त्रिभुज aBC के शीर्षों को देखते हुए भुजा का समीकरण ज्ञात कीजिए। विमान पर सीधी रेखा। समाधान उदाहरण। ज्यामिति में समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए आपको क्या जानने और सक्षम होने की आवश्यकता है

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में समस्याओं को हल करना कैसे सीखें?
एक समतल पर त्रिभुज के साथ विशिष्ट समस्या

यह पाठ समतल की ज्यामिति और अंतरिक्ष की ज्यामिति के बीच भूमध्य रेखा के दृष्टिकोण पर बनाया गया था। फिलहाल, संचित जानकारी को व्यवस्थित करने और एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: विश्लेषणात्मक ज्यामिति में समस्याओं को हल करना कैसे सीखें?कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि ज्यामिति में अनंत संख्या में समस्याएं हैं, और किसी भी पाठ्यपुस्तक में सभी अनेक और विविध उदाहरण नहीं हो सकते हैं। नहीं है फ़ंक्शन व्युत्पन्नविभेदीकरण के पाँच नियमों के साथ, एक तालिका, और कुछ तकनीकें…।

एक समाधान है! मैं ऊंचे शब्दों में नहीं कहूंगा कि मैंने किसी प्रकार की भव्य तकनीक विकसित की है, हालांकि, मेरी राय में, विचाराधीन समस्या के लिए एक प्रभावी दृष्टिकोण है, जो एक पूर्ण केतली को भी अच्छे और उत्कृष्ट परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। कम से कम, मेरे दिमाग में ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य एल्गोरिदम ने बहुत स्पष्ट रूप से आकार लिया।

आपको क्या जानने और सक्षम होने की आवश्यकता है
ज्यामिति में समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए?

इससे दूर नहीं हो रहा है - अपनी नाक से बटन को बेतरतीब ढंग से प्रहार न करने के लिए, आपको विश्लेषणात्मक ज्यामिति की मूल बातों में महारत हासिल करने की आवश्यकता है। इसलिए, यदि आपने अभी-अभी ज्यामिति का अध्ययन शुरू किया है या इसे पूरी तरह से भूल गए हैं, तो कृपया पाठ से शुरुआत करें डमी के लिए वेक्टर. वैक्टर और उनके साथ क्रियाओं के अलावा, आपको समतल ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाओं को जानने की आवश्यकता है, विशेष रूप से, समतल में एक सीधी रेखा का समीकरणतथा । अंतरिक्ष की ज्यामिति को लेखों द्वारा दर्शाया जाता है समतल समीकरण, अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण, एक पंक्ति और एक समतल पर बुनियादी कार्य और कुछ अन्य पाठ। दूसरे क्रम की घुमावदार रेखाएँ और स्थानिक सतह कुछ अलग हैं, और उनके साथ इतनी विशिष्ट समस्याएँ नहीं हैं।

मान लीजिए कि एक छात्र के पास पहले से ही विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे सरल समस्याओं को हल करने का प्रारंभिक ज्ञान और कौशल है। लेकिन ऐसा होता है: आप समस्या की स्थिति को पढ़ते हैं, और ... आप पूरी चीज को पूरी तरह से बंद करना चाहते हैं, इसे दूर कोने में फेंक देना चाहते हैं और इसे एक दुःस्वप्न की तरह भूल जाते हैं। इसके अलावा, यह मौलिक रूप से आपकी योग्यता के स्तर पर निर्भर नहीं करता है, समय-समय पर मुझे ऐसे कार्यों का सामना करना पड़ता है जिनके लिए समाधान स्पष्ट नहीं है। ऐसे मामलों में कैसे कार्रवाई करें? जिस काम को आप नहीं समझते हैं, उससे डरने की जरूरत नहीं है!

पहले तो, पर सेट किया जाना चाहिए क्या यह "प्लानर" या स्थानिक समस्या है?उदाहरण के लिए, यदि दो निर्देशांक वाले वेक्टर स्थिति में दिखाई देते हैं, तो निश्चित रूप से, यह विमान की ज्यामिति है। और अगर शिक्षक ने कृतज्ञ श्रोता को पिरामिड से लोड किया है, तो स्पष्ट रूप से अंतरिक्ष की ज्यामिति है। पहले चरण के परिणाम पहले से ही काफी अच्छे हैं, क्योंकि हम इस कार्य के लिए अनावश्यक जानकारी की एक बड़ी मात्रा को काटने में कामयाब रहे हैं!

दूसरा. स्थिति, एक नियम के रूप में, आपको कुछ ज्यामितीय आकृति से चिंतित करेगी। वास्तव में, अपने मूल विश्वविद्यालय के गलियारों में चलो, और आपको बहुत सारे चिंतित चेहरे दिखाई देंगे।

"सपाट" समस्याओं में, स्पष्ट बिंदुओं और रेखाओं का उल्लेख नहीं करने के लिए, सबसे लोकप्रिय आकृति एक त्रिकोण है। हम इसका विस्तार से विश्लेषण करेंगे। इसके बाद समांतर चतुर्भुज आता है, और आयत, वर्ग, समचतुर्भुज, वृत्त और अन्य आंकड़े बहुत कम आम हैं।

स्थानिक कार्यों में, समान सपाट आंकड़े + स्वयं विमान और समानांतर चतुर्भुज वाले सामान्य त्रिकोणीय पिरामिड उड़ सकते हैं।

प्रश्न दो - क्या आप इस आकृति के बारे में सब कुछ जानते हैं?मान लीजिए कि स्थिति एक समद्विबाहु त्रिभुज के बारे में है, और आपको बहुत अस्पष्ट रूप से याद है कि यह किस प्रकार का त्रिभुज है। हम एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक खोलते हैं और एक समद्विबाहु त्रिभुज के बारे में पढ़ते हैं। क्या करें... डॉक्टर ने कहा एक समचतुर्भुज, तो एक समचतुर्भुज। विश्लेषणात्मक ज्यामिति विश्लेषणात्मक ज्यामिति है, लेकिन समस्या स्वयं आंकड़ों के ज्यामितीय गुणों को हल करने में मदद करेगीस्कूल के पाठ्यक्रम से हमें ज्ञात है। यदि आप नहीं जानते कि त्रिभुज के कोणों का योग क्या होता है, तो आप लंबे समय तक पीड़ित रह सकते हैं।

तीसरा. हमेशा ब्लूप्रिंट का पालन करने का प्रयास करें(एक मसौदे पर / स्वच्छ / मानसिक रूप से), भले ही यह शर्त के लिए आवश्यक न हो। "सपाट" कार्यों में, यूक्लिड ने स्वयं एक शासक को हाथ में एक पेंसिल के साथ लेने का आदेश दिया - और न केवल स्थिति को समझने के लिए, बल्कि आत्म-परीक्षण के उद्देश्य से भी। इस मामले में, सबसे सुविधाजनक पैमाना 1 इकाई = 1 सेमी (2 टेट्राड सेल) है। चलो लापरवाह छात्रों और उनकी कब्रों में घूमने वाले गणितज्ञों के बारे में बात नहीं करते हैं - ऐसी समस्याओं में गलती करना लगभग असंभव है। स्थानिक कार्यों के लिए, हम एक योजनाबद्ध आरेखण करते हैं, जो स्थिति का विश्लेषण करने में भी मदद करेगा।

एक ड्राइंग या योजनाबद्ध ड्राइंग अक्सर आपको तुरंत समस्या को हल करने का तरीका देखने की अनुमति देता है। बेशक, इसके लिए आपको ज्यामिति की नींव जानने और ज्यामितीय आकृतियों के गुणों में कटौती करने की आवश्यकता है (पिछला पैराग्राफ देखें)।

चौथी. एक समाधान एल्गोरिथ्म का विकास. कई ज्यामिति समस्याएं बहु-पास होती हैं, इसलिए समाधान और उसके डिजाइन को बिंदुओं में तोड़ना बहुत सुविधाजनक होता है। अक्सर, एल्गोरिथम तुरंत आपके दिमाग में तब आता है जब आप शर्त पढ़ लेते हैं या ड्राइंग पूरी कर लेते हैं। कठिनाइयों के मामले में, हम समस्या के प्रश्न से शुरू करते हैं. उदाहरण के लिए, शर्त के अनुसार "एक सीधी रेखा बनाने की आवश्यकता है ..."। यहां सबसे तार्किक सवाल है: "इस लाइन को बनाने के लिए जानने के लिए क्या पर्याप्त है?"। मान लीजिए, "हम बिंदु जानते हैं, हमें दिशा वेक्टर जानने की जरूरत है।" हम निम्नलिखित प्रश्न पूछते हैं: “इस दिशा वेक्टर को कैसे खोजें? कहाँ पे?" आदि।

कभी-कभी एक "प्लग" होता है - कार्य हल नहीं होता है और बस। स्टॉपर के कारण निम्नलिखित हो सकते हैं:

- प्रारंभिक ज्ञान में गंभीर अंतर। दूसरे शब्दों में, आप नहीं जानते या (और) कुछ बहुत ही साधारण बात नहीं देखते हैं।

- ज्यामितीय आकृतियों के गुणों की अज्ञानता।

- काम मुश्किल था। हाँ, ऐसा होता है। घंटों भाप लेने और रुमाल में आंसू इकट्ठा करने का कोई मतलब नहीं है। अपने शिक्षक, साथी छात्रों से पूछें या सलाह के लिए मंच पर एक प्रश्न पूछें। इसके अलावा, इसके कथन को ठोस बनाना बेहतर है - समाधान के उस हिस्से के बारे में जिसे आप नहीं समझते हैं। "समस्या का समाधान कैसे करें?" के रूप में एक रोना अच्छी नहीं लगती... और सबसे बढ़कर, अपनी प्रतिष्ठा के लिए।

चरण पांच. हम सॉल्व-चेक, सॉल्व-चेक, सॉल्व-चेक-जवाब देते हैं। कार्य के प्रत्येक आइटम की जांच करना फायदेमंद होता है करने के तुरंत बाद. यह आपको तुरंत त्रुटि खोजने में मदद करेगा। स्वाभाविक रूप से, कोई भी पूरी समस्या को जल्दी से हल करने से मना नहीं करता है, लेकिन सब कुछ फिर से लिखने का जोखिम है (अक्सर कई पृष्ठ)।

यहां, शायद, सभी मुख्य विचार हैं कि समस्याओं को हल करते समय निर्देशित किया जाना उचित है।

पाठ के व्यावहारिक भाग को समतल पर ज्यामिति द्वारा दर्शाया जाता है। केवल दो उदाहरण होंगे, लेकिन यह पर्याप्त नहीं लगेगा =)

आइए एल्गोरिथ्म के सूत्र के माध्यम से चलते हैं जिसकी मैंने अभी-अभी अपने छोटे से वैज्ञानिक कार्य में समीक्षा की है:

उदाहरण 1

एक समांतर चतुर्भुज के तीन शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष खोजें।

आइए इसका पता लगाना शुरू करें:

पहला कदम: यह स्पष्ट है कि हम एक "फ्लैट" समस्या के बारे में बात कर रहे हैं।

दूसरा चरण: समस्या एक समांतर चतुर्भुज के बारे में है। ऐसी समांतर चतुर्भुज आकृति सभी को याद है? मुस्कुराने की जरूरत नहीं है, बहुत से लोग 30-40-50 या उससे अधिक की उम्र में शिक्षित होते हैं, इसलिए साधारण तथ्यों को भी स्मृति से मिटाया जा सकता है। समांतर चतुर्भुज की परिभाषा पाठ के उदाहरण संख्या 3 में पाई जाती है वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधार.

तीसरा कदम: आइए एक चित्र बनाते हैं जिस पर हम तीन ज्ञात शीर्षों को चिह्नित करते हैं। यह मज़ेदार है कि वांछित बिंदु को तुरंत बनाना आसान है:

निर्माण, निश्चित रूप से, अच्छा है, लेकिन समाधान को विश्लेषणात्मक रूप से औपचारिक रूप दिया जाना चाहिए।

चरण चार: एक समाधान एल्गोरिथ्म का विकास। पहली बात जो दिमाग में आती है वह यह है कि एक बिंदु को रेखाओं के प्रतिच्छेदन के रूप में पाया जा सकता है। उनके समीकरण हमारे लिए अज्ञात हैं, इसलिए हमें इस मुद्दे से निपटना होगा:

1) सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं। अंक के अनुसार इन भुजाओं का दिशा सदिश ज्ञात कीजिए। यह सबसे सरल कार्य है जिसे पाठ में माना गया था। डमी के लिए वेक्टर.

टिप्पणी: "पक्ष वाली सीधी रेखा का समीकरण" कहना अधिक सही है, लेकिन इसके बाद, संक्षिप्तता के लिए, मैं "पक्ष के समीकरण", "पक्ष के निर्देशन वेक्टर", आदि वाक्यांशों का उपयोग करूंगा।

3) सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं। बिंदुओं से हम इन पक्षों की दिशा सदिश पाते हैं।

4) एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें

पैराग्राफ 1-2 और 3-4 में, हमने वास्तव में एक ही समस्या को दो बार हल किया, वैसे, पाठ के उदाहरण संख्या 3 में इसका विश्लेषण किया गया है समतल पर एक सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्या. लंबा रास्ता तय करना संभव था - पहले रेखाओं के समीकरणों को खोजें और उसके बाद ही उनसे दिशा वैक्टर को "बाहर निकालें"।

5) अब रेखाओं के समीकरण ज्ञात हैं। यह रैखिक समीकरणों की संबंधित प्रणाली को बनाने और हल करने के लिए बनी हुई है (उसी पाठ के उदाहरण संख्या 4, 5 देखें .) समतल पर एक सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्या).

बिंदु मिला।

कार्य काफी सरल है और इसका समाधान स्पष्ट है, लेकिन एक छोटा रास्ता है!

हल करने का दूसरा तरीका:

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से समद्विभाजित किया जाता है। मैंने बिंदु को चिह्नित किया, लेकिन चित्र को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैंने स्वयं विकर्णों को नहीं खींचा।

बिन्दुओं द्वारा भुजा का समीकरण लिखिए :

मानसिक रूप से या मसौदे पर जांच करने के लिए, परिणामी समीकरण में प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें। आइए अब ढलान का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, हम सामान्य समीकरण को एक ढलान वाले समीकरण के रूप में फिर से लिखते हैं:

तो ढलान कारक है:

इसी तरह, हम पक्षों के समीकरण पाते हैं। मुझे एक ही चीज़ को चित्रित करने का कोई मतलब नहीं दिखता है, इसलिए मैं तुरंत तैयार परिणाम दूंगा:

2) भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए। पाठ में चर्चा की गई यह सबसे सरल कार्य है। डमी के लिए वेक्टर. अंक के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

उसी सूत्र का उपयोग करके, अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात करना आसान है। एक नियमित शासक के साथ जाँच बहुत जल्दी की जाती है।

हम सूत्र का उपयोग करते हैं .

आइए वैक्टर खोजें:

इस तरह:

वैसे, रास्ते में, हमने पक्षों की लंबाई पाई।

नतीजतन:

खैर, यह सच प्रतीत होता है, अनुनय के लिए, आप कोने में एक चांदा लगा सकते हैं।

ध्यान! किसी त्रिभुज के कोण को सीधी रेखाओं के बीच के कोण से भ्रमित न करें। त्रिभुज का कोण अधिक हो सकता है, लेकिन सीधी रेखाओं के बीच का कोण नहीं है (लेख का अंतिम पैराग्राफ देखें समतल पर एक सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्या) हालाँकि, उपरोक्त पाठ के सूत्रों का उपयोग त्रिभुज के कोण को खोजने के लिए भी किया जा सकता है, लेकिन खुरदरापन यह है कि वे सूत्र हमेशा एक न्यून कोण देते हैं। उनकी मदद से मैंने इस समस्या को एक मसौदे पर हल किया और परिणाम प्राप्त किया। और क्लीन कॉपी पर आपको इसके लिए अतिरिक्त बहाने लिखने होंगे।

4) एक सीधी रेखा के समांतर किसी बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

मानक कार्य, पाठ के उदाहरण संख्या 2 में विस्तार से चर्चा की गई समतल पर एक सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्या. एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से दिशा वेक्टर बाहर खींचो। आइए एक बिंदु और एक निर्देशन वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें:

त्रिभुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

5) ऊंचाई का समीकरण बनाते हैं और हम इसकी लंबाई ज्ञात करेंगे।

सख्त परिभाषाओं से कोई बच नहीं सकता है, इसलिए आपको स्कूल की पाठ्यपुस्तक से चोरी करनी होगी:

त्रिकोण ऊंचाई त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली रेखा पर खींचा गया लंब कहलाता है।

अर्थात्, शीर्ष से भुजा की ओर खींचे गए लम्ब के समीकरण की रचना करना आवश्यक है। इस कार्य को पाठ के उदाहरण संख्या 6, 7 में माना जाता है समतल पर एक सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्या. समीकरण से सामान्य वेक्टर निकालें। हम बिंदु और दिशा वेक्टर के लिए ऊंचाई समीकरण की रचना करेंगे:

कृपया ध्यान दें कि हम बिंदु के निर्देशांक नहीं जानते हैं।

कभी-कभी लम्बवत रेखाओं के ढलानों के अनुपात से ऊँचाई समीकरण पाया जाता है: . इस मामले में, तो: . हम एक बिंदु और एक ढलान के लिए ऊंचाई समीकरण की रचना करेंगे (पाठ की शुरुआत देखें समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण):

ऊंचाई की लंबाई दो तरह से पाई जा सकती है।

एक गोल चक्कर है:

ए) खोजें - ऊंचाई और पक्ष के चौराहे का बिंदु;
बी) दो ज्ञात बिंदुओं से खंड की लंबाई पाएं।

लेकिन कक्षा में समतल पर एक सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएक बिंदु से एक रेखा की दूरी के लिए एक सुविधाजनक सूत्र पर विचार किया गया। बिंदु ज्ञात है: रेखा का समीकरण भी ज्ञात है: , इस तरह:

6) त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें। अंतरिक्ष में, त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना पारंपरिक रूप से का उपयोग करके की जाती है वैक्टर का क्रॉस उत्पाद, लेकिन यहाँ तल में एक त्रिभुज दिया गया है। हम स्कूल सूत्र का उपयोग करते हैं:
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार गुणा उसकी ऊंचाई का आधा गुणनफल होता है।

इस मामले में:

त्रिभुज की माध्यिका कैसे ज्ञात करें?

7) माध्यिका समीकरण की रचना कीजिए।

त्रिभुज माध्यिका त्रिभुज के शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य बिन्दु से मिलाने वाला रेखाखंड कहलाता है।

ए) एक बिंदु खोजें - पक्ष का मध्य बिंदु। हम उपयोग करते हैं मध्यबिंदु समन्वय सूत्र. खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हैं: , फिर मध्य के निर्देशांक:

इस तरह:

हम माध्यिका समीकरण की रचना बिंदुओं द्वारा करते हैं :

समीकरण की जाँच करने के लिए, आपको इसमें बिंदुओं के निर्देशांकों को स्थानापन्न करना होगा।

8) ऊँचाई और माध्यिका का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। मुझे लगता है कि हर कोई पहले ही सीख चुका है कि बिना गिरे फिगर स्केटिंग के इस तत्व को कैसे करना है:

कार्य 1. त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16)। खोजें: 1) भुजा AB की लंबाई; 2) एबी और बीसी पक्षों के समीकरण और उनके ढलान; 3) दो दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ रेडियन में कोण बी; 4) ऊंचाई सीडी और उसकी लंबाई का समीकरण; 5) माध्यिका AE का समीकरण और इस माध्यिका के प्रतिच्छेदन के बिंदु K के निर्देशांक ऊँचाई CD के साथ; 6) AB के समांतर बिंदु K से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण; 7) बिंदु M के निर्देशांक, सीधी रेखा CD के सापेक्ष बिंदु A के सममित रूप से स्थित हैं।

समाधान:

1. बिंदु A(x 1,y 1) और B(x 2 ,y 2) के बीच की दूरी d सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

(1) लागू करने पर, हम भुजा AB की लंबाई पाते हैं:

2. बिंदु A (x 1, y 1) और B (x 2, y 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है

(2)

(2) में बिंदुओं A और B के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम भुजा AB का समीकरण प्राप्त करते हैं:

y के लिए अंतिम समीकरण को हल करने के बाद, हम एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप में भुजा AB का समीकरण पाते हैं:

कहाँ पे

बिंदु B और C के निर्देशांक (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम सीधी रेखा BC का समीकरण प्राप्त करते हैं:

या

3. यह ज्ञात है कि दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की स्पर्शरेखा, जिनके कोणीय गुणांक क्रमशः बराबर होते हैं और सूत्र द्वारा परिकलित किए जाते हैं

(3)

वांछित कोण B, सीधी रेखाओं AB और BC से बनता है, जिसके कोणीय गुणांक पाए जाते हैं: (3) लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या खुश।

4. किसी दिए गए बिंदु से किसी दी गई दिशा में गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है

(4)

ऊँचाई CD भुजा AB पर लंबवत है। ऊंचाई सीडी की ढलान को खोजने के लिए, हम रेखाओं की लंबवतता की स्थिति का उपयोग करते हैं। तब से बिंदु C के निर्देशांकों को (4) में प्रतिस्थापित करने पर और ऊँचाई का पाया गया कोणीय गुणांक, हम प्राप्त करते हैं

ऊँचाई CD की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम पहले बिंदु D के निर्देशांक निर्धारित करते हैं - AB और CD रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु। सिस्टम को एक साथ हल करना:

पाना वे। डी (8; 0)।

सूत्र (1) का उपयोग करके, हम ऊंचाई सीडी की लंबाई पाते हैं:

5. माध्यिका AE के लिए समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम पहले बिंदु E के निर्देशांक निर्धारित करते हैं, जो कि भुजा BC का मध्यबिंदु है, खंड को दो बराबर भागों में विभाजित करने के लिए सूत्रों का उपयोग करते हुए:

(5)

फलस्वरूप,

बिंदु A और E के निर्देशांक (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम माध्यिका समीकरण पाते हैं:

ऊंचाई सीडी और माध्यिका एई के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, हम संयुक्त रूप से समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं

हम देखतें है ।

6. चूँकि वांछित रेखा भुजा AB के समांतर है, तो इसका ढाल रेखा AB के ढलान के बराबर होगा। (4) में पाए गए बिंदु K के निर्देशांक और ढलान हमें प्राप्त होता है

3x + 4y - 49 = 0 (केएफ)

7. चूँकि रेखा AB रेखा CD पर लंबवत है, वांछित बिंदु M, रेखा CD के सापेक्ष बिंदु A के सममित रूप से स्थित, रेखा AB पर स्थित है। इसके अलावा, बिंदु D खंड AM का मध्यबिंदु है। सूत्र (5) का उपयोग करते हुए, हम वांछित बिंदु M के निर्देशांक पाते हैं:

अंजीर में xOy निर्देशांक प्रणाली में त्रिभुज ABC, ऊँचाई CD, माध्य AE, रेखा KF और बिंदु M बनाए गए हैं। एक।

कार्य 2. बिंदुओं के स्थान के लिए एक समीकरण लिखें, जिसकी दूरी का अनुपात किसी दिए गए बिंदु A (4; 0) और किसी दी गई सीधी रेखा x \u003d 1 से 2 के बराबर है।

समाधान:

xOy निर्देशांक प्रणाली में, हम बिंदु A(4;0) और सीधी रेखा x = 1 बनाते हैं। मान लें कि M(x;y) बिंदुओं के वांछित स्थान का एक मनमाना बिंदु है। आइए हम दी गई रेखा x = 1 पर लंबवत MB छोड़ते हैं और बिंदु B के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। चूंकि बिंदु B दी गई रेखा पर स्थित है, इसलिए इसका भुज 1 के बराबर है। बिंदु B की कोटि, कोटि के बराबर है। बिंदु M का। इसलिए, B(1; y) (चित्र। 2)।

समस्या की स्थिति से |एमए|:|एमवी| = 2. दूरियां |एमए| और |एमबी| हम समस्या 1 के सूत्र (1) से पाते हैं:

बाएँ और दाएँ पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या

परिणामी समीकरण एक अतिपरवलय है, जिसमें वास्तविक अर्ध-अक्ष a = 2 है, और काल्पनिक एक है

आइए हम अतिपरवलय के फोकस को परिभाषित करें। एक अतिपरवलय के लिए, समानता संतुष्ट होती है। इसलिए, तथा हाइपरबोला के केंद्र हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, दिया गया बिंदु A(4;0) अतिपरवलय का दायां फोकस है।

आइए हम परिणामी अतिपरवलय की विलक्षणता का निर्धारण करें:

अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख समीकरणों का रूप होता है और . इसलिए, या और अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख हैं। अतिपरवलय की रचना करने से पहले, हम उसके स्पर्शोन्मुख की रचना करते हैं।

टास्क 3. बिंदु A (4; 3) और सीधी रेखा y \u003d 1 से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के स्थान के लिए एक समीकरण बनाएं। परिणामी समीकरण को उसके सरलतम रूप में कम करें।

समाधान:मान लीजिए M(x; y) बिन्दुओं के वांछित बिन्दुपथ के बिन्दुओं में से एक है। आइए हम बिंदु M से लम्बवत MB को दी गई रेखा y = 1 पर छोड़ते हैं (चित्र 3)। आइए बिंदु B के निर्देशांक निर्धारित करें। यह स्पष्ट है कि बिंदु B का भुज बिंदु M के भुज के बराबर है, और बिंदु B की कोटि 1 है, अर्थात B (x; 1)। समस्या की स्थिति से |एमए|=|एमवी|। इसलिए, बिंदुओं के वांछित स्थान से संबंधित किसी भी बिंदु M (x; y) के लिए, समानता सत्य है:

परिणामी समीकरण एक बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय को परिभाषित करता है परवलय समीकरण को उसके सरलतम रूप में कम करने के लिए, हम सेट करते हैं और y + 2 = Y तब परवलय समीकरण रूप लेता है:

समाधानकैलकुलेटर के साथ करो।
त्रिभुज निर्देशांक दिए गए हैं: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0)।
1) वेक्टर निर्देशांक
सदिशों के निर्देशांक सूत्र द्वारा ज्ञात किए जाते हैं:
एक्स = एक्स जे - एक्स मैं; वाई = वाई जे - वाई आई

उदाहरण के लिए, वेक्टर AB . के लिए

एक्स = 1-2 = -1; वाई=-2-1=-3
एबी (-1; -3)
एसी (-3; -1)
ई.पू.(-2;2)
2) वैक्टर के मॉड्यूल

3) सीधी रेखाओं के बीच का कोण
सदिश a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) के बीच का कोण सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

जहां ए 1 ए 2 \u003d एक्स 1 एक्स 2 + वाई 1 वाई 2
भुजाओं AB और AC के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

γ = आर्ककोस (0.6) = 53.13 0
4) वेक्टर प्रक्षेपण
वेक्टर प्रक्षेपण बीप्रति वेक्टर एकसूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

सदिश AB का सदिश AC पर प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए

5) त्रिभुज का क्षेत्रफल



समाधान


सूत्र के अनुसार हमें मिलता है:

6) इस संबंध में खंड का विभाजन
बिंदु A का त्रिज्या सदिश r, जो AA:AB = m 1:m 2 के संबंध में खंड AB को विभाजित करता है, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

बिंदु A के निर्देशांक सूत्र द्वारा ज्ञात किए जाते हैं:




त्रिभुज माध्यिका समीकरण
हम भुजा BC के मध्य बिंदु को M अक्षर से निरूपित करते हैं। फिर हम खंड को आधे में विभाजित करने के सूत्रों द्वारा बिंदु M के निर्देशांक पाते हैं।


एम (0; -1)
हम दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग करके माध्यिका AM के लिए समीकरण पाते हैं। माध्यिका AM बिंदुओं A(2;1) और M(0;-1) से होकर गुजरती है, इसलिए:

या

या
y=x-1 या y-x+1=0
7) सीधी रेखा समीकरण


रेखा AB . का समीकरण

या

या
वाई = 3x -5 या वाई -3x +5 = 0
रेखा एसी समीकरण

या

या
y = 1 / 3 x + 1 / 3 या 3y -x - 1 = 0
रेखा बीसी समीकरण

या

या
y = -x -1 या y + x +1 = 0
8) शीर्ष A . से खींचे गए त्रिभुज की ऊँचाई की लंबाई
बिंदु M 1 (x 1; y 1) से सीधी रेखा Ax + By + C \u003d 0 की दूरी d मात्रा के निरपेक्ष मान के बराबर है:

बिंदु A(2;1) और रेखा BC (y + x +1 = 0) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

9) शीर्ष C . के माध्यम से ऊंचाई समीकरण
बिंदु M 0 (x 0; y 0) से होकर जाने वाली रेखा और रेखा Ax + By + C = 0 के लंबवत रेखा का एक दिशा सदिश (A;B) होता है और इसलिए, इसे समीकरणों द्वारा दर्शाया जाता है:


इस समीकरण को दूसरे तरीके से भी पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम सीधी रेखा AB का ढलान k 1 पाते हैं।
समीकरण AB: y = 3x -5 यानी। कश्मीर 1 = 3
आइए दो सीधी रेखाओं के लम्बवत्ता की स्थिति से लम्ब का ढलान k ज्ञात करें: k 1 *k = -1।
इस सीधी रेखा के ढलान k 1 के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
3के = -1, जहां से के = -1 / 3
चूंकि लंब बिंदु C(-1,0) से होकर गुजरता है और इसमें k = -1 / 3 है, हम इसके समीकरण को इस रूप में देखेंगे: y-y 0 = k(x-x 0)।
x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0 को प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
या
वाई = -1 / 3 एक्स - 1 / 3
त्रिभुज द्विभाजक समीकरण
आइए हम कोण A का समद्विभाजक ज्ञात करें। समद्विभाजक के भुजा BC के प्रतिच्छेदन बिंदु को M से निरूपित करें।
आइए सूत्र का उपयोग करें:

एबी समीकरण: y -3x +5 = 0, एसी समीकरण: 3y -x - 1 = 0

^ए 53 0
समद्विभाजक कोण को समद्विभाजित करता है, इसलिए कोण NAK 26.5 0
ढलान AB की स्पर्श रेखा 3 है (क्योंकि y -3x +5 = 0)। ढलान कोण 72 . है
^एनकेए≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^एएनके 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
टीजी(45.5 0) = 1
द्विभाजक बिंदु A(2,1) से गुजरता है, सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
वाई - वाई 0 \u003d के (एक्स - एक्स 0)
वाई - 1 = 1 (एक्स - 2)
या
वाई = एक्स -1
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उदाहरण. त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A(-3; -1), B(4; 6), C(8; -2)।
आवश्यक: 1) भुजा BC की लंबाई की गणना करें; 2) भुजा BC के लिए एक समीकरण बनाइए; 3) शीर्ष B पर त्रिभुज का आंतरिक कोण ज्ञात कीजिए; 4) शीर्ष A से खींची गई AK की ऊंचाई के लिए एक समीकरण बनाएं; 5) एक सजातीय त्रिभुज (इसकी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु) के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए; 6) समन्वय प्रणाली में एक चित्र बनाएं।

व्यायाम. त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16)। आवश्यक:

1. शीर्ष B से खींची गई माध्यिका के लिए एक समीकरण लिखिए और उसकी लंबाई की गणना कीजिए।
2. शीर्ष A से खींची गई ऊंचाई के लिए एक समीकरण लिखिए और उसकी लंबाई की गणना कीजिए।
3. त्रिभुज ABC के आंतरिक कोण B की कोज्या ज्ञात कीजिए।

उदाहरण #3. त्रिभुज के शीर्ष A(1;1), B(7;4), C(4;5) दिए गए हैं। खोजें: 1) भुजा AB की लंबाई; 2) रेडियन में आंतरिक कोण ए 0.001 की सटीकता के साथ। एक चित्र बनाओ।
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उदाहरण #4. त्रिभुज के शीर्ष A(1;1), B(7;4), C(4;5) दिए गए हैं। खोजें: 1) शीर्ष सी के माध्यम से खींची गई ऊंचाई का समीकरण; 2) शीर्ष सी के माध्यम से खींची गई माध्यिका का समीकरण; 3) त्रिभुज की ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु; 4) शीर्ष सी से कम की गई ऊंचाई की लंबाई। एक चित्र बनाएं।
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उदाहरण #5. त्रिभुज ABC के शीर्ष दिए गए हैं: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13)। निर्धारित करें: 1) पक्ष एबी की लंबाई; 2) पक्षों एबी और एसी और उनके ढलानों का समीकरण; 3) त्रिभुज का क्षेत्रफल।

हम सूत्र द्वारा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करते हैं: X = x j - x i ; वाई = वाई जे - वाई आई
यहाँ X,Y सदिश के निर्देशांक हैं; x i , y i - बिंदु A i के निर्देशांक; x j , y j - बिंदु A j . के निर्देशांक
उदाहरण के लिए, वेक्टर AB . के लिए
एक्स \u003d एक्स 2 - एक्स 1; वाई = y2 - y1
एक्स = 7-(-5) = 12; वाई=-9-0=-9
एबी(12;-9), एसी(16;13), बीसी(4;22)।

व्यायाम. पिरामिड ABCD के शीर्षों के निर्देशांकों को देखते हुए। आवश्यक:

1. ऑर्ट सिस्टम में वैक्टर लिखें और इन वैक्टर के मॉड्यूल खोजें।
2. सदिशों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
3. एक वेक्टर पर एक वेक्टर के प्रक्षेपण का पता लगाएं।
4. फलक ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
5. पिरामिड ABCD का आयतन ज्ञात कीजिए।

व्यायाम. रेखाओं x + y -5 = 0 और x + 4y - 8 = 0 के बीच न्यून कोण ज्ञात कीजिए।
समाधान के लिए सुझाव. दो लाइन सेवा के बीच कोण का उपयोग करके समस्या का समाधान किया जाता है।
उत्तर: 30.96o

उदाहरण 1. बिंदुओं A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) के निर्देशांक दिए गए हैं। किनारे A1A2 की लंबाई पाएं। किनारे A1A4 और चेहरे A1A2A3 के लिए एक समीकरण लिखें। बिंदु A4 से समतल A1A2A3 पर गिराई गई ऊंचाई के लिए एक समीकरण लिखें। त्रिभुज A1A2A3 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। त्रिभुजाकार पिरामिड A1A2A3A4 का आयतन ज्ञात कीजिए।

हम सूत्र द्वारा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करते हैं: X = x j - x i ; वाई = वाई जे - वाई मैं; जेड = जेड जे - जेड आई
यहाँ X,Y,Z सदिश के निर्देशांक हैं; x i , y i , z i - बिंदु A i के निर्देशांक; x j , y j , z j - बिंदु A j के निर्देशांक;
तो, वेक्टर ए 1 ए 2 के लिए वे इस प्रकार होंगे:
एक्स \u003d एक्स 2 - एक्स 1; वाई \u003d वाई 2 - वाई 1; जेड \u003d जेड 2 - जेड 1
एक्स = 2-1; वाई = 1-0; जेड = 1-2
ए 1 ए 2 (1;1;-1)
ए 1 ए 3 (-2;2;-2)
ए 1 ए 4 (-3;-1;-3)
ए 2 ए 3 (-3;1;-1)
ए 2 ए 4 (-4;-2;-2)
ए 3 ए 4 (-1;-3;-1)
सदिश a(X;Y;Z) की लंबाई सूत्र द्वारा इसके निर्देशांक के रूप में व्यक्त की जाती है: