális műveletkészlet segítségével bármely másodrendű soregyenlet a következő típusok egyikére redukálódik:

(és pozitív valós számok)

1) az ellipszis kanonikus egyenlete;

2) a hiperbola kanonikus egyenlete;

3) a parabola kanonikus egyenlete;

4) – képzeletbeli ellipszis;

5) - egy pár metsző vonal;

6) - pár képzeletbeli metszővonalak (az egyetlen valódi metszésponttal az origóban);

7) - egy pár párhuzamos vonal;

8) - pár képzeletbeli párhuzamos vonalak;

9) egy pár egybeeső vonal.

Néhány olvasónak az a benyomása lehet, hogy a lista nem teljes. Például a 7. bekezdésben az egyenlet beállítja a párt közvetlen, párhuzamos a tengellyel, és felmerül a kérdés: hol van az egyenlet, amely meghatározza az y tengellyel párhuzamos egyeneseket? Válaszold meg nem tekinthető kánonnak. Az egyenes vonalak ugyanazt a 90 fokkal elforgatott standard tokot ábrázolják, és a besorolás további bejegyzése felesleges, mivel semmi alapvetően újat nem hordoz.

Így kilenc és csak kilenc különböző típusú 2. rendű sor létezik, de a gyakorlatban a leggyakoribbak ellipszis, hiperbola és parabola.

Nézzük először az ellipszist. Szokás szerint azokra a pontokra koncentrálok, amelyek nagy jelentőséggel bírnak a problémák megoldásában, és ha részletes képletek levezetésére, tételbizonyításra van szüksége, kérjük, olvassa el például Bazylev / Atanasyan vagy Aleksandrov tankönyvét.

Ellipszis és kanonikus egyenlete

Helyesírás ... kérem, ne ismételje meg néhány Yandex-felhasználó hibáit, akiket érdekel "hogyan építsünk ellipszist", "az ellipszis és az ovális különbsége" és az "elebs excentricitás".

Az ellipszis kanonikus egyenlete alakja , ahol pozitív valós számok, és . Az ellipszis definícióját később fogom megfogalmazni, de most ideje szünetet tartani a beszédben, és megoldani egy gyakori problémát:

Hogyan építsünk ellipszist?

Igen, vedd és rajzold le. A feladat gyakori, és a hallgatók jelentős része nem tud kompetensen megbirkózni a rajzzal:

1. példa

Szerkesszünk meg egy ellipszist az egyenlet alapján!

Megoldás: először hozzuk az egyenletet a kanonikus alakba:

Miért hozza? A kanonikus egyenlet egyik előnye, hogy lehetővé teszi az azonnali meghatározást ellipszis csúcsok, amelyek a pontokon vannak. Könnyen belátható, hogy az egyes pontok koordinátái kielégítik az egyenletet.

Ebben az esetben :


Vonalszakasz hívott főtengely ellipszis;
vonalszakasz – melléktengely;
szám hívott fél-nagy tengely ellipszis;
szám – fél-minor tengely.
példánkban: .

Ha gyorsan elképzelni szeretné, hogyan néz ki ez vagy az az ellipszis, nézze meg kanonikus egyenletének "a" és "be" értékét.

Minden rendben van, ügyes és szép, de van egy figyelmeztetés: a rajzot a program segítségével fejeztem be. És bármilyen alkalmazással rajzolhat. A rideg valóságban azonban egy kockás papírlap hever az asztalon, és egerek táncolnak a kezünk körül. A művészi tehetséggel rendelkezők persze vitatkozhatnak, de neked is vannak egereid (bár kisebbek). Az emberiség nem hiába talált ki egy vonalzót, egy iránytűt, egy szögmérőt és más egyszerű eszközöket a rajzoláshoz.

Emiatt nem valószínű, hogy tudunk pontosan megrajzolni egy ellipszist, ha csak a csúcsokat ismerjük. Még mindig rendben van, ha az ellipszis kicsi, például féltengelyekkel. Alternatív megoldásként csökkentheti a rajz léptékét és ennek megfelelően a méreteit. De általános esetben nagyon kívánatos további pontokat találni.

Kétféle megközelítés létezik az ellipszis felépítésére: geometriai és algebrai. Nem szeretek iránytűvel és vonalzóval építeni a rövid algoritmus és a rajz jelentős zűrzavara miatt. Sürgős esetben a tankönyvből tájékozódjunk, de a valóságban sokkal racionálisabb az algebra eszközeinek alkalmazása. A vázlaton lévő ellipszis egyenletből gyorsan kifejezzük:

Az egyenlet ezután két függvényre oszlik:
– meghatározza az ellipszis felső ívét;
– meghatározza az ellipszis alsó ívét.

A kanonikus egyenlet által adott ellipszis szimmetrikus a koordinátatengelyekre, valamint az origóra. És ez nagyszerű – a szimmetria szinte mindig az ajándékozás előhírnöke. Nyilván elég az 1. koordinátanegyeddel foglalkozni, így kell egy függvény . Azt javasolja, hogy találjon további pontokat abszcisszákkal . Három SMS-t ütöttünk a kalkulátoron:

Persze az is kellemes, hogy ha komoly hiba történik a számításokban, akkor ez a kivitelezés során azonnal kiderül.

Jelölje meg a rajzon pontokat (piros szín), a többi íven szimmetrikus pontokat (kék szín), és óvatosan kösse össze az egész társaságot egy vonallal:


Jobb, ha a kezdeti vázlatot vékonyan és vékonyan rajzolja meg, és csak ezután gyakoroljon nyomást a ceruzára. Az eredmény egy egészen tisztességes ellipszis legyen. Egyébként szeretnéd tudni, hogy mi ez a görbe?

Az ellipszis definíciója. Ellipszis gócok és ellipszis excentricitás

Az ellipszis az ovális speciális esete. Az "ovális" szót nem filiszteri értelemben kell érteni ("a gyerek oválist rajzolt" stb.). Ez egy matematikai kifejezés, részletes megfogalmazással. Ennek a leckének nem az a célja, hogy megvizsgálja az oválisok elméletét és különféle típusait, amelyek gyakorlatilag nem kapnak figyelmet az analitikus geometria standard tanfolyamán. És az aktuálisabb igényeknek megfelelően azonnal rátérünk az ellipszis szigorú meghatározására:

Ellipszis- ez a sík összes pontjának halmaza, amelyek távolságának összege két adott ponttól, ún. trükköket ellipszis, egy állandó érték, amely számszerűen egyenlő az ellipszis főtengelyének hosszával: .
Ebben az esetben a gócok közötti távolság kisebb, mint ez az érték: .

Most már világosabb lesz:

Képzelje el, hogy a kék pont egy ellipszisen "lovagol". Tehát függetlenül attól, hogy az ellipszis melyik pontját vesszük, a szakaszok hosszának összege mindig ugyanaz lesz:

Győződjön meg róla, hogy példánkban az összeg értéke valóban nyolc. Helyezze gondolatban az "em" pontot az ellipszis jobb csúcsába, majd: , amelyet ellenőrizni kellett.

Az ellipszis rajzolásának másik módja az ellipszis definícióján alapul. A felsőfokú matematika időnként a feszültség és a stressz okozója, ezért itt az ideje, hogy tartsunk egy újabb kirakodást. Kérjük, vegyen egy darab papírt vagy egy nagy kartonlapot, és rögzítse két szöggel az asztalhoz. Ezek trükkök lesznek. Kössünk zöld szálat a kiálló szögfejekre, és húzzuk végig ceruzával. A ceruza nyaka egy ponton lesz, ami az ellipszishez tartozik. Most kezdje el vezetni a ceruzát a papírlapon, miközben a zöld cérna nagyon feszes marad. Addig folytasd a folyamatot, amíg vissza nem térsz a kiindulási ponthoz... kitűnő... a rajzot az orvos ellenőrzésre beküldheti a tanárnak =)

Hogyan lehet megtalálni az ellipszis fókuszát?

A fenti példában "kész" fókuszpontokat ábrázoltam, és most megtanuljuk, hogyan vonhatjuk ki őket a geometria mélységeiből.

Ha az ellipszist a kanonikus egyenlet adja, akkor a fókuszpontjainak koordinátái vannak , hol van az egyes fókuszpontok és az ellipszis szimmetriaközéppontja közötti távolság.

A számítások egyszerűbbek, mint a párolt fehérrépa esetében:

! A "ce" jelentéssel lehetetlen azonosítani a trükkök konkrét koordinátáit! Ismétlem, ez van TÁVOLSÁG az egyes fókuszoktól a középpontig(amelynek általában nem kell pontosan az origóban elhelyezkednie).
Ezért a gócok távolsága sem köthető az ellipszis kanonikus helyzetéhez. Más szóval, az ellipszis áthelyezhető egy másik helyre, és az érték változatlan marad, míg a fókuszok természetesen megváltoztatják a koordinátáikat. Kérjük, tartsa ezt szem előtt, amikor tovább vizsgálja a témát.

Az ellipszis excentricitása és geometriai jelentése

Az ellipszis excentricitása egy olyan arány, amely értéket vehet fel .

A mi esetünkben:

Nézzük meg, hogyan függ az ellipszis alakja az excentricitásától. Ezért rögzítse a bal és a jobb csúcsot a vizsgált ellipszis értéke, vagyis a fél-nagy tengely értéke állandó marad. Ekkor az excentricitási képlet a következő alakot veszi fel: .

Kezdjük közelíteni az excentricitás értékét az egységhez. Ez csak akkor lehetséges, ha. Mit jelent? ...trükkökre emlékezni . Ez azt jelenti, hogy az ellipszis fókuszai az abszcissza tengely mentén az oldalcsúcsok felé "szétoszlanak". És mivel „a zöld szegmensek nem gumik”, az ellipszis elkerülhetetlenül ellaposodni kezd, és egyre vékonyabb, tengelyre felfűzött kolbászsá válik.

Ily módon minél közelebb van az ellipszis excentricitása egyhez, annál hosszabb az ellipszis.

Most szimuláljuk az ellenkező folyamatot: az ellipszis fókuszát egymás felé mentek, a központ felé közeledve. Ez azt jelenti, hogy a "ce" értéke egyre kisebb, és ennek megfelelően az excentricitás nullára hajlik: .
Ebben az esetben a „zöld szegmensek” éppen ellenkezőleg, „zsúfolttá válnak”, és elkezdik „fel-le tolni” az ellipszis vonalát.

Ily módon minél közelebb van az excentricitás értéke nullához, annál jobban néz ki az ellipszis... nézd meg a határesetet, amikor a gócok sikeresen egyesülnek az origónál:

A kör az ellipszis speciális esete

Valójában a féltengelyek egyenlősége esetén az ellipszis kanonikus egyenlete ölt formát, amely reflexszerűen átalakul a jól ismert köregyenletté az "a" sugár origójában lévő iskolából.

A gyakorlatban gyakrabban használják a „beszélő” „er” betűt tartalmazó jelölést:. A sugarat a szakasz hosszának nevezzük, míg a kör minden pontját a sugár távolsága távolítja el a középponttól.

Megjegyezzük, hogy az ellipszis definíciója teljesen helyes marad: a fókuszok illeszkednek, és a kör minden pontjára illeszkedő szakaszok hosszának összege állandó érték. Mivel a gócok közötti távolság az bármely kör excentricitása nulla.

Könnyen és gyorsan felépül egy kör, elég, ha felvértezed magad egy iránytűvel. Néha azonban meg kell találni egyes pontjainak koordinátáit, ebben az esetben a megszokott úton járunk - az egyenletet vidám Matan alakra hozzuk:

a felső félkör funkciója;
az alsó félkör funkciója.

Ezután megtaláljuk a kívánt értékeket, megkülönböztethető, egyesítés csinálj más jó dolgokat.

A cikk természetesen csak tájékoztató jellegű, de hogyan élhet valaki szerelem nélkül a világon? Kreatív feladat önálló megoldásra

2. példa

Állítsa össze egy ellipszis kanonikus egyenletét, ha az egyik gócja és a fél-minor tengelye ismert (a középpont az origóban van). Keressen csúcsokat, további pontokat, és húzzon egy vonalat a rajzon. Számítsa ki az excentricitást!

Megoldás és rajz az óra végén

Adjunk hozzá egy műveletet:

Ellipszis elforgatása és lefordítása

Térjünk vissza az ellipszis kanonikus egyenletéhez, mégpedig ahhoz a feltételhez, amelynek rejtvénye e görbe első említése óta gyötri a kíváncsi elméket. Itt egy ellipszist vettünk figyelembe , de a gyakorlatban nem lehet az egyenletet ? Hiszen itt azonban úgy tűnik, ez is olyan, mint egy ellipszis!

Ritka egy ilyen egyenlet, de előfordul. És ez meghatároz egy ellipszist. Eloszlatjuk a misztikumot:

A konstrukció eredményeként natív ellipszisünket kapjuk, 90 fokkal elforgatva. vagyis - ez nem kanonikus bejegyzés ellipszis . Rekord!- az egyenlet nem határoz meg más ellipszist, mivel a tengelyen nincsenek olyan pontok (gócok), amelyek megfelelnének az ellipszis definíciójának.

Előadások algebráról és geometriáról. 1. félév.

15. előadás Ellipszis.

15. fejezet

1. tétel. Alapvető definíciók.

Meghatározás. Az ellipszis egy sík GMT-je, amelynek a sík két fix pontja, úgynevezett fókuszpont távolságának összege állandó érték.

Meghatározás. A sík tetszőleges M pontja és az ellipszis fókusz közötti távolságát az M pont fókuszsugarának nevezzük.

Megnevezések:
az ellipszis fókuszai,
az M pont fókuszsugarai.

Az ellipszis definíciója szerint egy M pont akkor és csak akkor az ellipszis pontja
állandó érték. Ezt az állandót általában 2a-val jelölik:

. (1)

vegye észre, az
.

Az ellipszis definíciója szerint a fókuszpontjai fix pontok, így a köztük lévő távolság is állandó érték az adott ellipszisnél.

Meghatározás. Az ellipszis fókuszpontjai közötti távolságot gyújtótávolságnak nevezzük.

Kijelölés:
.

Egy háromszögből
ezt követi
, azaz

.

Jelölje b-vel az egyenlő számot
, azaz

. (2)

Meghatározás. Hozzáállás

(3)

az ellipszis excentricitásának nevezzük.

Vezessünk be egy koordinátarendszert az adott síkon, amit az ellipszisre kanonikusnak nevezünk.

Meghatározás. Azt a tengelyt, amelyen az ellipszis gócai helyezkednek el, fókusztengelynek nevezzük.

Szerkesszük meg az ellipszis kanonikus PDSC-jét, lásd a 2. ábrát.

A fókusztengelyt választjuk abszcissza tengelynek, és az ordináta tengelyt a szakasz közepén keresztül rajzoljuk
merőleges a fókusztengelyre.

Ekkor a gócoknak vannak koordinátái
,
.

2. tétel. Ellipszis kanonikus egyenlete.

Tétel. Az ellipszis kanonikus koordinátarendszerében az ellipszis egyenlet a következőképpen alakul:

. (4)

Bizonyíték. A bizonyítást két szakaszban végezzük. Az első lépésben bebizonyítjuk, hogy az ellipszis bármely pontjának koordinátái kielégítik a (4) egyenletet. A második lépésben bebizonyítjuk, hogy a (4) egyenlet bármely megoldása megadja az ellipszisen fekvő pont koordinátáit. Innen következik, hogy a (4) egyenletet a koordinátasík azon pontjai és csak azok a pontjai teljesítik, amelyek az ellipszisen helyezkednek el. Innen és a görbeegyenlet definíciójából az következik, hogy a (4) egyenlet egy ellipszis egyenlet.

1) Legyen az M(x, y) pont az ellipszis egyik pontja, azaz. fókuszsugarainak összege 2a:

.

A koordinátasíkon lévő két pont távolságának képletét használjuk, és a következő képlettel keressük meg egy adott M pont fókuszsugarát:

,
, honnan kapjuk:

Mozgassunk egy gyökérrel az egyenlőség jobb oldalára, és négyzetre emeljük:

Csökkentve a következőket kapjuk:

Hasonlókat adunk, csökkentjük 4-gyel, és elkülönítjük a gyököt:

.

Nézzünk

Nyissa ki a zárójeleket és rövidítse le
:

honnan kapjuk:

A (2) egyenlőség felhasználásával a következőket kapjuk:

.

Az utolsó egyenlőséget osztva ezzel
, egyenlőséget kapunk (4), p.t.d.

2) Most egy (x, y) számpár teljesítse a (4) egyenletet, és legyen M(x, y) a megfelelő pont az Oxy koordinátasíkon.

Ezután a (4)-ből a következő:

.

Ezt az egyenlőséget behelyettesítjük az M pont fókuszsugarainak kifejezésébe:

.

Itt a (2) és (3) egyenlőséget használtuk.

Ily módon
. Hasonlóképpen,
.

Most vegyük észre, hogy a (4) egyenlőségből az következik

vagy
és mert
, akkor a következő egyenlőtlenség következik:

.

Ebből viszont az következik

vagy
és

,
. (5)

Az (5) egyenlőségekből következik, hogy
, azaz az M(x, y) pont az ellipszis pontja stb.

A tétel bizonyítást nyert.

Meghatározás. A (4) egyenletet az ellipszis kanonikus egyenletének nevezzük.

Meghatározás. Az ellipszis kanonikus koordinátatengelyeit az ellipszis főtengelyeinek nevezzük.

Meghatározás. Az ellipszis kanonikus koordinátarendszerének origóját az ellipszis középpontjának nevezzük.

3. tétel. Ellipszis tulajdonságai.

Tétel. (Egy ellipszis tulajdonságai.)

1. Az ellipszis kanonikus koordinátarendszerében minden

az ellipszis pontjai a téglalapban vannak

,
.

2. Pontok fekszenek

3. Az ellipszis egy körre szimmetrikus görbe

fő tengelyeiket.

4. Az ellipszis középpontja a szimmetriaközéppontja.

Bizonyíték. 1, 2) Azonnal következik az ellipszis kanonikus egyenletéből.

3, 4) Legyen M(x, y) az ellipszis tetszőleges pontja. Ekkor a koordinátái kielégítik a (4) egyenletet. De akkor a pontok koordinátái is kielégítik a (4) egyenletet, és ezért azok az ellipszis pontjai, amelyekből a tétel állításai következnek.

A tétel bizonyítást nyert.

Meghatározás. A 2a mennyiséget az ellipszis főtengelyének, az a mennyiséget az ellipszis fő féltengelyének nevezzük.

Meghatározás. A 2b mennyiséget az ellipszis melléktengelyének, a b mennyiséget az ellipszis kis féltengelyének nevezzük.

Meghatározás. Az ellipszis főtengelyeivel való metszéspontjait ellipsziscsúcsoknak nevezzük.

Megjegyzés. Egy ellipszist a következő módon lehet megszerkeszteni. Egy síkban „szöget verünk” a trükkökbe, és egy hosszúságú szálat rögzítünk hozzájuk
. Majd veszünk egy ceruzát és azzal feszítjük ki a cérnát. Ezután mozgatjuk a ceruza vezetékét a síkon, ügyelve arra, hogy a cérna feszes állapotban legyen.

Az excentricitás definíciójából az következik

Rögzítünk egy a számot, és hagyjuk, hogy c legyen nulla. Aztán at
,
és
. Abban a határban, amit kapunk

vagy
a kör egyenlet.

Most törekedjünk
. Akkor
,
és azt látjuk, hogy a határértékben az ellipszis vonalszakasszá degenerálódik
3. ábra jelölésében.

4. tétel. Ellipszis paraméteres egyenletei.

Tétel. Hadd
tetszőleges valós számok. Aztán az egyenletrendszer

,
(6)

Az ellipszis kanonikus koordináta-rendszerében az ellipszis parametrikus egyenletei.

Bizonyíték. Elegendő annak bizonyítása, hogy a (6) egyenletrendszer ekvivalens a (4) egyenlettel, azaz. ugyanaz a megoldáskészletük.

1) Legyen (x, y) a (6) rendszer tetszőleges megoldása. Osszuk el az első egyenletet a-val, a másodikat b-vel, négyzetesítsük mindkét egyenletet, és adjuk hozzá:

.

Azok. a (6) rendszer bármely (x, y) megoldása kielégíti a (4) egyenletet.

2) Fordítva, legyen az (x, y) pár megoldása a (4) egyenletre, azaz.

.

Ebből az egyenlőségből következik, hogy a koordinátákkal rendelkező pont
egy egységsugarú körön fekszik, amelynek középpontja az origó, azaz. a trigonometrikus kör egy pontja, amely valamilyen szögnek felel meg
:

A szinusz és koszinusz definíciójából rögtön az következik

,
, ahol
, amiből az következik, hogy az (x, y) pár a (6) rendszer megoldása stb.

A tétel bizonyítást nyert.

Megjegyzés. Ellipszist kaphatunk az a sugarú körnek az abszcissza tengelyéhez való egyenletes "összenyomódása" eredményeként.

Hadd
az origó középpontú kör egyenlete. A kör "összenyomása" az abszcissza tengelyre nem más, mint a koordinátasík transzformációja, amelyet a következő szabály szerint hajtunk végre. Minden M(x, y) ponthoz egy azonos síkú pontot teszünk
, ahol
,
a "kompressziós" tényező.

Ezzel a transzformációval a kör minden pontja "átmegy" a sík egy másik pontjába, amelynek ugyanaz az abszcisszán, de kisebb az ordinátája. Fejezzük ki a pont régi ordinátáját az újjal:

és behelyettesítjük a köregyenletbe:

.

Innen kapjuk:

. (7)

Ebből az következik, hogy ha a "kompressziós" transzformáció előtt az M(x, y) pont a körön feküdt, azaz. koordinátái kielégítették a köregyenletet, majd a "kompressziós" transzformáció után ez a pont "átment" a pontba
, melynek koordinátái kielégítik a (7) ellipszis egyenletet. Ha egy b kisebb féltengellyel rendelkező ellipszis egyenletét szeretnénk megkapni, akkor a tömörítési tényezőt kell venni

.

5. tétel. Ellipszis érintője.

Tétel. Hadd
- az ellipszis tetszőleges pontja

.

Ezután ennek az ellipszisnek az érintőjének egyenlete a pontban
úgy néz ki, mint a:

. (8)

Bizonyíték. Elegendő azt az esetet figyelembe venni, amikor az érintési pont a koordinátasík első vagy második negyedében található:
. Az ellipszis egyenlet a felső félsíkban a következőképpen alakul:

. (9)

Használjuk a függvény grafikonjának érintőjének egyenletét
azon a ponton
:

ahol
a függvény deriváltjának értéke a pontban
. Az ellipszis az első negyedévben a (8) függvény grafikonjaként tekinthető. Keressük származékát és értékét az érintkezési pontban:

,

. Itt azt a tényt használtuk ki, hogy az érintési pont
az ellipszis egy pontja, ezért koordinátái kielégítik az ellipszis (9) egyenletét, azaz.

.

A derivált talált értékét behelyettesítjük a (10) érintőegyenletbe:

,

honnan kapjuk:

Ez a következőket jelenti:

Osszuk fel ezt az egyenletet
:

.

Azt kell még megjegyezni
, mert pont
az ellipszishez tartozik és koordinátái kielégítik az egyenletét.

A (8) érintőegyenletet a koordinátasík harmadik vagy negyedik negyedében elhelyezkedő érintőponton is hasonlóképpen bizonyítjuk.

És végül könnyen beláthatjuk, hogy a (8) egyenlet megadja a pontokban lévő érintő egyenletét.
,
:

vagy
, és
vagy
.

A tétel bizonyítást nyert.

6. tétel. Az ellipszis tükörtulajdonsága.

Tétel. Az ellipszis érintője egyenlő szögeket zár be az érintőpont fókuszsugarával.

Hadd
- kapcsolattartási pont
,
az érintőpont fókuszsugarai, P és Q a fókuszok vetületei az ellipszisre a pontban húzott érintőre
.

A tétel azt mondja ki

. (11)

Ez az egyenlőség úgy értelmezhető, mint a fókuszából felszabaduló ellipszis fénysugár beesési és visszaverődési szögeinek egyenlősége. Ezt a tulajdonságot az ellipszis tükörtulajdonságának nevezzük:

Az ellipszis fókuszpontjából kibocsátott fénysugár az ellipszis tükréről való visszaverődés után áthalad az ellipszis másik fókuszán.

A tétel bizonyítása. A (11) szögek egyenlőségének bizonyításához bizonyítjuk a háromszögek hasonlóságát
és
, amelyben az oldalak
és
hasonló lesz. Mivel a háromszögek derékszögűek, elegendő az egyenlőség bizonyításához

Meghatározás. Az ellipszis egy síkban lévő pontok helye, ezek távolságának összege a sík két adott pontjától, úgynevezett gócoktól, állandó érték (feltéve, hogy ez az érték nagyobb, mint a fókuszpontok távolsága).

Jelöljük a gócokat a köztük lévő távolságon keresztül - át , és egy állandó értéket, amely megegyezik az ellipszis egyes pontjaitól a fókuszokig tartó távolságok összegével, át (feltétel szerint).

Építsünk derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a fókuszpontok az abszcissza tengelyen legyenek, és a koordináták origója egybeessen a szakasz közepével (44. ábra). Ekkor a fókuszok a következő koordinátákkal rendelkeznek: bal és jobb fókusz. Vezessük le az ellipszis egyenletét az általunk választott koordinátarendszerben. Ehhez vegyük figyelembe az ellipszis egy tetszőleges pontját. Az ellipszis definíciója szerint az ettől a ponttól a fókuszpontok közötti távolság összege:

A két pont távolságának képletével azt kapjuk, hogy

Ennek az egyenletnek az egyszerűsítése érdekében a formába írjuk

Ekkor az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelése ad

vagy nyilvánvaló egyszerűsítések után:

Most ismét négyzetre emeljük az egyenlet mindkét oldalát, ami után lesz:

vagy azonos átalakítások után:

Mivel az ellipszis definíciójában szereplő feltétel szerint, akkor pozitív szám. Bemutatjuk a jelölést

Ekkor az egyenlet a következő formában jelenik meg:

Az ellipszis definíciója szerint bármely pontjának koordinátái kielégítik a (26) egyenletet. De a (29) egyenlet a (26) egyenlet következménye. Ezért az ellipszis bármely pontjának koordinátáit is kielégíti.

Megmutatható, hogy azon pontok koordinátái, amelyek nem helyezkednek el az ellipszisben, nem teljesítik a (29) egyenletet. Így a (29) egyenlet egy ellipszis egyenlete. Ezt az ellipszis kanonikus egyenletének nevezik.

Határozzuk meg az ellipszis alakját a kanonikus egyenlet segítségével.

Először is vegye figyelembe, hogy ez az egyenlet csak x és y páros hatványait tartalmazza. Ez azt jelenti, hogy ha bármely pont egy ellipszishez tartozik, akkor az is tartalmaz egy pontot, amely szimmetrikus az abszcissza tengely körüli ponttal, és egy olyan pontot, amely szimmetrikus az y tengely körüli ponttal. Így az ellipszisnek két egymásra merőleges szimmetriatengelye van, amelyek a választott koordinátarendszerünkben egybeesnek a koordinátatengelyekkel. Az ellipszis szimmetriatengelyeit az ellipszis tengelyeinek, a metszéspontjukat pedig az ellipszis középpontjának nevezzük. Azt a tengelyt, amelyen az ellipszis fókuszai találhatók (ebben az esetben az abszcissza tengely), fókusztengelynek nevezzük.

Határozzuk meg először az ellipszis alakját az első negyedben. Ehhez megoldjuk a (28) egyenletet y-ra vonatkozóan:

Nyilvánvaló, hogy itt , mivel y képzetes értékeket vesz fel . Ha 0-ról a-ra nő, y b-ről 0-ra csökken. Az ellipszis első negyedében fekvő része egy B (0; b) pontokkal határolt ív lesz, amely a koordinátatengelyeken fekszik (45. ábra). Az ellipszis szimmetriájának felhasználásával arra a következtetésre jutunk, hogy az ellipszis alakja az ábrán látható. 45.

Az ellipszis és a tengely metszéspontjait az ellipszis csúcsainak nevezzük. Az ellipszis szimmetriájából következik, hogy az ellipszisnek a csúcsokon kívül még két csúcsa van (lásd 45. ábra).

Az ellipszis szemközti csúcsait összekötő szakaszokat, illetve azok hosszát az ellipszis nagy-, illetve kistengelyének nevezzük. Az a és b számokat az ellipszis nagy, illetve kis féltengelyének nevezzük.

A fókuszok és az ellipszis fél-főtengelye közötti távolság felének arányát az ellipszis excentricitásának nevezzük, és általában betűvel jelöljük:

Mivel , akkor az ellipszis excentricitása kisebb egynél: Az excentricitás az ellipszis alakját jellemzi. Valóban a (28) képletből következik, Ebből látható, hogy minél kisebb az ellipszis excentricitása, annál kevésbé tér el a b kis féltengelye az a fő féltengelytől, azaz annál kevésbé nyúlik meg az ellipszis (a fókusz mentén). tengely).

Abban az esetben, ha egy a sugarú kört kapunk: , vagy . Ugyanakkor az ellipszis fókuszai egy ponton - a kör közepén - egyesülnek. A kör excentricitása nulla:

Az ellipszis és a kör közötti kapcsolat más szempontból is megállapítható. Mutassuk meg, hogy az a és b féltengelyű ellipszis egy a sugarú kör vetületének tekinthető.

Tekintsünk két egymás között olyan a szöget bezáró P és Q síkot, amelyre (46. ábra). A P síkban egy koordinátarendszert, a Q síkban Oxy rendszert alkotunk, amelynek közös O origója és közös abszcissza tengelye egybeesik a síkok metszésvonalával. Tekintsük a P síkban a kört

középpontjában az origó és a sugár a. Legyen a kör egy tetszőlegesen kiválasztott pontja, legyen a Q síkra való vetülete, és legyen az M pont vetülete az Ox tengelyre. Mutassuk meg, hogy a pont egy a és b féltengelyű ellipszisen fekszik.