Pronađite konjugirani kompleksni broj na internetu. Kompleksni brojevi i algebarske operacije nad njima

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu.

Definirajmo njegove korijene.

Ne postoji realan broj čiji je kvadrat -1. Ali ako formula definira operator ja kao zamišljena jedinica, tada se rješenje ove jednadžbe može napisati u obliku . pri čemu i - kompleksni brojevi, kod kojih je -1 realni dio, 2 ili u drugom slučaju -2 imaginarni dio. Imaginarni dio je ujedno i pravi (realni) broj. Imaginarni dio pomnožen sa imaginarnom jedinicom znači već imaginarni broj.

Općenito, kompleksni broj ima oblik

z = x + iy ,

gdje x, y su realni brojevi, je imaginarna jedinica. U nizu primijenjenih znanosti, na primjer, u elektrotehnici, elektronici, teoriji signala, imaginarna jedinica se označava s j. Realni brojevi x = Re(z) i y=ja(z) nazvao stvarni i imaginarni dijelovi brojevima z. Izraz se zove algebarski oblik zapis kompleksnog broja.

Svaki realni broj je poseban slučaj kompleksnog broja u obliku . Imaginarni broj također je poseban slučaj kompleksnog broja. .

Definicija skupa kompleksnih brojeva C

Ovaj izraz glasi na sljedeći način: set IZ, koji se sastoji od elemenata kao što je x i g pripadaju skupu realnih brojeva R i imaginarna je jedinica. Imajte na umu da itd.

Dva kompleksna broja i jednaki ako i samo ako su im stvarni i imaginarni dijelovi jednaki, tj. i .

Kompleksni brojevi i funkcije naširoko se koriste u znanosti i tehnologiji, posebice u mehanici, analizi i proračunu krugova izmjenične struje, analognoj elektronici, teoriji i obradi signala, teoriji automatskog upravljanja i drugim primijenjenim znanostima.

Aritmetika kompleksnih brojeva

Zbrajanje dva kompleksna broja sastoji se u zbrajanju njihovih realnih i imaginarnih dijelova, tj.

Prema tome, razlika dva kompleksna broja

Složeni broj nazvao kompleks konjugirati broj z=x +i.y.

Kompleksni konjugirani brojevi z i z * razlikuju se u predznacima imaginarnog dijela. Očito je da

Svaka jednakost između složenih izraza ostaje važeća ako u ovoj jednakosti posvuda ja zamijenjen sa - ja, tj. prijeći na jednakost konjugiranih brojeva. Brojke ja i – ja su algebarski nerazlučivi jer .

Umnožak (množenje) dva kompleksna broja može se izračunati na sljedeći način:

Dijeljenje dva kompleksna broja:

Primjer:

Složena ravnina

Kompleksni broj može se grafički prikazati u pravokutnom koordinatnom sustavu. Postavimo pravokutni koordinatni sustav u ravnini (x, y).

na osovini Vol uredit ćemo prave dijelove x, to se zove prava (stvarna) os, na osi Joj– imaginarni dijelovi g kompleksni brojevi. Ona nosi ime imaginarna os. Štoviše, svaki kompleksni broj odgovara određenoj točki ravnine, a takva se ravnina naziva složena ravnina. točka ALI kompleksna ravnina će odgovarati vektoru OA.

Broj x nazvao apscisa složeni broj, broj g – ordinata.

Par kompleksno konjugiranih brojeva prikazan je kao točke smještene simetrično oko realne osi.

Ako je u avionu postavljen polarni koordinatni sustav, zatim svaki kompleksni broj z određena polarnim koordinatama. pri čemu modul brojevima je polarni radijus točke, a kut - njegov polarni kut ili argument kompleksnog broja z.

Modul kompleksnog broja uvijek nenegativan. Argument kompleksnog broja nije jednoznačno definiran. Glavna vrijednost argumenta mora zadovoljiti uvjet . Svaka točka kompleksne ravnine također odgovara ukupnoj vrijednosti argumenta. Argumenti koji se razlikuju višekratnikom od 2π smatraju se jednakima. Broj argumenta nula nije definiran.

Glavna vrijednost argumenta određena je izrazima:

Očito je da

pri čemu
, .

Predstavljanje kompleksnih brojeva z kao

nazvao trigonometrijski oblik složeni broj.

Primjer.

Eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva

Razgradnja u serija Maclaurin za stvarne funkcije argumenata izgleda kao:

Za eksponencijalnu funkciju složenog argumenta z razgradnja je slična

Proširenje Maclaurinovog reda za eksponencijalnu funkciju imaginarnog argumenta može se prikazati kao

Dobiveni identitet naziva se Eulerova formula.

Za negativan argument, izgleda

Kombinacijom ovih izraza možemo definirati sljedeće izraze za sinus i kosinus

Pomoću Eulerove formule, iz trigonometrijskog oblika prikaza kompleksnih brojeva

dostupno demonstrativna(eksponencijalni, polarni) oblik kompleksnog broja, t.j. njegov prikaz u formi

gdje - polarne koordinate točke s pravokutnim koordinatama ( x,g).

Konjugat kompleksnog broja zapisuje se u eksponencijalnom obliku na sljedeći način.

Za eksponencijalni oblik lako je definirati sljedeće formule za množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva

To jest, u eksponencijalnom obliku, umnožavanje i dijeljenje kompleksnih brojeva je lakše nego u algebarskom obliku. Kod množenja moduli faktora se množe, a argumenti zbrajaju. Ovo se pravilo primjenjuje na bilo koji broj čimbenika. Konkretno, kod množenja složenog broja z na ja vektor z okreće se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90

Kod dijeljenja se modul brojnika dijeli s modulom nazivnika, a argument nazivnika oduzima se od argumenta brojnika.

Koristeći eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva, mogu se dobiti izrazi za dobro poznate trigonometrijske identitete. Na primjer, iz identiteta

pomoću Eulerove formule možemo pisati

Izjednačavanjem realnog i imaginarnog dijela u ovom izrazu dobivamo izraze za kosinus i sinus zbroja kutova

Potencije, korijeni i logaritmi kompleksnih brojeva

Dizanje kompleksnog broja na prirodni potenc n proizvedeno prema formuli

Primjer. Izračunaj .

Zamislite broj u trigonometrijskom obliku

’

Primjenom formule za potenciranje dobivamo

Stavljanje vrijednosti u izraz r= 1, dobivamo tzv De Moivreova formula, s kojim možete odrediti izraze za sinuse i kosinuse više kutova.

Korijen n potencija kompleksnog broja z Ima n različite vrijednosti određene izrazom

Primjer. Hajdemo pronaći.

Da bismo to učinili, izražavamo kompleksni broj () u trigonometrijski oblik

Prema formuli za izračunavanje korijena kompleksnog broja dobivamo

Logaritam kompleksnog broja z je broj w, za koji . Prirodni logaritam kompleksnog broja ima beskonačan broj vrijednosti i izračunava se formulom

Sastoji se od realnog (kosinus) i imaginarnog (sinus) dijela. Takvo naprezanje može se prikazati kao vektor duljine Hm, početna faza (kut), rotirajući kutnom brzinom ω .

Štoviše, ako se zbrajaju složene funkcije, tada se zbrajaju njihovi stvarni i imaginarni dijelovi. Ako se složena funkcija pomnoži s konstantom ili realnom funkcijom, tada se njezini realni i imaginarni dio množe istim faktorom. Diferencijacija/integracija tako složene funkcije svodi se na diferencijaciju/integraciju realnog i imaginarnog dijela.

Na primjer, diferencijacija izraza složenog stresa

je pomnožiti s iω je realni dio funkcije f(z), i je imaginarni dio funkcije. Primjeri: .

Značenje z predstavljena je točkom u kompleksnoj z ravnini i odgovarajućom vrijednošću w- točka u kompleksnoj ravnini w. Kada se prikaže w = f(z) ravninske linije z prelaze u linije ravnine w, figure jedne ravnine u figure druge, ali se oblici linija ili likova mogu značajno promijeniti.