बुनियादी प्राथमिक कार्यों में अंतर करने के लिए सूत्र लिखिए। भेदभाव के लिए सूत्र और नियम (व्युत्पन्न खोजना)

प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका

परिभाषा 1

व्युत्पन्न की गणना को कहा जाता है भेदभाव.

व्युत्पन्न $y"$ या $\frac(dy)(dx)$ को निरूपित करें।

टिप्पणी 1

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, बुनियादी नियमों के अनुसार, भेदभाव को दूसरे फ़ंक्शन में परिवर्तित किया जाता है।

डेरिवेटिव की तालिका पर विचार करें। आइए हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि उनके डेरिवेटिव खोजने के बाद कार्य अन्य कार्यों में परिवर्तित हो जाते हैं।

एकमात्र अपवाद $y=e^x$ है, जो स्वयं में बदल जाता है।

व्युत्पन्न विभेदन नियम

सबसे अधिक बार, व्युत्पन्न पाते समय, न केवल डेरिवेटिव की तालिका को देखना आवश्यक है, बल्कि पहले भेदभाव के नियमों और उत्पाद के व्युत्पन्न के प्रमाण को लागू करना है, और उसके बाद ही प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका का उपयोग करना है। .

1. व्युत्पन्न के चिह्न से स्थिरांक निकाला जाता है

$C$ एक स्थिर (स्थिर) है।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन $y=7x^4$ में अंतर करें।

समाधान।

$y"=(7x^4)"$ खोजें। हम व्युत्पन्न के संकेत के लिए संख्या $7$ निकालते हैं, हमें मिलता है:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

तालिका का उपयोग करके, आपको पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करना होगा:

$=7 \cdot 4x^3=$

हम परिणाम को गणित में स्वीकृत रूप में बदलते हैं:

उत्तर:$28x^3$।

2. योग (अंतर) का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग (अंतर) के बराबर है:

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

उदाहरण 2

फ़ंक्शन को अलग करें $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$।

समाधान।

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

व्युत्पन्न योग और अंतर के विभेदन का नियम लागू करें:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\cot x)"=$

ध्यान दें कि अंतर करते समय, सभी शक्तियों और जड़ों को $x^(\frac(a)(b))$ के रूप में रूपांतरित किया जाना चाहिए;

हम व्युत्पन्न के संकेत से सभी स्थिरांक निकालते हैं:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\cot x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$

विभेदीकरण के नियमों से निपटने के बाद, उनमें से कुछ (उदाहरण के लिए, पिछले दो की तरह) को एक साथ लागू किया जाता है ताकि लंबी अभिव्यक्ति को फिर से लिखने से बचा जा सके;

हमने व्युत्पन्न के संकेत के तहत प्राथमिक कार्यों से एक अभिव्यक्ति प्राप्त की है; आइए डेरिवेटिव की तालिका का उपयोग करें:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

गणित में स्वीकृत रूप में बदलना:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 एक्स)$

ध्यान दें कि परिणाम प्राप्त करते समय, भिन्नात्मक शक्तियों वाले शब्दों को जड़ों में और नकारात्मक वाले को भिन्नों में बदलने की प्रथा है।

उत्तर: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$.

3. कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र:

$(यूवी)"=यू" वी+यूवी"$।

उदाहरण 3

फ़ंक्शन $y=x^(11) \ln x$ में अंतर करें।

समाधान।

पहले हम कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम लागू करते हैं, और फिर हम डेरिवेटिव की तालिका का उपयोग करते हैं:

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnthx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$।

उत्तर: $x^(10) (11 \ln x-1)$।

4. एक निजी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$।

उदाहरण 4

फ़ंक्शन $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$ में अंतर करें।

समाधान।

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

गणितीय संक्रियाओं की प्राथमिकता के नियमों के अनुसार, हम पहले भाग करते हैं, और फिर जोड़ और घटाव करते हैं, इसलिए हम पहले भागफल के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम लागू करते हैं:

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

योग और अंतर के डेरिवेटिव के नियमों को लागू करें, कोष्ठक खोलें और अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ ।

उत्तर:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$।

उदाहरण 5

आइए हम फ़ंक्शन $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$ में अंतर करें।

समाधान।

फलन y दो फलनों का भागफल है, इसलिए हम भागफल के अवकलज की गणना के लिए नियम लागू कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में हमें एक बोझिल फलन मिलता है। इस फ़ंक्शन को सरल बनाने के लिए, आप अंश को हर पद से पद से विभाजित कर सकते हैं:

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$।

आइए हम सरलीकृत फ़ंक्शन पर योग के अंतर और कार्यों के अंतर के नियम को लागू करें:

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$।

उत्तर: $6x^5-\frac(9)(x^2)$।

मान लीजिए फलन y = f(x) अंतराल X में परिभाषित है। यौगिकफ़ंक्शन y \u003d f (x) बिंदु x o पर सीमा कहा जाता है

= .

यदि यह सीमा सीमित,तब फलन f(x) कहलाता है विभेदकबिंदु पर एक्स हे; इसके अलावा, यह इस बिंदु पर आवश्यक और निरंतर हो जाता है।

यदि माना सीमा  (या - ) के बराबर है, तो बशर्ते कि बिंदु . पर कार्य एक्स हेनिरंतर है, हम कहेंगे कि फलन f(x) का एक बिंदु है एक्स हे अनंत व्युत्पन्न.

व्युत्पन्न प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है

वाई , एफ (एक्स ओ), , .

व्युत्पन्न ढूँढना कहलाता है भेदभावकार्य। व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थयह है कि अवकलज किसी दिए गए बिंदु पर वक्र y=f(x) की स्पर्शरेखा का ढलान है एक्स हे ; शारीरिक भावना -इसमें समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न रेक्टिलिनियर गति के दौरान गतिमान बिंदु की तात्कालिक गति है s = s(t) पल में t o ।

यदि एक साथएक अचर संख्या है, और u = u(x), v = v(x) कुछ अवकलनीय फलन हैं, तो निम्नलिखित विभेदीकरण नियम लागू होते हैं:

1) (सी) "= 0, (सीयू)" = सीयू";

2) (यू+वी)" = यू"+वी";

3) (यूवी)" \u003d यू "वी + वी" यू;

4) (यू / वी) "= (यू" वी-वी "यू) / वी 2;

5) यदि y = f(u), u = (x), अर्थात्। वाई = एफ ( (एक्स)) - जटिल कार्य,या superposition, अवकलनीय कार्यों से बना है और f, तब , or

6) यदि फलन y = f(x) के लिए एक प्रतिलोम अवकलनीय फलन x = g(y), और 0 मौजूद है, तो .

व्युत्पन्न की परिभाषा और विभेदीकरण के नियमों के आधार पर, कोई भी मूल प्राथमिक कार्यों के सारणीबद्ध व्युत्पन्नों की एक सूची संकलित कर सकता है।

1. (यू )" = यू  1 यू" ( आर).

2. (ए यू)" = ए यू लैन यू"।

3. (ई यू)" = ई यू यू"।

4. (लॉग ए यू)" = यू"/(यू एलएन ए)।

5. (एलएन यू)" = यू"/यू।

6. (sin u)" = cos u u"।

7. (cos u)" = - sin u u"।

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u"।

9. (सीटीजी यू)" = - यू" / पाप 2 यू।

10. (आर्कसिन यू)" = यू" /।

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (आर्कटग यू)" = यू"/(1 + यू 2)।

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2)।

आइए हम घातांकीय व्यंजक y=u v , (u>0) के अवकलज की गणना करें, जहां तुमतथा वीसमारोह का सार एक्सकिसी दिए गए बिंदु पर व्युत्पन्न होना आप",वी".

समानता y=u v का लघुगणक लेते हुए, हम ln y = v ln u प्राप्त करते हैं।

के संबंध में डेरिवेटिव की बराबरी करना एक्सनियम 3, 5 और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र का उपयोग करके प्राप्त समानता के दोनों हिस्सों से, हमारे पास होगा:

y"/y = vu"/u + v" ln u, जहाँ से y" = y (vu"/u + v" ln u)।

(यू वी)"=यू वी (वीयू"/यू+वी" लॉग यू), यू> 0।

उदाहरण के लिए, यदि y \u003d x sin x, तो y" \u003d x sin x (पाप x / x + cos x ln x)।

यदि फलन y = f(x) एक बिंदु पर अवकलनीय है एक्स, अर्थात। इस बिंदु पर एक परिमित व्युत्पन्न है वाई", फिर = y "+, जहां 0 0 पर; इसलिए y = y" х + x।

फ़ंक्शन वृद्धि का मुख्य भाग, x के संबंध में रैखिक, कहलाता है अंतर कार्योंऔर dy द्वारा निरूपित किया जाता है: dy \u003d y "x। यदि हम इस सूत्र में y \u003d x डालते हैं, तो हमें dx \u003d x" x \u003d 1x \u003d x मिलता है, इसलिए dy \u003d y "dx, यानी व्युत्पन्न के लिए संकेतन के लिए एक प्रतीक को एक अंश के रूप में माना जा सकता है।

फंक्शन इंक्रीमेंट आपवक्र की कोटि की वृद्धि है, और अंतर d आपस्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि है।

आइए हम फलन y=f(x) के व्युत्पन्न y = f (x) के लिए खोजें। इस व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को कहा जाता है दूसरा क्रम व्युत्पन्नफलन f(x), या दूसरा व्युत्पन्न,और निरूपित .

निम्नलिखित को उसी तरह परिभाषित और निरूपित किया गया है:

तीसरा क्रम व्युत्पन्न - ,

चौथा क्रम व्युत्पन्न -

और आम तौर पर बोल रहा हूँ nवां क्रम व्युत्पन्न - .

उदाहरण 3.15. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें y=(3x 3 -2x+1)sin x।

समाधान।नियम 3 के अनुसार, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x) +1) कॉस एक्स।

उदाहरण 3.16 . y", y = tg x + खोजें।

समाधान।योग और भागफल में अंतर करने के नियमों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

उदाहरण 3.17. एक जटिल फलन y= , u=x 4 +1 का अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान।एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम के अनुसार, हमें मिलता है: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +। चूंकि u \u003d x 4 +1, फिर (2 x 4 + 2+ .

नीचे दिए गए सभी सूत्रों में अक्षर तुमतथा वीस्वतंत्र चर के अवकलनीय फलनों को निरूपित किया जाता है एक्स: , , लेकिन अक्षरों में एक, सी, एन- स्थायी:

1.

3.

4.

5.

6.

शेष सूत्र एक स्वतंत्र चर के कार्यों और जटिल कार्यों दोनों के लिए लिखे गए हैं:

8.

9.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7ए.

8ए.

9ए.

11ए

12ए.

13ए

16ए

17ए.

नीचे दिए गए उदाहरणों को हल करते समय विस्तृत नोट्स बनाए जाते हैं। हालांकि, किसी को मध्यवर्ती प्रविष्टियों के बिना अंतर करना सीखना चाहिए।

उदाहरण 1किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं .

समाधान। यह फलन फलन का बीजगणितीय योग है। हम सूत्र 3, 5, 7 और 8 का उपयोग करके इसे अलग करते हैं:

उदाहरण 2किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

समाधान। सूत्र 6, 3, 7 और 1 को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 3किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं और इसके मूल्य की गणना करें

समाधान। यह एक मध्यवर्ती तर्क के साथ एक जटिल कार्य है। सूत्र 7a और 10 का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

.

उदाहरण 4किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं .

समाधान। यह एक मध्यवर्ती तर्क के साथ एक जटिल कार्य है। सूत्र 3, 5, 7a, 11, 16a को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 5किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन को सूत्र 6, 12, 3 और 1 द्वारा अलग करते हैं:

उदाहरण 6किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं और इसके मूल्य की गणना करें।

समाधान। सबसे पहले, हम लघुगणक के गुणों का उपयोग करके फ़ंक्शन को रूपांतरित करते हैं:

अब हम सूत्र 3, 16a, 7 और 1 द्वारा अंतर करते हैं:

.

आइए व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें।

उदाहरण 7फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं और इसके मूल्य की गणना करें।

समाधान। हम सूत्र 6, 3, 14a, 9a, 5 और 1 का उपयोग करते हैं:

.

व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें:

.

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की एक सरल और महत्वपूर्ण ज्यामितीय व्याख्या होती है।

यदि समारोह एक बिंदु पर अवकलनीय एक्स, तो इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ में संबंधित बिंदु पर एक स्पर्शरेखा होती है, और स्पर्शरेखा का ढलान विचाराधीन बिंदु पर व्युत्पन्न के मान के बराबर होता है।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा का ढलान बिंदु पर ( एक्स 0 , पर 0), फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर है एक्स = एक्स 0, यानी .

इस स्पर्शरेखा के समीकरण का रूप है

उदाहरण 8. फ़ंक्शन ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण लिखें बिंदु ए (3.6) पर।

समाधान। स्पर्शरेखा का ढलान खोजने के लिए, हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:

एक्स= 3:

स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है

, या , अर्थात।

उदाहरण 9भुज के साथ बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें एक्स = 2.

समाधान। सबसे पहले, स्पर्श बिंदु की कोटि ज्ञात करें। चूँकि बिंदु A वक्र पर स्थित है, इसके निर्देशांक वक्र के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, अर्थात।

; .

बिंदु पर वक्र पर खींची गई स्पर्श रेखा के समीकरण का रूप होता है . स्पर्शरेखा का ढलान खोजने के लिए, हम व्युत्पन्न पाते हैं:

.

स्पर्शरेखा का ढलान फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान के बराबर है एक्स= 2:

स्पर्शरेखा समीकरण है:

, , अर्थात।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ।यदि शरीर नियम के अनुसार एक सीधी रेखा में गति करता है एस = एस (टी), फिर कुछ समय के लिए (पल से .) टीइस क्षण तक ) यह किसी तरह चलेगा। फिर कुछ समय के लिए गति की औसत गति होती है।

रफ़्तारएक निश्चित समय पर शरीर की हलचल टीसमय की वृद्धि के लिए पथ के अनुपात की सीमा कहा जाता है, जब समय की वृद्धि शून्य हो जाती है:

.

इसलिए, पथ s . का समय व्युत्पन्न टीएक निश्चित समय में पिंड की सीधी गति की गति के बराबर:

.

भौतिक, रासायनिक और अन्य प्रक्रियाओं की दर भी व्युत्पन्न का उपयोग करके व्यक्त की जाती है।

फ़ंक्शन व्युत्पन्न तर्क के दिए गए मान के लिए इस फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर के बराबर है एक्स:

उदाहरण 10एक सीधी रेखा के अनुदिश एक बिंदु की गति का नियम सूत्र द्वारा दिया जाता है (एस - मीटर में, टी - सेकंड में)। पहले सेकंड के अंत में बिंदु की गति पाएं।

समाधान। एक निश्चित समय पर एक बिंदु की गति पथ के व्युत्पन्न के बराबर होती है एससमय तक टी:

,

तो, पहले सेकंड के अंत में बिंदु की गति 9 मीटर/सेकेंड है।

उदाहरण 11.लंबवत ऊपर की ओर फेंकी गई वस्तु कानून के अनुसार चलती है, जहां वी 0 - प्रारंभिक गति, जीमुक्त गिरावट त्वरण है। किसी भी क्षण के लिए इस गति की गति ज्ञात कीजिए टी. शरीर कितने समय तक उठेगा और कितनी ऊंचाई तक उठेगा यदि v0= 40 मीटर/सेक?

समाधान। वह गति जिससे एक बिंदु एक निश्चित समय में गति कर रहा है टीपथ के व्युत्पन्न के बराबर एससमय तक टी:

.

चढ़ाई के उच्चतम बिंदु पर, शरीर का वेग शून्य होता है:

, , , , साथ।

40 से अधिक/ जीसेकंड में शरीर ऊंचाई तक बढ़ जाता है

, एम।

दूसरा व्युत्पन्न।

फ़ंक्शन व्युत्पन्न सामान्य तौर पर का एक कार्य है एक्स. यदि हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं, तो हमें दूसरे क्रम का व्युत्पन्न या फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न प्राप्त होता है .

दूसरा व्युत्पन्नकार्यों इसके पहले व्युत्पन्न का व्युत्पन्न कहा जाता है .

किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न प्रतीकों में से एक द्वारा निरूपित किया जाता है - , , । इस तरह, .

किसी भी आदेश के डेरिवेटिव को उसी तरह परिभाषित और निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक तीसरा क्रम व्युत्पन्न:

या ,

उदाहरण 12. .

समाधान। पहले हम पहला व्युत्पन्न पाते हैं

उदाहरण 13फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजें और इसके मूल्य की गणना करें एक्स = 2.

समाधान। पहले हम पहला व्युत्पन्न पाते हैं:

फिर से अंतर करते हुए, हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं:

आइए हम दूसरे व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें एक्स = 2; अपने पास

दूसरे व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ।

यदि शरीर नियम के अनुसार एक सीधी रेखा में गति करता है एस = एस (टी), फिर पथ का दूसरा व्युत्पन्न एससमय तक टीएक निश्चित समय में शरीर के त्वरण के बराबर टी:

इस प्रकार, पहला व्युत्पन्न कुछ प्रक्रिया की गति को दर्शाता है, और दूसरा व्युत्पन्न उसी प्रक्रिया के त्वरण को दर्शाता है।

उदाहरण 14बिंदु नियम के अनुसार एक सीधी रेखा में गति करता है . आंदोलन की गति और त्वरण का पता लगाएं .

समाधान। एक निश्चित समय पर शरीर की गति पथ के व्युत्पन्न के बराबर होती है एससमय तक टी,और त्वरण पथ का दूसरा व्युत्पन्न है एससमय तक टी. हम देखतें है:

; फिर ;

; फिर

उदाहरण 15रेक्टिलिनियर गति की गति यात्रा किए गए पथ के वर्गमूल के समानुपाती होती है (जैसे, उदाहरण के लिए, फ्री फ़ॉल में)। सिद्ध कीजिए कि यह गति एक अचर बल के प्रभाव में होती है।

समाधान। न्यूटन के नियम के अनुसार, गति करने वाला बल F त्वरण के समानुपाती होता है, अर्थात।

या

शर्त के अनुसार . इस समानता को अलग करते हुए, हम पाते हैं

इसलिए, अभिनय बल .

किसी फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न के अनुप्रयोग.

1) फ़ंक्शन के बढ़ने की स्थिति: एक अवकलनीय फलन y = f(x) अंतराल X पर नीरस रूप से बढ़ता है यदि और केवल यदि इसका अवकलज शून्य से अधिक है, अर्थात्। y = f(x) f'(x) > 0. इस स्थिति का ज्यामितीय रूप से अर्थ है कि इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा x-अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक न्यून कोण बनाती है।

2) फलन के घटने की स्थिति: एक अवकलनीय फलन y = f(x) अंतराल X पर नीरस रूप से घटता है यदि और केवल यदि इसका अवकलज शून्य से कम है, अर्थात।

वाई = एफ (एक्स)↓ f'(x) इस स्थिति का ज्यामितीय रूप से अर्थ है कि इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण बनाती है)

3) समारोह की स्थिरता की स्थिति:एक अवकलनीय फलन y = f(x) अंतराल X पर स्थिर होता है यदि और केवल यदि इसका अवकलज शून्य के बराबर हो, अर्थात्। y = f(x) - स्थिरांक एफ'(एक्स) = 0।इस स्थिति का ज्यामितीय रूप से अर्थ है कि इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा oX अक्ष के समानांतर है, अर्थात α \u003d 0)

समारोह चरम।

परिभाषा 1: बिंदु x \u003d x 0 कहा जाता है न्यूनतम बिंदुफ़ंक्शन y = f(x), यदि इस बिंदु का एक पड़ोस है, जिसके सभी बिंदुओं के लिए (बिंदु को छोड़कर) असमानता f(x)> f(x 0)

परिभाषा 2:बिंदु x \u003d x 0 कहा जाता है अधिकतम बिंदुफलन y = f(x) यदि इस बिंदु में सभी बिंदुओं के लिए एक पड़ोस है (बिंदु को छोड़कर) असमानता f(x)< f(x 0).

परिभाषा 3: किसी फलन के न्यूनतम या अधिकतम बिंदु को बिंदु कहते हैं चरम. इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मान को चरम कहा जाता है।

टिप्पणियां: 1. अधिकतम (न्यूनतम) आवश्यक रूप से फ़ंक्शन का अधिकतम (सबसे छोटा) मान नहीं है;

2. एक फ़ंक्शन में कई अधिकतम या न्यूनतम हो सकते हैं;

3. किसी खंड पर परिभाषित एक फलन केवल इस खंड के आंतरिक बिंदुओं पर चरम सीमा तक पहुंच सकता है।

5) एक चरम के लिए आवश्यक शर्त:यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) का बिंदु x \u003d x 0 पर एक चरम है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है। इन बिंदुओं को कहा जाता है पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदु.

6) समारोह के चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें:मान लें कि फ़ंक्शन y \u003d f (x) अंतराल X पर निरंतर है और इस अंतराल के अंदर 1 प्रकार x \u003d x 0 के महत्वपूर्ण बिंदु के रूप में है, फिर:

a) यदि इस बिंदु का एक पड़ोस है जिसमें x . के लिए< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f'(x) > 0, तो x = x 0 एक बिंदु है न्यूनतमफलन y = f(x);

बी) यदि इस बिंदु का एक पड़ोस है जिसमें x . के लिए< х 0 f’(x) >0, और x> x 0 . के लिए

च'(एक्स)< 0, то х = х 0 является точкой ज्यादा से ज्यादाफलन y = f(x);

ग) यदि इस बिंदु का ऐसा पड़ोस है कि इसमें बिंदु x 0 के दाएं और बाएं दोनों ओर व्युत्पन्न के संकेत समान हैं, तो बिंदु x 0 पर कोई चरम नहीं है।

घटते या बढ़ते कार्यों के अंतराल को अंतराल कहा जाता है। एकरसता।

परिभाषा1:वक्र y = f(x) कहलाता है उत्तल नीचेअंतराल पर a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется उत्तल ऊपरअंतराल पर a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

परिभाषा 2:वे अंतराल जिनमें फलन का ग्राफ ऊपर या नीचे उत्तल होता है, कहलाते हैं अंतराल पर फूलनाफ़ंक्शन ग्राफ।

वक्र के उत्तल होने के लिए पर्याप्त स्थिति।अवकलनीय फलन Y = f(x) का आलेख है उत्तल ऊपरअंतराल पर a< х <в, если f”(x) < 0 и उत्तल नीचे, अगर f”(x) > 0.

परिभाषा 1:वे बिंदु जिन पर द्वितीय अवकलज शून्य है या अस्तित्व में नहीं है, कहलाते हैं दूसरी तरह के महत्वपूर्ण बिंदु.

परिभाषा 2:फलन Y = f(x) के ग्राफ का वह बिंदु जो इस ग्राफ की विपरीत दिशाओं की उत्तलता के अंतराल को अलग करता है, बिंदु कहलाता है मोड़

संक्रमण का बिन्दु

उदाहरण: एक फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 2x 2 + 6x - 4. दिया गया है। एकरसता और चरम बिंदुओं के अंतराल के लिए फ़ंक्शन की जांच करें। उत्तलता और विभक्ति बिंदुओं की दिशा निर्धारित करें।

हल: 1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए: D(y) = ;

2. पहला अवकलज ज्ञात कीजिए: y' = 3x 2 - 4x + 6;

3. आइए समीकरण को हल करें: y' = 0, 3x 2 - 4x + 6 = 0, D 0, तो इस समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए कोई चरम बिंदु नहीं हैं। y' , तो फ़ंक्शन परिभाषा के पूरे डोमेन में बढ़ता है।

4. दूसरा अवकलज ज्ञात कीजिए: y” = 6x - 4;

5. समीकरण हल करें: y” = 0, 6x - 4 = 0, x =

उत्तर: ( ; - ) - विभक्ति बिंदु, फलन x पर ऊपर की ओर उत्तल है और x पर ऊपर की ओर उत्तल है

स्पर्शोन्मुख।

1. परिभाषा: वक्र का स्पर्शोन्मुख एक सीधी रेखा है जिस पर दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ अनिश्चित काल तक पहुंचता है।

2. स्पर्शोन्मुख के प्रकार:

1) उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी. फलन y = f(x) के आलेख में एक उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है यदि । उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी समीकरण का रूप x = a . है

2) क्षैतिज अनंतस्पर्शी. फलन y = f(x) के आलेख में एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है यदि . क्षैतिज अनंतस्पर्शी समीकरण y = b है।

उदाहरण 1: फलन y = के लिए अनंतस्पर्शी ज्ञात कीजिए।

3) परोक्ष स्पर्शोन्मुख।सीधी रेखा y = kx + b को फलन y = f(x) if के ग्राफ का तिरछा अनंतस्पर्शी कहा जाता है। k और b के मानों की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है: k = ; बी =।

समाधान: , तो y = 0 क्षैतिज अनंतस्पर्शी है;

(चूंकि x - 3 0, x ≠ 3), तो x = 3 लंबवत अनंतस्पर्शी है। ,टी। यानी k = 0, तो वक्र का कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं है।

उदाहरण 2: फलन y = के लिए अनंतस्पर्शी ज्ञात कीजिए।

समाधान: x 2 - 25 ≠ 0 x ± 5 के साथ, फिर x \u003d 5 और x \u003d - 5 क्षैतिज अनंतस्पर्शी हैं;

y = , तो वक्र में कोई उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं है;

के =; b = , यानी y = 5x - तिरछी अनंतस्पर्शी।

फंक्शन ग्राफ बनाने के उदाहरण.

उदाहरण 1 ।

फ़ंक्शन की जांच करें और फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 6x 2 + 9x - 3 का ग्राफ़ बनाएं

1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए: D(y) = R

y (- x) \u003d (- x) 3 - 6 (- x) 2 + 9 (-x) - 3 \u003d - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 \u003d - (x 3 + 6x 2 + 9x) + 3), यानी।

(y \u003d x 5 - x 3 - विषम, y \u003d x 4 + x 2 - सम)

3. आवधिक नहीं है।

4. निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें: यदि x \u003d 0, तो y \u003d - 3 (0; - 3)

यदि Y = 0, x ज्ञात करना कठिन है।

5. फलन के ग्राफ के अनंतस्पर्शी ज्ञात कीजिए: कोई उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं हैं, क्योंकि कोई x मान नहीं है जिसके लिए फ़ंक्शन अनिश्चित है; y = , अर्थात्, कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं हैं;

k = , यानी, कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

6. हम एकरसता और उसके चरम के अंतराल के लिए फलन की जांच करते हैं: y' = 3x 2 - 12x + 9,

y'= 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदु।

आइए अवकलज के चिह्न ज्ञात करें: y'(0) = 9 > 0; वाई'(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y अधिकतम = y(1) = 1, (1;1) - अधिकतम बिंदु; y मिनट \u003d y (3) \u003d - 3, (3; - 3) - न्यूनतम बिंदु, x और y के लिए फ़ंक्शन y .

7. हम उत्तलता और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल के लिए फलन की जांच करते हैं:

y" = (y')' = (3x 2 - 12x + 9)' = 6x - 12, y" = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - पहली तरह का महत्वपूर्ण बिंदु।

आइए दूसरे व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें: y”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - विभक्ति बिंदु, फलन x पर उत्तल है और नीचे x पर उत्तल है।

8. अतिरिक्त अंक:

9. आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं:

फलन की जाँच करें और फलन y = . को आलेखित करें

1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए: 1 - x 0, x ≠ 1, D(y) = ।

2. ज्ञात कीजिए कि दिया गया फलन सम है या विषम: ,

y(- x) y(x) सम नहीं है और y(- x) - y(x) विषम नहीं है

3. आवधिक नहीं है।

4. निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें: x \u003d 0, फिर y \u003d - 2; y = 0, तब , यानी (0; - 2); ()।

5. फलन के ग्राफ के अनंतस्पर्शी ज्ञात कीजिए: चूँकि x ≠ 1, तो रेखा x = 1 ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है;

मान लीजिए फलन y = f(x) अंतराल X में परिभाषित है। यौगिकफ़ंक्शन y \u003d f (x) बिंदु x o पर सीमा कहा जाता है

यदि यह सीमा सीमित,तब फलन f(x) कहलाता है विभेदकबिंदु पर एक्स ओ; इसके अलावा, यह इस बिंदु पर आवश्यक और निरंतर हो जाता है।

यदि माना सीमा ¥ (या - ) के बराबर है, तो बशर्ते कि बिंदु . पर कार्य एक्स ओनिरंतर है, हम कहेंगे कि फलन f(x) का एक बिंदु है एक्स ओ अनंत व्युत्पन्न.

व्युत्पन्न प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है

वाई , एफ (एक्स ओ), , .

व्युत्पन्न ढूँढना कहलाता है भेदभावकार्य। व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थयह है कि अवकलज किसी दिए गए बिंदु पर वक्र y=f(x) की स्पर्शरेखा का ढलान है एक्स ओ; शारीरिक भावना -इसमें समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न रेक्टिलिनियर गति के दौरान गतिमान बिंदु की तात्कालिक गति है s = s(t) पल में t o ।

यदि एक साथएक अचर संख्या है, और u = u(x), v = v(x) कुछ अवकलनीय फलन हैं, तो निम्नलिखित विभेदीकरण नियम लागू होते हैं:

1) (सी) "= 0, (सीयू)" = सीयू";

2) (यू+वी)" = यू"+वी";

3) (यूवी)" \u003d यू "वी + वी" यू;

4) (यू / वी) "= (यू" वी-वी "यू) / वी 2;

5) यदि y = f(u), u = j(x), अर्थात्। वाई = एफ (जे (एक्स)) - जटिल कार्य,या superposition, अलग-अलग कार्यों से बना है जे और एफ, फिर, या

6) यदि किसी फलन y = f(x) के लिए एक प्रतिलोम अवकलनीय फलन x = g(y), और 0 मौजूद है, तो .

व्युत्पन्न की परिभाषा और विभेदीकरण के नियमों के आधार पर, कोई भी मूल प्राथमिक कार्यों के सारणीबद्ध व्युत्पन्नों की एक सूची संकलित कर सकता है।

1. (यू एम)" = एम यू एम - 1 यू" (एम О आर).

2. (ए यू)" = ए यू एलएनए × यू"।

3. (ई यू)" = ई यू यू"।

4. (लॉग ए यू)" = यू"/(यू एलएन ए)।

5. (एलएन यू)" = यू"/यू।

6. (sin u)" = cos u × u"।

7. (cos u)" = - sin u × u"।

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u × u"।

9. (सीटीजी यू)" = - यू" / पाप 2 यू।

10. (आर्कसिन यू)" = यू" /।

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (आर्कटग यू)" = यू"/(1 + यू 2)।

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2)।

घातीय अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करें
y=u v , (u>0), कहा पे तुमतथा वीसमारोह का सार एक्सकिसी दिए गए बिंदु पर व्युत्पन्न होना आप",वी".

समानता y=u v का लघुगणक लेते हुए, हम ln y = v ln u प्राप्त करते हैं।

के संबंध में डेरिवेटिव की बराबरी करना एक्सनियम 3, 5 और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र का उपयोग करके प्राप्त समानता के दोनों हिस्सों से, हमारे पास होगा:

y"/y = vu"/u + v" ln u, जहाँ से y" = y (vu"/u + v" ln u)।

(यू वी)"=यू वी (वीयू"/यू+वी" लॉग यू), यू> 0।

उदाहरण के लिए, यदि y \u003d x sin x, तो y" \u003d x sin x (पाप x / x + cos x × ln x)।

यदि फलन y = f(x) एक बिंदु पर अवकलनीय है एक्स, अर्थात। इस बिंदु पर एक परिमित व्युत्पन्न है वाई", फिर \u003d y "+a, जहां a®0 और Dx® 0; इसलिए D y \u003d y" Dx + a x।

फ़ंक्शन वृद्धि का मुख्य भाग, Dx के संबंध में रैखिक, कहलाता है समारोह अंतरऔर dy: dy \u003d y "Dx। यदि हम इस सूत्र में y \u003d x डालते हैं, तो हमें dx \u003d x" Dx \u003d 1 × Dx \u003d Dx मिलता है, इसलिए dy \u003d y "dx, अर्थात्। व्युत्पन्न को निरूपित करने के लिए प्रतीक को भिन्न के रूप में माना जा सकता है।

डी फंक्शन इंक्रीमेंट आपवक्र की कोटि की वृद्धि है, और अंतर d आपस्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि है।

आइए हम फलन y=f(x) के व्युत्पन्न y ¢= f ¢(x) के लिए खोजें। इस व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को कहा जाता है दूसरा क्रम व्युत्पन्नफलन f(x), या दूसरा व्युत्पन्न,और निरूपित किया जाता है।

निम्नलिखित को उसी तरह परिभाषित और निरूपित किया गया है:

तीसरा क्रम व्युत्पन्न - ,

चौथा क्रम व्युत्पन्न -

और आम तौर पर बोल रहा हूँ nवां क्रम व्युत्पन्न - .

उदाहरण 15फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें y=(3x 3 -2x+1)×sin x।

समाधान।नियम 3 के अनुसार, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2) sinx + (3x 3 -2x+1) cos x।

उदाहरण 16. y", y = tg x + खोजें।

समाधान।योग और भागफल में अंतर करने के लिए नियमों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = ।

उदाहरण 17.एक जटिल फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए y= ,
यू = एक्स 4 +1।

समाधान।एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम के अनुसार, हमें मिलता है: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +। चूंकि u \u003d x 4 +1, फिर
(2 x 4 +2+।

उदाहरण 18.

समाधान।आइए हम फलन y= को दो फलनों के अध्यारोपण के रूप में निरूपित करें: y = e u और u = x 2 । हमारे पास है: y" x \u003d y " u u" x \u003d (e u)" u (x 2)" x \u003d e u ×2x। प्रतिस्थापित करना x2के बजाय तुम, हमें y=2x प्राप्त होता है।

उदाहरण 19.फलन y=ln sin x का अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान। u=sin x को निरूपित करें, फिर जटिल फलन y=ln u के अवकलज की गणना सूत्र y" = (ln u)" u (sin x)" x = द्वारा की जाती है।

उदाहरण 20.फलन y= का अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान।कई सुपरपोजिशन के परिणामस्वरूप प्राप्त एक जटिल फ़ंक्शन का मामला नियम 5 के लगातार आवेदन से समाप्त हो गया है:

उदाहरण 21. व्युत्पन्न y=ln की गणना करें।

समाधान।लघुगणक लेना और लघुगणक के गुणों का उपयोग करना, हम प्राप्त करते हैं:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x।

अंतिम समानता के दोनों भागों को अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

2.2. अर्थशास्त्र में सीमा विश्लेषण। समारोह लोच

आर्थिक अनुसंधान में, डेरिवेटिव को संदर्भित करने के लिए अक्सर विशिष्ट शब्दावली का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि एफ (एक्स)एक उत्पादन फलन है जो किसी उत्पाद के उत्पादन की कारक की लागत पर निर्भरता को व्यक्त करता है एक्स, फिर च"(एक्स)बुलाया सीमांत उत्पाद; यदि जी (एक्स)एक लागत फलन है, अर्थात् एक फलन जी (एक्स)उत्पादन की मात्रा पर कुल लागत की निर्भरता को व्यक्त करता है एक्स, फिर जी"(एक्स)बुलाया सीमांत लागत.

अर्थशास्त्र में सीमांत विश्लेषण- उत्पादन, खपत आदि की मात्रा में परिवर्तन होने पर लागत या परिणामों के बदलते मूल्यों का अध्ययन करने के तरीकों का एक सेट। उनके सीमित मूल्यों के विश्लेषण के आधार पर। अधिकांश भाग के लिए, सामान्य सांख्यिकीय आंकड़ों के आधार पर नियोजन गणना सारांश संकेतकों के रूप में की जाती है। इस मामले में, विश्लेषण में मुख्य रूप से औसत मूल्यों की गणना शामिल है। हालांकि, कुछ मामलों में, सीमित मूल्यों को ध्यान में रखते हुए अधिक विस्तृत अध्ययन आवश्यक है। उदाहरण के लिए, भविष्य के लिए किसी क्षेत्र में अनाज उत्पादन की लागत का निर्धारण करते समय, यह ध्यान में रखा जाता है कि लागत अलग-अलग हो सकती है, अन्य सभी चीजें समान होने के कारण, अनाज की फसल की अपेक्षित मात्रा पर, क्योंकि सबसे खराब भूमि पर फिर से खेती में शामिल, उत्पादन लागत औसतन क्षेत्र की तुलना में अधिक होगी।

यदि दो संकेतकों के बीच संबंध वीतथा एक्सविश्लेषणात्मक रूप से दिया गया है: v = f(x) - तब औसत मूल्यसंबंध का प्रतिनिधित्व करता है वी/एक्स, एक परम- व्युत्पन्न।

श्रम उत्पादकता ढूँढना।चलो समारोह
यू = यू (टी), उत्पादन की मात्रा को व्यक्त करते हुए तुमकाम करते समय टी. आइए समय के दौरान उत्पादित माल की मात्रा की गणना करें
डीटी \u003d टी 1 - टी 0: डु \u003d यू (टी 1) - यू (टी 0) \u003d यू (टी 0 + डीटी) - यू (टी 0)। औसत श्रम उत्पादकताखर्च किए गए समय के लिए उत्पादित उत्पादन की मात्रा का अनुपात है, अर्थात। z cf.= ड्यू/डीटी.

कार्यकर्ता उत्पादकता z(t 0) फिलहाल t 0 को वह सीमा कहा जाता है जिस तक z cf की ओर प्रवृत्त होता है। डीटी®0 के लिए:। इसलिए, श्रम उत्पादकता की गणना व्युत्पन्न की गणना के लिए कम हो जाती है: z (t 0) \u003d u "(t 0)।

सजातीय उत्पादों की उत्पादन लागत K उत्पादन की मात्रा का एक फलन है एक्स. इसलिए, हम K = K(x) लिख सकते हैं। मान लें कि उत्पादन की मात्रा D . से बढ़ जाती है एक्स. उत्पादन लागत x + Dх उत्पादन लागत K(x + Dх) के अनुरूप है। नतीजतन, उत्पादन की मात्रा में वृद्धि डी एक्सउत्पादन लागत में वृद्धि से मेल खाती है DK = K(x + Dх) - K(x)।

उत्पादन लागत की औसत वृद्धि DK/Dх है। यह उत्पादन की मात्रा में प्रति इकाई वृद्धि की उत्पादन लागत में वृद्धि है।

सीमा कहा जाता है उत्पादन की सीमांत लागत.

यदि द्वारा निरूपित किया जाता है आप (एक्स)विक्रय परिणाम एक्समाल की इकाइयाँ, इसे कहा जाता है मामूली राजस्व.

व्युत्पन्न की सहायता से, आप तर्क की वृद्धि के अनुरूप फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना कर सकते हैं। कई समस्याओं में, स्वतंत्र चर की प्रतिशत वृद्धि के अनुरूप आश्रित चर की प्रतिशत वृद्धि (सापेक्ष वृद्धि) की गणना करना अधिक सुविधाजनक होता है। यह हमें एक फ़ंक्शन की लोच की अवधारणा में लाता है (कभी-कभी कहा जाता है सापेक्ष व्युत्पन्न) अतः मान लीजिए कि एक फलन y = f(x) दिया गया है, जिसके लिए एक अवकलज y = f ¢(x) मौजूद है। समारोह लोच y = f(x) चर के संबंध में एक्ससीमा को बुलाओ

इसे E x (y) = x/y f ¢ (x) = से निरूपित किया जाता है।

लोच अपेक्षाकृत एक्सस्वतंत्र चर में 1% की वृद्धि के अनुरूप (ऊपर या नीचे) फ़ंक्शन में अनुमानित प्रतिशत वृद्धि है। अर्थशास्त्री मूल्य लोच की अवधारणा का उपयोग करके किसी उत्पाद की कीमत में परिवर्तन के लिए उपभोक्ताओं की संवेदनशीलता, या संवेदनशीलता को मापते हैं। कुछ उत्पादों की मांग को कीमतों में बदलाव के लिए उपभोक्ताओं की सापेक्ष संवेदनशीलता की विशेषता है, कीमत में छोटे बदलाव से खरीदी गई मात्रा में बड़े बदलाव होते हैं। ऐसे उत्पादों की मांग कहलाती है अपेक्षाकृत लोचदारया सिर्फ लचीला। अन्य उत्पादों के लिए, उपभोक्ता मूल्य परिवर्तनों के प्रति अपेक्षाकृत असंवेदनशील होते हैं, अर्थात मूल्य में एक महत्वपूर्ण परिवर्तन से खरीद की संख्या में केवल एक छोटा सा परिवर्तन होता है। ऐसे मामलों में मांग अपेक्षाकृत अकुशलया सिर्फ लोचदार। शर्त पूरी तरह से बेलोचदारमांग का मतलब चरम स्थिति से है जहां कीमत में बदलाव के परिणामस्वरूप मांग की मात्रा में कोई बदलाव नहीं होता है। एक उदाहरण तीव्र मधुमेह के रोगियों में इंसुलिन की मांग या हेरोइन के लिए नशा करने वालों की मांग है। और इसके विपरीत, जब, कीमत में सबसे छोटी कमी पर, खरीदार अपनी खरीद को अपनी क्षमताओं की सीमा तक बढ़ाते हैं, तो हम कहते हैं कि मांग है पूरी तरह से लोचदार।

फंक्शन एक्सट्रीमम

फलन y=f(x) कहलाता है की बढ़ती (घट) कुछ अंतराल में यदि x 1 . के लिए< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >एफ (एक्स 2))।

यदि किसी खंड पर एक अवकलनीय फलन y = f(x) बढ़ता है (घटता है), तो इस खंड पर इसका व्युत्पन्न f ¢(x) > 0 (f (x)< 0).

दूरसंचार विभाग एक्स ओबुलाया स्थानीय अधिकतम बिंदु (न्यूनतम) फ़ंक्शन का f(x) यदि बिंदु का एक पड़ोस है एक्स ओ, उन सभी बिंदुओं के लिए जिनमें असमानता f(x) £ f(x o) (f(x) f(x o)) सत्य है।

अधिकतम और न्यूनतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान इसके हैं एक्स्ट्रेमा।

एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें. यदि बिंदु एक्स ओफ़ंक्शन f(x) का एक चरम बिंदु है, तो या तो f (x o) = 0, या f (x o) मौजूद नहीं है। ऐसे बिंदुओं को कहा जाता है नाजुक,जहां फ़ंक्शन को महत्वपूर्ण बिंदु पर ही परिभाषित किया जाता है। किसी फ़ंक्शन की चरम सीमा को उसके महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच मांगा जाना चाहिए।

पहली पर्याप्त शर्त।होने देना एक्स ओ- महत्वपूर्ण बिंदु। यदि f (x) बिंदु . से गुजरते समय एक्स ओप्लस चिह्न को माइनस में बदल देता है, फिर बिंदु पर एक्स ओफ़ंक्शन में अधिकतम है, अन्यथा इसमें न्यूनतम है। यदि व्युत्पन्न एक महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय संकेत नहीं बदलता है, तो बिंदु पर एक्स ओकोई चरम नहीं है।

दूसरी पर्याप्त शर्त।माना फलन f(x) का एक अवकलज है
f (x) एक बिंदु के पड़ोस में एक्स ओऔर दूसरा व्युत्पन्न बहुत ही बिंदु पर एक्स ओ. यदि f (x o) = 0, >0 (<0), то точка एक्स ओफ़ंक्शन f(x) का स्थानीय न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु है। यदि = 0, तो किसी को या तो पहली पर्याप्त शर्त का उपयोग करना चाहिए या उच्च डेरिवेटिव शामिल करना चाहिए।

एक खंड पर, फ़ंक्शन y = f(x) अपने न्यूनतम या अधिकतम मान तक या तो महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या खंड के सिरों पर पहुंच सकता है।

उदाहरण 22.फलन f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान।चूंकि f (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), फिर फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु x 1 \u003d 2 और x 2 \u003d 3. चरम बिंदु कर सकते हैं केवल इन बिंदुओं पर हो। चूंकि बिंदु x 1 \u003d 2 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदल जाता है, फिर इस बिंदु पर फ़ंक्शन में अधिकतम होता है। बिंदु x 2 \u003d 3 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन माइनस से प्लस में बदल जाता है, इसलिए, बिंदु x 2 \u003d 3 पर, फ़ंक्शन में न्यूनतम होता है। अंक में फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना
x 1 = 2 और x 2 = 3, हम फलन की चरम सीमा पाते हैं: अधिकतम f(2) = 14 और न्यूनतम f(3) = 13।

उदाहरण 23.पत्थर की दीवार के पास एक आयताकार क्षेत्र बनाना आवश्यक है ताकि इसे तीन तरफ से तार की जाली से बंद कर दिया जाए और चौथी तरफ की दीवार को जोड़ दिया जाए। इसके लिए है एकग्रिड के रैखिक मीटर। किस पक्षानुपात पर साइट का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होगा?

समाधान।के माध्यम से साइट के किनारों को निरूपित करें एक्सतथा आप. साइट का क्षेत्रफल S = xy है। होने देना आपदीवार से सटे पक्ष की लंबाई है। फिर, शर्त के अनुसार, समता 2x + y = a अवश्य धारण करें। इसलिए, y = a - 2x और S = x(a - 2x), जहां 0 £ x £ a/2 (क्षेत्र की लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)। एस = ए - 4x, ए - 4x = 0 एक्स = ए / 4 के लिए, जहां से
वाई \u003d ए - 2 × ए / 4 \u003d ए / 2। चूंकि x = a/4 एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए देखें कि क्या इस बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न बदल जाता है। x . के लिए< a/4 S ¢ >0, और x >a/4 S . के लिए<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

चूँकि S निरंतर चालू है और S(0) और S(a/2) के सिरों पर इसके मान शून्य के बराबर हैं, तो पाया गया मान फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान होगा। इस प्रकार, समस्या की दी गई परिस्थितियों में साइट का सबसे अनुकूल पहलू अनुपात y = 2x है।

उदाहरण 24. V=16p »50 m 3 की क्षमता वाला एक बंद बेलनाकार टैंक बनाना आवश्यक है। इसके निर्माण के लिए कम से कम सामग्री का उपयोग करने के लिए टैंक (त्रिज्या आर और ऊंचाई एच) के आयाम क्या होने चाहिए?

समाधान।बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2pR(R+H) है। हम बेलन का आयतन जानते हैं V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 । इसलिए, S(R) = 2p(R 2 +16/R)। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
S¢(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2)। S (R) = 0 के लिए R 3 = 8, इसलिए,
आर = 2, एच = 16/4 = 4।

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