कुछ आंकड़ों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति। समतल आकृतियों के गुरुत्व केंद्र का निर्धारण गुरुत्व केंद्र को मापना

टिप्पणी।एक सममित आकृति का गुरुत्व केंद्र सममिति के अक्ष पर होता है।

छड़ का गुरुत्व केन्द्र ऊँचाई के मध्य में होता है। समस्याओं को हल करते समय, निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जाता है:

1. सममिति विधि: सममित आकृतियों का गुरुत्व केंद्र सममिति के अक्ष पर होता है;

2. पृथक्करण विधि: जटिल वर्गों को कई सरल भागों में बांटा गया है, गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों की स्थिति निर्धारित करना आसान है;

3. नकारात्मक क्षेत्रों की विधि: गुहाओं (छेद) को एक नकारात्मक क्षेत्र वाले खंड का हिस्सा माना जाता है।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1।अंजीर में दिखाए गए चित्र के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करें। 8.4.

समाधान

हम आकृति को तीन भागों में तोड़ते हैं:

इसी तरह परिभाषित परसी = 4.5 सेमी।

उदाहरण 2एक सममित रॉड ट्रस के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति का पता लगाएं एडीबीई(चित्र 116), जिसके आयाम इस प्रकार हैं: एबी = 6मी, डी.ई.= 3 मीटर और ईएफ = 1मी.

समाधान

चूंकि ट्रस सममित है, इसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र समरूपता के अक्ष पर स्थित है डी.एफ.खेत के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के भुज के समन्वय अक्षों की चयनित (चित्र 116) प्रणाली के साथ

अज्ञात, इसलिए, केवल निर्देशांक है सी परगुरुत्वाकर्षण का कृषि केंद्र। इसे निर्धारित करने के लिए हम खेत को अलग-अलग हिस्सों (छड़) में बांटते हैं। उनकी लंबाई संबंधित त्रिभुजों से निर्धारित होती है।

से एईएफअपने पास

से एडीएफअपने पास

प्रत्येक छड़ का गुरुत्व केंद्र उसके बीच में होता है, इन केंद्रों के निर्देशांक आसानी से रेखाचित्र (चित्र 116) से निर्धारित किए जाते हैं।

खेत के अलग-अलग हिस्सों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों की मिली लंबाई और निर्देशांक तालिका में और सूत्र के अनुसार दर्ज किए जाते हैं

निर्देशांक निर्धारित करें हमइस फ्लैट ट्रस के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र।

इसलिए, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र सेपूरा ट्रस अक्ष पर स्थित है डी.एफ.बिंदु से 1.59 मीटर की दूरी पर ट्रस समरूपता एफ।

उदाहरण 3संयुक्त खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें। अनुभाग में एक शीट और लुढ़का हुआ प्रोफाइल होता है (चित्र। 8.5)।

टिप्पणी।अक्सर फ्रेम को अलग-अलग प्रोफाइल से वेल्ड किया जाता है, जिससे आवश्यक डिजाइन तैयार होता है। इस प्रकार, धातु की खपत कम हो जाती है और एक उच्च शक्ति संरचना बनती है।

मानक लुढ़का वर्गों के लिए, उनकी अपनी ज्यामितीय विशेषताओं को जाना जाता है। वे प्रासंगिक मानकों में दिए गए हैं।

समाधान

1. हम अंकों को संख्याओं से निरूपित करते हैं और तालिकाओं से आवश्यक डेटा लिखते हैं:

1 - चैनल नंबर 10 (GOST 8240-89); कद एच = 100 मिमी; शेल्फ की चौड़ाई बी= 46 मिमी; संकर अनुभागीय क्षेत्र ए 1\u003d 10.9 सेमी 2;

2 - आई-बीम नंबर 16 (गोस्ट 8239-89); ऊंचाई 160 मिमी; शेल्फ की चौड़ाई 81 मिमी; अनुभागीय क्षेत्र ए 2 - 20.2 सेमी 2;

3 - शीट 5x100; मोटाई 5 मिमी; चौड़ाई 100 मिमी; अनुभागीय क्षेत्र ए 3 \u003d 0.5 10 \u003d 5 सेमी 2।

2. ड्राइंग से प्रत्येक आकृति के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित किए जा सकते हैं।

संयुक्त खंड सममित है, इसलिए गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समरूपता और निर्देशांक के अक्ष पर है एक्ससी = 0।

3. एक समग्र खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का निर्धारण:

उदाहरण 4अंजीर में दिखाए गए खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें। आठ, एक।खंड में दो कोने 56x4 और चैनल संख्या 18 होते हैं। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने की शुद्धता की जांच करें। अनुभाग पर अपनी स्थिति निर्दिष्ट करें।

समाधान

1. : दो कोने 56 x 4 और चैनल संख्या 18। आइए उन्हें 1, 2, 3 निरूपित करें (चित्र 8 देखें, एक)।

2. गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को इंगित करेंप्रत्येक प्रोफ़ाइल तालिका का उपयोग करना। 1 और 4 adj.मैं, और उन्हें निरूपित करें सी 1, सी 2, 3 से।

3. आइए निर्देशांक अक्षों की एक प्रणाली चुनें।एक्सिस परसमरूपता की धुरी, और अक्ष के साथ संगत एक्सकोनों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों के माध्यम से ड्रा करें।

4. पूरे खंड के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें।धुरी के बाद से परसमरूपता की धुरी के साथ मेल खाता है, फिर यह खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है, इसलिए एक्स एस= 0. निर्देशांक हमसूत्र द्वारा परिभाषित करें

एप्लिकेशन टेबल का उपयोग करके, हम प्रत्येक प्रोफ़ाइल के क्षेत्रों और गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करते हैं:

COORDINATES 1तथा दो परशून्य के बराबर हैं, क्योंकि अक्ष एक्सकोनों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों से होकर गुजरता है। प्राप्त मानों को निर्धारित करने के लिए सूत्र में रखें हम:

5. आइए अंजीर में खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को इंगित करें। 8, और हम इसे अक्षर C से निरूपित करेंगे।हम अक्ष से दूरी y C \u003d 2.43 सेमी दिखाते हैं एक्ससी को इंगित करने के लिए

चूँकि कोने सममित रूप से स्थित हैं, उनका क्षेत्रफल और निर्देशांक समान हैं, तो ए 1 \u003d ए 2, वाई 1 = वाई 2।इसलिए, निर्धारित करने का सूत्र सी परसरलीकृत किया जा सकता है:

6. चलो एक चेक करते हैं।इस धुरी के लिए एक्सआइए कोने के शेल्फ के निचले किनारे के साथ ड्रा करें (चित्र 8, बी)। एक्सिस परआइए इसे पहले समाधान के रूप में छोड़ दें। निर्धारण के लिए सूत्र एक्स सीतथा सी परकभी मत बदलना:

प्रोफ़ाइल क्षेत्र वही रहेगा, लेकिन कोनों और चैनल के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक बदल जाएंगे। आइए उन्हें लिखते हैं:

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक ढूँढना:

मिले निर्देशांक के अनुसार एक्स एसतथा हमहम ड्राइंग पर बिंदु C लगाते हैं। गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति दो तरह से एक ही बिंदु पर पाई जाती है। चलो पता करते हैं। निर्देशांक के बीच अंतर एस पर,पहले और दूसरे समाधान में पाया जाता है: 6.51 - 2.43 \u003d 4.08 सेमी।

यह पहले और दूसरे समाधान में x-अक्षों के बीच की दूरी के बराबर है: 5.6 - 1.52 = 4.08 सेमी।

उत्तर: अत= 2.43 सेमी अगर x-अक्ष कोनों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों से होकर गुजरता है, या वाई सी = 6.51 सेमी अगर एक्स-अक्ष कोने के किनारे के निचले किनारे के साथ चलता है।

उदाहरण 5अंजीर में दिखाए गए खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें। 9, एक।इस खंड में एक आई-बीम नंबर 24 और एक चैनल नंबर 24 ए शामिल है। खंड पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति दिखाएं।

समाधान

1.आइए सेक्शन को रोल्ड प्रोफाइल में तोड़ें: आई-बीम और चैनल। आइए उन्हें 1 और 2 कहते हैं।

3. हम प्रत्येक प्रोफ़ाइल के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों को इंगित करते हैंसी 1 और सी 2 अनुप्रयोग तालिकाओं का उपयोग कर।

4. आइए निर्देशांक अक्षों की एक प्रणाली चुनें। एक्स-अक्ष समरूपता की धुरी के साथ संगत है, और हम आई-बीम के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के माध्यम से वाई-अक्ष खींचते हैं।

5. खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें। y-निर्देशांक c = 0, क्योंकि अक्ष एक्ससमरूपता की धुरी के साथ मेल खाता है। x-निर्देशांक के साथ सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

तालिका के अनुसार 3 और 4 ऐप। मैं और अनुभाग योजना, हम परिभाषित करते हैं

संख्यात्मक मानों को सूत्र में रखें और प्राप्त करें

5. आइए x c और y c पाए गए मानों के अनुसार बिंदु C (अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र) को चिह्नित करें (चित्र 9, a देखें)।

समाधान का सत्यापन अक्षों की स्थिति के साथ स्वतंत्र रूप से किया जाना चाहिए, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 9, बी. समाधान के परिणामस्वरूप, हमें x c \u003d 11.86 सेमी मिलता है। पहले और दूसरे समाधान के लिए x c के मानों के बीच का अंतर 11.86 - 6.11 \u003d 5.75 सेमी है, जो बीच की दूरी के बराबर है एक ही समाधान के साथ y कुल्हाड़ियों b DV / 2 = 5.75 सेमी।

उत्तर: x c \u003d 6.11 सेमी, यदि y अक्ष आई-बीम के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है; x c \u003d 11.86 सेमी यदि y-अक्ष आई-बीम के बाएं चरम बिंदुओं से होकर गुजरता है।

