Hogyan találjuk meg egy függvénypéldák szélsőpontjait. Hogyan találjuk meg egy függvény szélsőértékét (minimális és maximum pontjait). Egy függvény növelése, csökkentése és szélsősége

Ezeket az egyenlőtlenségeket Δ-ként átengedve a határértékre x→ 0 és figyelembe véve, hogy a derivált f "(x 0) létezik, ezért a bal oldali határérték nem függ attól, hogy Δ hogyan x→ 0, azt kapjuk, hogy Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 és Δ-nél x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Mivel f"(x 0) definiál egy számot, akkor ez a két egyenlőtlenség csak akkor kompatibilis, ha f"(x 0) = 0.

A bizonyított tétel kimondja, hogy a maximum és a minimum pont csak az argumentum azon értékei között lehet, amelyeknél a derivált eltűnik.

Megvizsgáltuk azt az esetet, amikor egy függvénynek egy adott szegmens minden pontján deriváltja van. Mi történik, ha a származék nem létezik? Vegye figyelembe a példákat.

y=|x|.

A függvénynek nincs deriváltja egy pontban x=0 (ezen a ponton a függvény grafikonjának nincs határozott érintője), de ezen a ponton a függvénynek van minimuma, mivel y(0)=0, és mindenre x≠ 0y > 0.

A megadott példákból és a megfogalmazott tételből tehát világos, hogy a függvénynek csak két esetben lehet szélsősége: 1) azokon a pontokon, ahol a derivált létezik és egyenlő nullával; 2) azon a ponton, ahol a származék nem létezik.

Ha azonban valamikor x 0 ezt tudjuk f"(x 0 ) =0, akkor ebből nem lehet arra következtetni, hogy a ponton x 0 a függvénynek szélsőértéke van.

Például.

De pont x A =0 nem szélsőséges pont, mivel ettől a ponttól balra a függvényértékek a tengely alatt találhatók Ökör, és fent jobb oldalon.

Egy függvény tartományából származó argumentum értékeit, amelyeknél a függvény deriváltja eltűnik vagy nem létezik, az ún. kritikus pontok.

A fentiekből következik, hogy egy függvény szélsőpontjai a kritikus pontok közé tartoznak, de nem minden kritikus pont szélsőpont. Ezért a függvény szélsőértékének megtalálásához meg kell találni a függvény összes kritikus pontját, majd ezeket a pontokat külön-külön meg kell vizsgálni a maximum és a minimum szempontjából. Erre szolgál a következő tétel.

2. Tétel (Elegendő feltétele a szélsőség létezésének.) Legyen a függvény folytonos valamely kritikus pontot tartalmazó intervallumon x 0 , és ennek az intervallumnak minden pontján differenciálható (kivéve talán magát a pontot x 0). Ha ezen a ponton balról jobbra haladva a derivált előjelet vált pluszról mínuszra, akkor a pontban x = x 0 a függvénynek maximuma van. Ha áthaladáskor x 0 balról jobbra, a derivált mínuszról pluszra változtatja az előjelet, ekkor a függvénynek ezen a ponton van minimuma.

Így ha

f"(x)>0 at x<x 0 és f"(x)< 0 órakor x > x 0, akkor x 0 - maximális pont;

Bizonyíték. Először tegyük fel, hogy amikor áthaladunk x 0, a derivált az előjelet pluszról mínuszra változtatja, azaz. mindenkinek x közel a lényeghez x 0 f "(x)> 0 érte x< x 0 , f"(x)< 0 érte x > x 0 . Alkalmazzuk a Lagrange-tételt a különbségre f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), hol c között fekszik xés x 0 .

Hadd x< x 0 . Akkor c< x 0 és f "c)> 0. Ezért f "(c)(x-x 0)< 0 és ezért

f(x) - f(x 0 )< 0, azaz f(x)< f(x 0 ).

Hadd x > x 0 . Akkor c> x 0 és f"(c)< 0. Eszközök f "(c)(x-x 0)< 0. Ezért f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Így minden értékre x elég közel ahhoz x 0 f(x)< f(x 0 ) . Ez pedig azt jelenti, hogy pont x 0 a függvénynek maximuma van.

A minimumtétel második része is hasonlóképpen bizonyított.

Illusztráljuk ennek a tételnek a jelentését az ábrán. Hadd f"(x 1 ) =0 és bármely x, elég közel ahhoz x 1 , az egyenlőtlenségek

f"(x)< 0 órakor x< x 1 , f "(x)> 0 órakor x > x 1 .

Majd a pont bal oldalán x 1 a függvény növekszik, jobb oldalon pedig csökken, tehát mikor x = x 1 függvény növekvőről csökkenőre megy, vagyis van maximuma.

Hasonlóképpen figyelembe vehetjük a pontokat x 2 és x 3 .

Sematikusan a fentiek mindegyike ábrázolható a képen:

Az y=f(x) függvény tanulmányozásának szabálya szélsőségre

Keresse meg egy függvény hatókörét f(x).

Keresse meg egy függvény első deriváltját f"(x).

Ehhez határozza meg a kritikus pontokat:

keresse meg az egyenlet valódi gyökereit f"(x)=0;

megtalálja az összes értéket x amely alatt a származék f"(x) nem létezik.

Határozzuk meg a kritikus ponttól balra és jobbra eső derivált előjelét! Mivel a derivált előjele két kritikus pont között állandó marad, elegendő a derivált előjelét a kritikus ponttól balra és jobbra eső pontokban meghatározni.

Számítsa ki a függvény értékét a szélsőpontokban!

Amint látható, a függvény szélsőértékének ez a jele megköveteli, hogy a pontban legalább a második rendig legyen derivált.

Példa.

Keresse meg a függvény szélsőértékét.

Megoldás.

Kezdjük a hatókörrel:

Különböztessük meg az eredeti függvényt:

x=1, vagyis egy lehetséges szélsőség pontja. Megkeressük a függvény második deriváltját, és kiszámítjuk az értékét x=1:

Ezért a második elégséges szélső feltétel szerint x=1- maximum pont. Akkor a függvény maximuma.

Grafikus illusztráció.

Válasz:

Egy függvény szélsőértékének harmadik elégséges feltétele.

Hagyja a függvényt y=f(x) ig származékai vannak n-edik sorrend -pont szomszédságában és deriváltjai ig n+1 sorrendben magán a ponton. Hagyjuk és .

Példa.

Keresse meg egy függvény szélsőpontját .

Megoldás.

Az eredeti függvény egy egész racionális függvény, definíciós tartománya a valós számok teljes halmaza.

Tegyük különbséget a függvény között:

A derivált akkor tűnik el, amikor , ezért ezek egy lehetséges szélsőség pontjai. Használjuk a harmadik elégséges feltételt egy szélsőséghez.

Megkeressük a második deriváltot, és kiszámítjuk az értékét egy lehetséges szélsőség pontjain (a közbenső számításokat mellőzzük):

Ezért a maximum pont (a szélsőérték harmadik elégséges jele esetén megvan n=1és ).

A pontok természetének tisztázása érdekében keresse meg a harmadik deriváltot, és számítsa ki értékét az alábbi pontokon:

Ezért a függvény inflexiós pontja ( n=2és ).

A lényeggel kell foglalkozni. Megkeressük a negyedik deriváltot, és ezen a ponton kiszámítjuk az értékét:

Ezért a függvény minimumpontja.

Grafikus illusztráció.

Válasz:

A maximum pont a függvény minimumpontja.

10. Függvény szélsőértékei Extrémum definíciója

Az y = f(x) függvényt meghívjuk növekvő (fogyó) valamilyen intervallumban, ha x 1-re< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Ha egy y = f(x) differenciálható függvény egy szakaszon növekszik (csökken), akkor a deriváltja ezen a szakaszon f "(x)  0

(f "(x)  0).

Pont x ról ről hívott helyi maximum pont (minimális) az f(x) függvénynek, ha van a pont szomszédsága x ról ről, minden olyan pontra igaz, amelynek f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)) egyenlőtlenség igaz.

A maximum és minimum pontokat hívjuk szélsőséges pontok, és a függvény értékei ezeken a pontokon az ő szélsőséges.

szélsőséges pontok

Az extrémumhoz szükséges feltételek. Ha pont x ról ről az f (x) függvény szélsőpontja, akkor vagy f "(x o) \u003d 0, vagy f (x o) nem létezik. Az ilyen pontokat ún. kritikai, ahol maga a függvény van definiálva a kritikus pontban. Egy függvény szélsőpontját a kritikus pontjai között kell keresni.

Az első elégséges feltétel. Hadd x ról ről- kritikus pont. Ha f "(x) ponton való áthaladáskor x ról ről módosítja a plusz jelet mínuszra, majd a pontra x ról ről a függvénynek van maximuma, egyébként minimuma. Ha a derivált nem változtat előjelet egy kritikus ponton való áthaladáskor, akkor a pontban x ról ről nincs extrémum.

