आकृति में सीधी रेखा का ढलान कैसे खोजें। एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण: सिद्धांत, उदाहरण, समस्या समाधान। दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

संख्यात्मक रूप से कोण के स्पर्शरेखा के बराबर (ऑक्स अक्ष से ओए अक्ष तक सबसे छोटा घूर्णन होता है) x-अक्ष की सकारात्मक दिशा और दी गई सीधी रेखा के बीच।

कोण के स्पर्शरेखा की गणना विपरीत पैर के आसन्न एक के अनुपात के रूप में की जा सकती है। कहमेशा के बराबर होता है, अर्थात, के संबंध में सीधी रेखा समीकरण का व्युत्पन्न एक्स.

कोणीय गुणांक के सकारात्मक मूल्यों के साथ कऔर शिफ्ट गुणांक का शून्य मान बीरेखा पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्थित होगी (जिसमें एक्सतथा आपसकारात्मक और नकारात्मक दोनों)। इसी समय, कोणीय गुणांक के बड़े मूल्य कएक सीधी सीधी रेखा के अनुरूप होगा, और एक छोटी सी - एक चापलूसी वाली।

रेखाएँ और लंबवत हैं यदि , और समानांतर जब ।

टिप्पणियाँ

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "लाइन स्लोप" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

ढलान (सीधे)- — विषय तेल और गैस उद्योग एन ढलान ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

- (गणितीय) संख्या k समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण में y \u003d kx + b (विश्लेषणात्मक ज्यामिति देखें), एब्सिस्सा अक्ष के सापेक्ष सीधी रेखा के ढलान की विशेषता। एक आयताकार समन्वय प्रणाली में U. से। k \u003d tg , जहां बीच का कोण है ... ... महान सोवियत विश्वकोश

ज्यामिति की एक शाखा जो निर्देशांक की विधि के आधार पर प्राथमिक बीजगणित के माध्यम से सरलतम ज्यामितीय वस्तुओं का अध्ययन करती है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माण का श्रेय आमतौर पर आर. डेसकार्टेस को दिया जाता है, जिन्होंने अपने ... ... के अंतिम अध्याय में इसकी नींव को रेखांकित किया। कोलियर इनसाइक्लोपीडिया

प्रतिक्रिया समय (आरटी) का मापन शायद अनुभवजन्य मनोविज्ञान में सबसे सम्मानित विषय है। यह 1823 में खगोल विज्ञान के क्षेत्र में उत्पन्न हुआ, गति में व्यक्तिगत अंतर के माप के साथ, जिस पर एक तारे को दूरबीन की दृष्टि की रेखा को पार करने के लिए माना जाता था। इन … मनोवैज्ञानिक विश्वकोश

गणित की एक शाखा जो परिवर्तन की विभिन्न प्रक्रियाओं के मात्रात्मक अध्ययन के तरीके देती है; परिवर्तन की दर (डिफरेंशियल कैलकुलस) के अध्ययन से संबंधित है और वक्रों की लंबाई, क्षेत्रों और घुमावदार आकृति से घिरे आंकड़ों के आयतन का निर्धारण और ... कोलियर इनसाइक्लोपीडिया

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, प्रत्यक्ष (अर्थ) देखें। एक सीधी रेखा ज्यामिति की मूल अवधारणाओं में से एक है, अर्थात इसकी कोई सटीक सार्वभौमिक परिभाषा नहीं है। ज्यामिति की एक व्यवस्थित प्रस्तुति में, एक सीधी रेखा को आमतौर पर एक के रूप में लिया जाता है ... ... विकिपीडिया

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में सीधी रेखाओं का प्रतिनिधित्व एक सीधी रेखा ज्यामिति की मूल अवधारणाओं में से एक है। ज्यामिति की एक व्यवस्थित प्रस्तुति में, एक सीधी रेखा को आमतौर पर प्रारंभिक अवधारणाओं में से एक के रूप में लिया जाता है, जो केवल परोक्ष रूप से निर्धारित होती है ... ... विकिपीडिया