उदाहरण 6रेल क्रेन रेल पर टिकी हुई है, जिसके बीच की दूरी AB = 1.5 मीटर है (चित्र 1.102)। क्रेन ट्रॉली का गुरुत्वाकर्षण बल G r = 30 kN है, ट्रॉली का गुरुत्व केंद्र बिंदु C पर है, जो ड्रॉइंग प्लेन के साथ ट्रॉली के सममिति तल के प्रतिच्छेदन की रेखा KL पर स्थित है। क्रेन चरखी Q l \u003d 10 kN का गुरुत्वाकर्षण बल बिंदु पर लगाया जाता है डी।काउंटरवेट G„=20 kN का गुरुत्वाकर्षण बल बिंदु E पर लगाया जाता है। बूम G c = 5 kN का गुरुत्वाकर्षण बल बिंदु H पर लगाया जाता है। KL लाइन के सापेक्ष क्रेन ओवरहैंग 2 मीटर है। निर्धारित करें एक अनलोड राज्य में क्रेन की स्थिरता गुणांक और क्या भार एफइस क्रेन के साथ उठाया जा सकता है, बशर्ते कि स्थिरता कारक कम से कम दो होना चाहिए।

समाधान

1. अनलोडेड अवस्था में, रेल को घुमाते समय क्रेन के पलटने का जोखिम होता है लेकिन।इसलिए, बिंदु के संबंध में लेकिनस्थिरता का क्षण

2. एक बिंदु के बारे में पलटने वाला क्षण लेकिनकाउंटरवेट के गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्मित, अर्थात।

3. इसलिए अनलोड अवस्था में क्रेन की स्थिरता गुणांक

4. क्रेन बूम को लोड के साथ लोड करते समय एफरेल बी के चारों ओर एक मोड़ के साथ क्रेन के पलटने का खतरा है। इसलिए, बिंदु के संबंध में परस्थिरता का क्षण

5. रेल के सापेक्ष पलटने का क्षण पर

6. समस्या की स्थिति के अनुसार, स्थिरता गुणांक k B 2 के साथ क्रेन के संचालन की अनुमति है, अर्थात।

प्रश्नों और कार्यों को नियंत्रित करें

1. पिंड के बिंदुओं पर कार्य करने वाले पृथ्वी के प्रति आकर्षण बलों को समानांतर बलों की प्रणाली के रूप में क्यों लिया जा सकता है?

2. अमानवीय और सजातीय निकायों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए सूत्र लिखें, फ्लैट वर्गों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए सूत्र।

3. सरल ज्यामितीय आकृतियों के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए सूत्रों को दोहराएं: एक आयत, एक त्रिभुज, एक समलम्ब और आधा वृत्त।

4.
क्षेत्र का स्थिर आघूर्ण क्या कहलाता है?

5. अक्ष के परितः इस आकृति के स्थिर आघूर्ण की गणना करें बैल। एच= 30 सेमी; बी= 120 सेमी; साथ= 10 सेमी (चित्र 8.6)।

6. छायांकित आकृति के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (चित्र 8.7)। मिमी में आयाम दिए गए हैं।

7. निर्देशांक निर्धारित करें परसमग्र खंड के आंकड़े 1 (चित्र। 8.8)।

निर्णय लेते समय, GOST तालिकाओं "हॉट-रोल्ड स्टील" के संदर्भ डेटा का उपयोग करें (परिशिष्ट 1 देखें)।

एक मनमाना शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को उसके अलग-अलग हिस्सों पर अभिनय करने वाले बलों को क्रमिक रूप से जोड़कर निर्धारित करना एक कठिन काम है; यह केवल तुलनात्मक रूप से सरल रूप के निकायों के लिए सुविधाजनक है।

मान लें कि पिंड केवल दो भारों का द्रव्यमान है और एक छड़ से जुड़ा हुआ है (चित्र 125)। यदि छड़ का द्रव्यमान द्रव्यमान की तुलना में छोटा है और, तो इसे उपेक्षित किया जा सकता है। प्रत्येक द्रव्यमान क्रमशः और के बराबर गुरुत्वाकर्षण से प्रभावित होता है; उन दोनों को लंबवत रूप से नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, अर्थात एक दूसरे के समानांतर। जैसा कि हम जानते हैं, दो समानांतर बलों के परिणाम को बिंदु पर लागू किया जाता है, जो कि शर्त से निर्धारित होता है

चावल। 125. दो भार वाले पिंड के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का निर्धारण

इसलिए, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र दो भारों के बीच की दूरी को उनके द्रव्यमान के अनुपात के विपरीत अनुपात में विभाजित करता है। यदि यह पिंड किसी बिंदु पर लटका दिया जाए, तो यह संतुलन में बना रहेगा।

चूँकि दो समान द्रव्यमानों का एक बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण का एक सामान्य केंद्र होता है जो इन द्रव्यमानों के बीच की दूरी को द्विभाजित करता है, यह तुरंत स्पष्ट है कि, उदाहरण के लिए, एक सजातीय छड़ का गुरुत्वाकर्षण केंद्र छड़ के बीच में होता है (चित्र 126) .

