Primjeri kako pronaći točke ekstrema funkcije. Kako pronaći ekstrem (točku minimuma i maksimuma) funkcije. Rast, opadanje i ekstremi funkcije

Uvod

U mnogim područjima znanosti iu praksi često se susreće problem nalaženja ekstremuma funkcije. Činjenica je da mnoge tehničke, ekonomske itd. procesi se modeliraju funkcijom ili više funkcija koje ovise o varijablama – čimbenicima koji utječu na stanje pojave koja se modelira. Potrebno je pronaći ekstreme takvih funkcija kako bi se odredilo optimalno (racionalno) stanje, upravljanje procesom. Tako se u gospodarstvu često rješavaju problemi minimiziranja troškova ili maksimiziranja profita - mikroekonomski zadatak poduzeća. U ovom radu ne razmatramo probleme modeliranja, već razmatramo samo algoritme za pronalaženje ekstrema funkcije u najjednostavnijoj verziji, kada nema ograničenja na varijable (bezuvjetna optimizacija), a ekstrem se traži samo za jednu ciljnu funkciju.

EKSTREMI FUNKCIJE

Razmotrimo graf kontinuirane funkcije y=f(x) prikazano na slici. Vrijednost funkcije u točki x 1 bit će veći od vrijednosti funkcije u svim susjednim točkama i lijevo i desno od x jedan . U ovom slučaju se kaže da funkcija ima u točki x 1 max. U točki x Funkcija 3 očito također ima maksimum. Ako uzmemo u obzir točku x 2 , tada je vrijednost funkcije u njemu manja od svih susjednih vrijednosti. U ovom slučaju se kaže da funkcija ima u točki x 2 minimalno. Slično za točku x 4 .

Funkcija y=f(x) u točki x 0 ima maksimum, ako je vrijednost funkcije u ovoj točki veća od njezinih vrijednosti u svim točkama nekog intervala koji sadrži točku x 0, tj. ako postoji takva okolina točke x 0 , koji je za sve x≠x 0 , pripadajući ovom susjedstvu, imamo nejednakost f(x)<f(x 0 ) .

Funkcija y=f(x) Ima minimum u točki x 0 , ako postoji takva okolina točke x 0 , ono što je za svakoga x≠x 0 koji pripada ovoj četvrti, imamo nejednakost f(x)>f(x0.

Točke u kojima funkcija postiže maksimum i minimum nazivaju se točkama ekstrema, a vrijednosti funkcije u tim točkama su ekstremi funkcije.

Obratimo pozornost na činjenicu da funkcija definirana na segmentu može doseći svoj maksimum i minimum samo u točkama koje se nalaze unutar segmenta koji se razmatra.

Imajte na umu da ako funkcija ima maksimum u točki, to ne znači da u toj točki funkcija ima maksimalnu vrijednost u cijeloj domeni. Na gornjoj slici, funkcija u točki x 1 ima maksimum, iako postoje točke u kojima su vrijednosti funkcije veće nego u točki x 1 . Posebno, f(x 1) < f(x 4) tj. minimum funkcije je veći od maksimuma. Iz definicije maksimuma proizlazi samo da je to najveća vrijednost funkcije u točkama dovoljno blizu točki maksimuma.

Teorem 1. (Potreban uvjet za postojanje ekstrema.) Ako je diferencijabilna funkcija y=f(x) ima u točki x= x 0 ekstremu, tada njegova derivacija u ovoj točki nestaje.

Dokaz. Neka, za određenost, na točki x 0 funkcija ima maksimum. Tada za dovoljno male korake Δ x imamo f(x 0 + Δ x) 0 ) , tj.

Ali onda
Prelazeći u ovim nejednakostima do granice kao Δ x→ 0 i uzimajući u obzir da izvod f "(x 0) postoji, pa stoga granica s lijeve strane ne ovisi o tome kako je Δ x→ 0, dobivamo: za Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 i na Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Budući da f"(x 0) definira broj, tada su ove dvije nejednakosti kompatibilne samo ako f"(x 0) = 0.

Dokazani teorem kaže da maksimalne i minimalne točke mogu biti samo među onim vrijednostima argumenta za koje derivacija nestaje.

Razmotrili smo slučaj kada funkcija ima derivaciju u svim točkama određenog segmenta. Što se događa kada derivat ne postoji? Razmotrite primjere.

g=|x|.

Funkcija nema derivaciju u točki x=0 (u ovoj točki graf funkcije nema određenu tangentu), ali u ovoj točki funkcija ima minimum, jer g(0)=0, i za sve x≠ 0g > 0.
nema derivata na x=0, budući da ide u beskonačnost kada x=0. Ali u ovom trenutku funkcija ima maksimum. nema derivata na x=0, jer na x→0. U ovom trenutku funkcija nema ni maksimum ni minimum. Stvarno, f(x)=0 i pri x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.
Dakle, iz navedenih primjera i formuliranog teorema jasno je da funkcija može imati ekstrem samo u dva slučaja: 1) u točkama gdje derivacija postoji i jednaka je nuli; 2) na mjestu gdje izvod ne postoji.

Međutim, ako u nekom trenutku x 0 mi to znamo f"(x 0 ) =0, onda se iz ovoga ne može zaključiti da je u točki x 0 funkcija ima ekstrem.

Na primjer.
.
Ali točka x=0 nije ekstremna točka, jer se lijevo od ove točke vrijednosti funkcije nalaze ispod osi Vol, i gore desno.

Vrijednosti argumenta iz domene funkcije za koje derivacija funkcije nestaje ili ne postoji nazivaju se kritične točke.

Iz navedenog proizlazi da su točke ekstrema funkcije među kritičnim točkama, ali nije svaka kritična točka točka ekstrema. Stoga, da biste pronašli ekstrem funkcije, morate pronaći sve kritične točke funkcije, a zatim ispitati svaku od tih točaka zasebno za maksimum i minimum. Za to služi sljedeći teorem.

Teorem 2. (Dovoljan uvjet za postojanje ekstrema.) Neka je funkcija kontinuirana na nekom intervalu koji sadrži kritičnu točku x 0 , i diferencijabilna je u svim točkama ovog intervala (osim, možda, same točke x 0). Ako pri prolazu s lijeva na desno kroz ovu točku izvod promijeni predznak s plusa na minus, tada u točki x = x 0 funkcija ima maksimum. Ako, prilikom prolaska x 0 slijeva nadesno, izvod mijenja predznak s minusa na plus, tada funkcija ima minimum u ovoj točki.

Dakle, ako

f"(x)>0 pri x<x 0 i f"(x)< 0 at x > x 0, dakle x 0 - maksimalna točka;
na x<x 0 i f "(x)> 0 at x > x 0, dakle x 0 je minimalna točka.
Dokaz. Pretpostavimo najprije da pri prolasku x 0, izvod mijenja predznak s plusa na minus, tj. za sve x blizu stvari x 0 f "(x)> 0 za x< x 0 , f"(x)< 0 za x > x 0 . Primijenimo Lagrangeov teorem na razliku f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), gdje c leži između x i x 0 .

Neka x< x 0 . Zatim c< x 0 i f "(c)> 0. Zato f "(c)(x-x 0)< 0 i, prema tome,

f(x) - f(x 0 )< 0, tj. f(x)< f(x 0 ).

Neka x > x 0 . Zatim c>x 0 i f"(c)< 0. Sredstva f "(c)(x-x 0)< 0. Zato f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Dakle, za sve vrijednosti x dovoljno blizu x 0 f(x)< f(x 0 ) . A to znači da u točki x 0 funkcija ima maksimum.

Drugi dio teorema minimuma dokazuje se na sličan način.

Ilustrirajmo značenje ovog teorema na slici. Neka f"(x 1 ) =0 i za bilo koju x, dovoljno blizu x 1 , nejednakosti

f"(x)< 0 at x< x 1 , f "(x)> 0 at x > x 1 .

Zatim lijevo od točke x 1 funkcija je rastuća, a padajuća desno, dakle, kada x = x 1 funkcija ide od rastuće prema padajućoj, odnosno ima maksimum.

Slično, mogu se razmotriti bodovi x 2 i x 3 .

Shematski, sve gore navedeno može se prikazati na slici:

Pravilo za proučavanje funkcije y=f(x) za ekstrem

Pronađite opseg funkcije f(x).

Pronađite prvu derivaciju funkcije f"(x).

Odredite kritične točke za ovo:

pronaći prave korijene jednadžbe f"(x)=0;

pronaći sve vrijednosti x pod kojim izvedenica f"(x) ne postoji.

Odredite predznak derivacije lijevo i desno od kritične točke. Budući da predznak derivacije ostaje konstantan između dvije kritične točke, dovoljno je odrediti predznak derivacije u bilo kojoj točki lijevo i jednoj točki desno od kritične točke.

Izračunajte vrijednost funkcije u točkama ekstrema.

Kao što vidite, ovaj znak ekstremuma funkcije zahtijeva postojanje derivacije barem do drugog reda u točki .
Primjer.
Pronađite ekstreme funkcije.
Riješenje.
Počnimo s opsegom:
Razlikujmo izvornu funkciju:
x=1, odnosno to je točka mogućeg ekstrema. Pronalazimo drugu derivaciju funkcije i izračunavamo njezinu vrijednost pri x=1:
Prema tome, prema drugom dovoljnom ekstremnom uvjetu, x=1- maksimalna točka. Zatim je maksimum funkcije.
Grafička ilustracija.
Odgovor:
Treći dovoljan uvjet za ekstrem funkcije.
Neka funkcija y=f(x) ima izvedenice do n-tog reda u -okolici točke i izvodnice do n+1 reda na samoj točki. Neka i .
Primjer.
Nađi točke ekstrema funkcije .
Riješenje.
Izvorna funkcija je cijela racionalna, njena domena definicije je cijeli skup realnih brojeva.
Razlikujmo funkciju:
Izvedenica nestaje kada , dakle, to su točke mogućeg ekstrema. Iskoristimo treći dovoljan uvjet za ekstrem.
Nađemo drugu derivaciju i izračunamo njezinu vrijednost u točkama mogućeg ekstremuma (izostavit ćemo međuizračune):
Stoga je maksimalna točka (za treći dovoljan znak ekstremuma imamo n=1 i ).
Da pojasnimo prirodu točaka pronađite treću derivaciju i izračunajte njezinu vrijednost u ovim točkama:
Dakle, je točka infleksije funkcije ( n=2 i ).
Ostaje se pozabaviti poantom. Nalazimo četvrtu derivaciju i izračunavamo njenu vrijednost u ovoj točki:
Stoga je minimalna točka funkcije.
Grafička ilustracija.
Odgovor:
Maksimalna točka je minimalna točka funkcije.
10. Ekstremumi funkcije Definicija ekstrema
Poziva se funkcija y = f(x). povećavajući se (opadajući) u nekom intervalu ako je za x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).
Ako diferencijabilna funkcija y = f(x) na segmentu raste (opada), tada je njezina derivacija na tom segmentu f "(x)  0
(f "(x)  0).
Točka x oko nazvao lokalna maksimalna točka (minimum) funkcije f(x) ako postoji okolina točke x oko, za sve točke od kojih vrijedi nejednakost f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)).
Pozivaju se maksimalne i minimalne točke ekstremne točke, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njezine ekstremi.
ekstremne točke
Nužni uvjeti za ekstrem. Ako točka x oko je ekstremna točka funkcije f (x), tada ili f "(x o) \u003d 0, ili f (x o) ne postoji. Takve se točke nazivaju kritično, gdje je sama funkcija definirana u kritičnoj točki. Ekstreme funkcije treba tražiti među njezinim kritičnim točkama.
Prvi dovoljan uvjet. Neka x oko- kritična točka. Ako je f "(x) pri prolasku kroz točku x oko mijenja znak plus u minus, a zatim na točku x oko funkcija ima maksimum, inače ima minimum. Ako derivacija ne mijenja predznak pri prolasku kroz kritičnu točku, tada u točki x oko nema ekstrema.
Drugi dovoljan uvjet. Neka funkcija f(x) ima derivaciju f"(x) u blizini točke x oko a druga derivacija u samoj točki x oko. Ako je f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка x oko je lokalna točka minimuma (maksimuma) funkcije f(x). Ako je =0, tada se mora ili koristiti prvi dovoljan uvjet ili uključiti više derivacije.
Na segmentu funkcija y = f(x) može postići svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost bilo u kritičnim točkama ili na krajevima segmenta.
Primjer 3.22. Odredite ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Riješenje. Budući da je f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), tada kritične točke funkcije x 1 \u003d 2 i x 2 \u003d 3. Ekstremne točke mogu biti samo u tim točkama. Dakle, kada prolazi kroz točku x 1 \u003d 2, derivacija mijenja predznak plus u minus, tada u ovoj točki funkcija ima maksimum. Kada prolazi kroz točku x 2 \u003d 3, derivacija mijenja znak minus u plus, dakle, u točki x 2 \u003d 3, funkcija ima minimum. Izračunavši vrijednosti funkcije u točkama x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcija: maksimalno f (2) = 14 i minimalno f (3) = 13.

Jednostavan algoritam za pronalaženje ekstrema..
Pronalaženje derivacije funkcije

Izjednačite ovu derivaciju s nulom

Pronalazimo vrijednosti varijable rezultirajućeg izraza (vrijednosti varijable pri kojoj se derivat pretvara u nulu)

Podijelimo koordinatnu liniju u intervale s ovim vrijednostima (istodobno, ne bismo trebali zaboraviti na točke prekida, koje također treba primijeniti na liniju), sve te točke nazivamo "sumnjivim" točkama za ekstremum

Računamo na kojem će od ovih intervala derivacija biti pozitivna, a na kojem negativna. Da biste to učinili, trebate zamijeniti vrijednost iz intervala u derivat.

Od točaka za koje se sumnja da su ekstremne, potrebno je pronaći točno . Da bismo to učinili, gledamo naše praznine na koordinatnoj liniji. Ako se pri prolasku kroz neku točku predznak derivacije promijeni s plusa na minus, tada će ta točka biti maksimum, a ako od minusa do plusa, onda minimum.

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije, morate izračunati vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu točkama ekstrema. Zatim odaberite najveću i najmanju vrijednost.
Razmotrite primjer
Nađemo izvod i izjednačimo ga s nulom:

Dobivene vrijednosti varijabli primijenimo na koordinatnu liniju i izračunamo predznak derivacije na svakom od intervala. Pa, na primjer, za prvi snimak-2 , tada će izvod biti-0,24 , za drugi put0 , tada će izvod biti2 , a za treću uzimamo2 , tada će izvod biti-0,24. Postavili smo odgovarajuće znakove.

Vidimo da pri prolasku kroz točku -1 derivacija mijenja predznak iz minus u plus, odnosno to će biti minimalna točka, a pri prolasku kroz 1, iz plusa u minus, to je maksimalna točka.

Okrenimo se grafu funkcije y \u003d x 3 - 3x 2. Promotrimo okolinu točke x = 0, tj. neki interval koji sadrži ovu točku. Logično je da postoji takvo susjedstvo točke x \u003d 0 da funkcija y \u003d x 3 - 3x 2 poprima najveću vrijednost u tom susjedstvu u točki x \u003d 0. Na primjer, na intervalu (- 1; 1) najveću vrijednost jednaku 0 funkcija poprima u točki x = 0. Točku x = 0 nazivamo točkom maksimuma ove funkcije.
Slično, točka x \u003d 2 naziva se minimalna točka funkcije x 3 - 3x 2, budući da u ovoj točki vrijednost funkcije nije veća od njezine vrijednosti u drugoj točki u blizini točke x \u003d 2 , na primjer, susjedstvo (1,5; 2,5).

Dakle, točka x 0 se zove najveća točka funkcije f (x) ako postoji susjedstvo točke x 0 - tako da je nejednakost f (x) ≤ f (x 0) zadovoljena za sve x iz ove susjedstvo.

Na primjer, točka x 0 \u003d 0 je maksimalna točka funkcije f (x) \u003d 1 - x 2, budući da je f (0) \u003d 1 i nejednakost f (x) ≤ 1 vrijedi za sve vrijednosti od x.

Točka minimuma funkcije f (x) naziva se točka x 0 ako postoji takva okolina točke x 0 da je nejednakost f (x) ≥ f (x 0) zadovoljena za sve x iz te okoline.

Na primjer, točka x 0 \u003d 2 je minimalna točka funkcije f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, budući da je f (2) \u003d 3 i f (x) ≥ 3 za sve x .

Ekstremne točke nazivaju se minimalne točke i maksimalne točke.

Prijeđimo na funkciju f(x), koja je definirana u nekoj okolini točke x 0 i ima derivaciju u toj točki.

Ako je x 0 točka ekstrema diferencijabilne funkcije f (x), tada je f "(x 0) \u003d 0. Ova se izjava naziva Fermatov teorem.

Fermatov teorem ima jasno geometrijsko značenje: u točki ekstrema tangenta je paralelna s osi x i stoga je njezin nagib
f"(x 0) je nula.

Na primjer, funkcija f (x) \u003d 1 - 3x 2 ima maksimum u točki x 0 \u003d 0, njen izvod f "(x) \u003d -2x, f "(0) = 0.

Funkcija f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 ima minimum u točki x 0 \u003d 2, f "(x) = 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Imajte na umu da ako je f "(x 0) \u003d 0, tada to nije dovoljno da se tvrdi da je x 0 nužno točka ekstrema funkcije f (x).

Na primjer, ako je f (x) \u003d x 3, tada je f "(0) \u003d 0. Međutim, točka x \u003d 0 nije ekstremna točka, jer funkcija x 3 raste na cijeloj realnoj osi.

Dakle, točke ekstrema diferencijabilne funkcije moraju se tražiti samo među korijenima jednadžbe
f "(x) \u003d 0, ali korijen ove jednadžbe nije uvijek ekstremna točka.

Stacionarne točke su točke u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli.

Dakle, da bi točka x 0 bila točka ekstrema, potrebno je da bude stacionarna točka.

Razmotrimo dovoljne uvjete da stacionarna točka bude točka ekstrema, tj. uvjeti pod kojima je stacionarna točka minimalna ili maksimalna točka funkcije.

Ako je izvodnica lijevo od stacionarne točke pozitivna, a desno negativna, tj. izvodnica mijenja predznak "+" u predznak "-" kada prolazi kroz ovu točku, tada je ta stacionarna točka najveća točka.

Doista, u ovom slučaju lijevo od stacionarne točke funkcija raste, a desno opada, tj. ova točka je najveća točka.

Ako derivacija mijenja predznak "-" u predznak "+" kada prolazi kroz stacionarnu točku, tada je ta stacionarna točka minimalna točka.

Ako derivacija ne mijenja predznak pri prolazu kroz stacionarnu točku, tj. derivacija pozitivna ili negativna lijevo i desno od stacionarne točke, tada ta točka nije točka ekstrema.

Razmotrimo jedan od problema. Pronađite ekstremne točke funkcije f (x) \u003d x 4 - 4x 3.

Riješenje.

1) Pronađite izvod: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Pronađite stacionarne točke: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Pomoću metode intervala utvrđujemo da je derivacija f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) pozitivna za x\u003e 3, negativna za x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Budući da se pri prolasku kroz točku x 1 \u003d 0 znak derivacije ne mijenja, ova točka nije ekstremna točka.

5) Derivacija mijenja znak "-" u znak "+" kada prolazi kroz točku x 2 \u003d 3. Stoga je x 2 \u003d 3 najmanja točka.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Iz ovog članka čitatelj će saznati što je ekstrem funkcionalne vrijednosti, kao io značajkama njegove uporabe u praksi. Proučavanje takvog koncepta iznimno je važno za razumijevanje temelja više matematike. Ova je tema temeljna za dublje proučavanje tečaja.

U kontaktu s

Što je ekstrem?

U školskom tečaju daju se mnoge definicije pojma "ekstremuma". Namjera ovog članka je pružiti najdublje i najjasnije razumijevanje pojma za one koji su neupućeni u to pitanje. Dakle, pojam podrazumijeva do koje mjere funkcionalni interval poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost na određenom skupu.

Ekstrem je istovremeno i minimalna vrijednost funkcije i maksimum. Postoji minimalna točka i maksimalna točka, odnosno ekstremne vrijednosti argumenta na grafu. Glavne znanosti u kojima se koristi ovaj koncept:

statistika;

upravljanje strojem;

ekonometrija.

Ekstremne točke igraju važnu ulogu u određivanju slijeda dane funkcije. Koordinatni sustav na grafikonu najbolje pokazuje promjenu krajnjeg položaja ovisno o promjeni funkcionalnosti.

Ekstremi derivacije funkcije

Postoji i nešto poput "izvedenice". Potrebno je odrediti točku ekstrema. Važno je ne brkati minimalne ili maksimalne bodove s najvećim i najmanjim vrijednostima. To su različiti koncepti, iako se mogu činiti sličnima.

Vrijednost funkcije je glavni čimbenik u određivanju kako pronaći najveću točku. Derivat se ne formira iz vrijednosti, već isključivo iz njegovog krajnjeg položaja u jednom ili onom poretku.

Sama derivacija se određuje na temelju podataka ekstremnih točaka, a ne najveće ili najmanje vrijednosti. U ruskim školama granica između ova dva pojma nije jasno povučena, što utječe na razumijevanje ove teme općenito.

Razmotrimo sada tako nešto kao "oštar ekstrem". Do danas postoji akutna minimalna vrijednost i akutna maksimalna vrijednost. Definicija je dana u skladu s ruskom klasifikacijom kritičnih točaka funkcije. Koncept točke ekstrema osnova je za pronalaženje kritičnih točaka na karti.

Za definiranje takvog koncepta koristi se Fermatov teorem. Najvažniji je u proučavanju ekstremnih točaka i daje jasnu ideju o njihovom postojanju u ovom ili onom obliku. Kako bi se osigurala ekstremnost, važno je stvoriti određene uvjete za smanjenje ili povećanje na grafikonu.

Da biste točno odgovorili na pitanje "kako pronaći maksimalnu točku", morate slijediti ove odredbe:

Pronalaženje točnog područja definicije na karti.

Traženje derivacije funkcije i točke ekstrema.

Riješite standardne nejednadžbe za domenu argumenta.

Znati dokazati u kojim je funkcijama točka na grafu definirana i kontinuirana.

Pažnja! Traženje kritične točke funkcije moguće je samo ako postoji derivacija barem drugog reda, što je osigurano visokim udjelom prisutnosti točke ekstrema.

Nužan uvjet za ekstrem funkcije

Da bi postojao ekstrem, važno je da postoje i minimalne i maksimalne točke. Ako se ovo pravilo poštuje samo djelomično, tada je uvjet za postojanje ekstrema povrijeđen.

Svaka se funkcija u bilo kojem položaju mora razlikovati kako bi se identificirala njezina nova značenja. Važno je razumjeti da slučaj kada točka nestaje nije glavni princip pronalaženja diferencijabilne točke.

Oštar ekstrem, kao i minimum funkcije, izuzetno je važan aspekt rješavanja matematičkog problema korištenjem ekstremnih vrijednosti. Kako bismo bolje razumjeli ovu komponentu, važno je pozvati se na tablične vrijednosti za dodjelu funkcionala.

Potpuno istraživanje značenja Iscrtavanje vrijednosti
1. Određivanje točaka porasta i pada vrijednosti.
2. Određivanje lomnih točaka, ekstrema i sjecišta s koordinatnim osima.

3. Proces određivanja promjena položaja na karti.

4. Određivanje indeksa i smjera konveksnosti i konveksnosti, uzimajući u obzir prisutnost asimptota.

5. Izrada zbirne tablice elaborata u smislu određivanja njegovih koordinata.

6. Pronalaženje intervala porasta i smanjenja ekstremnih i oštrih točaka.

7. Određivanje konveksnosti i konkavnosti krivulje.

8. Izrada grafikona na temelju studije omogućuje vam da pronađete minimum ili maksimum.
Glavni element, kada je potrebno raditi s ekstremima, je točna konstrukcija njegovog grafikona.
Učitelji često ne obraćaju maksimalnu pozornost na tako važan aspekt, što je grubo kršenje obrazovnog procesa.

Grafikon se gradi samo na temelju rezultata proučavanja funkcionalnih podataka, definicije oštrih ekstrema, kao i točaka na grafikonu.

Oštri ekstremi derivacije funkcije prikazuju se na dijagramu točnih vrijednosti pomoću standardnog postupka za određivanje asimptota.

Točke maksimuma i minimuma funkcije popraćene su složenijim crtanjem. To je zbog dublje potrebe da se razradi problem oštrog ekstrema.

Također je potrebno pronaći derivaciju složene i jednostavne funkcije, jer je to jedan od najvažnijih pojmova u problemu ekstrema.

Funkcionalni ekstrem

Da biste pronašli gornju vrijednost, morate se pridržavati sljedećih pravila:

odrediti nužan uvjet za ekstremni omjer;

uzeti u obzir dovoljan uvjet ekstremnih točaka na grafikonu;

provesti proračun akutnog ekstrema.

Postoje i pojmovi kao što su slabi minimum i jaki minimum. To se mora uzeti u obzir pri određivanju ekstremuma i njegovom točnom proračunu. Istodobno, oštra funkcionalnost je traženje i stvaranje svih potrebnih uvjeta za rad s funkcijskim grafom.