तीसरे क्रम के रैखिक समीकरणों की प्रणाली। रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने की प्रणाली, समाधान के तरीके, उदाहरण। वी.एस. श्चिपचेव, उच्च गणित, ch.10, p.2

तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

तीसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करते हुए, ऐसी प्रणाली के समाधान को उसी रूप में लिखा जा सकता है जैसे कि दो समीकरणों की प्रणाली के लिए, अर्थात।

(2.4)

अगर 0. यहां

यह है क्रैमर का नियम तीन अज्ञात में तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना.

उदाहरण 2.3।क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान . सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक ढूँढना

0 के बाद से, सिस्टम का समाधान खोजने के लिए, आप क्रैमर के नियम को लागू कर सकते हैं, लेकिन पहले तीन और निर्धारकों की गणना करें:

इंतिहान:

इसलिए, समाधान सही पाया जाता है। मैं

दूसरे और तीसरे क्रम की रैखिक प्रणालियों के लिए प्राप्त क्रैमर के नियम बताते हैं कि किसी भी क्रम की रैखिक प्रणालियों के लिए समान नियम तैयार किए जा सकते हैं। वास्तव में होता है

क्रैमर का प्रमेय। सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली (0) एक और केवल एक समाधान है, और इस समाधान की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है

(2.5)

कहाँ पे  – मुख्य मैट्रिक्स निर्धारक,  मैं – मैट्रिक्स निर्धारक, मुख्य से व्युत्पन्न, प्रतिस्थापनमैंवें स्तंभ मुक्त सदस्य स्तंभ.

ध्यान दें कि यदि =0, तो क्रैमर का नियम लागू नहीं होता है। इसका मतलब यह है कि सिस्टम के पास या तो कोई समाधान नहीं है, या उसके पास असीम रूप से कई समाधान हैं।

क्रैमर के प्रमेय को तैयार करने के बाद, स्वाभाविक रूप से उच्च-क्रम के निर्धारकों की गणना का सवाल उठता है।

2.4. nth क्रम निर्धारक

अतिरिक्त नाबालिग एम आईजेयूतत्व एक आईजेयूको हटाकर दिए गए से प्राप्त निर्धारक कहलाता है मैं-वीं पंक्ति और जे-वें स्तंभ। बीजीय जोड़ ए आईजेयूतत्व एक आईजेयूइस तत्व का अवयस्क कहा जाता है, जिसे चिन्ह (-1) के साथ लिया जाता है मैं + जे, अर्थात। ए आईजेयू = (–1) मैं + जे एम आईजेयू .

उदाहरण के लिए, आइए तत्वों के अवयस्क और बीजगणितीय पूरक खोजें एक 23 और एक 31 निर्धारक

हम पाते हैं



बीजीय पूरक की अवधारणा का उपयोग करते हुए, हम बना सकते हैं निर्धारक विस्तार प्रमेयएन-पंक्ति या स्तंभ द्वारा क्रम.

प्रमेय 2.1. मैट्रिक्स निर्धारकएकिसी पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्वों के गुणनफल और उनके बीजीय पूरक के योग के बराबर है:

(2.6)

यह प्रमेय निर्धारकों की गणना के लिए मुख्य विधियों में से एक है, तथाकथित। आदेश कमी विधि. निर्धारक के विस्तार के परिणामस्वरूप एनकिसी भी पंक्ति या स्तंभ में वें क्रम में, हमें n निर्धारक मिलते हैं ( एन-1)-वें क्रम। ऐसे निर्धारकों को कम करने के लिए, सबसे अधिक शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ का चयन करना उचित है। व्यवहार में, सारणिक के लिए विस्तार सूत्र आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

वे। बीजगणितीय जोड़ स्पष्ट रूप से नाबालिगों के संदर्भ में लिखे गए हैं।

उदाहरण 2.4.किसी भी पंक्ति या स्तंभ में पहले उनका विस्तार करके निर्धारकों की गणना करें। आमतौर पर ऐसे मामलों में, सबसे अधिक शून्य वाले कॉलम या पंक्ति का चयन करें। चयनित पंक्ति या स्तंभ को एक तीर से चिह्नित किया जाएगा।



2.5. निर्धारकों के मूल गुण

सारणिक को किसी भी पंक्ति या स्तंभ में विस्तारित करने पर, हमें n सारणिक मिलते हैं ( एन-1)-वें क्रम। फिर इनमें से प्रत्येक निर्धारक ( एन-1)-वें क्रम को निर्धारकों के योग में भी विघटित किया जा सकता है ( एन-2) वां क्रम। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, व्यक्ति पहले क्रम के निर्धारकों तक पहुँच सकता है, अर्थात्। मैट्रिक्स के उन तत्वों के लिए जिनके निर्धारक की गणना की जा रही है। तो, दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने के लिए, आपको दो पदों के योग की गणना करनी होगी, तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए - 6 पदों का योग, चौथे क्रम के निर्धारकों के लिए - 24 पद। सारणिक का क्रम बढ़ने पर पदों की संख्या में तेजी से वृद्धि होगी। इसका मतलब यह है कि बहुत उच्च कोटि के निर्धारकों की गणना एक कंप्यूटर की शक्ति से परे एक श्रमसाध्य कार्य बन जाती है। हालांकि, निर्धारकों के गुणों का उपयोग करके निर्धारकों की गणना दूसरे तरीके से की जा सकती है।

संपत्ति 1 . यदि इसमें पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली की जाती है, तो निर्धारक नहीं बदलेगा, अर्थात मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते समय:

.

यह गुण निर्धारक की पंक्तियों और स्तंभों की समानता को इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, सारणिक के स्तंभों के बारे में कोई भी कथन उसकी पंक्तियों के लिए सत्य है, और इसके विपरीत।

संपत्ति 2 . जब दो पंक्तियों (स्तंभों) को आपस में बदल दिया जाता है, तो सारणिक चिह्न बदल जाता है।

परिणाम . यदि सारणिक की दो समान पंक्तियाँ (स्तंभ) हैं, तो यह शून्य के बराबर है।

संपत्ति 3 . किसी भी पंक्ति (स्तंभ) में सभी तत्वों का सार्व गुणनखंड सारणिक के चिन्ह से निकाला जा सकता है.

उदाहरण के लिए,

परिणाम . यदि सारणिक की किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी अवयव शून्य के बराबर हों, तो सारणिक स्वयं शून्य के बराबर होता है.

संपत्ति 4 . यदि एक पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में किसी संख्या से गुणा करने पर सारणिक नहीं बदलेगा.