A második elégséges feltétel. Legyen az f(x) függvénynek egy f "(x) deriváltja a pont szomszédságában x ról rőlés a második derivált a ponton x ról ről. Ha f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка x ról ről az f(x) függvény lokális minimum (maximum) pontja. Ha =0, ​​akkor vagy az első elégséges feltételt kell használni, vagy magasabb deriváltokat kell alkalmazni.

Egy szakaszon az y = f(x) függvény akár a kritikus pontokon, akár a szakasz végén elérheti minimális vagy maximum értékét.

Példa 3.22. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 függvény szélsőértékét.

Megoldás. Mivel f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), akkor az x 1 \u003d 2 és x 2 \u003d 3 függvény kritikus pontjai. Csak ezeken a pontokon legyen. Tehát mivel az x 1 \u003d 2 ponton áthaladva a derivált plusz előjelet mínuszra változtat, akkor ezen a ponton a függvény maximummal rendelkezik.Ha áthalad az x 2 \u003d 3 ponton, a derivált a mínusz előjelet pluszra változtatja, ezért az x 2 \u003d 3 pontban a függvénynek van minimuma. Az x 1 = 2 és x 2 = 3 pontokban lévő függvény értékeinek kiszámítása után megtaláljuk a a függvény: maximum f (2) = 14 és minimum f (3) = 13.

Egy egyszerű algoritmus a szélsőségek megtalálásához.

• Egy függvény deriváltjának megkeresése
• Egyenlítse ezt a deriváltot nullával
• Megtaláljuk az eredményül kapott kifejezés változójának értékeit (annak a változónak az értékeit, amelynél a derivált nullává alakul)
• A koordinátavonalat ezekkel az értékekkel intervallumokra osztjuk (egyidejűleg ne feledkezzünk meg a töréspontokról, amelyeket szintén alkalmazni kell a vonalra), ezeket a pontokat a szélsőérték „gyanús” pontjainak nevezzük.
• Kiszámoljuk, hogy ezek közül melyik intervallumon lesz a derivált pozitív, és melyiken negatív. Ehhez be kell cserélni az intervallum értékét a deriváltba.

Az extrémumgyanús pontok közül pontosan meg kell találni. Ehhez megnézzük a koordinátaegyenes hézagainkat. Ha egy ponton áthaladva a derivált előjele pluszról mínuszra változik, akkor ez a pont lesz maximális, és ha mínuszról pluszra, akkor minimális.

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásához ki kell számítani a függvény értékét a szakasz végén és a szélsőpontokon. Ezután válassza ki a legnagyobb és legkisebb értéket.

Vegyünk egy példát
Megkeressük a deriváltot és egyenlővé tesszük nullával:

A változók kapott értékeit alkalmazzuk a koordináta egyenesre, és kiszámítjuk a derivált előjelét az egyes intervallumokon. Nos, például az első felvételre-2 , akkor a derivált az lesz-0,24 , a második felvételre0 , akkor a derivált az lesz2 , a harmadikra ​​pedig vesszük2 , akkor a derivált az lesz-0,24. Leraktuk a megfelelő táblákat.

Azt látjuk, hogy a -1 ponton áthaladva a derivált mínuszról pluszra változtatja az előjelet, azaz minimum pont lesz, 1-en pedig pluszból mínuszba, ez egy maximum pont.

Térjünk rá az y \u003d x 3 - 3x 2 függvény grafikonjára. Tekintsük az x = 0 pont környékét, azaz. ezt a pontot tartalmazó intervallum. Logikus, hogy van egy olyan környéke az x pontnak \u003d 0, hogy az y \u003d x 3 - 3x 2 függvény a legnagyobb értéket ezen a környéken az x \u003d 0 pontban veszi fel. Például az intervallumon (- 1; 1) a 0-val egyenlő legnagyobb értéket a függvény az x = 0 pontban veszi fel. Az x = 0 pontot a függvény maximális pontjának nevezzük.

Hasonlóképpen, az x \u003d 2 pontot az x 3 - 3x 2 függvény minimális pontjának nevezzük, mivel ezen a ponton a függvény értéke nem nagyobb, mint az x \u003d 2 pont közelében lévő másik pontban. , például a környék (1,5; 2,5).

Így az x 0 pontot az f (x) függvény maximális pontjának nevezzük, ha az x 0 pontnak van olyan szomszédsága, hogy ebből az összes x-re teljesül az f (x) ≤ f (x 0) egyenlőtlenség. szomszédság.

Például az x 0 \u003d 0 pont az f (x) \u003d 1 - x 2 függvény maximális pontja, mivel f (0) \u003d 1 és az f (x) ≤ 1 egyenlőtlenség minden értékre igaz. az x-ből.

Az f (x) függvény minimumpontját x 0 pontnak nevezzük, ha van az x 0 pontnak olyan környéke, hogy az f (x) ≥ f (x 0) egyenlőtlenség teljesül minden x-re ebből a környezetből.

Például az x 0 \u003d 2 pont az f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2 függvény minimális pontja, mivel f (2) \u003d 3 és f (x) ≥ 3 minden x esetén .

Az extrém pontokat minimumpontoknak és maximumpontoknak nevezzük.

Térjünk rá az f(x) függvényre, amely az x 0 pont valamelyik szomszédságában van definiálva, és ebben a pontban deriváltja van.

Ha x 0 egy f (x) differenciálható függvény szélsőpontja, akkor f "(x 0) \u003d 0. Ezt az állítást Fermat-tételnek nevezzük.

Fermat tételének egyértelmű geometriai jelentése van: a szélső pontban az érintő párhuzamos az x tengellyel, ezért a meredeksége
f "(x 0) nulla.

Például az f (x) \u003d 1 - 3x 2 függvény maximuma az x 0 \u003d 0 pontban van, származéka f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

Az f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 függvénynek minimuma van az x 0 \u003d 2 pontban, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Vegye figyelembe, hogy ha f "(x 0) \u003d 0, akkor ez nem elegendő annak állításához, hogy x 0 szükségszerűen az f (x) függvény szélsőpontja.

Például, ha f (x) \u003d x 3, akkor f "(0) \u003d 0. Az x \u003d 0 pont azonban nem szélsőséges pont, mivel az x 3 függvény a teljes valós tengelyen növekszik.

Tehát egy differenciálható függvény szélsőpontjait csak az egyenlet gyökei között kell keresni.
f "(x) \u003d 0, de ennek az egyenletnek a gyöke nem mindig szélsőpont.

A stacionárius pontok olyan pontok, amelyekben egy függvény deriváltja egyenlő nullával.

Tehát ahhoz, hogy az x 0 pont szélsőpont legyen, szükséges, hogy stacionárius pont legyen.

Tekintsünk elegendő feltételeket ahhoz, hogy egy stacionárius pont szélsőpont legyen, pl. feltételek, amelyek mellett egy stacionárius pont egy függvény minimum- vagy maximumpontja.

Ha az állóponttól balra a derivált pozitív, jobbra pedig negatív, azaz. a derivált a "+" jelet "-" jelre változtatja, amikor áthalad ezen a ponton, akkor ez az állópont a maximum pont.

Valóban, ebben az esetben az állóponttól balra nő a függvény, jobbra pedig csökken, azaz. ez a pont a maximum pont.

Ha a derivált a "-" jelet "+" jelre váltja, amikor egy stacionárius ponton halad át, akkor ez az állópont minimumpont.

Ha a derivált egy stacionárius ponton való áthaladáskor nem vált előjelet, pl. a derivált pozitív vagy negatív az állóponttól balra és jobbra, akkor ez a pont nem szélsőpont.

Tekintsük az egyik feladatot. Keresse meg az f (x) \u003d x 4 - 4x 3 függvény szélsőpontjait.

Megoldás.

1) Keresse meg a származékot: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Keresse meg az álló pontokat: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Az intervallum módszerrel megállapítjuk, hogy az f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) derivált pozitív x\u003e 3 esetén, negatív x esetén< 0 и при 0 < х < 3.

4) Mivel az x 1 \u003d 0 ponton áthaladva a derivált előjele nem változik, ez a pont nem szélsőpont.

5) A derivált a "-" jelet "+" jelre változtatja, amikor áthalad az x 2 \u003d 3 ponton. Ezért x 2 \u003d 3 a minimum pont.

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Ebből a cikkből az olvasó megtudhatja, mi a funkcionális érték szélsősége, valamint a gyakorlatban való felhasználásának jellemzői. Egy ilyen fogalom tanulmányozása rendkívül fontos a magasabb matematika alapjainak megértéséhez. Ez a téma alapvető fontosságú a kurzus mélyebb tanulmányozása szempontjából.

Kapcsolatban áll

Mi az extrém?

Az iskolai kurzusban a „szélsőség” fogalmának számos meghatározása megtalálható. Ennek a cikknek az a célja, hogy a szó legmélyebb és legtisztább megértését adja azok számára, akik nem ismerik a kérdést. Tehát a kifejezés érthető, hogy a funkcionális intervallum milyen mértékben szerez minimális vagy maximális értéket egy adott halmazon.

Az extrémum egyben a függvény minimális értéke és maximuma is. Van egy minimumpont és egy maximumpont, vagyis az argumentum szélső értékei a grafikonon. A főbb tudományok, amelyekben ezt a fogalmat használják:

• statisztika;
• gépvezérlés;
• ökonometria.

Az extrém pontok fontos szerepet játszanak egy adott függvény sorrendjének meghatározásában. A grafikonon látható koordinátarendszer a legjobb esetben a szélső pozíció változását mutatja a funkcionalitás változásától függően.

A derivált függvény szélsőértéke

Van olyan is, hogy "származék". Meg kell határozni a szélsőpontot. Fontos, hogy ne keverjük össze a minimum vagy maximum pontot a legnagyobb és legkisebb értékkel. Ezek különböző fogalmak, bár hasonlónak tűnhetnek.

A függvény értéke a fő tényező a maximális pont megtalálásának meghatározásában. A derivált nem az értékekből, hanem kizárólag a szélső helyzetéből alakul ki ilyen vagy olyan sorrendben.

Maga a derivált a szélső pontok adatai alapján kerül meghatározásra, nem pedig a legnagyobb vagy legkisebb értékre. Az orosz iskolákban nem húzzák meg egyértelműen a határvonalat e két fogalom között, ami befolyásolja a téma általános megértését.

Tekintsünk most egy olyan dolgot, mint "éles szélsőség". A mai napig létezik egy akut minimumérték és egy akut maximum érték. A meghatározást a függvény kritikus pontjainak orosz besorolása szerint adjuk meg. Az extrémum pont fogalma az alapja a kritikus pontok megtalálásának a diagramon.

Egy ilyen fogalom meghatározásához a Fermat-tételt használjuk. Ez a legfontosabb a szélsőséges pontok tanulmányozásában, és világos képet ad létezésükről ilyen vagy olyan formában. Az extrémség biztosítása érdekében fontos, hogy bizonyos feltételeket teremtsünk a diagramon a csökkenéshez vagy a növekedéshez.

A "maximum pont megtalálása" kérdés pontos megválaszolásához kövesse az alábbi rendelkezéseket:

1. A definíció pontos területének megtalálása a diagramon.
2. Egy függvény és egy szélsőpont deriváltjának keresése.
3. Oldja meg a standard egyenlőtlenségeket az argumentum tartományára.
4. Legyen képes igazolni, hogy egy gráf egy pontja mely függvényekben definiált és folytonos.

Figyelem! Egy függvény kritikus pontjának keresése csak akkor lehetséges, ha van legalább másodrendű derivált, amit a szélsőpont jelenlétének magas aránya biztosít.

A függvény extrémumának szükséges feltétele

A szélsőség létezéséhez fontos, hogy legyen minimum és maximum pont is. Ha ezt a szabályt csak részben tartják be, akkor a szélsőség fennállásának feltétele sérül.

Minden funkciót bármely pozícióban meg kell különböztetni, hogy azonosítani lehessen új jelentését. Fontos megérteni, hogy az az eset, amikor egy pont eltűnik, nem a megkülönböztethető pont megtalálásának fő elve.

Az éles szélsőérték, valamint a függvényminimum rendkívül fontos szempont az extrém értékeket használó matematikai probléma megoldásában. Ennek az összetevőnek a jobb megértése érdekében fontos, hogy a funkció hozzárendeléséhez hivatkozzon a táblázatos értékekre.

Funkcionális szélsőség

A fenti érték megtalálásához be kell tartania a következő szabályokat:

• határozza meg az extrém arány szükséges feltételét;
• vegye figyelembe a grafikon szélső pontjainak megfelelő állapotát;
• végezze el az akut extrémum kiszámítását.

Vannak olyan fogalmak is, mint a gyenge minimum és az erős minimum. Ezt figyelembe kell venni az extrémum meghatározásakor és annak pontos kiszámításakor. Ugyanakkor az éles funkcionalitás a függvénygrafikonnal való munkához szükséges összes feltétel keresése és létrehozása.