Odredite udaljenost od ravnine do ishodišta. Udaljenost od točke do ravnine: definicija i primjeri nalaženja. Udaljenost od točke do ravnine - teorija, primjeri, rješenja

U ovom ćemo članku definirati udaljenost od točke do ravnine i analizirati koordinatnu metodu koja vam omogućuje pronalaženje udaljenosti od zadane točke do zadane ravnine u trodimenzionalnom prostoru. Nakon izlaganja teorije, detaljno ćemo analizirati rješenja nekoliko tipičnih primjera i problema.

Navigacija po stranici.

Udaljenost od točke do ravnine je definicija.

Udaljenost od točke do ravnine određena je kroz , od kojih je jedna zadana točka, a druga je projekcija zadane točke na zadanu ravninu.

Neka su u trodimenzionalnom prostoru zadane točka M 1 i ravnina. Povucimo kroz točku M 1 ravnu liniju a okomitu na ravninu. Označimo točku presjeka pravca a i ravnine s H 1 . Segment M 1 H 1 naziva se okomito, spuštena iz točke M 1 na ravninu , a točka H 1 - osnovica okomice.

Definicija.

je udaljenost od dane točke do osnovice okomice povučene iz dane točke na danu ravninu.

Definicija udaljenosti od točke do ravnine je češća u sljedećem obliku.

Definicija.

Udaljenost od točke do ravnine je duljina okomice spuštene iz dane točke na danu ravninu.

Treba napomenuti da je ovako određena udaljenost od točke M 1 do ravnine najmanja od udaljenosti od zadane točke M 1 do bilo koje točke ravnine . Doista, neka točka H 2 leži u ravnini i neka je različita od točke H 1 . Očito, trokut M 2 H 1 H 2 je pravokutan, u njemu je M 1 H 1 kateta, a M 1 H 2 hipotenuza, dakle, . Usput, segment M 1 H 2 se zove kosi povučena iz točke M 1 na ravninu. Dakle, okomica spuštena iz dane točke na danu ravninu uvijek je manja od nagnute povučene iz iste točke na danu ravninu.

Udaljenost od točke do ravnine - teorija, primjeri, rješenja.

Neki geometrijski problemi u nekoj fazi rješenja zahtijevaju određivanje udaljenosti od točke do ravnine. Metoda za to odabire se ovisno o izvornim podacima. Obično je rezultat uporaba ili Pitagorinog poučka ili znakova jednakosti i sličnosti trokuta. Ako trebate pronaći udaljenost od točke do ravnine, koje su dane u trodimenzionalnom prostoru, tada koordinatna metoda dolazi u pomoć. U ovom odlomku članka samo ćemo ga analizirati.

Prvo formuliramo uvjet problema.

U pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru zadana je točka , ravnina i potrebno je pronaći udaljenost od točke M 1 do ravnine.

Pogledajmo dva načina rješavanja ovog problema. Prva metoda, koja vam omogućuje izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine, temelji se na pronalaženju koordinata točke H 1 - baze okomice ispuštene iz točke M 1 na ravninu, a zatim izračunavanju udaljenosti između točaka M 1 i H 1 . Drugi način da se pronađe udaljenost od dane točke do dane ravnine uključuje korištenje normalne jednadžbe za danu ravninu.

Prvi način za izračunavanje udaljenosti od točke do aviona.

Neka je H 1 osnovica okomice povučene iz točke M 1 na ravninu. Ako odredimo koordinate točke H 1, tada se tražena udaljenost od točke M 1 do ravnine može izračunati kao udaljenost između točaka. i prema formuli . Dakle, ostaje pronaći koordinate točke H 1 .

Tako, algoritam za određivanje udaljenosti od točke do aviona Sljedeći:

Druga metoda, pogodna za pronalaženje udaljenosti od točke do aviona.

Budući da nam je dana ravnina u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz, možemo dobiti normalnu jednadžbu ravnine u obliku. Zatim udaljenost od točke na ravninu izračunava se po formuli . Valjanost ove formule za određivanje udaljenosti od točke do ravnine utvrđena je sljedećim teoremom.

Teorema.

Neka je pravokutni koordinatni sustav Oxyz fiksiran u trodimenzionalnom prostoru, točki a normalna jednadžba ravnine oblika . Udaljenost od točke M 1 do ravnine jednaka je apsolutnoj vrijednosti vrijednosti izraza na lijevoj strani normalne jednadžbe ravnine, izračunatoj na , odnosno .

Dokaz.

Dokaz ovog teorema je apsolutno sličan dokazu sličnog teorema danom u odjeljku Određivanje udaljenosti od točke do pravca.

Lako je pokazati da je udaljenost od točke M 1 do ravnine jednaka modulu razlike numeričke projekcije M 1 i udaljenosti od ishodišta do ravnine, tj. , gdje - normalni vektor ravnine jednak je jedinici, - na smjer određen vektorom .

i po definiciji je , ali u koordinatnom obliku . Stoga, i kako je potrebno dokazati.

Na ovaj način, udaljenost od točke na ravninu može se izračunati zamjenom koordinata x 1 , y 1 i z 1 točke M 1 umjesto x, y i z u lijevu stranu normalne jednadžbe ravnine i uzimanjem apsolutne vrijednosti dobivene vrijednosti .

Primjeri određivanja udaljenosti od točke do aviona.

Primjer.

Pronađite udaljenost od točke do aviona.

Riješenje.

Prvi način.

U uvjetu zadatka dana nam je opća jednadžba ravnine oblika , iz koje se vidi da je vektor normale ove ravnine. Taj se vektor može uzeti kao usmjerivač pravca a okomitog na zadanu ravninu. Tada možemo napisati kanonske jednadžbe pravca u prostoru koji prolazi kroz točku i ima vektor smjera s koordinatama, izgledaju kao.

Počnimo pronaći koordinate točke sjecišta linije i avioni. Označimo ga H 1 . Da bismo to učinili, prvo izvodimo prijelaz s kanonskih jednadžbi ravne linije na jednadžbe dviju ravnina koje se sijeku:

Sada riješimo sustav jednadžbi (ako je potrebno, pogledajte članak). Koristimo:

Na ovaj način, .

Preostaje izračunati potrebnu udaljenost od zadane točke do zadane ravnine kao udaljenost između točaka i :
.

Drugo rješenje.

Dobijmo normalnu jednadžbu zadane ravnine. Da bismo to učinili, moramo dovesti opću jednadžbu ravnine u normalni oblik. Odredivši faktor normalizacije , dobivamo normalnu jednadžbu ravnine . Ostaje izračunati vrijednost lijeve strane dobivene jednadžbe za i uzeti modul dobivene vrijednosti - to će dati željenu udaljenost od točke Gornja traka:

Ovaj članak govori o određivanju udaljenosti od točke do ravnine. analizirajmo koordinatnu metodu, koja će nam omogućiti da pronađemo udaljenost od zadane točke u trodimenzionalnom prostoru. Za konsolidaciju razmotrite primjere nekoliko zadataka.

Udaljenost od točke do ravnine nalazi se pomoću poznate udaljenosti od točke do točke, pri čemu je jedna od njih zadana, a druga je projekcija na zadanu ravninu.

Kad je u prostoru dana točka M 1 s ravninom χ, tada se kroz točku može povući pravac okomit na ravninu. H 1 je zajednička točka njihovog sjecišta. Odavde dobivamo da je isječak M 1 H 1 okomica koja je povučena iz točke M 1 na ravninu χ, gdje je točka H 1 osnovica okomice.

Definicija 1

Nazivaju udaljenost od dane točke do podnožja okomice, koja je povučena iz dane točke na danu ravninu.

Definicija se može napisati u različitim formulacijama.

Definicija 2

Udaljenost od točke do ravnine zove se duljina okomice, koja je povučena iz dane točke na danu ravninu.

Udaljenost od točke M 1 do ravnine χ definirana je na sljedeći način: udaljenost od točke M 1 do ravnine χ bit će najmanja od dane točke do bilo koje točke u ravnini. Ako se točka H 2 nalazi u ravnini χ i nije jednaka točki H 2, tada dobivamo pravokutni trokut oblika M 2 H 1 H 2 , koji je pravokutan, gdje se nalazi krak M 2 H 1, M 2 H 2 - hipotenuza. Dakle, ovo implicira da je M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 smatra se nagnutom, koja je povučena iz točke M 1 na ravninu χ. Imamo da je okomica povučena iz dane točke na ravninu manja od nagnute povučene iz točke na danu ravninu. Razmotrite ovaj slučaj na donjoj slici.

Udaljenost od točke do ravnine - teorija, primjeri, rješenja

Postoji niz geometrijskih problema čija rješenja moraju sadržavati udaljenost točke od ravnine. Načini da se to otkrije mogu biti različiti. Za rješavanje upotrijebite Pitagorin poučak ili sličnost trokuta. Kada je prema uvjetu potrebno izračunati udaljenost od točke do ravnine, zadane u pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora, rješavaju koordinatnom metodom. Ovaj se odlomak bavi ovom metodom.

Prema uvjetu zadatka, imamo da je zadana točka u trodimenzionalnom prostoru s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) s ravninom χ, potrebno je odrediti udaljenost od M 1 do ravnina χ. Za rješavanje se koristi nekoliko rješenja.

Prvi način

Ova se metoda temelji na pronalaženju udaljenosti od točke do ravnine pomoću koordinata točke H 1, koje su osnovica okomice iz točke M 1 na ravninu χ. Zatim morate izračunati udaljenost između M 1 i H 1.

Za rješavanje problema na drugi način koristi se normalna jednadžba zadane ravnine.

Drugi način

Po uvjetu imamo da je H 1 osnovica okomice koja je spuštena iz točke M 1 na ravninu χ. Zatim odredimo koordinate (x 2, y 2, z 2) točke H 1. Željena udaljenost od M 1 do ravnine χ nalazi se formulom M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, gdje je M 1 (x 1, y 1, z 1) i H 1 (x 2, y 2, z 2). Da biste riješili, morate znati koordinate točke H 1.

Imamo da je H 1 presječna točka ravnine χ s pravcem a, koji prolazi kroz točku M 1 okomitu na ravninu χ. Iz toga slijedi da je potrebno formulirati jednadžbu pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravninu. Tada možemo odrediti koordinate točke H 1 . Potrebno je izračunati koordinate točke presjeka pravca i ravnine.

Algoritam za određivanje udaljenosti od točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravnine χ:

Definicija 3

• sastaviti jednadžbu pravca a koji prolazi točkom M 1 i ujedno
• okomito na χ ravninu;
• pronaći i izračunati koordinate (x 2, y 2, z 2) točke H 1, koje su točke
• presjek pravca a s ravninom χ ;
• izračunajte udaljenost od M 1 do χ pomoću formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Treći način

U zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu O x y z nalazi se ravnina χ, tada dobivamo normalnu jednadžbu ravnine oblika cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Odavde dobivamo da je udaljenost M 1 H 1 s točkom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) povučena na ravninu χ, izračunata formulom M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Ova formula je valjana jer je uspostavljena zahvaljujući teoremu.

Teorema

Ako je točka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) dana u trodimenzionalnom prostoru, koja ima normalnu jednadžbu χ ravnine oblika cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, tada se izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine M 1 H 1 izvodi iz formule M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, budući da je x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Dokaz

Dokaz teorema svodi se na određivanje udaljenosti od točke do pravca. Odavde dobivamo da je udaljenost od M 1 do χ ravnine modul razlike numeričke projekcije radijus vektora M 1 s udaljenosti od ishodišta do χ ravnine. Tada dobivamo izraz M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Vektor normale ravnine χ ima oblik n → = cos α , cos β , cos γ , a duljina mu je jednaka jedinici, n p n → O M → je numerička projekcija vektora O M → = (x 1 , y 1 , z 1) u smjeru određenom vektorom n → .

Primijenimo formulu za izračunavanje skalarnih vektora. Tada dobivamo izraz za nalaženje vektora oblika n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → , budući da je n → = cos α , cos β , cos γ z i O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Koordinatni oblik zapisa poprimit će oblik n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, zatim M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorem je dokazan.

Odavde dobivamo da se udaljenost od točke M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravnine χ izračunava zamjenom u lijevu stranu normalne jednadžbe ravnine cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 umjesto x, y, z koordinata x 1 , y 1 i z1 koji se odnosi na točku M 1 , uzimajući apsolutnu vrijednost dobivene vrijednosti.

Razmotrite primjere pronalaženja udaljenosti od točke s koordinatama do zadane ravnine.

Primjer 1

Izračunajte udaljenost od točke s koordinatama M 1 (5 , - 3 , 10) do ravnine 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Riješenje

Riješimo problem na dva načina.

Prva metoda će započeti izračunavanjem vektora smjera pravca a. Po uvjetu imamo da je zadana jednadžba 2 x - y + 5 z - 3 = 0 opća jednadžba ravnine, a n → = (2 , - 1 , 5) normalni vektor zadane ravnine. Koristi se kao usmjerivač za ravnu liniju a koja je okomita na zadanu ravninu. Trebate napisati kanonsku jednadžbu pravca u prostoru koji prolazi kroz M 1 (5, - 3, 10) s vektorom smjera s koordinatama 2, - 1, 5.

Jednadžba će izgledati kao x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Treba definirati točke presjeka. Da biste to učinili, nježno kombinirajte jednadžbe u sustav za prijelaz s kanonskih na jednadžbe dviju linija koje se presijecaju. Uzmimo ovu točku kao H 1 . Shvaćamo to

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Zatim morate omogućiti sustav

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Prijeđimo na pravilo za rješavanje sustava prema Gaussu:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Dobivamo da je H 1 (1, - 1, 0) .

Računamo udaljenost od zadane točke do ravnine. Uzimamo točke M 1 (5, - 3, 10) i H 1 (1, - 1, 0) i dobivamo

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

Drugo rješenje je prvo dovesti zadanu jednadžbu 2 x - y + 5 z - 3 = 0 u normalni oblik. Odredimo faktor normalizacije i dobijemo 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . Odavde izvodimo jednadžbu ravnine 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Lijeva strana jednadžbe izračunava se zamjenom x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10, a trebate uzeti udaljenost od M 1 (5, - 3, 10) do 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Dobijamo izraz:

M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 \u003d 2 30

Odgovor: 2 30 .

Kada je ravnina χ zadana nekom od metoda metoda presjeka za zadavanje ravnine, tada prvo treba dobiti jednadžbu ravnine χ i bilo kojom metodom izračunati potrebnu udaljenost.

Primjer 2

Točke s koordinatama M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) postavljene su u trodimenzionalnom prostoru. Izračunaj udaljenost od M 1 do ravnine A B C.

Riješenje

Najprije trebate napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadane tri točke s koordinatama M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - jedan) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Slijedi da problem ima rješenje slično prethodnom. Dakle, udaljenost od točke M 1 do ravnine A B C je 2 30 .

Odgovor: 2 30 .

Pronalaženje udaljenosti od zadane točke na ravnini ili do ravnine s kojom su paralelne pogodnije je primjenom formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Odavde dobivamo da se normalne jednadžbe ravnina dobivaju u nekoliko koraka.

Primjer 3

Odredite udaljenost od zadane točke s koordinatama M 1 (- 3 , 2 , - 7) do koordinatne ravnine O x y z i ravnine zadane jednadžbom 2 y - 5 = 0 .

Riješenje

Koordinatna ravnina O y z odgovara jednadžbi oblika x = 0. Za ravninu O y z to je normalno. Stoga je potrebno zamijeniti vrijednosti x \u003d - 3 u lijevu stranu izraza i uzeti apsolutnu vrijednost udaljenosti od točke s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravnine . Dobivamo vrijednost jednaku - 3 = 3 .

Nakon transformacije normalna jednadžba ravnine 2 y - 5 = 0 poprimit će oblik y - 5 2 = 0 . Tada se može pronaći tražena udaljenost od točke s koordinatama M 1 (- 3 , 2 , - 7) do ravnine 2 y - 5 = 0 . Zamjenom i računanjem dobivamo 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Odgovor:Željena udaljenost od M 1 (- 3 , 2 , - 7) do O y z ima vrijednost 3 , a do 2 y - 5 = 0 ima vrijednost 5 2 - 2 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Pročitao sam nešto na ovoj stranici (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormalno);

gdje je vP1 točka na ravnini, a vNormal je normala na ravninu. Zanima me kako vam ovo daje udaljenost od početka svijeta, budući da će rezultat uvijek biti 0. Također, da bude jasno (budući da sam još uvijek malo nejasan u D dijelu 2D jednadžbe), je d u 2D jednadžbi udaljenost od pravca kroz početak svijeta prije početka ravnine?

3 odgovora

6

Općenito, udaljenost između točke p i ravnine može se izračunati pomoću formule

gdje -operacija točkastog produkta

= ax*bx + ay*by + az*bz

a gdje je p0 točka u ravnini.

Ako n ima jediničnu duljinu, tada je točkasti umnožak između vektora i njega duljina (predznaka) projekcije vektora na normalu

Formula koju prijavljujete samo je poseban slučaj gdje je točka p ishodište. U ovom slučaju

Udaljenost = = -

Ova je jednakost tehnički pogrešna jer se točkasti umnožak odnosi na vektore, a ne na točke... ali još uvijek vrijedi numerički. Zapisivanjem eksplicitne formule, dobivate ovo

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

to je isto kao

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

2

Rezultat nije uvijek nula. Rezultat će biti nula samo ako ravnina prolazi kroz ishodište. (Ovdje, pretpostavimo da avion ne prolazi kroz ishodište.)

Uglavnom, dana vam je linija od ishodišta do neke točke na ravnini. (tj. imate vektor od ishodišta do vP1). Problem s ovim vektorom je taj što je najvjerojatnije nakošen i ide prema nekom udaljenom mjestu u ravnini, a ne prema najbližoj točki u ravnini. Dakle, ako ste uzeli samo vP1 duljinu, dobit ćete preveliku udaljenost.

Ono što trebate učiniti je dobiti projekciju vP1 na neki vektor za koji znate da je okomit na ravninu. To je, naravno, vNormalno. Dakle, uzmite točkasti umnožak vP1 i vNormal i podijelite ga s duljinom vNormal i imate svoj odgovor. (Ako su dovoljno ljubazni da vam daju vNormal koji je već magnituda, tada nema potrebe da se dijelite.)

1

Ovaj problem možete riješiti pomoću Lagrangeovih množitelja:

Znate da bi najbliža točka na ravnini trebala izgledati ovako:

C=p+v

Gdje je c najbliža točka, a v je vektor duž ravnine (koja je stoga ortogonalna na normalu na n). Pokušavate pronaći c s najmanjom normom (ili kvadratnom normom). Dakle, pokušavate minimizirati točku (c, c) sve dok je v ortogonalno na n (dakle, točka (v, n) = 0).

Dakle, postavite Lagrangian:

L = točka (c,c) + lambda * (točka (v,n)) L = točka (p+v,p+v) + lambda * (točka (v,n)) L = točka (p,p) + 2*točka(p,v) + točka(v,v) * lambda * (točka(v,n))

I uzmite derivaciju u odnosu na v (i postavite na 0) da biste dobili:

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0

Možete riješiti lambda u gornjoj jednadžbi točkastim, stvarajući obje strane na n da biste dobili

2 * točka (p,n) + 2 * točka (v,n) + lambda * točka (n,n) = 0 2 * točka (p,n) + lambda = 0 lambda = - 2 * točka (p,n) ) )

Ponovno primijetite da je točka(n,n) = 1 i točka(v,n) = 0 (budući da je v u ravnini i n je ortogonalno na nju). Zamjenska lambda se zatim vraća da dobije:

2 * p + 2 * v - 2 * točka (p,n) * n = 0

i riješite za v da biste dobili:

V = točka (p,n) * n - str

Zatim to vratite u c = p + v da biste dobili:

C = točka (p,n) * n

Duljina ovog vektora je |točka(p,n)| , a znak vam govori je li točka u smjeru vektora normale od ishodišta ili u suprotnom smjeru od ishodišta.

pretpostavimo da imam jednadžbu ravnine ax+by+cz=d, kako mogu pronaći najkraću udaljenost od ravnine do ishodišta? Idem unatrag od ovog posta. U ovom postu su...

Recimo da Kinect stoji na (0,0,0) i gleda u smjeru +Z. Pretpostavimo da postoji objekt na (1, 1, 1) i jedan od piksela u Kinect dubinskoj slici predstavlja taj objekt....

Želim izjednačiti udaljenost od ishodišta do svih točaka gdje su točke dane podatkovnim okvirom s dvije koordinate. Imam sve bodove kao što su: x y 1 0,0 0,0 2 -4,0 -2,8 3 -7,0 -6,5 4 -9,0 -11,1...

Pozadinske informacije Razmotrite sferni koordinatni sustav kao što je prikazan ovdje: Koordinatni sustav http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif Za određenu točku, mi...

Imam 3D scenu i kameru definiranu gluPerspectiveom. Imam fiksni FOV i znam minimalnu udaljenost bilo koje geometrije od kamere (to je pogled iz prve osobe, tako da je...

Imam trokut s točkama A, B, C i točkom u prostoru (P). Kako mogu dobiti udaljenost od točke do ravnine? Moram izračunati udaljenost od P do ravnine, iako moj...

Želim rotirati CGPoint (crveni pravokutnik) oko drugog CGPointa (plavi pravokutnik), ali to mijenja udaljenost od ishodišta (plavi pravokutnik)...kada dam 270 u kutu, stvara se...

Trebam dobiti centar ravnine X, Y, Z, kartezijeve koordinate. Imam normalu ravnine i udaljenost od središnje točke do ishodišta. Mogu staviti točku(e) bilo gdje i...

Zadano: točka (x1, y1, z1) vektor smjera (a1, b1, c1) ravnina ax + by + cz + d = 0 Kako mogu pronaći udaljenost D od točke do ravnine duž ovog vektora? Hvala

Imam koordinatni sustav kamere definiran matricom rotacije R i translacijom T u odnosu na svjetski koordinatni sustav. Ravnina je određena u koordinatama kamere normalom N i točkom P na njoj....