Határozzon meg egy komplex számot. Mi az a komplex szám? Példák

§egy. Komplex számok

1°. Meghatározás. Algebrai jelölés.

1. definíció. Komplex számok valós számok rendezett párjainak nevezzük és , ha az egyenlőség fogalma definiálva van számukra, az összeadás és szorzás műveletei, amelyek kielégítik a következő axiómákat:

1) Két szám
és
akkor és csak akkor egyenlő
,
, azaz

2) A komplex számok összege
és

és egyenlő
, azaz

3) A komplex számok szorzata
és
hívják a számot
és egyenlő, azaz.

A komplex számok halmazát jelöljük C.

(2), (3) képletek az űrlap számaihoz
vegye fel a formát

amiből az következik, hogy az összeadás és szorzás műveletei az alak számainak
valós számok összeadásával és szorzásával egybeesik az alak komplex száma
valós számmal azonosítjuk .

Összetett szám
hívott képzeletbeli egységés jelöltük , azaz
Majd (3)-tól

A (2), (3)-ból  ami azt jelenti

A (4) kifejezést nevezzük algebrai jelölésösszetett szám.

Algebrai formában az összeadás és a szorzás műveletei a következőképpen alakulnak:

A komplex számot jelöljük
,- az igazi rész, a képzeletbeli rész, egy tisztán képzeletbeli szám. Kijelölés:
,
.

2. definíció. Összetett szám
hívott konjugált komplex számmal
.

A komplex ragozás tulajdonságai.

1)

2)
.

3) Ha
, akkor
.

4)
.

5)
egy valós szám.

A bizonyítás közvetlen számítással történik.

3. definíció. Szám
hívott modulösszetett szám
és jelöltük
.

Ez nyilvánvaló
, és


. A képletek is nyilvánvalóak:
és
.

2°. Összeadási és szorzási műveletek tulajdonságai.

1) Kommutativitás:
,
.

2) asszociativitás:,
.

3) Eloszlás: .

Az 1) - 3) bizonyítást valós számok hasonló tulajdonságain alapuló közvetlen számítással hajtjuk végre.

4)
,
.

5) , C ! , kielégítve az egyenletet
. Ilyen

6) ,C, 0, ! :
. Ilyen az egyenlet szorzatával kapjuk meg



.

Példa. Képzeljünk el egy komplex számot
algebrai formában. Ehhez szorozzuk meg a tört számlálóját és nevezőjét a nevező konjugáltjával. Nekünk van:

3°. Komplex számok geometriai értelmezése. Komplex szám írásának trigonometrikus és exponenciális formája.

Legyen adott a síkon egy derékszögű koordináta-rendszer. Akkor
C a síkon egy pontot koordinátákkal lehet társítani
.(lásd 1. ábra). Nyilvánvaló, hogy egy ilyen levelezés egy az egyhez. Ebben az esetben a valós számok az abszcissza tengelyen, a tisztán képzeletbeli számok pedig az ordináta tengelyen helyezkednek el. Ezért az abszcissza tengelyt ún valódi tengely, és az y tengely − képzeletbeli tengely. Meghívjuk azt a síkot, amelyen a komplex számok vannak összetett sík.

Vegye figyelembe, hogy és
szimmetrikusak az eredetre, és és szimmetrikusak az Oxhoz képest.

Minden komplex szám (azaz a sík minden pontja) társítható egy vektorral, amelynek kezdete az O pontban van, a vége pedig a pontban van.
. A vektorok és a komplex számok közötti megfelelés egy az egyhez. Ezért a komplex számnak megfelelő vektor , ugyanazzal a betűvel jelölve

D vektor vonal
a komplex számnak megfelelő
, egyenlő
, és
,
.

A vektorértelmezés segítségével látható, hogy a vektor
− vektorok összege és , a
− vektorok összege és
.(lásd a 2. ábrát). Tehát a következő egyenlőtlenségek igazak:

A hosszával együtt vektor bevezetjük a szöget vektor között és az Ox tengely, az Ox tengely pozitív irányából számolva: ha a számlálás az óramutató járásával ellentétes, akkor a szög előjele pozitív, ha az óramutató járásával megegyező, akkor negatív. Ezt a sarkot hívják komplex szám argumentumés jelöltük
. Sarok nem egyedileg van meghatározva, hanem pontosan
…. Mert
az argumentum nincs definiálva.