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में सीधी रेखाओं का प्रतिनिधित्व एक सीधी रेखा ज्यामिति की मूल अवधारणाओं में से एक है। ज्यामिति की एक व्यवस्थित प्रस्तुति में, एक सीधी रेखा को आमतौर पर प्रारंभिक अवधारणाओं में से एक के रूप में लिया जाता है, जो केवल परोक्ष रूप से निर्धारित होती है ... ... विकिपीडिया

"एलिप्सिस" शब्द के साथ भ्रमित होने की नहीं। एलिप्से और इसके फॉसी एलिप्से (अन्य ग्रीक ἔλλειψις नुकसान, 1 तक विलक्षणता की कमी के अर्थ में) यूक्लिडियन विमान के बिंदु एम का स्थान, जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं से दूरियों का योग F1 ... ... विकिपीडिया

गणित में परीक्षा में स्पर्शरेखा के व्युत्पन्न को खोजने के लिए कार्य शामिल किए जाते हैं और वहां सालाना मिलते हैं। इसी समय, हाल के वर्षों के आंकड़े बताते हैं कि इस तरह के कार्य स्नातकों के लिए कुछ कठिनाइयों का कारण बनते हैं। इसलिए, यदि कोई छात्र परीक्षा उत्तीर्ण करने के परिणामों के आधार पर अच्छे अंक प्राप्त करने की अपेक्षा करता है, तो उसे निश्चित रूप से "संपर्क के बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य के रूप में स्पर्शरेखा के कोण कारक" अनुभाग से कार्यों का सामना करना सीखना चाहिए। ”, शकोलकोवो शैक्षिक पोर्टल के विशेषज्ञों द्वारा तैयार किया गया। उन्हें हल करने के लिए एल्गोरिदम से निपटने के बाद, छात्र प्रमाणन परीक्षा को सफलतापूर्वक पार करने में सक्षम होगा।

बुनियादी क्षण

इस विषय पर यूएसई समस्याओं को हल करने के लिए, मूल परिभाषा को याद करना आवश्यक है: एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है। यह व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ है।

एक और महत्वपूर्ण परिभाषा को ताज़ा करने की आवश्यकता है। यह इस तरह लगता है: ढलान x-अक्ष के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

इस विषय में और किन महत्वपूर्ण बिंदुओं पर ध्यान दिया जाना चाहिए? यूएसई में व्युत्पन्न खोजने के लिए समस्याओं को हल करते समय, यह याद रखना चाहिए कि स्पर्शरेखा रूपों का कोण कम, 90 डिग्री से अधिक या शून्य के बराबर हो सकता है।

परीक्षा के लिए तैयारी कैसे करें?

"संपर्क के बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य के रूप में स्पर्शरेखा की ढलान" विषय पर यूएसई में कार्यों के लिए आपको आसानी से दिया जा सकता है, तैयारी करते समय शकोलकोवो शैक्षिक पोर्टल पर इस अनुभाग की जानकारी का उपयोग करें। अंतिम परीक्षण के लिए। यहां आपको हमारे विशेषज्ञों द्वारा एकत्रित और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत आवश्यक सैद्धांतिक सामग्री मिलेगी, और आप अभ्यासों का अभ्यास करने में भी सक्षम होंगे।

प्रत्येक कार्य के लिए, उदाहरण के लिए, "झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के रूप में स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक" विषय पर कार्य, हमने सही उत्तर और समाधान एल्गोरिदम लिखा। साथ ही, छात्र जटिलता के विभिन्न स्तरों के अभ्यास ऑनलाइन कर सकते हैं। यदि आवश्यक हो, तो शिक्षक के साथ बाद में इसके समाधान पर चर्चा करने के लिए कार्य को "पसंदीदा" अनुभाग में सहेजा जा सकता है।

संख्यात्मक रूप से कोण के स्पर्शरेखा के बराबर (ऑक्स अक्ष से ओए अक्ष तक सबसे छोटा घूर्णन होता है) x-अक्ष की सकारात्मक दिशा और दी गई सीधी रेखा के बीच।

कोण के स्पर्शरेखा की गणना विपरीत पैर के आसन्न एक के अनुपात के रूप में की जा सकती है। कहमेशा के बराबर होता है, अर्थात, के संबंध में सीधी रेखा समीकरण का व्युत्पन्न एक्स.

कोणीय गुणांक के सकारात्मक मूल्यों के साथ कऔर शिफ्ट गुणांक का शून्य मान बीरेखा पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्थित होगी (जिसमें एक्सतथा आपसकारात्मक और नकारात्मक दोनों)। इसी समय, कोणीय गुणांक के बड़े मूल्य कएक सीधी सीधी रेखा के अनुरूप होगा, और एक छोटी सी - एक चापलूसी वाली।

रेखाएँ और लंबवत हैं यदि , और समानांतर जब ।

टिप्पणियाँ

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

• इफिट (एलिस का राजा)
• 2001 के लिए "राज्य पुरस्कार देने पर" रूसी संघ के राष्ट्रपति के फरमानों की सूची

देखें कि "लाइन स्लोप" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

ढलान (सीधे)- — विषय तेल और गैस उद्योग एन ढलान ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

ढलान- (गणितीय) संख्या k समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण में y \u003d kx + b (विश्लेषणात्मक ज्यामिति देखें), एब्सिस्सा अक्ष के सापेक्ष सीधी रेखा के ढलान की विशेषता। एक आयताकार समन्वय प्रणाली में U. से। k \u003d tg , जहां बीच का कोण है ... ... महान सोवियत विश्वकोश

रेखा समीकरण

विश्लेषणात्मक ज्यामिति- ज्यामिति की एक शाखा जो निर्देशांक की विधि के आधार पर प्राथमिक बीजगणित के माध्यम से सरलतम ज्यामितीय वस्तुओं की खोज करती है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माण का श्रेय आमतौर पर आर. डेसकार्टेस को दिया जाता है, जिन्होंने अपने ... ... के अंतिम अध्याय में इसकी नींव को रेखांकित किया। कोलियर इनसाइक्लोपीडिया

प्रतिक्रिया समय- प्रतिक्रिया समय (आरटी) का मापन शायद अनुभवजन्य मनोविज्ञान में सबसे सम्मानित विषय है। यह 1823 में खगोल विज्ञान के क्षेत्र में उत्पन्न हुआ, गति में व्यक्तिगत अंतर के माप के साथ, जिस पर एक तारे को दूरबीन की दृष्टि की रेखा को पार करने के लिए माना जाता था। इन … मनोवैज्ञानिक विश्वकोश

गणितीय विश्लेषण- गणित का एक खंड जो परिवर्तन की विभिन्न प्रक्रियाओं के मात्रात्मक अध्ययन के तरीके प्रदान करता है; परिवर्तन की दर (डिफरेंशियल कैलकुलस) के अध्ययन से संबंधित है और वक्रों की लंबाई, क्षेत्रों और घुमावदार आकृति से घिरे आंकड़ों के आयतन का निर्धारण और ... कोलियर इनसाइक्लोपीडिया

सीधा- इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, प्रत्यक्ष (अर्थ) देखें। एक सीधी रेखा ज्यामिति की मूल अवधारणाओं में से एक है, अर्थात इसकी कोई सटीक सार्वभौमिक परिभाषा नहीं है। ज्यामिति की एक व्यवस्थित प्रस्तुति में, एक सीधी रेखा को आमतौर पर एक के रूप में लिया जाता है ... ... विकिपीडिया

सीधी रेखा- एक आयताकार समन्वय प्रणाली में सीधी रेखाओं की छवि एक सीधी रेखा ज्यामिति की मूल अवधारणाओं में से एक है। ज्यामिति की एक व्यवस्थित प्रस्तुति में, एक सीधी रेखा को आमतौर पर प्रारंभिक अवधारणाओं में से एक के रूप में लिया जाता है, जो केवल परोक्ष रूप से निर्धारित होती है ... विकिपीडिया