चूंकि एक सजातीय गोल डिस्क का कोई भी व्यास इसे दो पूरी तरह से समान सममित भागों (चित्र 127) में विभाजित करता है, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र डिस्क के प्रत्येक व्यास पर होना चाहिए, अर्थात व्यास के चौराहे के बिंदु पर - ज्यामितीय में डिस्क का केंद्र। इसी तरह से तर्क करते हुए, हम पा सकते हैं कि एक सजातीय गेंद का गुरुत्वाकर्षण केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र में होता है, एक समरूप आयताकार समानांतर चतुर्भुज के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इसके विकर्णों के चौराहे पर स्थित होता है, आदि। एक घेरा के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र या वलय इसके केंद्र में स्थित है। अंतिम उदाहरण से पता चलता है कि किसी पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र शरीर के बाहर स्थित हो सकता है।

चावल। 126. एक समांगी छड़ का गुरुत्व केंद्र उसके मध्य में होता है

चावल। 127. एक समांगी डिस्क का केंद्र इसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है

यदि शरीर का आकार अनियमित है या यदि यह अमानवीय है (उदाहरण के लिए, इसमें रिक्तियां हैं), तो गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति की गणना अक्सर मुश्किल होती है और यह स्थिति अनुभव के माध्यम से खोजने में अधिक सुविधाजनक होती है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, प्लाईवुड के एक टुकड़े के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने की आवश्यकता है। आइए इसे एक धागे पर लटका दें (चित्र 128)। जाहिर है, संतुलन की स्थिति में, शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र धागे की निरंतरता पर होना चाहिए, अन्यथा गुरुत्वाकर्षण बल का निलंबन बिंदु के सापेक्ष एक क्षण होगा, जो शरीर को घुमाना शुरू कर देगा। इसलिए, हमारे प्लाईवुड के टुकड़े पर एक सीधी रेखा खींचते हुए, धागे की निरंतरता का प्रतिनिधित्व करते हुए, हम दावा कर सकते हैं कि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस सीधी रेखा पर स्थित है।

वास्तव में, पिंड को विभिन्न बिंदुओं पर लटकाकर और लंबवत रेखाएँ खींचकर, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि वे सभी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें। यह बिंदु शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है (क्योंकि यह ऐसी सभी रेखाओं पर एक साथ होना चाहिए)। इसी तरह, कोई न केवल एक सपाट आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित कर सकता है, बल्कि एक अधिक जटिल शरीर का भी निर्धारण कर सकता है। विमान के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति को स्केल प्लेटफॉर्म पर पहियों के साथ घुमाकर निर्धारित किया जाता है। प्रत्येक पहिये पर भार बलों के परिणामी को लंबवत निर्देशित किया जाएगा, और आप उस रेखा को पा सकते हैं जिसके साथ यह समानांतर बलों के योग के नियम द्वारा कार्य करता है।

चावल। 128. निलंबन के बिंदुओं के माध्यम से खींची गई लंबवत रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है

जब शरीर के अलग-अलग हिस्सों का द्रव्यमान बदलता है या जब शरीर का आकार बदलता है, तो गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति बदल जाती है। इसलिए, जब टैंक से ईंधन की खपत होती है, जब सामान लोड किया जाता है, आदि एक विमान के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र चलता है। शरीर के आकार में परिवर्तन होने पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की गति को दर्शाने वाले एक दृश्य प्रयोग के लिए, इसे लेना सुविधाजनक है। एक काज से जुड़ी दो समान छड़ें (चित्र। 129)। मामले में जब बार एक दूसरे की निरंतरता बनाते हैं, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र सलाखों के अक्ष पर स्थित होता है। यदि सलाखों को काज पर झुकाया जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र सलाखों के बाहर होता है, उनके द्वारा बनाए गए कोण के द्विभाजक पर। यदि किसी एक छड़ पर अतिरिक्त भार डाला जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस भार की ओर बढ़ जाएगा।

चावल। 129. ए) एक सीधी रेखा पर स्थित एक काज से जुड़े सलाखों के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, सलाखों की धुरी पर स्थित है, बी) सलाखों के एक मुड़े हुए सिस्टम के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र सलाखों के बाहर स्थित है

81.1. दो समान पतली छड़ों का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहाँ है, जिसकी लंबाई 12 सेमी है और अक्षर T के रूप में बन्धन है?

81.2. सिद्ध कीजिए कि एक समान त्रिभुजाकार प्लेट का केन्द्रक माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है।

चावल। 130. व्यायाम करने के लिए 81.3

81.3. 60 किग्रा द्रव्यमान का एक सजातीय बोर्ड दो समर्थनों पर टिका हुआ है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 130. समर्थन पर कार्यरत बलों का निर्धारण करें।

गुरुत्वाकर्षण का केंद्र वह बिंदु है जिसके माध्यम से गुरुत्वाकर्षण के परिणामी प्राथमिक बलों की क्रिया की रेखा गुजरती है। इसमें समानांतर बलों के केंद्र की संपत्ति है (ई। एम। निकितिन, 42)। इसीलिए विभिन्न निकायों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए सूत्रहमशक्ल:
एक्स सी = (∑ जी आई एक्स आई) / ∑ जी मैं;
(1) y c = (∑ G i y i) / G i ;
जेड सी = (∑ जी आई जेड आई) / ∑ जी आई।

यदि शरीर जिसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करने की आवश्यकता है, उसे रेखाओं से बनी आकृति से पहचाना जा सकता है (उदाहरण के लिए, तार से बना एक बंद या खुला समोच्च, जैसा कि चित्र 173 में है), तो प्रत्येक खंड का वजन G i i एक उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है
जी मैं \u003d एल मैं घ,
जहाँ d सामग्री की एक इकाई लंबाई का भार है जो संपूर्ण आकृति के लिए स्थिर है।

सूत्रों में प्रतिस्थापित करने के बाद (1) G के बजाय उनके मान l i d, अंश और हर के प्रत्येक पद में स्थिर कारक d को कोष्ठक से (योग के चिह्न के बाहर) निकाला जा सकता है और घटाया जा सकता है। इस तरह, रेखा खंडों से बनी एक आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए सूत्र, फॉर्म लेगा:
एक्स सी = (∑ एल आई एक्स आई) / ∑ एल मैं;
(2) y c = (∑ l i y i) / l i ;
z c = (∑ l i z i) / l i ।

यदि शरीर में विभिन्न तरीकों से स्थित विमानों या घुमावदार सतहों से बनी आकृति का रूप है (चित्र 174), तो प्रत्येक विमान (सतह) के वजन को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:
जी मैं = एफ मैं पी,
जहां एफ मैं प्रत्येक सतह के क्षेत्र हैं, और पी आकृति के प्रति इकाई क्षेत्र का वजन है।

G के इस मान को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं क्षेत्रों से बनी एक आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक के लिए सूत्र:
एक्स सी = (∑ एफ आई एक्स आई) / ∑ एफ मैं;
(3) y c = (∑ F i y i) / F i ;
z c = (∑ F i z i) / F i ।

यदि एक सजातीय शरीर को एक निश्चित ज्यामितीय आकार के सरल भागों में विभाजित किया जा सकता है (चित्र 175), तो प्रत्येक भाग का भार
जी मैं = वी मैं ,
जहाँ V i प्रत्येक भाग का आयतन है, और शरीर के प्रति इकाई आयतन का भार है।

G के मानों को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं सजातीय आयतन से बने पिंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए सूत्र:
एक्स सी = (∑ वी आई एक्स आई) / ∑ वी मैं;
(4) y c = (∑ V i y i) / V i ;
जेड सी = (∑ वी आई जेड आई) / ∑ वी मैं।

पिंडों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए कुछ समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी यह जानना आवश्यक होता है कि एक वृत्त, एक वृत्ताकार क्षेत्र या एक त्रिभुज के चाप का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहाँ स्थित है।

यदि चाप r की त्रिज्या और केंद्रीय कोण 2α, चाप द्वारा संकुचित और रेडियन में व्यक्त किया जाता है, तो चाप O के केंद्र के सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण C (चित्र 176, a) के केंद्र की स्थिति ज्ञात है सूत्र द्वारा निर्धारित:
(5) एक्स सी = (आर पाप α)/α।

यदि चाप की जीवा AB=b दी गई है, तो सूत्र (5) में प्रतिस्थापन करना संभव है
sinα = b/(2r)
और फिर
(5ए) एक्स सी = बी/(2α)।

अर्धवृत्त के लिए एक विशेष मामले में, दोनों सूत्र रूप लेंगे (चित्र। 176, बी):
(5बी) एक्स सी = ओसी = 2आर/π = डी/π।

वृत्तीय त्रिज्यखंड के गुरुत्व केंद्र की स्थिति, यदि इसकी त्रिज्या r दी गई है (चित्र 176, c), सूत्र का उपयोग करके निर्धारित की जाती है:
(6) एक्स सी = (2आर पाप α)/(3α)।

यदि त्रिज्यखंड की जीवा दी हो, तो:
(6ए) एक्स सी = बी/(3α)।

अर्धवृत्त के लिए एक विशेष स्थिति में, दोनों अंतिम सूत्र रूप लेंगे (चित्र 176, डी)
(6बी) एक्स सी = ओसी = 4आर/(3π) = 2डी/(3π)।

किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल का गुरुत्वाकर्षण केंद्र किसी भी तरफ से संबंधित ऊंचाई के एक तिहाई के बराबर दूरी पर स्थित होता है।

एक समकोण त्रिभुज में, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र पैरों की लंबाई के एक तिहाई की दूरी पर स्थित बिंदुओं से पैरों तक उठाए गए लंबवत के चौराहे पर होता है, जो समकोण के शीर्ष से गिना जाता है (चित्र 177)।

पतली छड़ों (रेखाओं), या प्लेटों (क्षेत्रों), या आयतनों से बने किसी भी सजातीय शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए समस्याओं को हल करते समय, निम्नलिखित क्रम का पालन करने की सलाह दी जाती है:

1) एक पिंड खींचना, जिसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने की आवश्यकता है। चूंकि शरीर के सभी आयामों को आमतौर पर जाना जाता है, इसलिए पैमाने का अवलोकन किया जाना चाहिए;

2) शरीर को घटक भागों (लाइन सेगमेंट या क्षेत्रों, या वॉल्यूम) में तोड़ दें, गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों की स्थिति शरीर के आकार के आधार पर निर्धारित की जाती है;

3) या तो लंबाई, या क्षेत्र, या घटक भागों की मात्रा निर्धारित करें;

4) समन्वय अक्षों का स्थान चुनें;

5) घटक भागों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करें;

6) अलग-अलग हिस्सों की लंबाई या क्षेत्रों या आयतन के साथ-साथ उनके गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक को उपयुक्त सूत्रों में बदलें और पूरे शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करें;

7) पाए गए निर्देशांक के अनुसार, आकृति में शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति को इंगित करें।

§ 23. पतली सजातीय छड़ों से बने पिंड के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति का निर्धारण

24. प्लेटों से बनी आकृतियों के गुरुत्व केंद्र की स्थिति का निर्धारण

पिछली समस्या में, साथ ही पिछले पैराग्राफ में दी गई समस्याओं में, आंकड़ों को घटक भागों में विभाजित करने से अधिक कठिनाई नहीं होती है। लेकिन कभी-कभी आकृति का ऐसा रूप होता है जो आपको इसे इसके घटक भागों में कई तरीकों से विभाजित करने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय कट के साथ एक पतली आयताकार प्लेट (चित्र। 183)। ऐसी प्लेट के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति का निर्धारण करते समय, इसके क्षेत्रफल को चार आयतों (1, 2, 3 और 4) और एक समकोण त्रिभुज 5 में कई तरह से विभाजित किया जा सकता है। अंजीर में दो विकल्प दिखाए गए हैं। 183, ए और बी।

सबसे तर्कसंगत वह तरीका है जिसमें आकृति को उसके घटक भागों में विभाजित किया जाता है, जिसमें उनमें से सबसे छोटी संख्या बनती है। यदि आकृति में कटआउट हैं, तो उन्हें आकृति के घटक भागों की संख्या में भी शामिल किया जा सकता है, लेकिन कटे हुए भाग का क्षेत्र नकारात्मक माना जाता है। इसलिए, इस विभाजन को नकारात्मक क्षेत्रों की विधि कहा जाता है।

अंजीर में प्लेट। 183, c को इस पद्धति का उपयोग करके केवल दो भागों में विभाजित किया गया है: आयत 1 पूरी प्लेट के क्षेत्रफल के साथ, जैसे कि वह पूरी थी, और त्रिभुज 2 एक ऐसे क्षेत्र के साथ जिसे हम नकारात्मक मानते हैं।

§ 26. एक साधारण ज्यामितीय आकार वाले भागों से बने शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति का निर्धारण

सरल ज्यामितीय आकार वाले भागों से बने शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने की समस्याओं को हल करने के लिए, रेखाओं या क्षेत्रों से बने आंकड़ों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने का कौशल होना आवश्यक है। .

ग्रैविटी केंद्र

एक ज्यामितीय बिंदु, जो हमेशा एक ठोस पिंड से जुड़ा होता है, जिसके माध्यम से इस पिंड के कणों पर कार्य करने वाले सभी गुरुत्वाकर्षण बल अंतरिक्ष में उत्तरार्द्ध की किसी भी स्थिति में गुजरते हैं; यह किसी दिए गए शरीर के किसी भी बिंदु से मेल नहीं खा सकता है (उदाहरण के लिए, एक अंगूठी के पास)। यदि शरीर के विभिन्न बिंदुओं से क्रमिक रूप से जुड़े धागों से मुक्त शरीर को निलंबित किया जाता है, तो इन धागों की दिशाएं शरीर के केंद्र में प्रतिच्छेद करेंगी। गुरुत्वाकर्षण के एक समान क्षेत्र में एक ठोस शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति उसके द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति के साथ मेल खाती है। वजन के साथ शरीर को टुकड़ों में तोड़ना पी के,जिसके लिए निर्देशांक एक्स के, वाई के, जेड केउनके C. t. ज्ञात हैं, आप सूत्रों का उपयोग करके पूरे शरीर के C. t. के निर्देशांक पा सकते हैं:

महान सोवियत विश्वकोश। - एम .: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .

देखें कि "गुरुत्वाकर्षण केंद्र" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

यांत्रिकी में द्रव्यमान का केंद्र (जड़ता का केंद्र, बैरीसेंटर) एक ज्यामितीय बिंदु है जो किसी पिंड की गति या संपूर्ण रूप से कणों की एक प्रणाली की विशेषता है। सामग्री 1 परिभाषा 2 सजातीय आंकड़ों के द्रव्यमान के केंद्र 3 यांत्रिकी में ... विकिपीडिया

एक ठोस पिंड से हमेशा जुड़ा एक बिंदु जिसके माध्यम से इस पिंड के कणों पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल अंतरिक्ष में पिंड की किसी भी स्थिति से गुजरता है। समरूपता के केंद्र (सर्कल, बॉल, क्यूब, आदि) के साथ एक सजातीय शरीर के लिए, ... ... विश्वकोश शब्दकोश

जियोम। एक बिंदु, जो हमेशा एक ठोस पिंड से जुड़ा होता है, जिसके माध्यम से अंतरिक्ष में किसी भी स्थिति में शरीर के कणों पर कार्य करने वाले सभी गुरुत्वाकर्षण बलों के परिणामी बल से गुजरता है; यह किसी दिए गए शरीर के किसी भी बिंदु से मेल नहीं खा सकता है (उदाहरण के लिए, पर ... ... भौतिक विश्वकोश

एक बिंदु जो एक ठोस पिंड से हमेशा जुड़ा होता है, जिसके माध्यम से इस पिंड के कणों पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का परिणाम अंतरिक्ष में पिंड की किसी भी स्थिति से गुजरता है। समरूपता के केंद्र (सर्कल, बॉल, क्यूब, आदि) के साथ एक सजातीय शरीर के लिए, ... ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

ग्रैविटी केंद्र- गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, वह बिंदु जिसके माध्यम से अंतरिक्ष में शरीर की किसी भी स्थिति में एक ठोस शरीर के कणों पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का परिणाम गुजरता है। समरूपता के केंद्र (वृत्त, गेंद, घन, आदि) के साथ एक सजातीय शरीर के लिए, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है ... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, वह बिंदु जिस पर किसी पिंड का भार केंद्रित होता है और जिसके चारों ओर उसका भार वितरित और संतुलित होता है। एक स्वतंत्र रूप से गिरने वाली वस्तु अपने गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के चारों ओर घूमती है, जो बदले में एक प्रक्षेपवक्र के साथ घूमती है जिसे एक बिंदु द्वारा वर्णित किया जाएगा ... ... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

ग्रैविटी केंद्र- कठोर शरीर; गुरुत्वाकर्षण का केंद्र शरीर के सभी कणों पर काम करने वाले समानांतर गुरुत्वाकर्षण बल का केंद्र ... पॉलिटेक्निक शब्दावली व्याख्यात्मक शब्दकोश

रूसी समानार्थक शब्द का सेंट्रोइड शब्दकोश। गुरुत्वाकर्षण का केंद्र n।, समानार्थी शब्दों की संख्या: 12 मुख्य (31) आत्मा ... पर्यायवाची शब्दकोश

ग्रैविटी केंद्र- मानव शरीर में स्थायी अनात नहीं होता है। शरीर के अंदर स्थान, लेकिन मुद्रा में परिवर्तन के आधार पर चलता है; रीढ़ के सापेक्ष इसका भ्रमण 20-25 सेमी तक पहुंच सकता है। केंद्रीय टी की स्थिति का प्रायोगिक निर्धारण। पूरे शरीर के साथ ... ... बिग मेडिकल इनसाइक्लोपीडिया

किसी दिए गए शरीर को बनाने वाले सभी व्यक्तिगत भागों (विवरण) के परिणामी गुरुत्वाकर्षण बल (भार) के आवेदन का बिंदु। यदि पिंड समतल, सीधी रेखा या बिंदु के संबंध में सममित है, तो पहले मामले में, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समरूपता के तल में होता है, दूसरे में, पर ... ... तकनीकी रेलवे शब्दकोश

ग्रैविटी केंद्र- एक ठोस पिंड का ज्यामितीय बिंदु जिसके माध्यम से इस पिंड के कणों पर कार्य करने वाले सभी गुरुत्वाकर्षण बल अंतरिक्ष में किसी भी स्थिति में गुजरते हैं [12 भाषाओं में निर्माण के लिए शब्दावली शब्दकोश (VNIIIS Gosstroy ... ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

पुस्तकें

• गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, ए.वी. पोलीरिनोव। एलेक्सी पोलीरिनोव का उपन्यास झीलों की एक जटिल प्रणाली जैसा दिखता है। इसमें साइबरपंक है, और डेविड मिशेल, और बोर्गेस, और डेविड फोस्टर वालेस के राजसी डिजाइन हैं ... लेकिन उनके नायक युवा पत्रकार हैं, ...

ऊपर प्राप्त सामान्य सूत्रों के आधार पर, निकायों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए विशिष्ट तरीकों को इंगित करना संभव है।

1. यदि किसी समांगी पिंड का समतल, अक्ष या सममिति का केंद्र है, तो उसका गुरुत्व केंद्र या तो समरूपता के तल में, या सममिति के अक्ष पर, या सममिति के केंद्र में होता है।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, एक सजातीय शरीर में समरूपता का एक विमान होता है। फिर, इस तल द्वारा, इसे दो ऐसे भागों में विभाजित किया जाता है, जिनके भार और एक दूसरे के बराबर होते हैं, और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र समरूपता के विमान से समान दूरी पर होते हैं। नतीजतन, एक बिंदु के रूप में शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र जिसके माध्यम से दो समान और समानांतर बलों का परिणाम गुजरता है, वास्तव में समरूपता के विमान में स्थित होगा। एक समान परिणाम उन मामलों में प्राप्त होता है जहां शरीर में एक अक्ष या समरूपता का केंद्र होता है।

यह समरूपता के गुणों से इस प्रकार है कि एक समरूप गोल वलय, एक गोल या आयताकार प्लेट, एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज, एक गेंद और समरूपता के केंद्र के साथ अन्य सजातीय पिंडों के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र ज्यामितीय केंद्र (समरूपता का केंद्र) में स्थित है। इन निकायों।

2. विभाजन। यदि शरीर को ऐसे भागों की एक सीमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति ज्ञात है, तो पूरे शरीर के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक की गणना सीधे सूत्रों (59) का उपयोग करके की जा सकती है - (62)। इस मामले में, प्रत्येक राशि में पदों की संख्या शरीर को विभाजित करने वाले भागों की संख्या के बराबर होगी।

समस्या 45. अंजीर में दिखाए गए सजातीय प्लेट के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें। 106. सभी माप सेंटीमीटर में हैं।

समाधान। हम x, y कुल्हाड़ियों को खींचते हैं और प्लेट को तीन आयतों में विभाजित करते हैं (कट रेखाएँ चित्र 106 में दिखाई गई हैं)। हम प्रत्येक आयत और उनके क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक की गणना करते हैं (तालिका देखें)।

संपूर्ण प्लेट क्षेत्र

गणना की गई मात्राओं को सूत्रों (61) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति सी को ड्राइंग में दिखाया गया है; बिंदु C प्लेट के बाहर है।

3. जोड़। यह विधि विभाजन विधि का एक विशेष मामला है। यह कटआउट वाले निकायों पर लागू होता है यदि कटआउट और कटआउट के बिना शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र ज्ञात हों।

समस्या 46. त्रिज्या कट वाली एक गोल प्लेट के गुरुत्व केंद्र की स्थिति ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या कटी हुई है (चित्र 107)। दूरी

समाधान। प्लेट का गुरुत्व केंद्र रेखा पर होता है, क्योंकि यह रेखा सममिति की धुरी है। निर्देशांक अक्षों को ड्रा करें। निर्देशांक खोजने के लिए, हम प्लेट के क्षेत्र को एक पूर्ण सर्कल (भाग 1) में पूरक करते हैं, और फिर परिणामी क्षेत्र (भाग 2) से कट सर्कल के क्षेत्र को घटाते हैं। इस मामले में, घटाए गए भाग 2 के क्षेत्र को ऋण चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए। फिर

प्राप्त मूल्यों को सूत्रों (61) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

गुरुत्वाकर्षण C का पाया गया केंद्र, जैसा कि आप देख सकते हैं, बिंदु के बाईं ओर स्थित है

4. एकीकरण। यदि शरीर को कई परिमित भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, जिनमें से गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों की स्थिति ज्ञात है, तो शरीर को पहले मनमाने छोटे खंडों में विभाजित किया जाता है जिसके लिए सूत्र (60) रूप लेते हैं

आयतन के भीतर किसी बिंदु के निर्देशांक कहाँ हैं। फिर, समानता (63) में, वे सीमा तक जाते हैं, सब कुछ शून्य पर ले जाते हैं, अर्थात, इन खंडों को बिंदुओं में संकुचित करते हैं। फिर समानता में योग शरीर के पूरे आयतन में विस्तारित इंटीग्रल में बदल जाता है, और सूत्र (63) सीमा में देते हैं:

इसी तरह, क्षेत्रों और रेखाओं के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक के लिए, हम सूत्रों (61) और (62) से सीमा में प्राप्त करते हैं:

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए इन सूत्रों को लागू करने का एक उदाहरण अगले पैराग्राफ में माना जाता है।

5. प्रायोगिक विधि। जटिल विन्यास (विमान, भाप इंजन, आदि) के अमानवीय निकायों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। संभावित प्रयोगात्मक विधियों (निलंबन विधि) में से एक यह है कि शरीर को उसके विभिन्न बिंदुओं पर एक धागे या केबल पर निलंबित कर दिया जाता है। धागे की दिशा जिस पर पिंड लटका हुआ है, हर बार गुरुत्वाकर्षण की दिशा देगा। इन दिशाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करता है। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित करने का एक अन्य संभावित तरीका वजन विधि है। इस पद्धति के पीछे का विचार नीचे दिए गए उदाहरण से स्पष्ट है।