उदाहरण के लिए,

संपत्ति 5 . मैट्रिक्स उत्पाद का निर्धारक मैट्रिक्स निर्धारकों के उत्पाद के बराबर है:

व्यावहारिक कार्य

"क्रैमर की विधि द्वारा तीसरे क्रम के रैखिक समीकरणों के सिस्टम का समाधान"

कार्य के लक्ष्य:

एसएलई को हल करने के तरीकों की समझ का विस्तार करें और क्रैमर विधि द्वारा एसएलई को हल करने के लिए एल्गोरिदम तैयार करें;

छात्रों की तार्किक सोच विकसित करना, समस्या का तर्कसंगत समाधान खोजने की क्षमता;

छात्रों को लिखित गणितीय भाषण की सटीकता और संस्कृति में शिक्षित करने के लिए जब वे अपना निर्णय लेते हैं।

बुनियादी सैद्धांतिक सामग्री।

क्रेमर की विधि। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के लिए आवेदन।

अज्ञात के साथ एन रैखिक बीजीय समीकरण (एसएलएई) की एक प्रणाली दी गई है, जिसके गुणांक मैट्रिक्स के तत्व हैं, और मुक्त सदस्य संख्याएं हैं

गुणांक के आगे पहला सूचकांक इंगित करता है कि गुणांक किस समीकरण में स्थित है, और दूसरा - यह किस अज्ञात स्थान पर स्थित है।

यदि मैट्रिक्स निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है

तब रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल होता है। रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक ऐसा क्रमबद्ध सेट होता है, जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को एक सही समानता में बदल देता है। यदि निकाय के सभी समीकरणों की दाहिनी भुजाएँ शून्य के बराबर हों, तो समीकरणों का निकाय सजातीय कहलाता है। मामले में जब उनमें से कुछ गैर-शून्य हैं, गैर-वर्दी यदि रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली में कम से कम एक समाधान होता है, तो इसे संगत कहा जाता है, अन्यथा यह असंगत है। यदि निकाय का हल अद्वितीय है, तो रैखिक समीकरणों का निकाय निश्चित कहलाता है। उस स्थिति में जब संगत प्रणाली का समाधान अद्वितीय नहीं है, समीकरणों की प्रणाली को अनिश्चित कहा जाता है। रैखिक समीकरणों की दो प्रणालियों को समतुल्य (या समतुल्य) कहा जाता है यदि एक प्रणाली के सभी समाधान दूसरे के समाधान हैं, और इसके विपरीत। समतुल्य (या समतुल्य) प्रणालियाँ समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करके प्राप्त की जाती हैं।

SLAE . के समतुल्य परिवर्तन

1) समीकरणों की पुनर्व्यवस्था;

2) एक गैर-शून्य संख्या से समीकरणों का गुणन (या भाग);

3) कुछ समीकरण में एक और समीकरण जोड़ना, एक मनमाना गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

SLAE का समाधान विभिन्न तरीकों से पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, Cramer's फ़ार्मुलों (Cramer's method) द्वारा।

क्रैमर का प्रमेय। यदि अज्ञात के साथ रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का निर्धारक गैर-शून्य है, तो इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है, जो क्रैमर सूत्रों द्वारा पाया जाता है: - नि: शुल्क सदस्यों के एक कॉलम -वें कॉलम के प्रतिस्थापन के साथ गठित निर्धारक।

यदि , और इनमें से कम से कम एक शून्येतर है, तो SLAE के पास कोई समाधान नहीं है। यदि , तो SLAE के पास कई समाधान हैं।

तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। Cramer's method द्वारा सिस्टम को सॉल्व करें

समाधान।

अज्ञात के लिए गुणांक के मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं

तब से, समीकरणों की दी गई प्रणाली सुसंगत है और इसका एक अनूठा समाधान है। आइए निर्धारकों की गणना करें:

Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके, हम अज्ञात का पता लगाते हैं

इसलिए व्यवस्था का एकमात्र समाधान।

चार रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। क्रैमर विधि द्वारा तंत्र को हल करें।

आइए हम अज्ञात के लिए गुणांक के मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, हम इसे पहली पंक्ति से विस्तारित करते हैं।

सारणिक के घटकों का पता लगाएं:

पाए गए मानों को निर्धारक में बदलें

इसलिए, सारणिक, समीकरणों की प्रणाली सुसंगत है और इसका एक अनूठा समाधान है। हम क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके निर्धारकों की गणना करते हैं:

मूल्यांकन पैमाना:

कार्य का मूल्यांकन "3" पर किया जाता है यदि: सिस्टम में से एक पूरी तरह से और सही ढंग से स्वतंत्र रूप से हल किया गया है।

कार्य का मूल्यांकन "4" पर किया जाता है यदि: किन्हीं दो प्रणालियों को पूरी तरह से और सही ढंग से स्वतंत्र रूप से हल किया जाता है।

कार्य का मूल्यांकन "5" पर किया जाता है यदि: तीन प्रणालियाँ पूरी तरह से और सही ढंग से स्वतंत्र रूप से हल की जाती हैं।

क्रैमर की विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में निर्धारकों के उपयोग पर आधारित है। यह समाधान प्रक्रिया को बहुत तेज करता है।

क्रैमर की विधि का उपयोग कई रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात होते हैं। यदि निकाय का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में Cramer की विधि का उपयोग किया जा सकता है, यदि यह शून्य के बराबर है, तो यह नहीं हो सकता है। इसके अलावा, क्रैमर की विधि का उपयोग एक अद्वितीय समाधान वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा. निर्धारक, अज्ञात के गुणांकों से बना होता है, जिसे प्रणाली का निर्धारक कहा जाता है और इसे (डेल्टा) द्वारा निरूपित किया जाता है।

निर्धारकों

संबंधित अज्ञात पर गुणांकों को मुक्त पदों से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

;

.

क्रैमर का प्रमेय. यदि सिस्टम का निर्धारक गैर-शून्य है, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक एकल समाधान होता है, और अज्ञात निर्धारकों के अनुपात के बराबर होता है। हर प्रणाली का निर्धारक है, और अंश गुणांक को अज्ञात के साथ मुक्त शर्तों से बदलकर प्रणाली के निर्धारक से प्राप्त निर्धारक है। यह प्रमेय किसी भी क्रम के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए है।

उदाहरण 1रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

के अनुसार क्रैमर का प्रमेयअपने पास:

तो, प्रणाली का समाधान (2):

ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर की समाधान विधि।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में तीन मामले

जैसा से प्रतीत होता है क्रैमर के प्रमेय, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, तीन मामले हो सकते हैं:

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

** ,

वे। अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद समानुपाती होते हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है

(सिस्टम असंगत)

तो सिस्टम एमके साथ रैखिक समीकरण एनचर कहा जाता है असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है, और संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है। समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली जिसका केवल एक ही हल होता है, कहलाता है निश्चित, और एक से अधिक ढुलमुल.

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

चलो सिस्टम

.

क्रैमर के प्रमेय पर आधारित

………….
,

कहाँ पे
-

सिस्टम पहचानकर्ता। शेष निर्धारक कॉलम को संबंधित चर (अज्ञात) के गुणांक के साथ मुक्त सदस्यों के साथ बदलकर प्राप्त किए जाते हैं:

उदाहरण 2

.

अतः व्यवस्था निश्चित है। इसका हल खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, (1; 0; -1) प्रणाली का एकमात्र समाधान है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

यदि एक या अधिक समीकरणों में रैखिक समीकरणों के निकाय में कोई चर नहीं हैं, तो सारणिक में उनके संगत तत्व शून्य के बराबर होते हैं! यह अगला उदाहरण है।

उदाहरण 3क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

.

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

समीकरणों के निकाय और निकाय के सारणिक को ध्यान से देखें और उस प्रश्न का उत्तर दोहराएँ जिसमें सारणिक के एक या अधिक अवयव शून्य के बराबर हों। अतः सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए निकाय निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (2; -1; 1) है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

पृष्ठ के सबसे ऊपर

हम एक साथ Cramer पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, और अज्ञात के लिए निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। आइए निम्नलिखित उदाहरण के साथ स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 6क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है, इसलिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली या तो असंगत और निश्चित है, या असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। स्पष्ट करने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए, सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की समस्याओं में, ऐसे भी होते हैं जहां, चर को निरूपित करने वाले अक्षरों के अलावा, अन्य अक्षर भी होते हैं। ये अक्षर कुछ संख्या के लिए खड़े होते हैं, अक्सर एक वास्तविक संख्या। व्यवहार में, ऐसे समीकरण और समीकरण प्रणाली किसी भी घटना और वस्तुओं के सामान्य गुणों को खोजने के लिए समस्याओं का कारण बनती हैं। यही है, आपने कुछ नई सामग्री या उपकरण का आविष्कार किया है, और इसके गुणों का वर्णन करने के लिए, जो आकार या प्रतियों की संख्या की परवाह किए बिना सामान्य हैं, आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है, जहां चर के लिए कुछ गुणांक के बजाय अक्षर हैं। आपको उदाहरणों के लिए दूर देखने की जरूरत नहीं है।

अगला उदाहरण इसी तरह की समस्या के लिए है, केवल समीकरणों, चरों और अक्षरों की संख्या कुछ वास्तविक संख्या में वृद्धि दर्शाती है।

उदाहरण 8क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना

आरसीएचबी संरक्षण के सैन्य विश्वविद्यालय की कोस्ट्रोमा शाखा

"कमांड और नियंत्रण का स्वचालन" विभाग

केवल शिक्षकों के लिए

"मैं मंजूरी देता हूँ"

विभागाध्यक्ष संख्या 9

कर्नल याकोवलेव ए.बी.

"____" ______________ 2004

एसोसिएट प्रोफेसर ए.आई. स्मिरनोवा

"निर्धारक।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान"

व्याख्यान 2 / 1

विभाग संख्या 9 . की बैठक में चर्चा

"____" ___________ 2004

प्रोटोकॉल संख्या ___________

कोस्त्रोमा, 2004.

परिचय

1. दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारक।

2. निर्धारकों के गुण। अपघटन प्रमेय।

3. क्रैमर का प्रमेय।

निष्कर्ष

साहित्य

1. वी.ई. श्नाइडर एट अल।, उच्च गणित में एक लघु पाठ्यक्रम, खंड I, Ch। 2, आइटम 1।

2. वी.एस. श्चिपचेव, उच्च गणित, ch.10, p.2।

परिचय

व्याख्यान दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों, उनके गुणों से संबंधित है। साथ ही क्रैमर का प्रमेय, जो निर्धारकों का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की अनुमति देता है। वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की गणना करते समय निर्धारकों का उपयोग बाद में "वेक्टर बीजगणित" विषय में भी किया जाता है।

पहला अध्ययन प्रश्न दूसरे और तीसरे के क्वालिफायर

गण

प्रपत्र की चार संख्याओं की तालिका पर विचार करें

तालिका में संख्याओं को दो सूचकांकों वाले एक अक्षर द्वारा दर्शाया गया है। पहला सूचकांक पंक्ति संख्या को इंगित करता है, दूसरा सूचकांक स्तंभ संख्या को इंगित करता है।

परिभाषा 1.दूसरा क्रम निर्धारक बुलायाअभिव्यक्तिमेहरबान:

नंबर एक 11, …, एक 22 को सारणिक के तत्व कहा जाता है।

तत्वों द्वारा गठित विकर्ण एक 11 ; एक 22 को मुख्य कहा जाता है, और विकर्ण तत्वों द्वारा निर्मित होता है एक 12 ; एक 21 - पक्ष में।

इस प्रकार, दूसरे क्रम का निर्धारक मुख्य और द्वितीयक विकर्णों के तत्वों के उत्पादों के बीच के अंतर के बराबर है।

ध्यान दें कि उत्तर एक संख्या है।

उदाहरण।गणना करें:

अब तीन पंक्तियों और तीन स्तंभों में लिखी गई नौ संख्याओं की एक तालिका पर विचार करें:

परिभाषा 2. तीसरा क्रम निर्धारक रूप की अभिव्यक्ति कहा जाता है:

तत्वों एक 11; एक 22 ; एक 33 - मुख्य विकर्ण बनाते हैं।

नंबर एक 13; एक 22 ; एक 31 - एक साइड विकर्ण बनाएं।

आइए हम योजनाबद्ध रूप से चित्रित करें कि प्लस और माइनस वाले पद कैसे बनते हैं:

प्लस में शामिल हैं: मुख्य विकर्ण पर तत्वों का उत्पाद, अन्य दो शब्द मुख्य विकर्ण के समानांतर आधार वाले त्रिभुजों के शीर्षों पर स्थित तत्वों के उत्पाद हैं।

माइनस वाले पद द्वितीयक विकर्ण के संबंध में उसी तरह बनते हैं।

तीसरे क्रम के सारणिक की गणना के लिए इस नियम को कहा जाता है

सही

उदाहरण।त्रिकोण के नियम से गणना करें:

टिप्पणी। निर्धारकों को निर्धारक भी कहा जाता है।

दूसरा अध्ययन प्रश्न निर्धारकों के गुण।

विस्तार प्रमेय

संपत्ति 1. सारणिक का मान नहीं बदलेगा यदि उसकी पंक्तियों को संबंधित स्तंभों के साथ बदल दिया जाए।

दोनों निर्धारकों का विस्तार करते हुए, हम समानता की वैधता के प्रति आश्वस्त हैं।

संपत्ति 1 सारणिक की पंक्तियों और स्तंभों की समानता निर्धारित करती है। इसलिए, सारणिक के सभी आगे के गुण पंक्तियों और स्तंभों दोनों के लिए तैयार किए जाएंगे।

संपत्ति 2. जब दो पंक्तियों (या स्तंभों) को आपस में बदल दिया जाता है, तो सारणिक निरपेक्ष मान को बनाए रखते हुए, संकेत को विपरीत में बदल देता है.

संपत्ति 3. पंक्ति तत्वों का सामान्य गुणक(या स्तंभ)निर्धारक के चिन्ह से निकाला जा सकता है।

संपत्ति 4. यदि सारणिक की दो समान पंक्तियाँ (या स्तंभ) हैं, तो यह शून्य के बराबर है।

इस संपत्ति को प्रत्यक्ष सत्यापन द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, या संपत्ति 2 का उपयोग किया जा सकता है।

सारणिक को डी द्वारा निरूपित करें। जब दो समान पहली और दूसरी पंक्तियों को आपस में बदल दिया जाता है, तो यह नहीं बदलेगा, और दूसरी संपत्ति से इसे संकेत बदलना होगा, अर्थात।

डी = - डीÞ 2 डी = 0 Þडी = 0।

संपत्ति 5. यदि किसी स्ट्रिंग के सभी तत्व(या स्तंभ)शून्य हैं, तो सारणिक शून्य है।

इस संपत्ति को संपत्ति 3 के विशेष मामले के रूप में माना जा सकता है

संपत्ति 6. यदि दो पंक्तियों के तत्व(या कॉलम)सारणिक आनुपातिक हैं, तो सारणिक शून्य है।

इसे प्रत्यक्ष सत्यापन या गुण 3 और 4 का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

संपत्ति 7. यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के तत्वों को उसी संख्या से गुणा करके किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के संगत तत्वों में जोड़ा जाता है, तो सारणिक का मान नहीं बदलता है।

यह प्रत्यक्ष सत्यापन द्वारा सिद्ध होता है।

इन गुणों का उपयोग कुछ मामलों में, विशेष रूप से तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना की प्रक्रिया को सुविधाजनक बना सकता है।

निम्नलिखित के लिए, हमें लघु और बीजीय पूरक की अवधारणाओं की आवश्यकता है। तीसरे क्रम को परिभाषित करने के लिए इन अवधारणाओं पर विचार करें।

परिभाषा 3. नाबालिग किसी तीसरे क्रम के निर्धारक के दिए गए तत्व को दूसरे क्रम का निर्धारक कहा जाता है, जो दिए गए तत्व के चौराहे पर पंक्ति और स्तंभ को हटाकर प्राप्त किया जाता है।

तत्व नाबालिग एकमैंजेलक्षित एममैंजे. तो तत्व के लिए एक 11 नाबालिग

यह तीसरे क्रम के निर्धारक में पहली पंक्ति और पहले कॉलम को हटाकर प्राप्त किया जाता है।

परिभाषा 4. निर्धारक तत्व का बीजीय पूरक इसे नाबालिग से गुणा करें(-1)क, कहाँ पेक- प्रतिच्छेदन पर पंक्ति और स्तंभ संख्याओं का योग जिसमें दिया गया तत्व स्थित है।

बीजीय तत्व जोड़ एकमैंजेलक्षित लेकिनमैंजे.

इस तरह, लेकिनमैंजे =

आइए हम तत्वों के लिए बीजीय पूरक लिखें एक 11 और एक 12.

नियम को याद रखना उपयोगी है: एक सारणिक के एक तत्व का बीजगणितीय पूरक उसके हस्ताक्षरित नाबालिग के बराबर है एक से अधिक, यदि पंक्ति और स्तंभ संख्याओं का योग जिसमें तत्व स्थित है, यहाँ तक की,और संकेत के साथ ऋणयदि यह राशि अजीब.

उदाहरण।सारणिक की पहली पंक्ति के तत्वों के लिए नाबालिग और बीजीय पूरक खोजें:

यह स्पष्ट है कि नाबालिग और बीजीय पूरक केवल संकेत में भिन्न हो सकते हैं।

आइए बिना प्रमाण के एक महत्वपूर्ण प्रमेय पर विचार करें - निर्धारक विस्तार प्रमेय।

विस्तार प्रमेय

सारणिक किसी भी पंक्ति या स्तंभ के तत्वों के गुणनफल और उनके बीजीय पूरक के योग के बराबर होता है।

इस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पहली पंक्ति में तीसरे क्रम के सारणिक का विस्तार लिखते हैं।

विस्तारित:

तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना करते समय अंतिम सूत्र का उपयोग मुख्य सूत्र के रूप में किया जा सकता है।

अपघटन प्रमेय हमें तीन दूसरे क्रम निर्धारकों की गणना के लिए तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना को कम करने की अनुमति देता है।

अपघटन प्रमेय तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने का दूसरा तरीका देता है।

उदाहरण।विस्तार प्रमेय का उपयोग करके सारणिक की गणना करें।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (SLAE) की सॉल्विंग सिस्टम निस्संदेह रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम का सबसे महत्वपूर्ण विषय है। गणित की सभी शाखाओं से बड़ी संख्या में समस्याएं रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए कम हो जाती हैं। ये कारक इस लेख को बनाने का कारण बताते हैं। लेख की सामग्री को चुना और संरचित किया जाता है ताकि इसकी मदद से आप कर सकें

• रैखिक बीजीय समीकरणों की अपनी प्रणाली को हल करने के लिए इष्टतम विधि चुनें,
• चुनी हुई विधि के सिद्धांत का अध्ययन करें,
• विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के समाधान पर विस्तार से विचार करके, रैखिक समीकरणों की अपनी प्रणाली को हल करें।

लेख की सामग्री का संक्षिप्त विवरण।

सबसे पहले, हम सभी आवश्यक परिभाषाएँ, अवधारणाएँ देते हैं, और कुछ अंकन प्रस्तुत करते हैं।

इसके बाद, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीकों पर विचार करते हैं जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर होती है और जिनका एक अद्वितीय समाधान होता है। सबसे पहले, आइए क्रैमर विधि पर ध्यान दें, दूसरे, हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि दिखाएंगे, और तीसरा, हम गॉस विधि (अज्ञात चर के क्रमिक उन्मूलन की विधि) का विश्लेषण करेंगे। सिद्धांत को मजबूत करने के लिए, हम निश्चित रूप से कई SLAE को विभिन्न तरीकों से हल करेंगे।

उसके बाद, हम एक सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करने वाले सिस्टम की ओर मुड़ते हैं, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स पतित है। हम क्रोनकर-कैपेली प्रमेय तैयार करते हैं, जो हमें एसएलएई की संगतता स्थापित करने की अनुमति देता है। आइए मैट्रिक्स के आधार माइनर की अवधारणा का उपयोग करके सिस्टम के समाधान (उनकी संगतता के मामले में) का विश्लेषण करें। हम गॉस विधि पर भी विचार करेंगे और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से वर्णन करेंगे।

रैखिक बीजीय समीकरणों के सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के सामान्य समाधान की संरचना पर ध्यान देना सुनिश्चित करें। आइए हम समाधान की एक मौलिक प्रणाली की अवधारणा दें और दिखाएं कि समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके SLAE का सामान्य समाधान कैसे लिखा जाता है। बेहतर समझ के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें।

अंत में, हम उन समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करते हैं जो रैखिक रूप से कम हो जाती हैं, साथ ही साथ विभिन्न समस्याएं, जिनके समाधान में SLAE उत्पन्न होते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

परिभाषाएँ, अवधारणाएँ, पदनाम।

हम n अज्ञात चर वाले p रैखिक बीजगणितीय समीकरणों के निकाय पर विचार करेंगे (p, n के बराबर हो सकता है)

अज्ञात चर, - गुणांक (कुछ वास्तविक या जटिल संख्याएं), - मुक्त सदस्य (वास्तविक या जटिल संख्याएं भी)।

SLAE के इस रूप को कहा जाता है समन्वय.

पर मैट्रिक्स फॉर्मसमीकरणों की इस प्रणाली का रूप है,
कहाँ पे - सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर का मैट्रिक्स-कॉलम, - मुक्त सदस्यों का मैट्रिक्स-कॉलम।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n + 1)-वें कॉलम को फ्री टर्म्स के मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली। आमतौर पर, संवर्धित मैट्रिक्स को अक्षर T द्वारा निरूपित किया जाता है, और मुक्त सदस्यों के स्तंभ को शेष स्तंभों से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करकेअज्ञात चरों के मानों का एक समूह कहलाता है, जो सिस्टम के सभी समीकरणों को पहचान में बदल देता है। अज्ञात चर के दिए गए मानों के लिए मैट्रिक्स समीकरण भी एक पहचान में बदल जाता है।

यदि समीकरणों के किसी निकाय का कम से कम एक हल हो, तो वह कहलाता है संयुक्त.

यदि समीकरणों के निकाय का कोई हल नहीं है, तो इसे कहते हैं असंगत.

यदि किसी SLAE का एक अनूठा समाधान है, तो उसे कहा जाता है निश्चित; एक से अधिक उपाय हो तो - ढुलमुल.

यदि निकाय के सभी समीकरणों के मुक्त पद शून्य के बराबर हैं , तो सिस्टम कहा जाता है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों का समाधान।

यदि सिस्टम समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है और इसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो हम ऐसे SLAE को कॉल करेंगे प्राथमिक. समीकरणों की ऐसी प्रणालियों का एक अनूठा समाधान होता है, और एक सजातीय प्रणाली के मामले में, सभी अज्ञात चर शून्य के बराबर होते हैं।

हमने हाई स्कूल में ऐसे SLAE का अध्ययन शुरू किया। उन्हें हल करते समय, हमने एक समीकरण लिया, एक अज्ञात चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त किया और इसे शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, फिर अगला समीकरण लिया, अगले अज्ञात चर को व्यक्त किया और इसे अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, और इसी तरह। या उन्होंने जोड़ विधि का इस्तेमाल किया, यानी उन्होंने कुछ अज्ञात चर को खत्म करने के लिए दो या दो से अधिक समीकरण जोड़े। हम इन विधियों पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, क्योंकि वे अनिवार्य रूप से गॉस पद्धति के संशोधन हैं।

रेखीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करने की मुख्य विधियाँ क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि और गॉस विधि हैं। आइए उन्हें सुलझाएं।

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।

आइए हमें रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चरों की संख्या के बराबर होती है और निकाय के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, अर्थात्।

आज्ञा देना प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक बनें, और मैट्रिक्स के निर्धारक हैं जो ए से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं पहला, दूसरा, …, nthमुक्त सदस्यों के कॉलम में क्रमशः कॉलम:

इस तरह के अंकन के साथ, अज्ञात चर की गणना क्रैमर की विधि के सूत्रों द्वारा की जाती है: . इस प्रकार क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान पाया जाता है।

उदाहरण।

क्रैमर विधि .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है . इसके निर्धारक की गणना करें (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

चूंकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है, सिस्टम का एक अनूठा समाधान है जिसे क्रैमर की विधि द्वारा पाया जा सकता है।

आवश्यक निर्धारकों की रचना और गणना करें (निर्धारक मैट्रिक्स ए में पहले कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है, निर्धारक - दूसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर, - मैट्रिक्स ए के तीसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। ):

सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात चर ढूँढना :

उत्तर:

क्रैमर की विधि का मुख्य नुकसान (यदि इसे एक नुकसान कहा जा सकता है) निर्धारकों की गणना की जटिलता है जब सिस्टम समीकरणों की संख्या तीन से अधिक होती है।

मैट्रिक्स विधि (उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करके) द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करना।

मान लीजिए रैखिक बीजीय समीकरणों का निकाय मैट्रिक्स रूप में दिया गया है, जहाँ मैट्रिक्स A का आयाम n बटा n है और इसका सारणिक शून्येतर है।

चूंकि, तब मैट्रिक्स A उलटा है, यानी एक उलटा मैट्रिक्स है। यदि हम समानता के दोनों भागों को बाईं ओर से गुणा करते हैं, तो हमें अज्ञात चर के कॉलम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक सूत्र मिलता है। तो हमें मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली का समाधान मिला।

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें मैट्रिक्स विधि।

समाधान।

आइए मैट्रिक्स रूप में समीकरणों की प्रणाली को फिर से लिखें:

इसलिये

तब SLAE को मैट्रिक्स विधि द्वारा हल किया जा सकता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके, इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार पाया जा सकता है .

आइए मैट्रिक्स ए के तत्वों के बीजीय पूरक के मैट्रिक्स का उपयोग करके एक उलटा मैट्रिक्स बनाएं (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

यह गणना करना बाकी है - व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करके अज्ञात चर का मैट्रिक्स मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स-स्तंभ पर (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें):

उत्तर:

या किसी अन्य अंकन में x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के समाधान खोजने में मुख्य समस्या प्रतिलोम मैट्रिक्स को खोजने की जटिलता है, विशेष रूप से तीसरे से अधिक कोटि के वर्ग मैट्रिक्स के लिए।

गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना।

मान लीजिए कि हमें n अज्ञात चरों वाले n रैखिक समीकरणों के निकाय का हल खोजने की आवश्यकता है
मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है।

गॉस विधि का सारअज्ञात चर के क्रमिक बहिष्करण में शामिल हैं: पहले, x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, दूसरे से शुरू होता है, फिर x 2 को सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, तीसरे से शुरू होता है, और इसी तरह, केवल अज्ञात चर तक। x n अंतिम समीकरण में रहता है। अज्ञात चरों के क्रमिक विलोपन के लिए निकाय के समीकरणों को बदलने की ऐसी प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. गाऊसी पद्धति के फॉरवर्ड रन के पूरा होने के बाद, पिछले समीकरण से x n पाया जाता है, x n-1 की गणना इस मान का उपयोग करके अंतिम समीकरण से की जाती है, और इसी तरह, पहले समीकरण से x 1 पाया जाता है। सिस्टम के अंतिम समीकरण से प्रथम में जाने पर अज्ञात चरों की गणना करने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि.

आइए अज्ञात चर को समाप्त करने के लिए एल्गोरिथ्म का संक्षेप में वर्णन करें।

हम मान लेंगे कि, चूंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। हम अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर करते हैं, दूसरे से शुरू करते हुए। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से गुणा करें, पहले को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, पहले को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक .

हम उसी परिणाम पर आएंगे यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 व्यक्त करते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम समान रूप से कार्य करते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के एक भाग के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण से दूसरे को गुणा करके जोड़ें, दूसरे को चौथे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, दूसरे को गुणा करके nth समीकरण में जोड़ें। इस तरह के परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा

जहाँ एक . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

अगला, हम अज्ञात x 3 के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि इसी तरह से कार्य करते हुए सिस्टम के उस हिस्से के साथ कार्य करते हैं जो चित्र में चिह्नित है

इसलिए हम गॉस पद्धति के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से, हम गॉस विधि का रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से x n की गणना करते हैं, प्राप्त मान x n का उपयोग करके हम x n-1 को अंतिम समीकरण से पाते हैं, और इसी तरह, हम पहले से x 1 पाते हैं समीकरण

उदाहरण।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें गाऊसी विधि।

समाधान।

आइए अज्ञात चर x 1 को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरणों से बाहर करें। ऐसा करने के लिए, दूसरे और तीसरे समीकरण के दोनों हिस्सों में, हम क्रमशः पहले समीकरण के संबंधित भागों को गुणा और गुणा करते हैं:

अब हम तीसरे समीकरण से x 2 को इसके बाएँ और दाएँ भागों में दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों में जोड़कर, गुणा करके बाहर करते हैं:

इस पर गॉस विधि का आगे का पाठ्यक्रम पूरा हो जाता है, हम रिवर्स कोर्स शुरू करते हैं।

परिणामी समीकरण प्रणाली के अंतिम समीकरण से, हम x 3 पाते हैं:

दूसरे समीकरण से हम प्राप्त करते हैं।

पहले समीकरण से हम शेष अज्ञात चर पाते हैं और यह गॉस विधि के विपरीत पाठ्यक्रम को पूरा करता है।

उत्तर:

एक्स 1 \u003d 4, एक्स 2 \u003d 0, एक्स 3 \u003d -1।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों को हल करने वाली प्रणाली।

सामान्य स्थिति में, सिस्टम p के समीकरणों की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से मेल नहीं खाती:

ऐसे SLAE के पास कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक ही समाधान हो सकता है, या असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं। यह कथन उन समीकरण प्रणालियों पर भी लागू होता है जिनका मुख्य मैट्रिक्स वर्गाकार और पतित होता है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने से पहले, इसकी संगतता स्थापित करना आवश्यक है। प्रश्न का उत्तर जब SLAE संगत है, और जब यह असंगत है, देता है क्रोनकर-कैपेली प्रमेय:
n अज्ञात के साथ p समीकरणों की एक प्रणाली के लिए (p बराबर n हो सकता है) सुसंगत होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, अर्थात रैंक( ए) = रैंक (टी)।

आइए एक उदाहरण के रूप में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता निर्धारित करने के लिए क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के आवेदन पर विचार करें।

उदाहरण।

पता लगाएँ कि क्या रैखिक समीकरणों की प्रणाली में है समाधान।

समाधान।

. आइए नाबालिगों को सीमाबद्ध करने की विधि का उपयोग करें। दूसरे क्रम के नाबालिग शून्य से भिन्न। आइए इसके आसपास के तीसरे क्रम के अवयस्कों पर नज़र डालें:

चूंकि सभी सीमावर्ती तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो है।

बदले में, संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक तीन के बराबर है, क्योंकि तीसरे क्रम के अवयस्क

शून्य से भिन्न।

इस तरह, रंग (ए), इसलिए, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली असंगत है।

उत्तर:

समाधान की कोई व्यवस्था नहीं है।

इसलिए, हमने क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके सिस्टम की असंगति को स्थापित करना सीख लिया है।

लेकिन SLAE का समाधान कैसे खोजा जाए यदि इसकी अनुकूलता स्थापित हो जाए?

ऐसा करने के लिए, हमें मैट्रिक्स के आधार नाबालिग और मैट्रिक्स के रैंक पर प्रमेय की अवधारणा की आवश्यकता है।

शून्य के अलावा मैट्रिक्स A के उच्चतम कोटि के माइनर को कहा जाता है बुनियादी.

यह आधार नाबालिग की परिभाषा से इस प्रकार है कि इसका क्रम मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है। एक गैर-शून्य मैट्रिक्स ए के लिए, कई बुनियादी नाबालिग हो सकते हैं; हमेशा एक बुनियादी नाबालिग होता है।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें .

इस मैट्रिक्स के सभी तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, क्योंकि इस मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के तत्व पहली और दूसरी पंक्तियों के संबंधित तत्वों का योग हैं।

दूसरे क्रम के निम्नलिखित अवयस्क मूलभूत हैं, क्योंकि वे शून्येतर हैं

नाबालिगों बुनियादी नहीं हैं, क्योंकि वे शून्य के बराबर हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय।

यदि क्रम p ब n के मैट्रिक्स की रैंक r है, तो मैट्रिक्स की पंक्तियों (और कॉलम) के सभी तत्व जो चुने हुए आधार को माइनर नहीं बनाते हैं, उन्हें पंक्तियों (और कॉलम) के संबंधित तत्वों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। ) जो आधार नाबालिग बनाते हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय हमें क्या देता है?

यदि, क्रोनकर-कैपेली प्रमेय द्वारा, हमने सिस्टम की संगतता स्थापित की है, तो हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के किसी भी मूल नाबालिग को चुनते हैं (इसका क्रम आर के बराबर है), और सिस्टम से सभी समीकरणों को बाहर नहीं करते हैं चुने हुए मूल नाबालिग का निर्माण करें। इस तरह से प्राप्त SLAE मूल के बराबर होगा, क्योंकि छोड़े गए समीकरण अभी भी बेमानी हैं (मैट्रिक्स रैंक प्रमेय के अनुसार, वे शेष समीकरणों का एक रैखिक संयोजन हैं)।

नतीजतन, सिस्टम के अत्यधिक समीकरणों को त्यागने के बाद, दो मामले संभव हैं।

यदि परिणामी प्रणाली में समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के बराबर है, तो यह निश्चित होगा और क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा एकमात्र समाधान पाया जा सकता है।

उदाहरण।

.

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है, क्योंकि दूसरे क्रम के अवयस्क शून्य से भिन्न। विस्तारित मैट्रिक्स रैंक भी दो के बराबर है, क्योंकि तीसरे क्रम का एकमात्र नाबालिग शून्य के बराबर है

और ऊपर माने गए दूसरे क्रम का अवयस्क शून्य से भिन्न है। क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के आधार पर, कोई भी रेखीय समीकरणों की मूल प्रणाली की अनुकूलता पर जोर दे सकता है, क्योंकि रैंक (ए) = रैंक (टी) = 2।

आधार नाबालिग के रूप में, हम लेते हैं . यह पहले और दूसरे समीकरणों के गुणांकों द्वारा बनता है:


सिस्टम का तीसरा समीकरण मूल नाबालिग के गठन में भाग नहीं लेता है, इसलिए हम इसे मैट्रिक्स रैंक प्रमेय के आधार पर सिस्टम से बाहर कर देते हैं:


इस प्रकार हमने रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की है। आइए इसे क्रैमर विधि द्वारा हल करें:


उत्तर:

एक्स 1 \u003d 1, एक्स 2 \u003d 2.

यदि परिणामी SLAE में समीकरण r की संख्या अज्ञात चर n की संख्या से कम है, तो हम उन शब्दों को छोड़ देते हैं जो समीकरणों के बाएँ भागों में मूल गौण बनाते हैं, और शेष पदों को समीकरणों के दाएँ भागों में स्थानांतरित करते हैं सिस्टम के विपरीत संकेत के साथ।

समीकरणों के बाईं ओर शेष अज्ञात चर (उनमें से r हैं) कहलाते हैं मुख्य.

अज्ञात चर (उनमें से n - r हैं) जो दाईं ओर समाप्त होते हैं, कहलाते हैं नि: शुल्क.

अब हम मान लेते हैं कि मुक्त अज्ञात चर मनमाना मान ले सकते हैं, जबकि r मुख्य अज्ञात चरों को मुक्त अज्ञात चरों के रूप में एक अनूठे तरीके से व्यक्त किया जाएगा। क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा परिणामी SLAE को हल करके उनकी अभिव्यक्ति पाई जा सकती है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली को हल करें .

समाधान।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक पाएं सीमावर्ती नाबालिग विधि द्वारा। आइए हम 1 1 = 1 को शून्येतर प्रथम कोटि के अवयस्क के रूप में लें। आइए इस नाबालिग के आस-पास एक गैर-शून्य द्वितीय-क्रम नाबालिग की खोज शुरू करें:


तो हमें दूसरे क्रम का एक गैर-शून्य नाबालिग मिला। आइए तीसरे क्रम के गैर-शून्य सीमावर्ती नाबालिग की खोज शुरू करें:


इस प्रकार, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक तीन है। संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर है, अर्थात सिस्टम सुसंगत है।

तीसरे क्रम के पाए गए गैर-शून्य नाबालिग को मूल के रूप में लिया जाएगा।

स्पष्टता के लिए, हम उन तत्वों को दिखाते हैं जो आधार को मामूली बनाते हैं:


हम सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर मूल नाबालिग में भाग लेने की शर्तों को छोड़ देते हैं, और बाकी को विपरीत संकेतों के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:


हम मुक्त अज्ञात चर x 2 और x 5 मनमाना मान देते हैं, अर्थात हम लेते हैं , जहां मनमानी संख्याएं हैं। इस मामले में, SLAE फॉर्म लेता है


हम क्रैमर विधि द्वारा रैखिक बीजीय समीकरणों की प्राप्त प्राथमिक प्रणाली को हल करते हैं:


फलस्वरूप, ।

उत्तर में, मुक्त अज्ञात चरों को इंगित करना न भूलें।

उत्तर:

मनमानी संख्या कहां हैं।

संक्षेप।

एक सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, हम पहले क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इसकी संगतता का पता लगाते हैं। यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर नहीं है, तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम असंगत है।

यदि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, तो हम मूल नाबालिग को चुनते हैं और सिस्टम के समीकरणों को त्याग देते हैं जो चुने हुए मूल नाबालिग के गठन में भाग नहीं लेते हैं।

यदि आधार नाबालिग का क्रम अज्ञात चरों की संख्या के बराबर है, तो SLAE का एक अनूठा समाधान है, जो हमें ज्ञात किसी भी विधि से मिल सकता है।

यदि आधार नाबालिग का क्रम अज्ञात चर की संख्या से कम है, तो हम सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर मुख्य अज्ञात चर के साथ शर्तों को छोड़ देते हैं, शेष शब्दों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और मनमाना मान निर्दिष्ट करते हैं। मुक्त अज्ञात चर के लिए। रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली से, हम क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि या गॉस विधि द्वारा मुख्य अज्ञात चर पाते हैं।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

गॉस विधि का उपयोग करके, संगतता के लिए प्रारंभिक जांच के बिना किसी भी प्रकार के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल किया जा सकता है। अज्ञात चरों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया SLAE की संगतता और असंगति दोनों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाती है, और यदि कोई समाधान मौजूद है, तो यह उसे खोजना संभव बनाता है।

कम्प्यूटेशनल कार्य के दृष्टिकोण से, गाऊसी पद्धति बेहतर है।

सामान्य रूप के रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए लेख गॉस विधि में इसका विस्तृत विवरण और विश्लेषण उदाहरण देखें।

समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर का उपयोग करके सजातीय और अमानवीय रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों के सामान्य समाधान की रिकॉर्डिंग।

इस खंड में, हम रैखिक बीजीय समीकरणों के संयुक्त सजातीय और अमानवीय प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जिनके अनंत संख्या में समाधान हैं।

आइए पहले सजातीय प्रणालियों से निपटें।

मौलिक निर्णय प्रणाली n अज्ञात चरों के साथ p रैखिक बीजीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली इस प्रणाली के (n - r) रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का एक सेट है, जहां r सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के आधार नाबालिग का क्रम है।

यदि हम एक सजातीय SLAE के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान को X (1), X (2), ..., X (n-r) (X (1), X (2), ..., X (n-r) के रूप में नामित करते हैं, तो आयाम n के मैट्रिक्स कॉलम हैं। द्वारा 1 ) , तो इस सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान को मनमाने ढंग से स्थिर गुणांक С 1 , 2 , …, (n-r) के साथ समाधान की मौलिक प्रणाली के वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है, अर्थात, ।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (ओरोस्लाऊ) की एक सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान का क्या अर्थ है?

अर्थ सरल है: सूत्र मूल SLAE के सभी संभावित समाधानों को निर्दिष्ट करता है, दूसरे शब्दों में, मनमाना स्थिरांक C 1 , C 2 , ..., C (n-r) के मानों का कोई भी सेट लेते हुए, सूत्र के अनुसार हम मूल सजातीय SLAE के समाधानों में से एक प्राप्त करेगा।

इस प्रकार, यदि हम समाधान की एक मौलिक प्रणाली पाते हैं, तो हम इस सजातीय SLAE के सभी समाधानों को इस रूप में सेट कर सकते हैं।

आइए हम सजातीय SLAE के लिए समाधान की एक मूलभूत प्रणाली के निर्माण की प्रक्रिया को प्रदर्शित करें।

हम रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली के मूल नाबालिग को चुनते हैं, सिस्टम से अन्य सभी समीकरणों को बाहर करते हैं, और सिस्टम के समीकरणों के दाहिने हाथ की ओर विपरीत संकेतों के साथ स्थानांतरित करते हैं जिसमें सभी शब्द मुक्त अज्ञात चर होते हैं। आइए मुक्त अज्ञात चरों को मान 1,0,0,…,0 दें और किसी भी तरह से परिणामी रैखिक समीकरणों की प्राथमिक प्रणाली को हल करके मुख्य अज्ञात की गणना करें, उदाहरण के लिए, क्रैमर विधि द्वारा। इस प्रकार, एक्स (1) प्राप्त किया जाएगा - मौलिक प्रणाली का पहला समाधान। यदि हम मुक्त अज्ञात को 0,1,0,0,…,0 मान देते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (2) मिलता है। और इसी तरह। यदि हम मुक्त अज्ञात चर को 0,0,…,0,1 मान देते हैं और मुख्य अज्ञात की गणना करते हैं, तो हमें X (n-r) मिलता है। इस प्रकार सजातीय SLAE के समाधान की मूलभूत प्रणाली का निर्माण किया जाएगा और इसका सामान्य समाधान रूप में लिखा जा सकता है।

रैखिक बीजीय समीकरणों की अमानवीय प्रणालियों के लिए, सामान्य समाधान को इस प्रकार दर्शाया जाता है:

आइए उदाहरण देखें।

उदाहरण।

समाधान की मौलिक प्रणाली और रैखिक बीजीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें .

समाधान।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियों के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक हमेशा विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर होती है। आइए हम अवयस्कों को फ्रिंज करने की विधि द्वारा मुख्य मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें। पहले क्रम के गैर-शून्य नाबालिग के रूप में, हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के तत्व को 1 1 = 9 लेते हैं। दूसरे क्रम के सीमावर्ती गैर-शून्य नाबालिग का पता लगाएं:

शून्य से भिन्न दूसरे क्रम का एक अवयस्क पाया जाता है। आइए गैर-शून्य की तलाश में इसकी सीमा से लगे तीसरे क्रम के नाबालिगों के माध्यम से देखें:

तीसरे क्रम के सभी सीमावर्ती नाबालिग शून्य के बराबर हैं, इसलिए मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक दो है। आइए मूल नाबालिग को लें। स्पष्टता के लिए, हम सिस्टम के उन तत्वों पर ध्यान देते हैं जो इसे बनाते हैं:

मूल एसएलएई का तीसरा समीकरण मूल नाबालिग के गठन में भाग नहीं लेता है, इसलिए इसे बाहर रखा जा सकता है:

हम समीकरणों के दाहिनी ओर मुख्य अज्ञात वाले पदों को छोड़ देते हैं, और मुक्त अज्ञात वाले शब्दों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

आइए हम रैखिक समीकरणों की मूल सजातीय प्रणाली के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करें। इस SLAE के समाधान की मूलभूत प्रणाली में दो समाधान होते हैं, क्योंकि मूल SLAE में चार अज्ञात चर होते हैं, और इसके मूल नाबालिग का क्रम दो होता है। एक्स (1) को खोजने के लिए, हम मुक्त अज्ञात चर को मान x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 देते हैं, फिर हम समीकरणों की प्रणाली से मुख्य अज्ञात पाते हैं
.

आइए इसे क्रैमर विधि द्वारा हल करें:

इस तरह, ।

अब X (2) बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मुक्त अज्ञात चर को मान x 2 \u003d 0, x 4 \u003d 1 देते हैं, फिर हम रैखिक समीकरणों की प्रणाली से मुख्य अज्ञात पाते हैं
.

आइए फिर से क्रैमर की विधि का उपयोग करें:

हम पाते हैं ।

तो हमें समाधान की मौलिक प्रणाली के दो वैक्टर मिले और, अब हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान को लिख सकते हैं:

, जहाँ C 1 और C 2 मनमानी संख्याएँ हैं।, शून्य के बराबर हैं। हम नाबालिग को भी मूल के रूप में लेते हैं, सिस्टम से तीसरे समीकरण को बाहर करते हैं, और सिस्टम समीकरणों के दायीं ओर मुक्त अज्ञात के साथ शर्तों को स्थानांतरित करते हैं:

खोजने के लिए, हम मुक्त अज्ञात चर को मान x 2 \u003d 0 और x 4 \u003d 0 देते हैं, फिर समीकरणों की प्रणाली का रूप लेती है , जिसमें से हम Cramer विधि का उपयोग करके मुख्य अज्ञात चर पाते हैं:

हमारे पास है , फलस्वरूप,

जहाँ C 1 और C 2 मनमानी संख्याएँ हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि रैखिक बीजीय समीकरणों की अनिश्चित सजातीय प्रणाली के समाधान उत्पन्न करते हैं रैखिक स्थान

समाधान।

एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप है . हमारा कार्य मापदंडों को निर्धारित करना है a , b तथा c । चूँकि दीर्घवृत्ताभ बिन्दु A, B और C से होकर गुजरता है, तो उनके निर्देशांकों को दीर्घवृत्त के विहित समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय, यह एक पहचान में बदल जाना चाहिए। तो हमें तीन समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

निरूपित , तो प्रणाली रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली बन जाती है .

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें:

चूंकि यह शून्येतर नहीं है, इसलिए हम क्रैमर विधि से इसका हल ढूंढ सकते हैं:
) जाहिर है, x = 0 और x = 1 इस बहुपद के मूल हैं। भाग से भाग पर है । इस प्रकार, हमारे पास एक अपघटन है और मूल अभिव्यक्ति रूप ले लेगी .

आइए अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करें।

अंशों के संगत गुणांकों की तुलना करते हुए, हम रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली पर पहुंचते हैं . इसका समाधान हमें वांछित अनिश्चित गुणांक ए, बी, सी और डी देगा।

हम गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करते हैं:

गॉस विधि के विपरीत क्रम में हम पाते हैं कि D = 0, C = -2, B = 1, A = 1 है।

हम पाते हैं

उत्तर:

.