प्रत्यक्ष- एक आयताकार समन्वय प्रणाली में सीधी रेखाओं की छवि एक सीधी रेखा ज्यामिति की मूल अवधारणाओं में से एक है। ज्यामिति की एक व्यवस्थित प्रस्तुति में, एक सीधी रेखा को आमतौर पर प्रारंभिक अवधारणाओं में से एक के रूप में लिया जाता है, जो केवल परोक्ष रूप से निर्धारित होती है ... विकिपीडिया

लघु अक्ष- "इलिप्सिस" शब्द से भ्रमित नहीं होना चाहिए। एलिप्से और इसके फॉसी एलिप्से (अन्य ग्रीक ἔλλειψις नुकसान, 1 तक विलक्षणता की कमी के अर्थ में) यूक्लिडियन विमान के बिंदु एम का स्थान, जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं से दूरियों का योग F1 ... ... विकिपीडिया

कार्टेशियन निर्देशांक में, प्रत्येक सीधी रेखा को प्रथम डिग्री समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है और, इसके विपरीत, प्रत्येक प्रथम डिग्री समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।

समीकरण टाइप करें

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण कहलाता है।

चित्र में दर्शाए अनुसार परिभाषित कोण को x-अक्ष पर सीधी रेखा का झुकाव कोण कहा जाता है। सीधी रेखा के x-अक्ष के झुकाव कोण की स्पर्श रेखा को सीधी रेखा का ढलान कहा जाता है; इसे आमतौर पर k अक्षर से दर्शाया जाता है:

समीकरण को ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण कहा जाता है; k ढलान है, b उस खंड का मान है जिसे सीधी रेखा Oy अक्ष पर काटती है, मूल से गिना जाता है।

यदि सीधी रेखा सामान्य समीकरण द्वारा दी जाती है

,

तो इसका ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

समीकरण एक सीधी रेखा का समीकरण है जो बिंदु (,) से होकर गुजरती है और जिसका ढलान k है।

यदि रेखा बिंदुओं (, ), (, ) से होकर गुजरती है, तो इसका ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

समीकरण

दो बिंदुओं (,) और (,) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है।

यदि दो सीधी रेखाओं के ढलान गुणांक ज्ञात हैं, तो इन सीधी रेखाओं के बीच के कोणों में से एक को सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

दो रेखाओं की समांतरता का संकेत उनके कोणीय गुणांकों की समानता है:।

दो रेखाओं के लम्बवत्ता का चिह्न अनुपात , या है ।

दूसरे शब्दों में, लम्बवत रेखाओं के ढलान निरपेक्ष मान में व्युत्क्रम और चिह्न के विपरीत होते हैं।

4. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

समीकरण

आह+वू+सी=0

(कहाँ पे ए, बी, सीगुणांक के रूप में लंबे समय तक कोई भी मान हो सकता है ए, बीदोनों एक साथ शून्य नहीं थे) का प्रतिनिधित्व करता है सीधी रेखा. किसी भी सीधी रेखा को इस प्रकार के समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसलिए कहा जाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

यदि एक लेकिनएक्स, तो यह एक रेखा का प्रतिनिधित्व करता है, एक्स-अक्ष के समानांतर.

यदि एक पर= 0, अर्थात्, समीकरण में शामिल नहीं है पर, तो यह एक रेखा का प्रतिनिधित्व करता है, ओए अक्ष के समानांतर.

कोग्ला परशून्य के बराबर नहीं है, तो एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण हो सकता है निर्देशांक के सापेक्ष हल करेंपर , फिर इसे फॉर्म में बदल दिया जाता है

(कहाँ पे ए=-ए/बी; बी=-सी/बी).

इसी तरह, जब लेकिनशून्य से भिन्न, एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को के संबंध में हल किया जा सकता है एक्स.

