Položaji težišta nekih figura. Određivanje težišta ravnih figura Mjerenje težišta

Bilješka. Težište simetričnog lika nalazi se na osi simetrije.

Težište štapa je na sredini visine. Prilikom rješavanja problema koriste se sljedeće metode:

1. metoda simetrije: težište simetričnih likova je na osi simetrije;

2. metoda odvajanja: složene sekcije dijele se na nekoliko jednostavnih dijelova, čiji je položaj težišta lako odrediti;

3. metoda negativnih površina: šupljine (rupe) se smatraju dijelom presjeka s negativnom površinom.

Primjeri rješavanja problema

Primjer1. Odredite položaj težišta figure prikazane na sl. 8.4.

Riješenje

Figuru dijelimo na tri dijela:

Slično definirano na C = 4,5 cm.

Primjer 2 Odredite položaj težišta simetrične šipke ADBE(Sl. 116), čije su dimenzije sljedeće: AB = 6m, D.E.= 3 m i EF= 1m.

Riješenje

Budući da je rešetka simetrična, njezino težište leži na osi simetrije D.F. S odabranim (sl. 116) sustavom koordinatnih osi apscise težišta farme

Nepoznata je, dakle, samo ordinata kod C težište farme. Da bismo ga odredili, farmu dijelimo na zasebne dijelove (šipke). Njihove duljine određuju se iz odgovarajućih trokuta.

Iz ∆AEF imamo

Iz ΔADF imamo

Težište svakog štapa leži u njegovoj sredini, koordinate tih centara lako se određuju iz crteža (slika 116).

Pronađene duljine i ordinate težišta pojedinih dijelova farme unose se u tablicu i prema formuli

odrediti ordinatu u s težište ove ravne rešetke.

Prema tome, težište IZ cijela rešetka leži na osi D.F. simetrija rešetke na udaljenosti od 1,59 m od točke F.

Primjer 3 Odredite koordinate težišta složenog presjeka. Sekcija se sastoji od lima i valjanih profila (slika 8.5).

Bilješka.Često su okviri zavareni iz različitih profila, stvarajući potreban dizajn. Tako se smanjuje potrošnja metala i formira se struktura visoke čvrstoće.

Za standardne valjane profile poznate su vlastite geometrijske karakteristike. Dani su u relevantnim standardima.

Riješenje

1. Brojke označavamo brojevima i ispisujemo potrebne podatke iz tablica:

1 - kanal broj 10 (GOST 8240-89); visina h = 100 mm; širina polica b= 46 mm; poprečni presjek područja A 1\u003d 10,9 cm 2;

2 - I-greda br. 16 (GOST 8239-89); visina 160 mm; širina polica 81 mm; površina presjeka A 2 - 20,2 cm 2;

3 - list 5x100; debljina 5 mm; širina 100 mm; površina presjeka A 3 \u003d 0,5 10 \u003d 5 cm 2.

2. Iz crteža se mogu odrediti koordinate težišta svakog lika.

Sastavljeni presjek je simetričan, pa je težište na osi simetrije i koordinata x C = 0.

3. Određivanje težišta kompozitnog presjeka:

Primjer 4 Odredite koordinate težišta presjeka prikazanog na sl. osam, a. Odjeljak se sastoji od dva kuta 56x4 i kanala br. 18. Provjerite ispravnost određivanja položaja težišta. Navedite njegov položaj na odjeljku.

Riješenje

1. : dva kuta 56 x 4 i kanal br. 18. Označimo ih 1, 2, 3 (vidi sl. 8, a).

2. Označite težišta svaki profil pomoću tablice. 1. i 4. prid. I, i označavaju ih C 1, C 2, Od 3.

3. Odaberimo sustav koordinatnih osi. Os na kompatibilan s osi simetrije, i os x povući kroz težišta uglova.

4. Odredite koordinate težišta cijelog presjeka. Budući da os na poklapa s osi simetrije, zatim prolazi kroz težište presjeka, dakle x s= 0. Koordinata u s definirati formulom

Pomoću aplikacijskih tablica određujemo površine svakog profila i koordinate težišta:

Koordinate 1 i u 2 jednaki su nuli, budući da je os x prolazi kroz težišta uglova. Zamijenite dobivene vrijednosti u formulu za određivanje u s:

5. Označimo težište presjeka na sl. 8, a označit ćemo ga slovom C. Prikazujemo udaljenost y C \u003d 2,43 cm od osi x do točke C.

Budući da su kutovi simetrično smješteni, imaju isto područje i koordinate A 1 \u003d A 2, y 1 = y 2 . Prema tome, formula za određivanje kod C može se pojednostaviti:

6. Napravimo provjeru. Za ovu os x nacrtajmo duž donjeg ruba kutne police (slika 8, b). Os na Ostavimo kao u prvom rješenju. Formule za određivanje x C i kod C nemoj mijenjati:

Površine profila će ostati iste, ali će se promijeniti koordinate težišta uglova i kanala. Zapišimo ih:

Određivanje koordinate centra gravitacije:

Prema pronađenim koordinatama x s i u s na crtež stavimo točku C. U istoj je točki položaj težišta pronađen na dva načina. Idemo to provjeriti. Razlika između koordinata u s, pronađeno u prvom i drugom rješenju je: 6,51 - 2,43 \u003d 4,08 cm.

To je jednako udaljenosti između x-osi u prvom i drugom rješenju: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.

Odgovor: na= 2,43 cm ako x-os prolazi kroz težišta uglova, ili y c = 6,51 cm ako x-os prolazi duž donjeg ruba kutne prirubnice.

Primjer 5 Odredite koordinate težišta presjeka prikazanog na sl. 9, a. Sekcija se sastoji od I-grede br. 24 i kanala br. 24a. Pokažite položaj težišta na presjeku.

Riješenje

1.Podijelimo dio na valjane profile: I-greda i kanal. Nazovimo ih 1 i 2.

3. Označavamo težišta svakog profila C 1 i C 2 pomoću tablica primjene.

4. Odaberimo sustav koordinatnih osi. X-os je kompatibilna s osi simetrije, a y-os povlačimo kroz težište I-nosača.

5. Odrediti koordinate težišta presjeka. Y-koordinata c = 0, budući da je os x poklapa s osi simetrije. X-koordinata s određena je formulom

Prema tablici 3 i 4 prim. I i shema odjeljka, definiramo

Zamijenite brojčane vrijednosti u formulu i dobijete

5. Označimo točku C (težište presjeka) prema pronađenim vrijednostima x c i y c (vidi sliku 9, a).

Provjera rješenja mora se izvršiti neovisno s položajem osi, kao što je prikazano na sl. 9, b. Kao rezultat rješenja dobivamo x c \u003d 11,86 cm. Razlika između vrijednosti x c za prvo i drugo rješenje je 11,86 - 6,11 \u003d 5,75 cm, što je jednako udaljenosti između y osi s istim rješenjima b dv / 2 = 5,75 cm.

Odgovor: x c \u003d 6,11 cm, ako os y prolazi kroz težište I-grede; x c \u003d 11,86 cm ako y-os prolazi kroz lijeve krajnje točke I-grede.

Primjer 6Željeznička dizalica se oslanja na tračnice čiji je razmak AB = 1,5 m (sl. 1.102). Sila teže kolica dizalice je G r = 30 kN, težište kolica je u točki C koja leži na pravoj KL presjecišta ravnine simetrije kolica s ravninom nacrta. Sila gravitacije vitla dizalice Q l \u003d 10 kN primjenjuje se u točki D. Sila gravitacije protuutega G„=20 kN djeluje u točki E. Sila gravitacije kraka G c = 5 kN djeluje u točki H. Prepust dizalice u odnosu na liniju KL iznosi 2 m. Odrediti koeficijent stabilnosti dizalice u neopterećenom stanju i što opterećenje F može se podići ovom dizalicom, s tim da faktor stabilnosti mora biti najmanje dva.

Riješenje

1. U neopterećenom stanju dizalica postoji opasnost od prevrtanja prilikom okretanja oko tračnice ALI. Stoga, s obzirom na točku ALI trenutak stabilnosti

2. Moment prevrtanja oko točke ALI stvoren gravitacijom protuutega, tj.

3. Odatle koeficijent stabilnosti dizalice u neopterećenom stanju

4. Prilikom opterećenja kraka dizalice teretom F postoji opasnost od prevrtanja dizalice s okretom oko tračnice B. Stoga, s obzirom na točku NA trenutak stabilnosti

5. Moment prevrtanja u odnosu na tračnicu NA

6. Prema uvjetu zadatka dopušten je rad dizalice s koeficijentom stabilnosti k B ≥ 2, t.j.

Kontrolna pitanja i zadaci

1. Zašto se sile privlačenja Zemlje, koje djeluju na točke tijela, mogu uzeti kao sustav paralelnih sila?

2. Napišite formule za određivanje položaja težišta nehomogenih i homogenih tijela, formule za određivanje položaja težišta ravnih presjeka.

3. Ponoviti formule za određivanje položaja težišta jednostavnih geometrijskih oblika: pravokutnika, trokuta, trapeza i polukruga.

4.
Što se naziva statičkim momentom površine?

5. Izračunajte statički moment ovog lika u odnosu na os Vol. h= 30 cm; b= 120 cm; S= 10 cm (slika 8.6).

6. Odredite koordinate težišta osjenčanog lika (sl. 8.7). Dimenzije su dane u mm.

7. Odredite koordinatu na slike 1 kompozitnog presjeka (sl. 8.8).

Prilikom odlučivanja koristite referentne podatke GOST tablica "Vruće valjani čelik" (vidi Dodatak 1).

Određivanje težišta proizvoljnog tijela uzastopnim zbrajanjem sila koje djeluju na njegove pojedine dijelove teška je zadaća; to je olakšano samo za tijela relativno jednostavnog oblika.

Neka se tijelo sastoji samo od dva utega mase i spojena štapom (slika 125). Ako je masa štapa mala u usporedbi s masama i , tada se može zanemariti. Na svaku od masa djeluje gravitacija jednaka i; oba su usmjerena okomito prema dolje, odnosno paralelno jedna s drugom. Kao što znamo, rezultanta dviju paralelnih sila djeluje u točki , koja je određena iz uvjeta

Riža. 125. Određivanje težišta tijela koje se sastoji od dva tereta

Dakle, težište dijeli udaljenost između dva tereta u omjeru obrnutom omjeru njihovih masa. Ako se to tijelo objesi u točku , ono će ostati u ravnoteži.

Budući da dvije jednake mase imaju zajedničko težište u točki koja raspolavlja udaljenost između tih masa, odmah je jasno da npr. težište homogenog štapa leži u sredini štapa (sl. 126) .

Budući da svaki promjer homogenog okruglog diska dijeli na dva potpuno identična simetrična dijela (sl. 127), težište mora ležati na svakom promjeru diska, odnosno u točki sjecišta promjera - u geometrijskom središte diska. Raspravljajući na sličan način, možemo ustanoviti da težište homogene lopte leži u njenom geometrijskom središtu, težište homogenog pravokutnog paralelopipeda leži u sjecištu njegovih dijagonala, itd. Težište obruča ili prsten leži u njegovom središtu. Posljednji primjer pokazuje da težište tijela može ležati izvan tijela.

Riža. 126. Težište homogenog štapa leži u njegovoj sredini

Riža. 127. Središte homogenog diska nalazi se u njegovom geometrijskom središtu

Ako je tijelo nepravilnog oblika ili ako je nehomogeno (na primjer, ima šupljine), tada je izračunavanje položaja težišta često teško i taj je položaj praktičnije pronaći iskustvom. Neka je, na primjer, potrebno pronaći težište komada šperploče. Objesimo ga na konac (slika 128). Očito, u ravnotežnom položaju, težište tijela mora ležati na nastavku niti, inače će sila teže imati moment u odnosu na točku ovjesa, koji bi tijelo počeo okretati. Stoga, povlačeći ravnu liniju na našem komadu šperploče, koja predstavlja nastavak niti, možemo ustvrditi da težište leži na toj ravnoj liniji.

Doista, vješanjem tijela na različitim točkama i crtanjem okomitih linija, pobrinut ćemo se da se sve sijeku u jednoj točki. Ova točka je težište tijela (budući da mora ležati istovremeno na svim takvim linijama). Na sličan način može se odrediti položaj težišta ne samo ravnog lika, već i složenijeg tijela. Položaj težišta letjelice određuje se kotrljanjem kotačićima na platformu vage. Rezultanta sila težine na svakom kotaču bit će usmjerena okomito, a liniju duž koje ona djeluje možete pronaći po zakonu zbrajanja paralelnih sila.

Riža. 128. Sjecište okomitih linija povučenih kroz točke ovjesa je težište tijela

Pri promjeni masa pojedinih dijelova tijela ili pri promjeni oblika tijela mijenja se položaj težišta. Dakle, težište zrakoplova se pomiče kada se troši gorivo iz spremnika, kada se utovaruje prtljaga itd. Za vizualni eksperiment koji ilustrira kretanje težišta kada se mijenja oblik tijela, zgodno je uzeti dvije identične šipke spojene šarkom (slika 129). U slučaju kada se šipke nastavljaju jedna na drugu, težište leži na osi šipki. Ako su šipke savijene na zglobu, tada je težište izvan šipki, na simetrali kuta koji čine. Ako se na jednu od šipki stavi dodatno opterećenje, tada će se težište pomaknuti prema tom opterećenju.

Riža. 129. a) Težište šipki spojenih zglobom, smještenih na jednoj ravnoj liniji, leži na osi šipki, b) Težište savijenog sustava šipki leži izvan šipki

81.1. Gdje je težište dviju jednakih tankih šipki duljine 12 cm pričvršćenih u obliku slova T?

81.2. Dokažite da težište jednolike trokutaste ploče leži u sjecištu središnjica.

Riža. 130. Za vježbu 81.3

81.3. Homogena ploča mase 60 kg počiva na dva nosača, kao što je prikazano na sl. 130. Odredite sile koje djeluju na oslonce.

Težište je točka kroz koju prolazi linija djelovanja rezultantnih elementarnih sila teže. Ima svojstvo centra paralelnih sila (E. M. Nikitin, § 42). Zato formule za određivanje položaja težišta raznih tijela izgledati ovako:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i .

Ako se tijelo čije težište treba odrediti može poistovjetiti s likom sastavljenim od linija (na primjer, zatvorenom ili otvorenom konturom od žice, kao na slici 173), tada težina G i svakog segmenta l i može se predstaviti kao proizvod
G i \u003d l i d,
gdje je d težina jedinice duljine materijala koja je konstantna za cijelu figuru.

Nakon zamjene u formule (1) umjesto G i njihove vrijednosti l i d, konstantni faktor d u svakom članu brojnika i nazivnika može se izvaditi iz zagrada (izvan znaka zbroja) i smanjiti. Na ovaj način, formule za određivanje koordinata težišta lika sastavljenog od odsječaka, poprimit će oblik:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i ;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i .

Ako tijelo ima oblik lika sastavljenog od ravnina ili zakrivljenih ploha raspoređenih na različite načine (slika 174), tada se težina svake plohe (plohe) može prikazati na sljedeći način:
G i = F i p,
gdje su F i površine svake površine, a p težina po jedinici površine figure.

Nakon zamjene ove vrijednosti G i u formule (1), dobivamo formule za koordinate težišta lika sastavljenog od površina:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i .

Ako se homogeno tijelo može podijeliti na jednostavne dijelove određenog geometrijskog oblika (sl. 175), tada je težina svakog dijela
G i = V i γ,
gdje je V i volumen svakog dijela, a γ težina po jedinici volumena tijela.

Nakon zamjene vrijednosti G i u formule (1), dobivamo formule za određivanje koordinata težišta tijela sastavljenog od homogenih volumena:
x c = (∑ V i x i) / ∑ V i ;
(4) y c = (∑ V i y i) / ∑ V i ;
z c = (∑ V i z i) / ∑ V i .

Pri rješavanju nekih zadataka za određivanje položaja težišta tijela ponekad je potrebno znati gdje se nalazi težište luka kružnice, kružnog isječka ili trokuta.

Ako su polumjer luka r i središnji kut 2α, kontraktirani lukom i izraženi u radijanima, poznati, tada je položaj težišta C (Sl. 176, a) u odnosu na središte luka O jednak određuje se formulom:
(5) x c = (r sin α)/α.

Ako je dana tetiva AB=b luka, tada je u formuli (5) moguće izvršiti zamjenu
sinα = b/(2r)
i onda
(5a) x c = b/(2α).

U posebnom slučaju za polukrug, obje formule će imati oblik (Sl. 176, b):
(5b) x c = OC = 2r/π = d/π.

Položaj težišta kružnog sektora, ako je zadan njegov polumjer r (slika 176, c), određuje se pomoću formule:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Ako je dana tetiva sektora, tada:
(6a) x c = b/(3α).

U posebnom slučaju za polukrug, obje posljednje formule će imati oblik (Sl. 176, d)
(6b) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Težište područja bilo kojeg trokuta nalazi se s bilo koje strane na udaljenosti jednakoj jednoj trećini odgovarajuće visine.

U pravokutnom trokutu, težište je u sjecištu okomica podignutih na krake iz točaka koje se nalaze na udaljenosti od jedne trećine duljine kraka, računajući od vrha pravog kuta (slika 177).

Pri rješavanju zadataka za određivanje položaja težišta bilo kojeg homogenog tijela, sastavljenog bilo od tankih šipki (linija), bilo od ploča (površina), bilo od volumena, preporučljivo je pridržavati se sljedećeg redoslijeda:

1) nacrtati tijelo kojem treba odrediti položaj težišta. Budući da su sve dimenzije tijela obično poznate, potrebno je poštivati ​​mjerilo;

2) rastaviti tijelo na sastavne dijelove (odsječke ili površine, odnosno volumene), čiji se položaj težišta određuje na temelju veličine tijela;

3) odrediti ili duljine, ili površine, ili volumene sastavnih dijelova;

4) odabrati mjesto koordinatnih osi;

5) odrediti koordinate težišta sastavnih dijelova;

6) zamijeniti pronađene vrijednosti duljina ili površina ili volumena pojedinih dijelova, kao i koordinate njihovih težišta, u odgovarajuće formule i izračunati koordinate težišta cijelog tijela;

7) prema pronađenim koordinatama označite na slici položaj težišta tijela.

§ 23. Određivanje položaja težišta tijela sastavljenog od tankih homogenih šipki

§ 24. Određivanje položaja težišta figura sastavljenih od ploča

U posljednjem zadatku, kao iu zadacima danim u prethodnom odlomku, podjela figura na sastavne dijelove ne izaziva velike poteškoće. Ali ponekad lik ima takav oblik koji vam omogućuje da ga podijelite na sastavne dijelove na nekoliko načina, na primjer, tanka pravokutna ploča s trokutastim rezom (slika 183). Pri određivanju položaja težišta takve ploče njezinu površinu možemo na više načina podijeliti na četiri pravokutnika (1, 2, 3 i 4) i jedan pravokutni trokut 5 . Dvije opcije prikazane su na sl. 183, a i b.

Najracionalniji je način dijeljenja figure na sastavne dijelove, pri čemu se formira najmanji broj njih. Ako lik ima izreze, oni se također mogu uključiti u broj sastavnih dijelova figure, ali se površina izrezanog dijela smatra negativnom. Stoga se ova podjela naziva metodom negativnih površina.

Ploča na sl. 183, c ovom metodom dijelimo na samo dva dijela: pravokutnik 1 s površinom cijele ploče, kao da je cijela, i trokut 2 s površinom koju smatramo negativnom.

§ 26. Određivanje položaja težišta tijela sastavljenog od dijelova jednostavnog geometrijskog oblika

Za rješavanje problema određivanja položaja težišta tijela sastavljenog od dijelova jednostavnog geometrijskog oblika potrebno je posjedovati vještine određivanja koordinata težišta figura sastavljenih od linija ili površina. .

Centar gravitacije

geometrijska točka, uvijek povezana s čvrstim tijelom, kroz koju rezultanta svih gravitacijskih sila koje djeluju na čestice ovog tijela prolazi na bilo kojem položaju potonjeg u prostoru; ne mora se poklapati ni s jednom točkom danog tijela (na primjer, u blizini prstena). Ako je slobodno tijelo obješeno o niti koje su uzastopno pričvršćene na različite točke tijela, tada će se pravci tih niti presijecati u središtu tijela. Položaj težišta čvrstog tijela u jednoličnom gravitacijskom polju podudara se s položajem njegova središta mase. Razbijanje tijela utezima p k , za koje su koordinate x k, y k, z k poznate njihove C. t., možete pronaći koordinate C. t. cijelog tijela pomoću formula:

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Pogledajte što je "Centar gravitacije" u drugim rječnicima:

Središte mase (središte tromosti, baricentar) u mehanici je geometrijska točka koja karakterizira gibanje tijela ili sustava čestica u cjelini. Sadržaj 1 Definicija 2 Središta mase homogenih figura 3 U mehanici ... Wikipedia

Točka koja je nepromjenjivo povezana s čvrstim tijelom kroz koju prolazi rezultanta gravitacijskih sila koje djeluju na čestice tog tijela u bilo kojem položaju tijela u prostoru. Za homogeno tijelo sa središtem simetrije (krug, lopta, kocka itd.), ... ... enciklopedijski rječnik

Geom. točka, nepromjenjivo povezana s čvrstim tijelom, kroz koju prolazi rezultantna sila svih sila gravitacije koje djeluju na čestice tijela u bilo kojem položaju u prostoru; ne mora se poklapati ni s jednom točkom danog tijela (na primjer, na ... ... Fizička enciklopedija

Točka koja je nepromjenjivo povezana s čvrstim tijelom kroz koju prolazi rezultanta sila teže koje djeluju na čestice tog tijela u bilo kojem položaju tijela u prostoru. Za homogeno tijelo sa središtem simetrije (krug, lopta, kocka itd.), ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

Centar gravitacije- TEŽIŠTE, točka kroz koju prolazi rezultanta sila teže koje djeluju na čestice čvrstog tijela u bilo kojem položaju tijela u prostoru. Za homogeno tijelo sa središtem simetrije (krug, lopta, kocka itd.), težište je ... Ilustrirani enciklopedijski rječnik

TEŽIŠTE, točka u kojoj je koncentrirana težina tijela i oko koje se njegova težina raspoređuje i uravnotežuje. Objekt koji slobodno pada rotira oko svog težišta, koje se pak okreće duž putanje koju bi opisala točka ... ... Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik

centar gravitacije- kruto tijelo; težište Središte paralelnih sila gravitacije koje djeluju na sve čestice tijela ... Politehnički terminološki eksplanatorni rječnik

Centroidni rječnik ruskih sinonima. težište br., broj sinonima: 12 glavni (31) duh ... Rječnik sinonima

CENTAR GRAVITACIJE- Ljudsko tijelo nema stalni anet. mjesto unutar tijela, ali se kreće ovisno o promjenama u držanju; njegovi izleti u odnosu na kralježnicu mogu doseći 20-25 cm Eksperimentalno određivanje položaja središnjeg t. cijelog tijela s ... ... Velika medicinska enciklopedija

Točka primjene rezultantnih sila gravitacije (težine) svih pojedinačnih dijelova (detalja) koji čine određeno tijelo. Ako je tijelo simetrično u odnosu na ravninu, ravnu liniju ili točku, tada u prvom slučaju težište leži u ravnini simetrije, u drugom na ... ... Tehnički željeznički rječnik

centar gravitacije- Geometrijska točka čvrstog tijela kroz koju rezultanta svih gravitacijskih sila koje djeluju na čestice ovog tijela prolazi na bilo kojem položaju u prostoru [Terminološki rječnik za konstrukciju na 12 jezika ​​(VNIIIS Gosstroy ... ... Tehnički prevoditeljski priručnik

knjige

• Težište, A.V. Polyarinov Roman Alekseja Polyarinova nalikuje složenom sustavu jezera. Ima cyberpunk, i veličanstvene dizajne Davida Mitchella, i Borgesa, i Davida Fostera Wallacea... Ali njegovi su junaci mladi novinari,...

Na temelju gore dobivenih općih formula moguće je naznačiti specifične metode za određivanje koordinata gravitacijskih centara tijela.

1. Ako homogeno tijelo ima ravninu, os ili centar simetrije, tada njegovo težište leži ili u ravnini simetrije, ili na osi simetrije, ili u centru simetrije.

Pretpostavimo, na primjer, da homogeno tijelo ima ravninu simetrije. Zatim se tom ravninom dijeli na dva takva dijela, čije su težine i međusobno jednake, a težišta su na jednakoj udaljenosti od ravnine simetrije. Prema tome, težište tijela kao točka kroz koju prolazi rezultanta dviju jednakih i paralelnih sila doista će ležati u ravnini simetrije. Sličan rezultat se dobiva u slučajevima kada tijelo ima os ili centar simetrije.

Iz svojstava simetrije proizlazi da se težište homogenog okruglog prstena, okrugle ili pravokutne ploče, pravokutnog paralelopipeda, lopte i drugih homogenih tijela sa središtem simetrije nalazi u geometrijskom središtu (središtu simetrije) ova tijela.

2. Particioniranje. Ako se tijelo može podijeliti na konačan broj takvih dijelova, za svaki od njih je poznat položaj težišta, tada se koordinate težišta cijelog tijela mogu izravno izračunati pomoću formula (59) - (62). U tom će slučaju broj članova u svakom od zbrojeva biti jednak broju dijelova na koje je tijelo podijeljeno.

Zadatak 45. Odredite koordinate težišta homogene ploče prikazane na sl. 106. Sve mjere su u centimetrima.

Riješenje. Nacrtamo osi x, y i podijelimo ploču na tri pravokutnika (linije reza prikazane su na sl. 106). Izračunavamo koordinate težišta svakog od pravokutnika i njihovu površinu (vidi tablicu).

Cijela površina ploče

Zamjenom izračunatih veličina u formule (61) dobivamo:

Pronađeni položaj težišta C prikazan je na crtežu; točka C je izvan ploče.

3. Zbrajanje. Ova metoda je poseban slučaj metode particioniranja. Za tijela s izrezima vrijedi ako su poznata težišta tijela bez izreza i izreza.

Zadatak 46. Odredite položaj težišta okrugle ploče polumjera R s polumjernim rezom (slika 107). Udaljenost

Riješenje. Težište ploče leži na pravcu, jer je ovaj pravac os simetrije. Nacrtajte koordinatne osi. Da bismo pronašli koordinatu, površinu ploče dopunjujemo punim krugom (dio 1), a zatim od dobivene površine oduzimamo površinu izrezanog kruga (dio 2). U ovom slučaju, područje dijela 2, kao što je oduzeto, treba uzeti s znakom minus. Zatim

Zamjenom pronađenih vrijednosti u formule (61), dobivamo:

Nađeno težište C, kao što vidite, leži lijevo od točke

4. Integracija. Ako se tijelo ne može podijeliti na nekoliko konačnih dijelova, čiji su položaji težišta poznati, tada se tijelo najprije podijeli na proizvoljne male volumene za koje formule (60) imaju oblik

gdje su koordinate neke točke koja leži unutar volumena.Tada u jednakostima (63) prelaze na granicu težeći sve nuli, tj. sažimajući te volumene u točke. Tada se zbrojevi u jednadžbama pretvaraju u integrale protegnute po cijelom volumenu tijela, a formule (63) u granici daju:

Slično, za koordinate težišta površina i pravaca, u granicama iz formula (61) i (62) dobivamo:

Primjer primjene ovih formula za određivanje koordinata težišta razmatra se u sljedećem odlomku.

5. Eksperimentalna metoda. Težišta nehomogenih tijela složene konfiguracije (zrakoplov, parna lokomotiva i dr.) mogu se odrediti eksperimentalno. Jedna od mogućih eksperimentalnih metoda (metoda ovjesa) je da se tijelo objesi na konac ili sajlu na različitim točkama. Smjer niti na kojoj tijelo visi će svaki put dati smjer gravitacije. Sjecište ovih pravaca određuje težište tijela. Drugi mogući način eksperimentalnog određivanja težišta je metoda vaganja. Ideja iza ove metode jasna je iz primjera u nastavku.