A (6) képletek definiálják az ún trigonometrikus jelölésösszetett szám.

Az (5)-ből az következik, hogy ha
és
akkor

(5)
mi által és Egy komplex szám egyedileg meghatározott. Ennek a fordítottja nem igaz: mégpedig a komplex szám alapján a modulja egyedi, és az érv , (7) miatt, − pontossággal
. A (7)-ből az is következik, hogy az érvelés egyenlet megoldásaként megtalálható

Ennek az egyenletnek azonban nem minden megoldása a (7) megoldása.

Egy komplex szám argumentumának összes értéke közül kiválasztunk egyet, amelyet az argumentum fő értékének nevezünk és jelölünk
. Általában az argumentum fő értékét vagy az intervallumban választják ki
, vagy az intervallumban

Trigonometrikus formában kényelmes a szorzási és osztási műveletek végrehajtása.

1. tétel. A komplex számok szorzatának modulja és egyenlő a modulok szorzatával, az argumentum pedig az argumentumok összegével, azaz.

, a .

Hasonlóképpen

,

Bizonyíték. Hagyjuk,. Ekkor közvetlen szorzással kapjuk:

Hasonlóképpen

.■

Következmény(De Moivre képlete). Mert
Moivre képlete érvényes

P példa. Hagyja Keresse meg a pont geometriai helyét
. Az 1. tételből az következik, hogy .

Ezért a megalkotásához először meg kell alkotnia egy pontot , ami az ellenkezője az egységkör körül, majd keressünk egy vele szimmetrikus pontot az x tengely körül.

Hadd
,azok.
Összetett szám
jelöljük
, azaz R az Euler-képlet érvényes

Mert
, akkor
,
. Az 1. tételből
mi a helyzet a funkcióval
úgy lehet dolgozni, mint egy közönséges exponenciális függvénnyel, azaz. az egyenlőségek igazak

,
,
.

(8)
exponenciális jelölésösszetett szám

, ahol
,

Példa. .

4°. Gyökerek komplex szám hatványa.

Tekintsük az egyenletet

Hadd
, és a (9) egyenlet megoldását a formában keressük
. Ekkor (9) felveszi a formát
, honnan találjuk ezt
,
, azaz

,
,
.

Így a (9) egyenletnek gyökerei vannak

Mutassuk meg, hogy a (10) között pontosan vannak különféle gyökerek. Igazán,

különböznek, mert érveik különböznek és kevésbé különböznek egymástól
. További,
, mert
. Hasonlóképpen
.

Így a (9) egyenlet
pontosan rendelkezik gyökerei
szabályos csúcsaiban található sugarú körbe írt -gon középpontjában T.O.

Így bebizonyosodott

2. tétel. gyökér kivonás komplex szám hatványa
mindig lehetséges. Minden gyökérérték fokozata a helyes tetején található -gon olyan körbe írva, amelynek középpontja nulla és sugara van
. ahol,

Következmény. Gyökerek Az 1-edik fokozatot a képlet fejezzük ki

.

1 két gyökének szorzata gyök, 1 gyökér - az egységtől való harmadfokú, gyökér
:
.

A másodfokú egyenlet tulajdonságainak tanulmányozásakor korlátozást állítottak fel - nullánál kisebb diszkrimináns esetén nincs megoldás. Azonnal kikötötték, hogy valós számok halmazáról beszélünk. A matematikus érdeklődő elméje érdeklődni fog – mi a titka a valódi értékekről szóló fenntartásban?

Idővel a matematikusok bevezették a komplex számok fogalmát, ahol a mínusz egy második gyökének feltételes értékét egységnek veszik.

Történeti hivatkozás

A matematikai elmélet szekvenciálisan fejlődik, az egyszerűtől a bonyolultig. Nézzük meg, hogyan keletkezett a "komplex szám" fogalma, és miért van rá szükség.

Ősidők óta a matematika alapja a szokásos elszámolás. A kutatók csak a természetes értékrendet ismerték. Az összeadás és a kivonás egyszerű volt. Ahogy a gazdasági viszonyok bonyolultabbá váltak, az azonos értékek összeadása helyett a szorzást kezdték alkalmazni. Volt egy fordított művelete a szorzásnak - osztásnak.

A természetes szám fogalma korlátozta az aritmetikai műveletek használatát. Lehetetlen az összes osztási feladatot megoldani az egész értékek halmazán. először a racionális jelentések, majd az irracionális jelentések fogalmához vezetett. Ha a racionálisnál meg lehet jelölni a pont pontos helyét az egyenesen, akkor az irracionálisnál lehetetlen ilyen pontot jelezni. Az intervallumot csak közelíteni tudja. A racionális és irracionális számok uniója egy valós halmazt alkotott, amely adott léptékű egyenesként ábrázolható. A vonal minden lépése egy természetes szám, köztük racionális és irracionális értékek.

Elkezdődött az elméleti matematika korszaka. A csillagászat, a mechanika, a fizika fejlődése egyre bonyolultabb egyenletek megoldását követelte meg. Általában megtaláltuk a másodfokú egyenlet gyökereit. Egy bonyolultabb köbös polinom megoldása során a tudósok ellentmondásba ütköztek. A negatívból származó kockagyök fogalmának van értelme, de a négyzetgyök esetében bizonytalanságot kapunk. Ráadásul a másodfokú egyenlet csak egy speciális esete a köbös egyenletnek.

1545-ben az olasz J. Cardano javasolta az imaginárius szám fogalmának bevezetését.

Ez a szám mínusz egy második gyöke volt. A komplex szám kifejezés végül csak háromszáz évvel később, a híres matematikus Gauss munkáiban alakult ki. Javasolta az algebra összes törvényének formális kiterjesztését az imaginárius számra. Az igazi vonal síkra bővült. A világ nagyobb lett.

Alapfogalmak

Emlékezzünk vissza számos olyan függvényt, amelyek korlátozzák a valós halmazt:

• y = arcsin(x), a negatív és pozitív közötti értéktartományban definiálva.
• y = ln(x), van értelme pozitív érvekre.
• négyzetgyök y = √x, csak x ≥ 0 esetén számítva.

Az i = √(-1) jelöléssel egy ilyen fogalmat imaginárius számként vezetünk be, ezzel eltávolítunk minden korlátozást a fenti függvények definíciós tartományából. Az olyan kifejezéseknek, mint az y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) van értelme a komplex számok valamely terében.

Az algebrai forma z = x + i×y kifejezésként írható fel a valós x és y értékek halmazára, és i 2 = -1.

Az új koncepció eltöröl minden korlátozást az algebrai függvények használatára vonatkozóan, és megjelenésében a valós és képzeletbeli értékek koordinátáiban lévő egyenes grafikonjára hasonlít.

Komplex sík

A komplex számok geometriai formája vizuálisan lehetővé teszi számos tulajdonságuk ábrázolását. A Re(z) tengelyen x valós értékeit jelöljük, az Im(z)-en - y képzeletbeli értékeit, majd a síkon lévő z pont megjeleníti a szükséges komplex értéket.

Definíciók:

• Re(z) - valós tengely.
• Im(z) - a képzeletbeli tengelyt jelenti.
• z egy komplex szám feltételes pontja.
• A vektor nullaponttól z-ig tartó hosszának számértékét modulusnak nevezzük.
• A valós és a képzeletbeli tengely negyedekre osztja a síkot. A koordináták pozitív értékével - I negyed. Ha a valós tengely argumentuma kisebb, mint 0, és a képzeletbeli tengely nagyobb, mint 0 - II negyed. Ha a koordináták negatívak - III negyed. Az utolsó, negyedik negyedév sok pozitív valós értéket és negatív képzeletbeli értéket tartalmaz.

Így egy x és y koordinátaértékű síkon mindig látható egy komplex szám egy pontja. Az i szimbólumot azért vezetjük be, hogy elválasztjuk a valós részt a képzeletbelitől.

Tulajdonságok

1. Ha az imaginárius argumentum értéke nulla, akkor csak egy számot (z = x) kapunk, amely a valós tengelyen található és a valós halmazhoz tartozik.
2. Egy speciális esetben, amikor a valós argumentum értéke nulla lesz, a z = i×y kifejezés megfelel a pont helyének a képzeletbeli tengelyen.
3. A z = x + i×y általános alak az argumentumok nullától eltérő értékeihez tartozik. A komplex számot jellemző pont helyét jelenti az egyik negyedben.

trigonometrikus jelölés

Emlékezzünk vissza a poláris koordináta-rendszerre és a sin és cos definíciójára. Nyilvánvaló, hogy ezen függvények segítségével a sík bármely pontjának elhelyezkedése leírható. Ehhez elegendő ismerni a sarki nyaláb hosszát és a valós tengelyhez viszonyított dőlésszögét.

Meghatározás. A ∣z ∣ alakú bejegyzést, megszorozva a cos(ϴ) trigonometrikus függvények és az i ×sin(ϴ) képzetes rész összegével, trigonometrikus komplex számnak nevezzük. Itt a jelölés a valós tengelyhez viszonyított dőlésszög

ϴ = arg(z), és r = ∣z∣, a nyaláb hossza.

A trigonometrikus függvények definíciójából és tulajdonságaiból a nagyon fontos De Moivre-képlet következik:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Ezzel a képlettel kényelmesen megoldható számos trigonometrikus függvényt tartalmazó egyenletrendszer. Főleg, ha a hatványozás feladata felmerül.

Modul és fázis

Egy komplex halmaz leírásának kiegészítéseként két fontos meghatározást javasolunk.

A Pitagorasz-tétel ismeretében könnyen kiszámítható a nyaláb hossza a poláris koordináta-rendszerben.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), egy ilyen jelölést a komplex téren "modulnak" nevezünk, és a 0-tól a sík egy pontjáig terjedő távolságot jellemzi.

A komplex nyalábnak a ϴ valós egyeneshez viszonyított dőlésszögét általában fázisnak nevezik.

A definícióból látható, hogy a valós és a képzetes részek leírása ciklikus függvényekkel történik. Ugyanis:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Ezzel szemben a fázis az algebrai értékekhez kapcsolódik a képlet segítségével:

ϴ = arctan(x / y) + µ, a µ korrekciót a geometriai függvények periodicitásának figyelembevétele érdekében vezetjük be.

Euler-képlet

A matematikusok gyakran használják az exponenciális formát. A komplex sík számait kifejezésként írjuk fel

z = r × e i × ϴ , ami az Euler-képletből következik.

Egy ilyen rekord széles körben elterjedt a fizikai mennyiségek gyakorlati kiszámításához. Az exponenciális komplex számok formájában történő ábrázolás különösen kényelmes mérnöki számításokhoz, ahol szükségessé válik szinuszos áramú áramkörök kiszámítása, és ismerni kell az adott periódusú függvények integráljainak értékét. Maguk a számítások eszközül szolgálnak különféle gépek és mechanizmusok tervezésénél.

Műveletek meghatározása

Mint már említettük, az alapvető matematikai függvényekkel való munka összes algebrai törvénye vonatkozik a komplex számokra.

összegű művelet

Komplex értékek hozzáadásakor ezek valós és képzeletbeli részei is hozzáadódnak.

z = z 1 + z 2, ahol z 1 és z 2 általános komplex számok. A kifejezés átalakítása, a zárójelek megnyitása és a jelölés egyszerűsítése után megkapjuk az x \u003d (x 1 + x 2) valódi argumentumot, a képzeletbeli y \u003d argumentumot (y 1 + y 2).

A grafikonon ez a jól ismert paralelogramma-szabály szerint úgy néz ki, mint két vektor összeadása.

kivonási művelet

Az összeadás speciális esetének tekinthető, amikor az egyik szám pozitív, a másik negatív, vagyis a tükörnegyedben található. Az algebrai jelölés úgy néz ki, mint a valós és a képzeletbeli részek közötti különbség.

z \u003d z 1 - z 2, vagy az argumentumok értékeit figyelembe véve az összeadási művelethez hasonlóan valós értékekre \u200b\u200bx \u003d (x 1 - x 2) és imagináriusra kapunk y \u003d (y 1 - y 2).

Szorzás a komplex síkban

A polinomokkal való munka szabályait felhasználva levezetünk egy képletet a komplex számok megoldására.

A z=z 1 ×z 2 általános algebrai szabályokat követve minden argumentumot leírunk és hasonlókat adunk. A valós és képzeletbeli részek a következőképpen írhatók fel:

• x \u003d x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Szebben néz ki, ha exponenciális komplex számokat használunk.

A kifejezés így néz ki: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Osztály

Ha az osztási műveletet a szorzási művelet inverzének tekintjük, egy egyszerű kifejezést kapunk exponenciális formában. A z 1 értékét z 2-vel osztva a moduljaik és a fáziskülönbség elosztása az eredménye. Formálisan a komplex számok exponenciális alakjának használatakor ez így néz ki:

z \u003d z 1 / z 2 \u003d r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 \u003d r 1 / r 2 × e i (ϴ 1- ϴ 2) .

Algebrai jelölés formájában a komplex sík számainak felosztásának művelete kissé bonyolultabb:

Az argumentumok megírásával és polinomiális transzformációk végrehajtásával könnyen megkaphatjuk az x \u003d x 1 × x 2 + y 1 × y 2, y \u003d x 2 × y 1 - x 1 × y 2 értékeket, azonban a leírt téren belül ennek a kifejezésnek van értelme, ha z 2 ≠ 0.

Kivonjuk a gyökeret

A fentiek mindegyike alkalmazható bonyolultabb algebrai függvények meghatározásában - tetszőleges hatványra emelés és annak inverze - a gyökér kinyerése.

Az n hatványra emelés általános fogalmát használva megkapjuk a definíciót:

z n = (r × e i ϴ) n.

A közös tulajdonságok használatával átírhatjuk a következő alakba:

z n = r n × e i ϴ n .

Kaptunk egy egyszerű képletet a komplex szám hatványra emelésére.

A fokozat meghatározásából egy nagyon fontos következményt kapunk. A képzeletbeli egység páros hatványa mindig 1. A képzeletbeli egység páratlan hatványa mindig -1.

Most tanulmányozzuk az inverz függvényt - a gyökér kinyerését.

A jelölés egyszerűsége érdekében n = 2-t veszünk. A z komplex érték w négyzetgyökét a C komplex síkon általában a z = ± kifejezésnek tekintik, amely minden nullánál nagyobb vagy azzal egyenlő valós argumentumra érvényes. w ≤ 0 esetén nincs megoldás.

Nézzük meg a legegyszerűbb z 2 = 1 másodfokú egyenletet. A komplex számok képleteinek felhasználásával írjuk át r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 -t. A rekordból látható, hogy r 2 = 1 és ϴ = 0, ezért van egy egyedi megoldásunk, amely egyenlő 1-gyel. Ez azonban ellentmond annak, hogy z = -1, a négyzetgyök definíciójának is megfelel.

Találjuk ki, mit nem veszünk figyelembe. Ha felidézzük a trigonometrikus jelölést, akkor visszaállítjuk az állítást - a ϴ fázis periodikus változásával a komplex szám nem változik. Jelölje p a periódus értékét, akkor r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) , ahonnan 2ϴ = 0 + p, vagy ϴ = p / 2. Tehát e i 0 = 1 és e i p / 2 = -1. A második megoldást kaptuk, amely megfelel a négyzetgyök általános értelmezésének.

Tehát egy komplex szám tetszőleges gyökének megtalálásához az eljárást követjük.

• Felírjuk a w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) exponenciális alakot, k tetszőleges egész szám.
• A kívánt szám z = r × e i ϴ Euler alakban is ábrázolható.
• Használjuk az r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i gyökkivonási függvény általános definícióját (arg (w) + pk) .
• A modulok és argumentumok egyenlőségének általános tulajdonságaiból írjuk ki, hogy r n = ∣w∣ és nϴ = arg (w) + p×k.
• Egy komplex szám gyökének végső rekordját a z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n képlet írja le.
• Megjegyzés. A ∣w∣ érték definíció szerint egy pozitív valós szám, tehát bármely hatványgyöknek van értelme.

Mező és ragozás

Befejezésül két fontos definíciót adunk meg, amelyek a komplex számokkal kapcsolatos alkalmazott problémák megoldása szempontjából csekély jelentőségűek, de elengedhetetlenek a matematikai elmélet továbbfejlesztésében.

Az összeadás és szorzás kifejezéseiről azt mondjuk, hogy mezőt képeznek, ha kielégítik a z komplex sík bármely elemére vonatkozó axiómákat:

1. Az összetett kifejezések helyének változásától a komplex összeg nem változik.
2. Az állítás igaz - egy komplex kifejezésben két szám tetszőleges összege helyettesíthető az értékükkel.
3. Van egy semleges 0 érték, amelyre z + 0 = 0 + z = z igaz.
4. Bármely z-re van egy ellentét - z, amelyhez hozzáadva nullát kapunk.
5. Ha a komplex tényezők helye megváltozik, a komplex szorzat nem változik.
6. Bármely két szám szorzata helyettesíthető az értékükkel.
7. Létezik egy semleges 1, amelynek szorzása nem változtatja meg a komplex számot.
8. Minden z ≠ 0 esetén létezik z -1 reciproka, amelyet megszorozva 1-et kapunk.
9. Ha két szám összegét megszorozzuk egy harmaddal, akkor mindegyiket megszorozzuk ezzel a számmal, és összeadjuk az eredményeket.
10. 0 ≠ 1.

A z 1 = x + i×y és z 2 = x - i×y számokat konjugáltnak nevezzük.

Tétel. A ragozásra igaz az állítás:

• Az összeg konjugációja egyenlő a konjugált elemek összegével.
• Egy szorzat ragozása megegyezik a ragozások szorzatával.
• egyenlő magával a számmal.

Az általános algebrában az ilyen tulajdonságokat mezőautomorfizmusoknak nevezik.

Példák

A komplex számokra vonatkozó fenti szabályokat és képleteket követve könnyedén kezelheti őket.

Nézzük a legegyszerűbb példákat.

1. feladat. Határozzuk meg x-et és y-t a 3y +5 x i= 15 - 7i egyenlet segítségével.

Megoldás. Idézzük fel a komplex egyenlőségek definícióját, akkor 3y = 15, 5x = -7. Ezért x = -7/5, y = 5.

2. feladat. Számítsa ki a 2 + i 28 és 1 + i 135 értékeket.

Megoldás. Nyilvánvalóan 28 páros szám, a hatványban lévő komplex szám definíciójából i 28 = 1, ami azt jelenti, hogy a kifejezés 2 + i 28 = 3. A második érték, i 135 = - 1, akkor 1 + i 135 = 0.

3. feladat. Számítsa ki a 2 + 5i és a 4 + 3i értékek szorzatát!

Megoldás. A komplex számok szorzásának általános tulajdonságaiból azt kapjuk, hogy (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Az új érték -7 + 26i lesz.

4. feladat. Számítsd ki a z 3 = -i egyenlet gyökereit!

Megoldás. Számos módja van a komplex számok megtalálásának. Tekintsünk egyet a lehetségesek közül. Definíció szerint ∣ - i∣ = 1, az -i fázisa -p / 4. Az eredeti egyenlet átírható a következőre: r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk , ahonnan z = e - p / 12 + pk /3 , bármely k egész számra.

A megoldások halmazának alakja (e - ip/12 , e ip /4 , e i 2 p/3 ).

Miért van szükség komplex számokra?

A történelem számos példát ismer arra, amikor a tudósok, miközben egy elméleten dolgoznak, nem is gondolnak eredményeik gyakorlati alkalmazására. A matematika mindenekelőtt az elme játéka, az ok-okozati összefüggések szigorú betartása. Szinte minden matematikai konstrukciót integrál- és differenciálegyenletek megoldására redukálunk, ezeket pedig bizonyos közelítéssel a polinomok gyökeinek megkeresésével oldjuk meg. Itt találkozunk először a képzeletbeli számok paradoxonával.

A természettudósok teljesen gyakorlati problémákat megoldva, különféle egyenletek megoldásához folyamodva matematikai paradoxonokat fedeznek fel. E paradoxonok értelmezése teljesen elképesztő felfedezésekhez vezet. Ilyen például az elektromágneses hullámok kettős természete. A komplex számok döntő szerepet játszanak tulajdonságaik megértésében.

Ez pedig gyakorlati alkalmazásra talált az optikában, a rádióelektronikában, az energetikában és sok más technológiai területen. Egy másik példa, sokkal nehezebben érthető fizikai jelenségek. Az antianyagot egy toll hegyén jósolták meg. És csak sok év elteltével kezdődnek meg a kísérletek a fizikai szintézisre.

Nem szabad azt gondolni, hogy ilyen helyzetek csak a fizikában léteznek. Nem kevésbé érdekes felfedezések születnek a vadon élő állatokban, a makromolekulák szintézisében, a mesterséges intelligencia tanulmányozása során. Mindez pedig tudatunk bővülésének köszönhető, elkerülve a természeti értékek egyszerű összeadását és kivonását.

Idézzük fel a szükséges információkat a komplex számokról.

Összetett szám a forma kifejezése a + kettős, ahol a, b valós számok, és én- ún képzeletbeli egység, az a szimbólum, amelynek négyzete -1, azaz. én 2 = -1. Szám a hívott valódi rész, és a szám b - képzeletbeli részösszetett szám z = a + kettős. Ha egy b= 0, akkor ahelyett a + 0én egyszerűen írj a. Látható, hogy a valós számok a komplex számok speciális esetei.

A komplex számokkal végzett aritmetikai műveletek megegyeznek a valós számokkal: összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és oszthatók egymással. Az összeadás és a kivonás a szabály szerint ( a + kettős) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)én, és szorzás - a szabály szerint ( a + kettős) · ( c + di) = (ac – bd) + (hirdetés + időszámításunk előtt)én(itt csak ezt használják én 2 = -1). Szám = a – kettős hívott komplex konjugátum nak nek z = a + kettős. Egyenlőség z · = a 2 + b 2 lehetővé teszi, hogy megértse, hogyan kell elosztani egy komplex számot egy másik (nem nulla) komplex számmal:

(Például, .)

Az összetett számoknak van egy kényelmes és vizuális geometriai ábrázolása: a szám z = a + kettős vektorként ábrázolható koordinátákkal ( a; b) a derékszögű síkon (vagy, ami majdnem ugyanaz, egy pont - a vektor vége ezekkel a koordinátákkal). Ebben az esetben két komplex szám összegét a megfelelő vektorok összegeként ábrázoljuk (amelyet a paralelogramma-szabállyal találhatunk meg). A Pitagorasz-tétel szerint a vektor hossza koordinátákkal ( a; b) egyenlő . Ezt az értéket hívják modulösszetett szám z = a + kettősés |-vel jelöljük z|. Azt a szöget, amelyet ez a vektor bezár az x tengely pozitív irányával (az óramutató járásával ellentétes irányba számolva), nevezzük érvösszetett szám zés Arg jelöli z. Az argumentum nem egyedileg definiált, hanem csak 2 többszörösének összeadásáig π radiánban (vagy 360°-ban, ha fokban számolunk) - elvégre egyértelmű, hogy az origó körüli ilyen szög átfordulása nem változtatja meg a vektort. De ha a hosszvektor r szöget alkot φ az x tengely pozitív irányával, akkor a koordinátái egyenlőek ( r kötözősaláta φ ; r bűn φ ). Ezért kiderül trigonometrikus jelölésösszetett szám: z = |z| (cos (Arg z) + én sin (Arg z)). Gyakran célszerű komplex számokat ebben a formában írni, mert ez nagyban leegyszerűsíti a számításokat. A komplex számok szorzása trigonometrikus formában nagyon egyszerűnek tűnik: z egy · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos (Arg z 1+arg z 2) + én sin (Arg z 1+arg z 2)) (két komplex szám szorzásakor a modulusokat megszorozzuk és az argumentumokat összeadjuk). Innentől következzen De Moivre-képletek: z n = |z|n(kötözősaláta( n(Arg z)) + én bűn( n(Arg z))). E képletek segítségével könnyen megtanulható, hogyan lehet komplex számokból tetszőleges fokú gyököket kivonni. z n-edik gyöke olyan komplex szám w, mit w n = z. Ez egyértelmű , És hol k tetszőleges értéket vehet fel a halmazból (0, 1, ..., n- egy). Ez azt jelenti, hogy mindig pontosan van n gyökerei n foka egy komplex számtól (a síkon a szabályos csúcsaiban helyezkednek el n-gon).

TémaKomplex számok és polinomok

Előadás 22

§egy. Komplex számok: alapdefiníciók

Szimbólum adja meg az arányt
és képzeletbeli egységnek nevezzük. Más szavakkal,
.

Meghatározás. A forma kifejezése
, ahol
, komplex számnak nevezzük, és a szám komplex szám valós részének nevezzük és jelöljük
, szám - képzeletbeli rész és jelöljük
.

Ebből a definícióból az következik, hogy a valós számok azok a komplex számok, amelyek képzetes része nullával egyenlő.

Kényelmes a komplex számokat egy olyan sík pontjaként ábrázolni, amelyen egy derékszögű koordináta-rendszer van megadva, nevezetesen: egy komplex szám
meccspont
és fordítva. tengelyen
valós számok jelennek meg, és ezt valós tengelynek nevezzük. Az űrlap összetett számai

tisztán képzeletbelinek nevezik. A tengelyen pontokként jelennek meg.
, amelyet képzeletbeli tengelynek nevezünk. Ezt a síkot, amely a komplex számok ábrázolására szolgál, komplex síknak nevezzük. Olyan komplex szám, amely nem valós, pl. oly módon, hogy
, néha képzeletnek is nevezik.

Két komplex számot akkor és csak akkor egyenlőnek mondunk, ha azonos valós és képzetes részük van.

A komplex számok összeadása, kivonása és szorzása a polinomiális algebra szokásos szabályai szerint történik, figyelembe véve azt a tényt, hogy

. Az osztási művelet a szorzási művelet inverzeként definiálható, és igazolható az eredmény egyedisége (ha az osztó eltér nullától). A gyakorlatban azonban más megközelítést alkalmaznak.

Komplex számok
és
konjugáltnak nevezzük, a komplex síkon a valós tengelyre szimmetrikus pontokkal ábrázoljuk. Nyilvánvaló, hogy:

1)

;

2)
;

3)
.

Most szét a a következőképpen végezhető el:

.

Nem nehéz ezt megmutatni

,

ahol szimbólum bármely aritmetikai műveletet jelöl.

Hadd
valami képzeletbeli szám, és valódi változó. Két binomiális szorzata

egy négyzetes trinom valós együtthatókkal.

Most, ha komplex számok állnak rendelkezésünkre, bármilyen másodfokú egyenletet meg tudunk oldani
.Ha akkor

és az egyenletnek két összetett konjugált gyöke van

.

Ha egy
, akkor az egyenletnek két különböző valós gyöke van. Ha egy
, akkor az egyenletnek két azonos gyöke van.

§2. Komplex szám trigonometrikus alakja

Mint fentebb említettük, a komplex szám
kényelmesen ábrázolható ponttal
. Egy ilyen szám azonosítható ennek a pontnak a sugárvektorával is
. Ezzel az értelmezéssel a komplex számok összeadása és kivonása a vektorok összeadási és kivonási szabályai szerint történik. A komplex számok szorzásához és osztásához egy másik forma kényelmesebb.

Bemutatjuk a komplex síkon
poláris koordináta-rendszer. Akkor hol
,
és komplex szám
így írható:

Ezt a jelölési formát trigonometrikusnak nevezik (ellentétben az algebrai formával
). Ebben a formában a szám modulnak nevezzük és - komplex szám argumentum . Jelölve vannak:
,

. A modulhoz megvan a képlet

A szám argumentum kétértelműen van definiálva, de egy kifejezés erejéig
,
. Az egyenlőtlenségeket kielégítő érv értéke
, főnek nevezzük és jelöljük
. Akkor,
. Az argumentum fő értékéhez a következő kifejezéseket kaphatja:

,

szám argumentum
definiálatlannak tekinthető.

Két komplex szám trigonometrikus formában való egyenlőségének feltétele a következő: a számok moduljai egyenlőek, és az argumentumok többszörösével különböznek.
.

Keresse meg két komplex szám szorzatát trigonometrikus formában:

Tehát a számok szorzásakor a moduljaikat megszorozzák, és az argumentumokat összeadják.

Hasonlóképpen megállapítható, hogy osztáskor a számok moduljait felosztjuk, és az argumentumokat kivonjuk.

Ha a hatványozást többszörös szorzásként értelmezzük, megkapjuk a komplex szám hatványra emelésének képletét:

Levezetünk egy képletet
- gyökér komplex szám hatványa (nem tévesztendő össze a valós szám számtani gyökével!). A gyökérkivonási művelet a hatványozási művelet fordítottja. Ezért
egy komplex szám oly módon, hogy
.

Hadd
ismert, és
meg kell találni. Akkor

Két trigonometrikus formájú komplex szám egyenlőségéből az következik

,
,
.

Innen
(ez egy számtani gyök!),

,
.

Ezt könnyű ellenőrizni csak elfogadni tudja lényegében eltérő értékeket, például amikor
. Végül megvan a képlet:

,
.

Tehát a gyökér foka egy komplex számtól rendelkezik különböző értékeket. A komplex síkon ezek az értékek helyesen a csúcsokban helyezkednek el sugarú körbe írt -gon
középpontjában az origó áll. Az „első” gyökérnek van érve
, két „szomszédos” gyök érvei különböznek egymástól
.

Példa. Vegyük a képzeletbeli egység kockagyökét:
,
,
. Akkor:

,