यदि एक से= 0, अर्थात्, एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में एक मुक्त पद नहीं होता है, तो यह मूल से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है

5. दिए गए बिंदु से किसी ढलान के साथ गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , आप 1) ढलान द्वारा निर्धारित किसी दिशा में क,

आप - आप 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , आप 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

6. दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , आप 1) और बी(एक्स 2 , आप 2) इस तरह लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

7. खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

यदि रेखा के सामान्य समीकरण में, तो (1) से भाग देने पर, हम खंडों में रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं

कहाँ पे , । रेखा अक्ष को बिंदु पर, अक्ष को बिंदु पर काटती है।

8. सूत्र: समतल पर रेखाओं के बीच का कोण

पर लक्ष्य α समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं के बीच: वाई = के 1 एक्स+बी 1 (पहली पंक्ति) और वाई = के 2 एक्स+बी 2 (दूसरी पंक्ति), सूत्र द्वारा परिकलित किया जा सकता है (कोण को पहली पंक्ति से दूसरी . तक मापा जाता है) घड़ी की विपरीत दिशा में ):

9. एक समतल पर दो सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था।

चलो दोनों अब समीकरणसीधी रेखाएँ सामान्य रूप में लिखी जाती हैं।

प्रमेय। होने देना

- सामान्य समीकरणदो सीधी रेखाएं समन्वयऑक्सी प्लेन। फिर

1) यदि , तो सीधाऔर मैच;

2) यदि , तो रेखाएं और

समानांतर;

3) अगर, तो सीधाप्रतिच्छेद करना

सबूत। स्थिति सामान्य की संरेखता के बराबर है वैक्टरप्रत्यक्ष डेटा:

इसलिए, यदि, तो सीधाप्रतिच्छेद करना

यदि , फिर , , और समीकरण सीधारूप लेता है:

या , अर्थात। सीधामिलान। ध्यान दें कि आनुपातिकता का गुणांक, अन्यथा कुल के सभी गुणांक समीकरणशून्य होगा, जो असंभव है।

यदि सीधामेल नहीं खाते और प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो मामला बना रहता है, अर्थात। सीधासमानांतर हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

कार्यों के डेरिवेटिव लेना सीखें।व्युत्पन्न इस फ़ंक्शन के ग्राफ पर स्थित एक निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। इस मामले में, ग्राफ या तो एक सीधी रेखा या एक घुमावदार रेखा हो सकती है। यही है, व्युत्पन्न समय में एक विशेष बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। उन सामान्य नियमों को याद रखें जिनके द्वारा डेरिवेटिव लिया जाता है, और उसके बाद ही अगले चरण पर आगे बढ़ें।

• यह पढ़ो।
• सरलतम व्युत्पन्न कैसे लें, उदाहरण के लिए, एक घातीय समीकरण के व्युत्पन्न का वर्णन किया गया है। निम्नलिखित चरणों में प्रस्तुत गणना वहां वर्णित विधियों पर आधारित होगी।

उन समस्याओं के बीच अंतर करना सीखें जिनमें किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संदर्भ में ढलान की गणना करने की आवश्यकता होती है।कार्यों में, हमेशा किसी फ़ंक्शन के ढलान या व्युत्पन्न को खोजने का सुझाव नहीं दिया जाता है। उदाहरण के लिए, आपको बिंदु A(x, y) पर किसी फलन के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए कहा जा सकता है। आपको बिंदु A(x, y) पर स्पर्शरेखा का ढलान खोजने के लिए भी कहा जा सकता है। दोनों ही मामलों में, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेना आवश्यक है।

दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें।आपको यहां ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता नहीं है - आपको केवल फ़ंक्शन के समीकरण की आवश्यकता है। हमारे उदाहरण में, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). ऊपर वर्णित लेख में उल्लिखित विधियों के अनुसार व्युत्पन्न लें:

ढलान की गणना करने के लिए आपको दिए गए व्युत्पन्न में दिए गए बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें।फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक निश्चित बिंदु पर ढलान के बराबर है। दूसरे शब्दों में, f "(x) किसी भी बिंदु (x, f (x)) पर फ़ंक्शन का ढलान है। हमारे उदाहरण में: