Adott egy ABC háromszög csúcsai, keressük meg az oldal egyenletét. Egyenes vonal a gépen. Megoldási példák. Amit tudnod kell és sikeresen meg tudnod oldani a geometriai feladatokat

Hogyan lehet megtanulni megoldani az analitikus geometriai feladatokat?
Tipikus probléma egy síkon lévő háromszöggel

Ez a lecke az Egyenlítő megközelítéséről készült, a sík geometriája és a tér geometriája között. Jelenleg szükség van a felhalmozott információk rendszerezésére és egy nagyon fontos kérdés megválaszolására: hogyan lehet megtanulni megoldani az analitikus geometriai feladatokat? A nehézség abban rejlik, hogy a geometriában végtelenül sok probléma van, és egyetlen tankönyv sem tartalmazhatja a sok és sokféle példát. Nem függvény deriváltjaöt megkülönböztetési szabállyal, egy táblázattal és néhány technikával…

Van megoldás! Nem mondom ki hangosan, hogy valamiféle grandiózus technikát fejlesztettem ki, azonban véleményem szerint létezik egy olyan hatékony megközelítés a vizsgált problémára, amely lehetővé teszi, hogy akár egy teljes vízforralóval is jó és kiváló eredményeket érjünk el. Legalábbis a geometriai feladatok megoldásának általános algoritmusa nagyon világosan formálódott a fejemben.

AMIT TUDNI KELL ÉS KÉPESEN KELL
geometriai problémák sikeres megoldásához?

Ezt nem lehet megúszni – ahhoz, hogy ne piszkálja véletlenszerűen a gombokat az orrával, el kell sajátítania az analitikus geometria alapjait. Ezért, ha most kezdte el tanulni a geometriát, vagy teljesen elfelejtette, kezdje a leckével Vektorok bábokhoz. A vektorokon és a velük végzett műveleteken kívül ismernie kell a síkgeometria alapfogalmait, különösen, egyenlet egy síkbanés . A tér geometriáját cikkek ábrázolják Sík egyenlet, Egyenes egyenletei a térben, Alapfeladatok vonalon és síkon és néhány egyéb óra. Az íves vonalak és a másodrendű térfelületek kissé eltávolodnak egymástól, és nincs is velük olyan sok konkrét probléma.

Tegyük fel, hogy egy diák már rendelkezik elemi ismeretekkel és készségekkel az analitikus geometria legegyszerűbb problémáinak megoldásában. De ez így történik: elolvasod a probléma feltételét, és... le akarod zárni az egészet, a távolabbi sarokba dobod és elfelejted, mint egy rémálom. Ráadásul ez alapvetően nem a képzettséged szintjén múlik, időnként magam is találkozom olyan feladatokkal, amelyekre nem kézenfekvő a megoldás. Hogyan kell eljárni ilyen esetekben? Nem kell félned olyan feladattól, amit nem értesz!

Először, értékre kell állítani "síkbeli" vagy térbeli probléma? Például, ha a feltételben két koordinátájú vektorok jelennek meg, akkor természetesen ez a sík geometriája. És ha a tanár megrakta a hálás hallgatót egy piramissal, akkor egyértelműen ott van a tér geometriája. Már az első lépés eredménye is egész jó, mert hatalmas mennyiségű, ehhez a feladathoz felesleges információt sikerült levágnunk!

Második. A feltétel általában valamilyen geometriai alakzatra vonatkozik. Valóban, sétáljon végig szülőföldje egyetemének folyosóin, és sok aggódó arcot fog látni.

A "lapos" feladatoknál, nem beszélve a nyilvánvaló pontokról és vonalakról, a legnépszerűbb figura a háromszög. Nagyon részletesen elemezzük. Ezután következik a paralelogramma, a téglalap, négyzet, rombusz, kör és egyéb alakzatok pedig sokkal ritkábban fordulnak elő.

A térbeli feladatokban ugyanazok a lapos figurák + maguk a síkok és a közös háromszög alakú, paralelepipedonos piramisok repülhetnek.

Második kérdés - Mindent tudsz erről a figuráról? Tegyük fel, hogy a feltétel egy egyenlő szárú háromszögről szól, és nagyon homályosan emlékszel, hogy milyen háromszögről van szó. Kinyitunk egy iskolai tankönyvet, és egy egyenlő szárú háromszögről olvasunk. Mit tegyek... az orvos azt mondta, hogy rombusz, tehát rombusz. Az analitikus geometria analitikus geometria, de a feladat segít megoldani maguknak az ábráknak a geometriai tulajdonságait az iskolai tananyagból ismertek számunkra. Ha nem tudja, mennyi egy háromszög szögeinek összege, akkor sokáig szenvedhet.

Harmadik. MINDIG próbáld követni a tervet(huzaton / tiszta / mentálisan), még akkor is, ha ezt a feltétel nem kívánja meg. A "lapos" feladatoknál maga Eukleidész parancsolta meg, hogy egy vonalzót vegyen ceruzával a kezébe - és nemcsak azért, hogy megértse az állapotot, hanem az önellenőrzés céljából is. Ebben az esetben a legkényelmesebb skála az 1 egység = 1 cm (2 tetrad cella). A hanyag diákokról és a sírjukban forgó matematikusokról ne is beszéljünk – ilyen feladatokban szinte lehetetlen hibázni. A térbeli feladatokhoz vázlatos rajzot készítünk, amely az állapot elemzését is segíti.

Egy rajz vagy sematikus rajz gyakran azonnal lehetővé teszi a probléma megoldásának útját. Természetesen ehhez ismerni kell a geometria alapjait és be kell vágni a geometriai formák tulajdonságait (lásd az előző bekezdést).

negyedik. Megoldási algoritmus kidolgozása. Sok geometriai feladat többlépéses, ezért nagyon kényelmes a megoldást és annak kialakítását pontokra bontani. Gyakran az algoritmus azonnal eszébe jut, miután elolvasta a feltételt vagy befejezte a rajzot. Nehézségek esetén a probléma KÉRDÉSÉVEL kezdjük. Például az "egyenes építése szükséges ..." feltétel szerint. Itt a leglogikusabb kérdés: „Mit elég tudni ennek a vonalnak a felépítéséhez?”. Tegyük fel, hogy "tudjuk a pontot, ismernünk kell az irányvektort." Feltesszük a következő kérdést: „Hogyan találjuk meg ezt az irányvektort? Ahol?" stb.

Néha van egy "dugó" - a feladat nincs megoldva, és ennyi. A dugó okai a következők lehetnek:

- Komoly hiányosság az elemi tudásban. Más szóval, nem tud vagy (és) nem lát valami nagyon egyszerű dolgot.

- A geometriai formák tulajdonságainak nem ismerete.

- Nehéz volt a feladat. Igen, előfordul. Nincs értelme órákig gőzölni és zsebkendőbe gyűjteni a könnyeket. Kérjen tanácsot tanárától, diáktársaitól, vagy tegyen fel kérdést a fórumon. Sőt, jobb, ha konkretizálja a kijelentését - a megoldás azon részével kapcsolatban, amelyet nem ért. Kiáltás "Hogyan oldjuk meg a problémát?" nem néz ki jól... és mindenekelőtt a saját hírneved miatt.

Ötödik szakasz. Megoldunk-ellenőrizzük, megoldjuk-ellenőrizzük, megoldjuk-ellenőrizzük-válaszolunk. Célszerű a feladat minden elemét ellenőrizni közvetlenül miután elkészült. Ez segít azonnal megtalálni a hibát. Természetesen senki sem tiltja a teljes probléma gyors megoldását, de fennáll annak a veszélye, hogy mindent újra átírnak (gyakran több oldalt).

Íme, talán az összes fő szempont, amelyekhez tanácsos a problémák megoldása során támaszkodni.

Az óra gyakorlati részét a geometria ábrázolja egy síkon. Csak két példa lesz, de nem tűnik elégnek =)

Menjünk végig annak az algoritmusnak a szálán, amelyet az imént áttekintettem kis tudományos munkámban:

1. példa

Adott egy paralelogramma három csúcsa. Keresse meg a tetejét.

Kezdjük kitalálni:

Első lépés: nyilvánvaló, hogy „lapos” problémáról beszélünk.

második lépés: A feladat egy paralelogrammával kapcsolatos. Mindenki emlékszik egy ilyen paralelogramma alakra? Nem kell mosolyogni, nagyon sokan 30-40-50 évesen vagy annál idősebben tanulnak, így az egyszerű tények is kitörölhetők a memóriából. A paralelogramma definíciója a lecke 3. példájában található A vektorok lineáris (nem) függése. Vektoros alapon.

Harmadik lépés: Készítsünk egy rajzot, amelyen három ismert csúcsot jelölünk. Vicces, hogy könnyű azonnal felépíteni a kívánt pontot:

Konstruálni persze jó, de a megoldást analitikusan kell formalizálni.

Negyedik lépés: Megoldási algoritmus kidolgozása. Az első dolog, ami eszünkbe jut, az az, hogy egy pont megtalálható egyenesek metszéspontjaként. Egyenleteik számunkra ismeretlenek, ezért ezzel a kérdéssel kell foglalkoznunk:

1) A szemközti oldalak párhuzamosak. Pontok szerint keresse meg ezen oldalak irányvektorát. Ez a legegyszerűbb feladat, amelyről a leckében szó volt. Vektorok bábokhoz.

Jegyzet: helyesebb az „oldalt tartalmazó egyenes egyenlete”, de a továbbiakban a rövidség kedvéért az „oldal egyenlete”, „az oldal irányítóvektora” stb. kifejezéseket használom.

3) A szemközti oldalak párhuzamosak. A pontokból megtaláljuk ezen oldalak irányvektorát.

4) Állítsa össze az egyenes egyenletét egy pontból és egy irányvektorból!

Az 1-2. és 3-4. bekezdésben tulajdonképpen kétszer oldottuk meg ugyanazt a problémát, egyébként a lecke 3. példája elemzi. A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel. Lehetett hosszabb utat is megtenni - először keresse meg a vonalak egyenleteit, és csak ezután „húzza ki” belőlük az irányvektorokat.

5) Most már ismertek az egyenesek egyenletei. Marad a megfelelő lineáris egyenletrendszer összeállítása és megoldása (lásd ugyanezen lecke 4. és 5. példáját). A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel).

Pont találva.

A feladat meglehetősen egyszerű és a megoldása kézenfekvő, de van rövidebb út is!

A megoldás második módja:

A paralelogramma átlóit metszéspontjuk felezi. Megjelöltem a pontot, de hogy ne legyen összevissza a rajz, nem magam rajzoltam az átlókat.

Állítsa össze az oldal egyenletét pontok szerint! :

A gondolati vagy vázlatos ellenőrzéshez helyettesítse be az eredményül kapott egyenlet minden pontjának koordinátáit. Most keressük meg a lejtőt. Ehhez átírjuk az általános egyenletet meredekségű egyenlet formájában:

Tehát a meredekség tényezője:

Hasonlóképpen megtaláljuk az oldalak egyenleteit. Nem látom sok értelmét ugyanazt a festést, ezért azonnal közlöm a kész eredményt:

2) Határozza meg az oldal hosszát! Ez a leckében tárgyalt legegyszerűbb feladat. Vektorok bábokhoz. Pontokért képletet használjuk:

Ugyanezt a képletet használva könnyű megtalálni a többi oldal hosszát. Az ellenőrzés nagyon gyorsan elvégezhető egy normál vonalzóval.

A képletet használjuk .

Keressük a vektorokat:

Ilyen módon:

Egyébként útközben megtaláltuk az oldalak hosszát.

Ennek eredményeként:

Nos, úgy tűnik, igaz, a meggyőzés kedvéért szögmérőt rögzíthetsz a sarokba.

Figyelem! Ne keverje össze a háromszög szögét az egyenesek közötti szöggel. A háromszög szöge lehet tompa, de az egyenesek közötti szög nem (lásd a cikk utolsó bekezdését A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel). A fenti lecke képletei azonban használhatók egy háromszög szögének meghatározására is, de a durvaság az, hogy ezek a képletek mindig hegyesszöget adnak meg. Segítségükkel vázlaton megoldottam ezt a problémát, és meg is lett az eredmény. A tiszta példányra pedig további kifogásokat kellene felírnod.

4) Írja fel az egyenessel párhuzamos ponton átmenő egyenes egyenletét!

A lecke 2. számú példájában részletesen tárgyalt standard feladat A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel. Az egyenes általános egyenletéből húzza ki az irányvektort. Állítsuk össze az egyenes egyenletét egy pontból és egy irányítóvektorból:

Hogyan lehet megtalálni a háromszög magasságát?

5) Készítsük el a magassági egyenletet, és megtudjuk a hosszát.

A szigorú definíciók elől nincs menekvés, így egy iskolai tankönyvből kell lopni:

háromszög magassága a háromszög csúcsából a szemközti oldalt tartalmazó egyenesre húzott merőlegesnek nevezzük.

Azaz meg kell alkotni a csúcsból oldalra húzott merőleges egyenletét. Ezt a feladatot a lecke 6., 7. példája tárgyalja A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel. Az egyenletből távolítsa el a normál vektort. Összeállítjuk a pont magassági egyenletét és az irányvektort:

Felhívjuk figyelmét, hogy nem ismerjük a pont koordinátáit.

Néha a magassági egyenletet a merőleges egyenesek lejtésének arányából találjuk meg: . Ebben az esetben akkor: . Összeállítjuk a magassági egyenletet egy ponthoz és egy lejtőhöz (lásd a lecke elejét Egyenlet egy síkon):

A magasság hosszát kétféleképpen lehet megállapítani.

Van egy körforgalom:

a) megtalálni - a magasság és az oldal metszéspontja;
b) keresse meg a szakasz hosszát két ismert ponttal.

De az osztályban A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel egy kényelmes képletet vettek figyelembe a pont és az egyenes távolságára. A lényeg ismert: , az egyenes egyenlete is ismert: , Ilyen módon:

6) Számítsa ki a háromszög területét! A térben a háromszög területét hagyományosan a segítségével számítják ki vektorok keresztszorzata, de itt egy háromszög adott a síkban. Az iskolai képletet használjuk:
Egy háromszög területe az alapja szorzata a magassága fele.

Ebben az esetben:

Hogyan találjuk meg a háromszög mediánját?

7) Állítsa össze a medián egyenletet!

Háromszög medián A háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt nevezzük.

a) Keressen egy pontot - az oldal felezőpontját. Mi használjuk felezőpont koordináta képletek. A szakasz végeinek koordinátái ismertek: , akkor a középpont koordinátái:

Ilyen módon:

A medián egyenletet pontok alapján állítjuk össze :

Az egyenlet ellenőrzéséhez be kell cserélni a pontok koordinátáit.

8) Keresse meg a magasság és a medián metszéspontját! Azt hiszem, már mindenki megtanulta, hogyan kell a műkorcsolya ezen elemét elesés nélkül végrehajtani:

1. feladat. Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái adottak: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Keresse meg: 1) az AB oldal hosszát; 2) az AB és BC oldalak és meredekségük egyenletei; 3) B szög radiánban, két tizedesjegy pontossággal; 4) a CD magasság egyenlete és hossza; 5) az AE medián egyenlete és ennek a mediánnak a CD magassággal való metszéspontjának K pontjának koordinátái; 6) az AB oldallal párhuzamos K ponton átmenő egyenes egyenlete; 7) az A pontra szimmetrikusan elhelyezkedő M pont koordinátái a CD egyeneshez képest.

Megoldás:

1. Az A(x 1 ,y 1) és B(x 2 ,y 2) pontok közötti d távolságot a képlet határozza meg

Az (1) alkalmazással megtaláljuk az AB oldal hosszát:

2. Az A (x 1, y 1) és B (x 2, y 2) pontokon átmenő egyenes egyenlete a következő:

(2)

A (2) pontban behelyettesítve az A és B pont koordinátáit, megkapjuk az AB oldal egyenletét:

Az y utolsó egyenletének megoldása után az AB oldal egyenletét egy meredekségű egyenes egyenlet formájában találjuk:

ahol

A (2) pontban a B és C pont koordinátáit behelyettesítve megkapjuk a BC egyenes egyenletét:

Vagy

3. Ismeretes, hogy két olyan egyenes közötti szög érintője, amelyek szögegyütthatói rendre egyenlőek, és a képlet alapján számítják ki

(3)

A kívánt B szöget az AB és BC egyenesek alkotják, amelyek szögegyütthatóit megtaláljuk: (3) alkalmazásával kapjuk

Vagy örülök.

4. Egy adott ponton adott irányban áthaladó egyenes egyenlete a következő alakkal rendelkezik

(4)

A CD magasság merőleges az AB oldalra. A CD magasság meredekségének meghatározásához az egyenesek merőlegességének feltételét használjuk. Azóta A C pont koordinátáit és a talált magassági szögegyütthatót (4)-be behelyettesítve megkapjuk

A CD magasság hosszának meghatározásához először meghatározzuk a D pont koordinátáit - az AB és CD vonalak metszéspontját. A rendszer közös megoldása:

megtalálja azok. D(8;0).

Az (1) képlet segítségével megtaláljuk a magasság-CD hosszát:

5. Az AE medián egyenletének megtalálásához először meghatározzuk az E pont koordinátáit, amely a BC oldal felezőpontja, a szakasz két egyenlő részre osztására szolgáló képletekkel:

(5)

Következésképpen,

A (2) pontban behelyettesítve az A és E pont koordinátáit, megkapjuk a medián egyenletet:

A CD magasság és az AE medián metszéspontjának koordinátáinak megtalálásához közösen oldjuk meg az egyenletrendszert

Találunk .

6. Mivel a kívánt egyenes párhuzamos az AB oldallal, ezért a meredeksége egyenlő lesz az AB egyenes meredekségével. A (4)-ben behelyettesítve a talált K pont és a meredekség koordinátáit kapjuk

3x + 4év - 49 = 0 (KF)

7. Mivel az AB egyenes merőleges a CD egyenesre, a kívánt M pont, amely a CD egyeneshez képest szimmetrikusan helyezkedik el az A pontra, az AB egyenesre esik. Ezenkívül a D pont az AM szakasz felezőpontja. Az (5) képleteket alkalmazva megtaláljuk a kívánt M pont koordinátáit:

ábrán látható xOy koordinátarendszerbe építjük be az ABC háromszöget, a CD magasságot, az AE mediánt, a KF egyenest és az M pontot. egy.

2. feladat. Állítsunk össze egyenletet a pontok lokuszára, amelyek távolságának egy adott A ponthoz (4; 0) és egy adott x \u003d 1 egyeneshez való távolságának aránya egyenlő 2-vel.

Megoldás:

Az xOy koordinátarendszerben megszerkesztjük az A(4;0) pontot és az x = 1 egyenest. Legyen M(x;y) a kívánt ponthely tetszőleges pontja. Dobjuk az MB merőlegest az adott x = 1 egyenesre, és határozzuk meg a B pont koordinátáit. Mivel a B pont az adott egyenesen fekszik, ezért az abszcisszája egyenlő 1-gyel. A B pont ordinátája egyenlő az ordinátával. Az M pont ezért B(1; y) (2. ábra).

A probléma feltétele szerint |MA|: |MV| = 2. Távolságok |MA| és |MB| az 1. feladat (1) képletével megtaláljuk:

A bal és a jobb oldal négyzetre emelésével azt kapjuk

vagy

A kapott egyenlet egy hiperbola, amelyben a valós féltengely a = 2, a képzetes pedig

Határozzuk meg a hiperbola fókuszait. Hiperbola esetén az egyenlőség teljesül, ezért és a hiperbola fókuszai. Mint látható, az adott A(4;0) pont a hiperbola jobb oldali fókusza.

Határozzuk meg a kapott hiperbola excentricitását:

A hiperbola aszimptota egyenleteinek alakja és . Ezért a vagy és a hiperbola aszimptotái. A hiperbola megalkotása előtt megszerkesztjük annak aszimptotáit.

3. feladat. Készítsen egyenletet az A ponttól (4; 3) egyenlő távolságra lévő pontok helyére és az y egyenesre \u003d 1. A kapott egyenletet redukálja vissza a legegyszerűbb formájára.

Megoldás: Legyen M(x; y) a kívánt ponthely egyik pontja. Dobjuk az MB merőlegest az M pontból az adott y = 1 egyenesre (3. ábra). Határozzuk meg a B pont koordinátáit. Nyilvánvaló, hogy B pont abszcisszája egyenlő az M pont abszcisszájával, a B pont ordinátája pedig 1, azaz B (x; 1). A feladat feltétele szerint |MA|=|MV|. Ezért a kívánt ponthelyhez tartozó bármely M (x; y) pontra igaz az egyenlőség:

Az eredményül kapott egyenlet meghatároz egy parabolát, amelynek csúcsa egy pontban A parabola egyenlet legegyszerűbb formájára való redukálásához beállítjuk és y + 2 = Y, majd a parabola egyenlet a következő alakot veszi fel:

Megoldás csináld számológéppel.
A háromszög koordinátái adottak: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Vektor koordináták
A vektorok koordinátáit a következő képlet határozza meg:
X = x j - x i ; Y = y j - y i

Például az AB vektorhoz

X=1-2=-1; Y=-2-1=-3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) A vektorok moduljai

3) Az egyenesek közötti szög
Az a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) vektorok közötti szög a következő képlettel határozható meg:

ahol a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Határozza meg az AB és AC oldalak közötti szöget

γ = arccos(0,6) = 53,13 0
4) Vektoros vetítés
Vektoros vetítés b vektoronként a képlet segítségével találhatjuk meg:

Keresse meg az AB vektor vetületét az AC vektorra!

5) Egy háromszög területe



Megoldás


A képlet szerint a következőket kapjuk:

6) A szegmens felosztása ebből a szempontból
Az AB szakaszt AA:AB = m 1:m 2 viszonylatban felosztó A pont r sugárvektorát a következő képlet határozza meg:

Az A pont koordinátáit a következő képletekkel találjuk meg:




Háromszög medián egyenlet
A BC oldal felezőpontját M betűvel jelöljük. Ezután a szakasz felezési képleteivel keressük meg az M pont koordinátáit.


M(0;-1)
Az AM medián egyenletét a két adott ponton áthaladó egyenes egyenletének képletével találjuk meg. Az AM medián áthalad az A(2;1) és M(0;-1) pontokon, ezért:

vagy

vagy
y=x-1 vagy y-x+1=0
7) Egyenes egyenlet


Az AB egyenes egyenlete

vagy

vagy
y = 3x -5 vagy y -3x +5 = 0
Vonal AC egyenlet

vagy

vagy
y = 1/3 x + 1/3 vagy 3y -x - 1 = 0
BC egyenlet

vagy

vagy
y = -x -1 vagy y + x +1 = 0
8) Az A csúcsból húzott háromszög magasságának hossza
A d távolság az M 1 (x 1; y 1) ponttól az Ax + By + C \u003d 0 egyenesig egyenlő a mennyiség abszolút értékével:

Határozza meg az A(2;1) pont és a BC egyenes közötti távolságot (y + x +1 = 0)

9) Magasságegyenlet a C csúcson keresztül
Az M 0 (x 0 ;y 0) ponton átmenő és az Ax + By + C = 0 egyenesre merőleges egyenesnek van egy irányvektora (A;B), és ezért az egyenletek ábrázolják:


Ez az egyenlet más módon is megtalálható. Ehhez keressük meg az AB egyenes k 1 meredekségét.
AB egyenlet: y = 3x -5 azaz. k 1 = 3
Határozzuk meg a merőleges k meredekségét két egyenes merőlegességi feltételéből: k 1 *k = -1.
Ha k 1 helyett ennek az egyenesnek a meredekségét helyettesítjük, a következőt kapjuk:
3k = -1, innen k = -1/3
Mivel a merőleges átmegy a C(-1,0) ponton, és k = -1 / 3, ezért az egyenletét a következő formában fogjuk keresni: y-y 0 = k(x-x 0).
Az x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0 behelyettesítésével a következőt kapjuk:
y-0 = -1/3 (x-(-1))
vagy
y = -1/3 x -1/3
Háromszög felező egyenlet
Határozzuk meg az A szög felezőjét. Jelöljük M-mel a szögfelező metszéspontját a BC oldallal.
Használjuk a képletet:

AB egyenlet: y -3x +5 = 0, AC egyenlet: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
A felező felezi a szöget, ezért a szög NAK ≈ 26,5 0
Az AB meredekség érintője 3 (mert y -3x +5 = 0). A dőlésszög 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
A felező átmegy az A(2,1) ponton, a képlet felhasználásával a következőt kapjuk:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1 (x - 2)
vagy
y=x-1
Letöltés

Példa. Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái adottak: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Szükséges: 1) kiszámítani a BC oldal hosszát; 2) készítsen egyenletet a BC oldalra; 3) határozza meg a háromszög belső szögét a B csúcsban; 4) készítsen egyenletet az AK magasságára az A tetejétől húzva; 5) keresse meg egy homogén háromszög súlypontjának koordinátáit (a mediánjainak metszéspontját); 6) készítsen rajzot a koordinátarendszerben.

Gyakorlat. Adott az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Kívánt:

1. írjunk fel egyenletet a B csúcsból húzott mediánra és számítsuk ki a hosszát!
2. írjunk fel egyenletet az A csúcsból húzott magasságra és számítsuk ki a hosszát!
3. keressük meg az ABC háromszög B belső szögének koszinuszát.

3. példa. Adott egy háromszög A(1;1), B(7;4), C(4;5) csúcsai. Keresse meg: 1) az AB oldal hosszát; 2) A belső szög radiánban, 0,001 pontossággal. Készítsen rajzot.
Letöltés

4. példa. Adott egy háromszög A(1;1), B(7;4), C(4;5) csúcsai. Határozzuk meg: 1) a C csúcson keresztül húzott magasság egyenletét; 2) a C csúcson keresztül húzott medián egyenlete; 3) a háromszög magasságainak metszéspontja; 4) a C csúcsból leengedett magasság hossza. Készítsen rajzot!
Letöltés

5. példa. Az ABC háromszög csúcsai adottak: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Határozzuk meg: 1) az AB oldal hosszát; 2) az AB és AC oldalak és meredekségeik egyenlete; 3) a háromszög területe.

A vektorok koordinátáit a következő képlettel találjuk meg: X = x j - x i ; Y = y j - y i
itt a vektor X,Y koordinátái; x i, y i - az A i pont koordinátái; x j , y j - az A j pont koordinátái
Például az AB vektorhoz
X \u003d x 2 - x 1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y=-9-0=-9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Gyakorlat. Adott az ABCD piramis csúcsainak koordinátái. Kívánt:

1. Írja be a vektorokat az ort rendszerbe, és keresse meg ezeknek a vektoroknak a moduljait.
2. Keresse meg a vektorok közötti szöget.
3. Keresse meg egy vektor vetületét egy vektorra.
4. Keresse meg az ABC arc területét.
5. Határozzuk meg az ABCD piramis térfogatát!

Gyakorlat. Határozzuk meg az x + y -5 = 0 és x + 4y - 8 = 0 egyenesek hegyesszögét.
Javaslatok a megoldáshoz. A problémát a Szög két vonal között szolgáltatással oldják meg.
Válasz: 30,96o

1. példa. Az A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) pontok koordinátái adottak. Keresse meg az A1A2 él hosszát. Írjon egyenletet az A1A4 élre és az A1A2A3 lapra! Írja fel az A4 pontból az A1A2A3 síkra esett magasság egyenletét! Keresse meg az A1A2A3 háromszög területét. Határozzuk meg az A1A2A3A4 háromszög alakú gúla térfogatát!

A vektorok koordinátáit a következő képlettel találjuk meg: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z i
itt a vektor X,Y,Z koordinátái; x i, y i, z i - az A i pont koordinátái; x j , y j , z j - az A j pont koordinátái ;
Tehát az A 1 A 2 vektorra ezek a következők:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X=2-1; Y=1-0; Z=1-2
A 1 A 2 (1; 1; -1)
A 1 A 3 (-2; 2; -2)
A 1 A 4 (-3; -1; -3)
A 2 A 3 (-3; 1; -1)
A 2 A 4 (-4; -2; -2)
A 3 A 4 (-1; -3; -1)
Az a(X;Y;Z) vektor hosszát a koordinátáiban fejezzük ki a következő képlettel: