Sustav linearnih jednadžbi 3. reda. Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi, metode rješavanja, primjeri. V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, ch.10, p.2
Razmotrimo sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice
Pomoću determinanti trećeg reda rješenje takvog sustava može se napisati u istom obliku kao i za sustav dviju jednadžbi, tj.
(2.4)
ako je 0. Ovdje
to je Cramerovo pravilo rješavanje sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice.
Primjer 2.3. Riješite sustav linearnih jednadžbi koristeći Cramerovo pravilo:
Riješenje . Određivanje determinante glavne matrice sustava
Budući da je 0, da biste pronašli rješenje sustava, možete primijeniti Cramerovo pravilo, ali prvo izračunajte još tri determinante:
Ispitivanje:
Dakle, rješenje je pronađeno ispravno.
Cramerova pravila dobivena za linearne sustave 2. i 3. reda sugeriraju da se ista pravila mogu formulirati za linearne sustave bilo kojeg reda. Stvarno se odvija
Cramerov teorem. Kvadratni sustav linearnih jednadžbi s različitom od nule determinantom glavne matrice sustava (0) ima jedno i samo jedno rješenje, a to se rješenje izračunava pomoću formula
(2.5)
gdje – glavna matrica determinanta, ja – matrična determinanta, izvedeno iz glavnog, zamjenajath stupac besplatni članovi stupac.
Imajte na umu da ako je =0, Cramerovo pravilo nije primjenjivo. To znači da sustav ili nema rješenja ili ima beskonačno mnogo rješenja.
Nakon što je formuliran Cramerov teorem, prirodno se postavlja pitanje izračunavanja determinanti višeg reda.
2.4. determinante n-tog reda
Dodatni manji M i J element a i J naziva se determinanta dobivena iz zadanog brisanjem ja-th line i j-ti stupac. Algebarsko zbrajanje A i J element a i J naziva se minor ovog elementa, uzet predznakom (–1) ja + j, tj. A i J = (–1) ja + j M i J .
Na primjer, pronađimo minore i algebarske komplemente elemenata a 23 i a 31 odrednice
Dobivamo
Koristeći koncept algebarskog komplementa, možemo formulirati teorem proširenja determinanten-th poredak po redu ili stupcu.
Teorem 2.1. Matrična determinantaAjednak je zbroju umnožaka svih elemenata nekog retka (ili stupca) i njihovih algebarskih komplemenata:
(2.6)
Ovaj teorem je temelj jedne od glavnih metoda za izračunavanje determinanti, tzv. metoda smanjenja narudžbe. Kao rezultat proširenja odrednice n redoslijedom u bilo kojem retku ili stupcu, dobivamo n determinanti ( n–1)-tog reda. Kako bismo imali manje takvih determinanti, preporučljivo je odabrati redak ili stupac koji ima najviše nula. U praksi se formula za proširenje determinante obično piše kao:
oni. algebarski dodaci se pišu eksplicitno u terminima minora.
Primjeri 2.4. Izračunajte determinante tako da ih prvo proširite u bilo koji redak ili stupac. Obično u takvim slučajevima odaberite stupac ili redak koji ima najviše nula. Odabrani red ili stupac bit će označeni strelicom.
2.5. Osnovna svojstva determinanti
Proširujući determinantu u bilo kojem retku ili stupcu, dobivamo n determinanti ( n–1)-tog reda. Zatim svaka od ovih determinanti ( n–1)-tog reda također se može rastaviti na zbroj determinanti ( n–2) reda. Nastavljajući ovaj proces, može se doći do determinanti 1. reda, tj. na elemente matrice čija se determinanta računa. Dakle, da biste izračunali determinante 2. reda, morat ćete izračunati zbroj dva člana, za determinante 3. reda - zbroj 6 članova, za determinante 4. reda - 24 člana. Broj članova naglo će se povećati kako se povećava red determinante. To znači da izračun determinanti vrlo visokih redova postaje prilično naporan zadatak, izvan snage čak i računala. Međutim, determinante se mogu izračunati i na drugi način, korištenjem svojstava determinanti.
Svojstvo 1 . Determinanta se neće promijeniti ako se u njoj zamijene redovi i stupci, tj. prilikom transponiranja matrice:
.
Ovo svojstvo označava jednakost redaka i stupaca determinante. Drugim riječima, svaka tvrdnja o stupcima determinante vrijedi za njezine retke, i obrnuto.
Svojstvo 2 . Determinanta mijenja predznak kada se dva retka (stupca) zamijene.
Posljedica . Ako determinanta ima dva identična retka (stupca), onda je jednaka nuli.
Svojstvo 3 . Zajednički faktor svih elemenata u bilo kojem retku (stupcu) može se izbaciti iz predznaka determinante.
Na primjer,
Posljedica . Ako su svi elementi nekog reda (stupca) determinante jednaki nuli, onda je i sama determinanta jednaka nuli..
Svojstvo 4 . Determinanta se neće promijeniti ako se elementima jednog retka (stupca) dodaju elementi drugog retka (stupca) pomnoženi s nekim brojem.
Na primjer,
Svojstvo 5 . Determinanta umnoška matrice jednaka je umnošku determinanti matrice:
Praktični rad
"Rješavanje sustava linearnih jednadžbi trećeg reda Cramerovom metodom"
Ciljevi rada:
proširiti razumijevanje metoda rješavanja SLE i razraditi algoritam za rješavanje SLE Cramor metodom;
razvijati logičko razmišljanje učenika, sposobnost pronalaženja racionalnog rješenja problema;
odgajati učenike za točnost i kulturu pisanog matematičkog govora pri donošenju odluke.
Osnovni teorijski materijal.
Cramerova metoda. Primjena sustava linearnih jednadžbi.
Zadan je sustav od N linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) s nepoznanicama čiji su koeficijenti elementi matrice , a slobodni članovi brojevi
Prvi indeks uz koeficijente označava u kojoj se jednadžbi koeficijent nalazi, a drugi - na kojoj se od nepoznanica nalazi. 
Ako determinanta matrice nije jednaka nuli
tada sustav linearnih algebarskih jednadžbi ima jedinstveno rješenje. Rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi je takav uređeni skup brojeva koji svaku od jednadžbi sustava pretvara u ispravnu jednakost. Ako su desne strane svih jednadžbi sustava jednake nuli, tada se sustav jednadžbi naziva homogenim. U slučaju kada su neki od njih različiti od nule, neuniformni 
Ako sustav linearnih algebarskih jednadžbi ima barem jedno rješenje, tada se naziva kompatibilnim, u protivnom je nekompatibilnim. Ako je rješenje sustava jedinstveno, tada se sustav linearnih jednadžbi naziva određenim. U slučaju kada rješenje kompatibilnog sustava nije jedinstveno, sustav jednadžbi nazivamo neodređenim. Dva sustava linearnih jednadžbi nazivaju se ekvivalentnima (ili ekvivalentima) ako su sva rješenja jednog sustava rješenja drugog sustava i obrnuto. Ekvivalentni (ili ekvivalentni) sustavi dobivaju se pomoću ekvivalentnih transformacija. 
Ekvivalentne transformacije SLAE
1) preuređivanje jednadžbi;
2) množenje (ili dijeljenje) jednadžbi brojem različitim od nule;
3) dodavanje neke jednadžbe druge jednadžbe, pomnožene proizvoljnim brojem koji nije nula.
Rješenje SLAE može se pronaći na različite načine, npr. Cramerovim formulama (Cramerova metoda)
Cramerov teorem. Ako je determinanta sustava linearnih algebarskih jednadžbi s nepoznanicama različita od nule, tada taj sustav ima jedinstveno rješenje koje se nalazi prema Cramerovim formulama: 
- odrednice nastale zamjenom -tog stupca, stupac slobodnih članova.
Ako je , a barem jedan od nije nula, tada SLAE nema rješenja. Ako 
, onda SLAE ima mnogo rješenja.
Zadan je sustav od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice. Riješite sustav Cramerovom metodom
Riješenje. 
Odredite determinantu matrice koeficijenata za nepoznanice
Budući da je , tada je zadani sustav jednadžbi konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Izračunajmo determinante:
Pomoću Cramerovih formula nalazimo nepoznanice
Tako 
jedino rješenje sustava.
Dan je sustav od četiri linearne algebarske jednadžbe. Riješite sustav Cramerovom metodom.
Nađimo determinantu matrice koeficijenata za nepoznanice. Da bismo to učinili, proširimo ga prvim redom.
Pronađite komponente determinante:
Zamijenite pronađene vrijednosti u determinantu
Determinanta, dakle, sustav jednadžbi je konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Determinante izračunavamo koristeći Cramerove formule:
Kriteriji evaluacije:
Rad se ocjenjuje ocjenom "3" ako je: jedan od sustava potpuno i točno samostalno riješen.
Rad se ocjenjuje ocjenom "4" ako su: bilo koja dva sustava samostalno potpuno i točno riješena.
Rad se ocjenjuje ocjenom "5" ako su: potpuno i točno samostalno riješena tri sustava.
Cramerova metoda temelji se na korištenju determinanti u rješavanju sustava linearnih jednadžbi. To uvelike ubrzava proces rješenja.
Cramerova metoda može se koristiti za rješavanje sustava onoliko linearnih jednadžbi koliko ima nepoznanica u svakoj jednadžbi. Ako determinanta sustava nije jednaka nuli, tada se u rješenju može koristiti Cramerova metoda, a ako je jednaka nuli, ne može. Osim toga, Cramerova metoda može se koristiti za rješavanje sustava linearnih jednadžbi koje imaju jedinstveno rješenje.
Definicija. Determinanta, sastavljena od koeficijenata nepoznanica, naziva se determinanta sustava i označava se s (delta).
Odrednice
dobivaju se zamjenom koeficijenata pri odgovarajućim nepoznanicama slobodnim članovima:
;
.
Cramerov teorem. Ako je determinanta sustava različita od nule, tada sustav linearnih jednadžbi ima jedno jedino rješenje, a nepoznanica je jednaka omjeru determinanti. Nazivnik je determinanta sustava, a brojnik je determinanta dobivena iz determinante sustava zamjenom koeficijenata s nepoznanicama slobodnim članovima. Ovaj teorem vrijedi za sustav linearnih jednadžbi bilo kojeg reda.
Primjer 1 Riješite sustav linearnih jednadžbi:
Prema Cramerov teorem imamo:
Dakle, rješenje sustava (2):
online kalkulator, Cramerova metoda rješenja.
Tri slučaja u rješavanju sustava linearnih jednadžbi
Kako se vidi iz Cramerovi teoremi, pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi mogu se pojaviti tri slučaja:
Prvi slučaj: sustav linearnih jednadžbi ima jedinstveno rješenje
(sustav je dosljedan i određen)
Drugi slučaj: sustav linearnih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja
(sustav je konzistentan i neodređen)
** 
,
oni. koeficijenti nepoznanica i slobodni članovi su proporcionalni.
Treći slučaj: sustav linearnih jednadžbi nema rješenja
(sustav nedosljedan)
Dakle sustav m linearne jednadžbe sa n varijable se zove nekompatibilan ako nema rješenja, i spojnica ako ima barem jedno rješenje. Zajednički sustav jednadžbi koji ima samo jedno rješenje naziva se određeni, i više od jednog neizvjestan.
Primjeri rješavanja sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom
Neka sustav
.
Na temelju Cramerovog teorema
………….
,
gdje 
-
identifikator sustava. Preostale determinante dobivamo zamjenom stupca s koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznato) slobodnim članovima:
Primjer 2
.
Dakle, sustav je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante
Cramerovim formulama nalazimo:
Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sustava.
Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, metodu rješavanja Cramer.
Ako u sustavu linearnih jednadžbi nema varijabli u jednoj ili više jednadžbi, tada su u determinanti njima odgovarajući elementi jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.
Primjer 3 Riješite sustav linearnih jednadžbi Cramerovom metodom:
.
Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:
Pažljivo pogledajte sustav jednadžbi i determinantu sustava te ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednako nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, dakle, sustav je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznanice
Cramerovim formulama nalazimo:
Dakle, rješenje sustava je (2; -1; 1).
Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, metodu rješavanja Cramer.
Vrh stranice
Nastavljamo zajedno rješavati sustave koristeći Cramer metodu
Kao što je već rečeno, ako je determinanta sustava jednaka nuli, a determinante za nepoznanice nisu jednake nuli, sustav je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Ilustrirajmo sljedećim primjerom.
Primjer 6 Riješite sustav linearnih jednadžbi Cramerovom metodom:
Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:
Determinanta sustava jednaka je nuli, pa je sustav linearnih jednadžbi ili nekonzistentan i određen, ili je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Da pojasnimo, izračunavamo determinante za nepoznanice
Determinante za nepoznanice nisu jednake nuli, stoga je sustav nekonzistentan, odnosno nema rješenja.
Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, metodu rješavanja Cramer.
U zadacima o sustavima linearnih jednadžbi postoje i oni u kojima se uz slova koja označavaju varijable nalaze i druga slova. Ova slova označavaju neki broj, najčešće pravi broj. U praksi takve jednadžbe i sustavi jednadžbi dovode do problema u pronalaženju općih svojstava bilo koje pojave i objekta. Odnosno, izumili ste neki novi materijal ili uređaj, a da biste opisali njegova svojstva, koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili broj kopija, trebate riješiti sustav linearnih jednadžbi, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable stoje slova. Ne morate daleko tražiti primjere.
Sljedeći primjer je za sličan problem, samo se povećava broj jednadžbi, varijabli i slova koja označavaju neki realni broj.
Primjer 8 Riješite sustav linearnih jednadžbi Cramerovom metodom:
Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:
Pronalaženje determinanti za nepoznanice
KOSTROMA PODRUŽNICA VOJNOG SVEUČILIŠTA RCHB ZAŠTITE
Zavod za "Automatizaciju upravljanja i upravljanja"
Samo za učitelje
"Odobravam"
Voditelj odjela br.9
Pukovnik YAKOVLEV A.B.
"____" ______________ 2004
Izvanredni profesor A.I. Smirnova
„ODREĐIVAČI.
RJEŠAVANJE SUSTAVA LINEARNIH JEDNADŽBI"
PREDAVANJE № 2 / 1
Razmotreno na sastanku katedre br.9
"____" ___________ 2004
Protokol br. ___________
Kostroma, 2004.
Uvod
1. Determinante drugog i trećeg reda.
2. Svojstva determinanti. Teorem o dekompoziciji.
3. Cramerov teorem.
Zaključak
Književnost
1. V.E. Schneider et al., Kratki tečaj više matematike, Svezak I, Ch. 2. točka 1.
2. V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, ch.10, p.2.
UVOD
Predavanje se bavi determinantama drugog i trećeg reda, njihovim svojstvima. Kao i Cramerov teorem koji omogućuje rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću determinanti. Determinante se također koriste kasnije u temi "Vektorska algebra" kada se računa umnožak vektora.
1. studijsko pitanje KVALIFIKACIJE DRUGOG I TREĆEG
NARUDŽBA
Razmotrimo tablicu od četiri broja obrasca
Brojevi u tablici označeni su slovom s dva indeksa. Prvi indeks označava broj retka, drugi indeks označava broj stupca.
DEFINICIJA 1.Odrednica drugog reda nazvaoizrazljubazan:
(1)Brojke a 11, …, a 22 nazivaju se elementi determinante.
Dijagonala koju čine elementi a 11 ; a 22 naziva se glavna, a dijagonala koju čine elementi a 12 ; a 21 - sa strane.
Dakle, determinanta drugog reda jednaka je razlici umnožaka elemenata glavne i sporedne dijagonale.
Imajte na umu da je odgovor broj.
PRIMJERI. Izračunati:
Razmotrimo sada tablicu od devet brojeva napisanih u tri retka i tri stupca:
DEFINICIJA 2. Odrednica trećeg reda naziva se izraz forme:
Elementi a 11; a 22 ; a 33 - čine glavnu dijagonalu.
Brojke a 13; a 22 ; a 31 - čine bočnu dijagonalu.
Prikažimo shematski kako nastaju članovi s plusom i minusom:
" + " " – "Plus uključuje: umnožak elemenata na glavnoj dijagonali, druga dva pojma su umnožak elemenata smještenih na vrhovima trokuta s bazama paralelnim s glavnom dijagonalom.
Članovi s minusom formiraju se na isti način u odnosu na sekundarnu dijagonalu.
Ovo pravilo za izračunavanje determinante trećeg reda zove se
pravo
PRIMJERI. Izračunaj po pravilu trokuta:
KOMENTAR. Determinante se još nazivaju i determinante.
2. studijsko pitanje SVOJSTVA DETERMINatora.
TEOREM EKSPANZIJE
Svojstvo 1. Vrijednost determinante neće se promijeniti ako se njezini redovi zamijene odgovarajućim stupcima.
.Proširujući obje odrednice, uvjeravamo se u valjanost jednakosti.
Svojstvo 1 postavlja jednakost redaka i stupaca determinante. Stoga će sva daljnja svojstva determinante biti formulirana i za retke i za stupce.
Svojstvo 2. Kada se dva retka (ili stupca) zamijene, determinanta mijenja predznak u suprotan, zadržavajući apsolutnu vrijednost.
.Svojstvo 3. Zajednički množitelj elemenata retka(ili stupac)može se izvaditi iz predznaka determinante.
.Svojstvo 4. Ako determinanta ima dva identična retka (ili stupca), tada je jednaka nuli.
Ovo se svojstvo može dokazati izravnom provjerom ili se može koristiti svojstvo 2.
Determinantu označimo s D. Kad se dva identična prvog i drugog retka zamijene, ona se neće promijeniti, a po drugom svojstvu mora promijeniti predznak, tj.
D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.
Svojstvo 5. Ako su svi elementi nekog niza(ili stupac)su nula, onda je determinanta nula.
Ovo se svojstvo može smatrati posebnim slučajem svojstva 3 uz
Svojstvo 6. Ako elementi dva reda(odnosno stupaca)determinanta proporcionalna, tada je determinanta nula.
.Može se dokazati izravnom provjerom ili korištenjem svojstava 3 i 4.
Svojstvo 7. Vrijednost determinante se ne mijenja ako se elementi bilo kojeg retka (ili stupca) dodaju odgovarajućim elementima drugog retka (ili stupca), pomnoženim s istim brojem.
.Dokazuje se izravnom provjerom.
Korištenje ovih svojstava može u nekim slučajevima olakšati proces izračunavanja determinanti, posebno trećeg reda.
Za ono što slijedi potrebni su nam koncepti minora i algebarskog komplementa. Razmotrite ove koncepte kako biste definirali treći red.
DEFINICIJA 3. Minor zadanog elementa determinante trećeg reda naziva se determinanta drugog reda dobivena iz zadanog brisanjem retka i stupca u čijem sjecištu stoji zadani element.
Sporedni element ajaj označeno Mjaj. Dakle za element a 11 manji
Dobiva se brisanjem prvog retka i prvog stupca u determinanti trećeg reda.
DEFINICIJA 4. Algebarski komplement elementa determinante nazovite to minor pomnožen sa(-1)k, gdjek- zbroj brojeva redaka i stupaca u čijem se sjecištu nalazi dati element.
Algebarsko zbrajanje elemenata ajaj označeno ALIjaj.
Na ovaj način, ALIjaj =
.Napišimo algebarske komplemente za elemente a 11 i a 12.
. .Korisno je zapamtiti pravilo: algebarski komplement elementa determinante jednak je njegovom minoru s predznakom plus, ako je zbroj brojeva redaka i stupaca u kojima se element nalazi, čak, i sa znakom minus ako ovaj iznos neparan.
PRIMJER. Nađite minore i algebarske komplemente za elemente prvog reda determinante:
Jasno je da se minori i algebarski komplementi mogu razlikovati samo predznakom.
Razmotrimo bez dokaza važnu teoremu - teorem proširenja determinante.
TEOREM EKSPANZIJE
Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata bilo kojeg retka ili stupca i njihovih algebarskih komplemenata.
Koristeći ovaj teorem, u prvi redak upisujemo proširenje determinante trećeg reda.
.Prošireno:
.Posljednja formula može se koristiti kao glavna pri izračunavanju determinante trećeg reda.
Teorem o dekompoziciji omogućuje nam da svedemo izračun determinante trećeg reda na izračun triju determinanti drugog reda.
Teorem o dekompoziciji daje drugi način za izračunavanje determinanti trećeg reda.
PRIMJERI. Izračunaj determinantu pomoću teorema o dekompoziciji.
Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) nedvojbeno je najvažnija tema kolegija linearne algebre. Veliki broj problema iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Ovi čimbenici objašnjavaju razlog za stvaranje ovog članka. Građa članka odabrana je i strukturirana tako da uz pomoć nje možete
- odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sustava linearnih algebarskih jednadžbi,
- proučiti teoriju odabrane metode,
- riješite svoj sustav linearnih jednadžbi, detaljno razmotrivši rješenja tipičnih primjera i problema.
Kratak opis materijala članka.
Prvo dajemo sve potrebne definicije, pojmove i uvodimo neke oznake.
Zatim razmatramo metode za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednadžbi jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo, usredotočimo se na Cramerovu metodu, drugo, prikazat ćemo matričnu metodu za rješavanje ovakvih sustava jednadžbi, i treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metoda uzastopne eliminacije nepoznatih varijabli). Da bismo učvrstili teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.
Nakon toga prelazimo na rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika, u kojima se broj jednadžbi ne poklapa s brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sustava degenerirana. Formuliramo Kronecker-Capellijev teorem, koji nam omogućuje utvrđivanje kompatibilnosti SLAE. Analizirajmo rješenje sustava (u slučaju njihove kompatibilnosti) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.
Obavezno se zadržite na strukturi općeg rješenja homogenih i nehomogenih sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Dajmo koncept temeljnog sustava rješenja i pokažimo kako se opće rješenje SLAE piše korištenjem vektora temeljnog sustava rješenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.
Zaključno, razmatramo sustave jednadžbi koje se svode na linearne, kao i različite probleme u čijem rješavanju nastaju SLAE.
Navigacija po stranici.
Definicije, pojmovi, oznake.
Razmotrit ćemo sustave od p linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika
Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni članovi (također realni ili kompleksni brojevi).
Ovaj oblik SLAE naziva se Koordinirati.
NA matrični oblik ovaj sustav jednadžbi ima oblik,
gdje 
- glavna matrica sustava, - matrica-stupac nepoznatih varijabli, - matrica-stupac slobodnih članova.
Ako matrici A kao (n + 1)-tom stupcu dodamo matricu-stupac slobodnih članova, tada dobivamo tzv. proširena matrica sustavi linearnih jednadžbi. Obično se proširena matrica označava slovom T, a kolona slobodnih članova je okomitom crtom odvojena od ostalih kolona, tj. 
Rješavanjem sustava linearnih algebarskih jednadžbi naziva se skup vrijednosti nepoznatih varijabli, koji sve jednadžbe sustava pretvara u identitete. Matrična jednadžba za zadane vrijednosti nepoznatih varijabli također se pretvara u identitet.
Ako sustav jednadžbi ima barem jedno rješenje, tada se zove spojnica.
Ako sustav jednadžbi nema rješenja, tada se naziva nekompatibilan.
Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, tada se ono naziva određeni; ako postoji više od jednog rješenja, tada - neizvjestan.
Ako su slobodni članovi svih jednadžbi sustava jednaki nuli 
, tada se sustav poziva homogena, inače - heterogena.
Rješavanje elementarnih sustava linearnih algebarskih jednadžbi.
Ako je broj jednadžbi sustava jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada ćemo takve SLAE nazvati elementarni. Takvi sustavi jednadžbi imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sustava sve nepoznate varijable jednake su nuli.
Počeli smo učiti takav SLAE u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja uzeli smo jednu jednadžbu, izrazili jednu nepoznatu varijablu kroz druge i zamijenili je u preostale jednadžbe, zatim uzeli sljedeću jednadžbu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednadžbe, i tako dalje. Ili su koristili metodu zbrajanja, odnosno zbrajali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, budući da su one u biti modifikacije Gaussove metode.
Glavne metode za rješavanje elementarnih sustava linearnih jednadžbi su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Razvrstajmo ih.
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.
Trebamo riješiti sustav linearnih algebarskih jednadžbi 
u kojoj je broj jednadžbi jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta glavne matrice sustava različita od nule, odnosno .
Neka je determinanta glavne matrice sustava, i 
su determinante matrica koje se dobivaju iz A zamjenom 1., 2., …, n-ti stupcu odnosno stupcu slobodnih članova: 
Uz takav zapis, nepoznate varijable izračunavaju se formulama Cramerove metode kao 
. Tako se Cramerovom metodom nalazi rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.
Primjer.
Cramer metoda 
.
Riješenje.
Glavna matrica sustava ima oblik 
. Izračunajte njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak): 
Budući da je determinanta glavne matrice sustava različita od nule, sustav ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći Cramerovom metodom.
Sastavi i izračunaj potrebne odrednice 
(determinanta se dobiva zamjenom prvog stupca u matrici A stupcem slobodnih članova, determinanta - zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih članova, - zamjenom trećeg stupca matrice A stupcem slobodnih članova ): 
Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula 
:
Odgovor:
Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednadžbi sustava veći od tri.
Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
Neka je sustav linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, gdje matrica A ima dimenziju n puta n i njena determinanta je različita od nule.
Kako je , tada je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica . Ako oba dijela jednakosti pomnožimo s lijevo, tada dobivamo formulu za pronalaženje stupca matrice nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom.
Primjer.
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi matrična metoda.
Riješenje.
Prepišimo sustav jednadžbi u matričnom obliku: 
Jer
tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sustava može se pronaći kao 
.
Izgradimo inverznu matricu pomoću matrice algebarskih komplemenata elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak): 
Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice 
na stupcu matrice slobodnih članova (po potrebi pogledajte članak): 
Odgovor:
ili u drugom zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Glavni problem u pronalaženju rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda višeg od trećeg.
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.
Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje za sustav od n linearnih jednadžbi s n nepoznatih varijabli 
čija je determinanta glavne matrice različita od nule.
Suština Gaussove metode sastoji se u uzastopnom isključivanju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednadžbi, počevši od treće, i tako dalje, sve dok samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednadžbi. Takav proces transformacije jednadžbi sustava za uzastopnu eliminaciju nepoznatih varijabli naziva se izravna Gaussova metoda. Nakon dovršetka napredovanja Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednadžbe, x n-1 se izračunava iz pretposljednje jednadžbe koristeći ovu vrijednost, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednadžbe. Proces izračuna nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sustava na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.
Opišimo ukratko algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.
Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednadžbi sustava. Nepoznatu varijablu x 1 isključujemo iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge. Da biste to učinili, dodajte prvu jednadžbu pomnoženu s drugoj jednadžbi sustava, dodajte prvu pomnoženu s trećoj jednadžbi i tako dalje, dodajte prvu pomnoženu s n-toj jednadžbi. Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik 
gdje 
.
Do istog bismo rezultata došli kad bismo izrazili x 1 u smislu drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednadžbi sustava i zamijenili dobiveni izraz u sve ostale jednadžbe. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednadžbi, počevši od druge.
Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom dobivenog sustava koji je označen na slici 
Da biste to učinili, dodajte sekundu pomnoženu s trećoj jednadžbi sustava, dodajte drugu pomnoženu s četvrtoj jednadžbi i tako dalje, dodajte sekundu pomnoženu s n-toj jednadžbi. Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik 
gdje 
. Time je varijabla x 2 isključena iz svih jednadžbi, počevši od treće.
Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznate x 3, a slično postupamo s dijelom sustava označenim na slici 
Dakle, nastavljamo direktni tijek Gaussove metode sve dok sustav ne poprimi oblik 
Od tog trenutka počinjemo obrnuti tijek Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednadžbe kao , pomoću dobivene vrijednosti x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednadžbe, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednadžba.
Primjer.
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussova metoda.
Riješenje.
Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednadžbe sustava. Da bismo to učinili, oba dijela druge i treće jednadžbe dodamo odgovarajuće dijelove prve jednadžbe, pomnožene sa i sa, redom: 
Sada isključujemo x 2 iz treće jednadžbe dodavanjem lijevog i desnog dijela druge jednadžbe, pomnoženo s: 
Na ovome je prednji tijek Gaussove metode završen, počinjemo obrnuti tijek.
Iz posljednje jednadžbe dobivenog sustava jednadžbi nalazimo x 3: 
Iz druge jednadžbe dobivamo .
Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time završavamo obrnuti tijek Gaussove metode.
Odgovor:
X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.
Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.
U općem slučaju, broj jednadžbi sustava p ne podudara se s brojem nepoznatih varijabli n:
Takvi SLAE mogu imati rješenja, imati jedno rješenje ili imati beskonačno mnogo rješenja. Ova se izjava također odnosi na sustave jednadžbi čija je glavna matrica kvadratna i degenerirana.
Kronecker-Capellijev teorem.
Prije pronalaska rješenja sustava linearnih jednadžbi potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekompatibilan daje Kronecker–Capellijev teorem:
da bi sustav od p jednadžbi s n nepoznanica (p može biti jednako n) bio konzistentan potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sustava bude jednak rangu proširene matrice, odnosno Rank( A)=Rang(T) .
Razmotrimo kao primjer primjenu Kronecker-Cappellijevog teorema za određivanje kompatibilnosti sustava linearnih jednadžbi.
Primjer.
Utvrdite ima li sustav linearnih jednadžbi 
rješenja.
Riješenje.
. Upotrijebimo metodu rubnih minora. Minor drugog reda 
različit od nule. Prijeđimo na minore trećeg reda koji ga okružuju: 
Budući da su svi rubni minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je dva.
Zauzvrat, rang proširene matrice 
jednako je tri, budući da je minor trećeg reda 
različit od nule.
Na ovaj način, Rang(A), dakle, prema Kronecker-Capellijevom teoremu, možemo zaključiti da je izvorni sustav linearnih jednadžbi nekonzistentan.
Odgovor:
Ne postoji sustav rješenja.
Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sustava pomoću Kronecker-Capellijevog teorema.
Ali kako pronaći rješenje SLAE ako je njegova kompatibilnost uspostavljena?
Da bismo to učinili, potreban nam je koncept minora baze matrice i teorem o rangu matrice.
Naziva se minor najvišeg reda matrice A, različit od nule Osnovni, temeljni.
Iz definicije baznog minora proizlazi da je njegov red jednak rangu matrice. Za matricu A različitu od nule može postojati nekoliko bazičnih minora; uvijek postoji jedan bazični minor.
Na primjer, razmotrite matricu 
.
Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg retka ove matrice zbroj odgovarajućih elemenata prvog i drugog retka.
Sljedeći minori drugog reda su bazični jer nisu nula 
Maloljetnici 
nisu bazične, jer su jednake nuli.
Teorem o rangu matrice.
Ako je rang matrice reda p prema n jednak r, tada su svi elementi redaka (i stupaca) matrice koji ne tvore odabrani bazni minor linearno izraženi kroz odgovarajuće elemente redaka (i stupaca) ) koji čine bazu minor.
Što nam daje teorem o rangu matrice?
Ako smo Kronecker-Capellijevim teoremom utvrdili kompatibilnost sustava, tada biramo bilo koji osnovni minor glavne matrice sustava (njegov je red jednak r), a iz sustava isključujemo sve jednadžbe koje ne tvore odabrani osnovni mol. SLAE dobiven na ovaj način bit će ekvivalentan izvornom, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremu o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednadžbi).
Kao rezultat toga, nakon odbacivanja suvišnih jednadžbi sustava, moguća su dva slučaja.
Ako je broj jednadžbi r u rezultirajućem sustavu jednak broju nepoznatih varijabli, tada će on biti određen i jedino rješenje može se pronaći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.
Primjer.
.
Riješenje.
Rang glavne matrice sustava 
jednako je dva, budući da je minor drugog reda 
različit od nule. Prošireni rang matrice 
također je jednako dva, budući da je jedini minor trećeg reda jednak nuli 
a minor drugog reda razmatran gore je različit od nule. Na temelju Kronecker-Capellijevog teorema, može se tvrditi kompatibilnost izvornog sustava linearnih jednadžbi, jer Rank(A)=Rank(T)=2 .
Kao sporednu osnovu uzimamo . Formiraju ga koeficijenti prve i druge jednadžbe: 
Treća jednadžba sustava ne sudjeluje u formiranju osnovnog minora, pa je isključujemo iz sustava na temelju teorema o rangu matrice: 
Tako smo dobili elementarni sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Riješimo to Cramerovom metodom: 
Odgovor:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Ako je broj jednadžbi r u rezultirajućem SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, tada članove koji čine osnovni minor ostavljamo u lijevim dijelovima jednadžbi, a preostale članove prenosimo u desne dijelove jednadžbi. sustava suprotnog predznaka.
Nepoznate varijable (ima ih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbi nazivaju se glavni.
Pozivaju se nepoznate varijable (ima ih n - r) koje su završile na desnoj strani besplatno.
Sada pretpostavljamo da slobodne nepoznate varijable mogu poprimiti proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli na jedinstven način. Njihov se izraz može pronaći rješavanjem dobivenog SLAE Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.
Uzmimo primjer.
Primjer.
Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi 
.
Riješenje.
Odredite rang glavne matrice sustava 
metodom graničnih maloljetnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao minor prvog reda različit od nule. Počnimo tražiti minor drugog reda različit od nule koji okružuje ovaj minor: 
Dakle, pronašli smo minor drugog reda različit od nule. Počnimo tražiti rubni minor trećeg reda koji nije nula: 
Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice također je jednak tri, odnosno sustav je konzistentan.
Pronađeni minor trećeg reda različit od nule uzet će se kao osnovni.
Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor: 
Članove koji sudjeluju u osnovnom minoru ostavljamo na lijevoj strani jednadžbi sustava, a ostale suprotnih predznaka prenosimo na desne strane: 
Slobodnim nepoznatim varijablama x 2 i x 5 dajemo proizvoljne vrijednosti, odnosno uzimamo 
, gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE ima oblik 
Dobiveni elementarni sustav linearnih algebarskih jednadžbi rješavamo Cramerovom metodom: 
Posljedično,.
U odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.
Odgovor:
Gdje su proizvoljni brojevi.
Rezimirati.
Da bismo riješili sustav linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika, prvo ćemo utvrditi njegovu kompatibilnost pomoću Kronecker-Capellijevog teorema. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, tada zaključujemo da je sustav nekonzistentan.
Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo osnovni minor i odbacujemo jednadžbe sustava koje ne sudjeluju u formiranju izabranog osnovnog minora.
Ako je poredak minora baze jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći bilo kojom nama poznatom metodom.
Ako je poredak baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada članove s glavnim nepoznatim varijablama ostavljamo na lijevoj strani jednadžbi sustava, preostale članove prenosimo na desne strane i dodjeljujemo proizvoljne vrijednosti na slobodne nepoznate varijable. Iz dobivenog sustava linearnih jednadžbi nalazimo glavne nepoznate varijable Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.
Gaussova metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.
Koristeći Gaussovu metodu, mogu se riješiti sustavi linearnih algebarskih jednadžbi bilo koje vrste bez njihovog prethodnog ispitivanja kompatibilnosti. Proces sukcesivne eliminacije nepoznatih varijabli omogućuje izvođenje zaključaka o kompatibilnosti i nedosljednosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućuje njegovo pronalaženje.
Sa stajališta računalnog rada prednost daje Gaussova metoda.
Detaljan opis i analizirane primjere pogledajte u članku Gaussova metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.
Snimanje općeg rješenja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sustava pomoću vektora temeljnog sustava rješenja.
U ovom odjeljku ćemo se usredotočiti na zajedničke homogene i nehomogene sustave linearnih algebarskih jednadžbi koje imaju beskonačan broj rješenja.
Pozabavimo se prvo homogenim sustavima.
Temeljni sustav odlučivanja Homogeni sustav od p linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznatih varijabli skup je (n – r) linearno neovisnih rješenja tog sustava, gdje je r red baznog minora glavne matrice sustava.
Ako linearno neovisna rješenja homogenog SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su stupci matrice dimenzije n pomoću 1 ) , tada se opće rješenje ovog homogenog sustava prikazuje kao linearna kombinacija vektora temeljnog sustava rješenja s proizvoljnim konstantnim koeficijentima S 1 , S 2 , …, S (n-r), odnosno .
Što znači pojam opće rješenje homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi (oroslau)?
Značenje je jednostavno: formula specificira sva moguća rješenja izvornog SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , prema formuli koju dobit će jedno od rješenja izvornog homogenog SLAE.
Stoga, ako pronađemo temeljni sustav rješenja, tada možemo postaviti sva rješenja ovog homogenog SLAE kao .
Pokažimo proces konstruiranja temeljnog sustava rješenja za homogeni SLAE.
Biramo osnovni minor izvornog sustava linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednadžbe iz sustava, a na desnu stranu jednadžbi sustava suprotnih predznaka prenosimo sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable. Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sustava linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, Cramerovom metodom. Tako će se dobiti X (1) - prvo rješenje fundamentalnog sustava. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznanice, tada ćemo dobiti X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama damo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznanice, tada ćemo dobiti X (n-r) . Tako će se konstruirati temeljni sustav rješenja homogene SLAE čije se opće rješenje može napisati u obliku .
Za nehomogene sustave linearnih algebarskih jednadžbi opće rješenje se prikazuje kao
Pogledajmo primjere.
Primjer.
Naći temeljni sustav rješenja i opće rješenje homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi 
.
Riješenje.
Rang glavne matrice homogenih sustava linearnih jednadžbi uvijek je jednak rangu proširene matrice. Nađimo rang glavne matrice metodom rubnih sporednih. Kao minor različit od nule prvog reda uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sustava. Pronađite rubni minor drugog reda različit od nule: 
Nađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji graniče s njim u potrazi za jedinicom koja nije nula: 
Svi rubni minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice dva. Uzmimo osnovni minor. Radi jasnoće, bilježimo elemente sustava koji ga čine: 
Treća jednadžba izvornog SLAE ne sudjeluje u formiranju osnovnog minora, stoga se može isključiti: 
Članove koji sadrže glavne nepoznanice ostavljamo na desnim stranama jednadžbi, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:
Konstruirajmo temeljni sustav rješenja izvornog homogenog sustava linearnih jednadžbi. Temeljni sustav rješenja ovog SLAE sastoji se od dva rješenja, budući da izvorni SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a redoslijed njegovog osnovnog minora je dva. Da bismo pronašli X (1), slobodnim nepoznatim varijablama dajemo vrijednosti x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a zatim nalazimo glavne nepoznanice iz sustava jednadžbi 
.
Riješimo to Cramerovom metodom: 
Na ovaj način, .
Sada sagradimo X (2) . Da bismo to učinili, slobodnim nepoznatim varijablama dajemo vrijednosti x 2 \u003d 0, x 4 \u003d 1, a zatim pronalazimo glavne nepoznanice iz sustava linearnih jednadžbi 
.
Upotrijebimo ponovno Cramerovu metodu: 
Dobivamo .
Tako smo dobili dva vektora temeljnog sustava rješenja i , sada možemo napisati opće rješenje homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi: 
, gdje su C 1 i C 2 proizvoljni brojevi., jednaki su nuli. Također uzimamo minor kao osnovni, treću jednadžbu isključujemo iz sustava, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane jednadžbi sustava: 
Da bismo pronašli, slobodnim nepoznatim varijablama dajemo vrijednosti x 2 \u003d 0 i x 4 \u003d 0, tada sustav jednadžbi ima oblik 
, iz koje nalazimo glavne nepoznate varijable koristeći Cramer metodu: 
Imamo 
, Posljedično, 
gdje su C 1 i C 2 proizvoljni brojevi.
Treba napomenuti da rješenja neodređenog homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi generiraju linearni prostor Riješenje.
Kanonska jednadžba elipsoida u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu ima oblik 
. Naš zadatak je odrediti parametre a, b i c. Budući da elipsoid prolazi kroz točke A, B i C, onda bi se pri zamjeni njihovih koordinata u kanoničku jednadžbu elipsoida trebao pretvoriti u identitet. Tako dobivamo sustav od tri jednadžbe: 
Označiti 
, tada sustav postaje sustav linearnih algebarskih jednadžbi 
.
Izračunajmo determinantu glavne matrice sustava: 
Budući da nije nula, rješenje možemo pronaći Cramerovom metodom:
). Očito, x = 0 i x = 1 su korijeni ovog polinoma. količnik od dijeljenja 
na 
je . Dakle, imamo dekompoziciju i izvorni izraz će poprimiti oblik 
.
Poslužimo se metodom neodređenih koeficijenata. 
Izjednačavanjem odgovarajućih koeficijenata brojnika dolazimo do sustava linearnih algebarskih jednadžbi 
. Njegovo rješenje će nam dati željene neodređene koeficijente A, B, C i D.
Sustav rješavamo Gaussovom metodom: 
U obrnutom tijeku Gaussove metode nalazimo D = 0, C = -2, B = 1, A = 1 .
Dobivamo 
Odgovor:
.
