फ़ंक्शन उदाहरणों के चरम बिंदु कैसे खोजें। किसी फ़ंक्शन के चरम (न्यूनतम और अधिकतम अंक) को कैसे खोजें। किसी फ़ंक्शन का बढ़ना, घटाना और चरम सीमा

इन असमानताओं को सीमा तक . के रूप में पारित करना एक्स→ 0 और ध्यान में रखते हुए कि व्युत्पन्न एफ "(एक्स 0) मौजूद है, और इसलिए बाईं ओर की सीमा इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कैसे एक्स→ 0, हम पाते हैं: . के लिए एक्स → 0 – 0 एफ"(एक्स 0) 0 और . पर एक्स → 0 + 0 एफ"(एक्स 0) 0. चूँकि एफ"(एक्स 0) एक संख्या को परिभाषित करता है, तो ये दो असमानताएँ तभी संगत होती हैं जब एफ"(एक्स 0) = 0.

सिद्ध प्रमेय में कहा गया है कि अधिकतम और न्यूनतम अंक केवल तर्क के उन मूल्यों में से हो सकते हैं जिनके लिए व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

हमने उस स्थिति पर विचार किया है जब किसी फलन का एक निश्चित खंड के सभी बिंदुओं पर व्युत्पन्न होता है। क्या होता है जब व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है? उदाहरणों पर विचार करें।

आप=|एक्स|.

फ़ंक्शन में एक बिंदु पर व्युत्पन्न नहीं होता है एक्स=0 (इस बिंदु पर, फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक निश्चित स्पर्शरेखा नहीं होती है), लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है, क्योंकि आप(0) = 0, और सभी के लिए एक्स≠ 0आप > 0.

इस प्रकार, दिए गए उदाहरणों और सूत्रबद्ध प्रमेय से यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन का केवल दो मामलों में एक चरम हो सकता है: 1) उन बिंदुओं पर जहां व्युत्पन्न मौजूद है और शून्य के बराबर है; 2) उस बिंदु पर जहां व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

हालांकि, अगर किसी बिंदु पर एक्स 0 हम जानते हैं कि च"(एक्स 0 ) = 0, तो इससे यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है कि बिंदु पर एक्स 0 फ़ंक्शन में एक चरम सीमा होती है।

उदाहरण के लिए।

लेकिन बिंदु एक्स=0 एक चरम बिंदु नहीं है, क्योंकि इस बिंदु के बाईं ओर फ़ंक्शन मान अक्ष के नीचे स्थित हैं बैल, और ऊपर दाईं ओर।

किसी फ़ंक्शन के डोमेन से एक तर्क के मान, जिसके लिए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है या मौजूद नहीं है, कहलाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु.

यह पूर्वगामी से इस प्रकार है कि किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु महत्वपूर्ण बिंदुओं में से हैं, और, हालांकि, प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु एक चरम बिंदु नहीं है। इसलिए, फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को ढूंढना होगा, और फिर इनमें से प्रत्येक बिंदु को अधिकतम और न्यूनतम के लिए अलग-अलग जांचना होगा। इसके लिए, निम्नलिखित प्रमेय कार्य करता है।

प्रमेय 2। (एक चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्त।) मान लीजिए कि महत्वपूर्ण बिंदु वाले कुछ अंतराल पर कार्य निरंतर है एक्स 0 , और इस अंतराल के सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है (सिवाय, शायद, बिंदु को छोड़कर एक्स 0)। यदि, इस बिंदु से बाएं से दाएं जाने पर, व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो बिंदु पर एक्स = एक्स 0 फ़ंक्शन में अधिकतम है। अगर, गुजरते समय एक्स 0 बाएं से दाएं, व्युत्पन्न परिवर्तन माइनस से प्लस पर हस्ताक्षर करते हैं, फिर इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है।

इस प्रकार, यदि

च"(एक्स)>0 बजे एक्स<एक्स 0 और च"(एक्स)< 0 बजे एक्स > एक्स 0 , फिर एक्स 0 - अधिकतम बिंदु;

सबूत. आइए पहले मान लें कि जब से गुजरते हैं एक्स 0, व्युत्पन्न परिवर्तन संकेत प्लस से माइनस में, अर्थात। सभी के लिए एक्सबिंदु के करीब एक्स 0 एफ "(एक्स)> 0 के लिए एक्स< x 0 , च"(एक्स)< 0 के लिए एक्स > एक्स 0. आइए लैग्रेंज प्रमेय को अंतर पर लागू करें एफ(एक्स) - एफ(एक्स 0 ) = एफ "(सी) (एक्स- एक्स 0), जहां सीबीच मे स्थित एक्सतथा एक्स 0 .

होने देना एक्स< x 0. फिर सी< x 0 और च "(सी)> 0. इसीलिए एफ "(सी) (एक्स-एक्स 0)< 0 और इसलिए,

एफ(एक्स) - एफ(एक्स 0 )< 0, यानी एफ (एक्स)< f(x 0 ).

होने देना एक्स > एक्स 0. फिर सी> एक्स 0 और च"(सी)< 0. माध्यम एफ "(सी) (एक्स-एक्स 0)< 0. इसीलिए एफ(एक्स) - एफ(एक्स 0 ) <0,т.е.एफ (एक्स)< च (एक्स 0 ) .

इस प्रकार, सभी मूल्यों के लिए एक्सकाफी करीब एक्स 0 एफ (एक्स)< च (एक्स 0 ) . और इसका मतलब है कि बिंदु पर एक्स 0 फ़ंक्शन में अधिकतम है।

न्यूनतम प्रमेय का दूसरा भाग इसी प्रकार सिद्ध होता है।

आइए चित्र में इस प्रमेय का अर्थ स्पष्ट करें। होने देना च"(एक्स 1 ) = 0 और किसी के लिए एक्स,काफी करीब एक्स 1, असमानताएं

च"(एक्स)< 0 बजे एक्स< x 1 , एफ "(एक्स)> 0 बजे एक्स > एक्स 1 .

फिर बिंदु के बाईं ओर एक्स 1 फलन बढ़ रहा है, और दाईं ओर घट रहा है, इसलिए, जब एक्स = एक्स 1 फलन बढ़ते से घटते जाता है, अर्थात इसमें अधिकतम होता है।

इसी तरह, कोई बिंदुओं पर विचार कर सकता है एक्स 2 और एक्स 3 .

योजनाबद्ध रूप से, उपरोक्त सभी को चित्र में दर्शाया जा सकता है:

एक चरम के लिए y=f(x) फलन का अध्ययन करने का नियम

फ़ंक्शन का दायरा खोजें एफ (एक्स)।

किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें च"(एक्स).

इसके लिए महत्वपूर्ण बिंदु निर्धारित करें:

समीकरण की वास्तविक जड़ें खोजें च"(एक्स)=0;

सभी मान खोजें एक्सजिसके तहत व्युत्पन्न च"(एक्स)मौजूद नहीं।

महत्वपूर्ण बिंदु के बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न के चिह्न का निर्धारण करें। चूंकि व्युत्पन्न का चिह्न दो महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच स्थिर रहता है, यह व्युत्पन्न के चिह्न को बाईं ओर किसी एक बिंदु पर और एक बिंदु पर महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है।

चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, फ़ंक्शन के चरम के इस संकेत के लिए बिंदु पर कम से कम दूसरे क्रम तक व्युत्पन्न के अस्तित्व की आवश्यकता होती है।

उदाहरण।

फ़ंक्शन के चरम का पता लगाएं।

समाधान।

आइए दायरे से शुरू करें:

आइए मूल कार्य को अलग करें:

एक्स = 1, अर्थात्, यह एक संभावित चरम सीमा का बिंदु है। हम फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं और इसके मूल्य की गणना करते हैं एक्स = 1:

इसलिए, दूसरी पर्याप्त चरम स्थिति से, एक्स = 1- अधिकतम बिंदु। फिर फ़ंक्शन का अधिकतम है।

ग्राफिक चित्रण।

उत्तर:

किसी फ़ंक्शन के चरम के लिए तीसरी पर्याप्त स्थिति।

चलो समारोह वाई = एफ (एक्स)अप करने के लिए डेरिवेटिव है एन-वें क्रम में - एक बिंदु का पड़ोस और अप करने के लिए डेरिवेटिव एन+1बिंदु पर ही क्रम। चलो और।

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें .

समाधान।

मूल फलन एक संपूर्ण परिमेय फलन है, इसकी परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समुच्चय है।

आइए फ़ंक्शन को अलग करें:

व्युत्पन्न गायब हो जाता है जब , इसलिए, ये एक संभावित चरम सीमा के बिंदु हैं। आइए हम एक चरम सीमा के लिए तीसरी पर्याप्त स्थिति का उपयोग करें।

हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं और संभावित चरम के बिंदुओं पर इसके मूल्य की गणना करते हैं (हम मध्यवर्ती गणनाओं को छोड़ देंगे):

इसलिए, अधिकतम बिंदु है (चरम के तीसरे पर्याप्त संकेत के लिए, हमारे पास है एन = 1तथा )।

बिंदुओं की प्रकृति को स्पष्ट करने के लिए तीसरा व्युत्पन्न खोजें और इन बिंदुओं पर इसके मूल्य की गणना करें:

इसलिए, फ़ंक्शन का विभक्ति बिंदु है ( एन = 2तथा )।

यह बिंदु से निपटने के लिए बनी हुई है। हम चौथा व्युत्पन्न पाते हैं और इस बिंदु पर इसके मूल्य की गणना करते हैं:

इसलिए, फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।

ग्राफिक चित्रण।

उत्तर:

अधिकतम बिंदु फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।

10. एक फंक्शन के एक्सट्रीमम्स एक एक्सट्रीम की परिभाषा

फलन y = f(x) कहलाता है की बढ़ती (घट) कुछ अंतराल में यदि x 1 . के लिए< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >एफ (एक्स 2))।

यदि किसी खंड पर एक अवकलनीय फलन y = f(x) बढ़ता है (घटता है), तो इस खंड पर इसका व्युत्पन्न f "(x) 0

(एफ "(एक्स) 0)।

दूरसंचार विभाग एक्स के बारे मेंबुलाया स्थानीय अधिकतम बिंदु (न्यूनतम) फ़ंक्शन का f(x) यदि बिंदु का एक पड़ोस है एक्स के बारे में, उन सभी बिंदुओं के लिए जिनमें असमानता f(x) f(x o) (f(x) f(x o)) सत्य है।

अधिकतम और न्यूनतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान इसके हैं एक्स्ट्रेमा।

चरम बिंदु

एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें. अगर बिंदु एक्स के बारे मेंफ़ंक्शन f (x) का एक चरम बिंदु है, फिर या तो f "(x o) \u003d 0, या f (x o) मौजूद नहीं है। ऐसे बिंदुओं को कहा जाता है नाजुक,जहां फ़ंक्शन को महत्वपूर्ण बिंदु पर ही परिभाषित किया जाता है। किसी फ़ंक्शन की चरम सीमा को उसके महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच मांगा जाना चाहिए।

पहली पर्याप्त शर्त।होने देना एक्स के बारे में- महत्वपूर्ण बिंदु। अगर f "(x) एक बिंदु से गुजरते समय एक्स के बारे मेंप्लस चिह्न को माइनस में बदल देता है, फिर बिंदु पर एक्स के बारे मेंफ़ंक्शन में अधिकतम है, अन्यथा इसमें न्यूनतम है। यदि व्युत्पन्न एक महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय संकेत नहीं बदलता है, तो बिंदु पर एक्स के बारे मेंकोई चरम नहीं है।

दूसरी पर्याप्त शर्त।मान लीजिए कि फलन f(x) का व्युत्पन्न f "(x) बिंदु के पड़ोस में है एक्स के बारे मेंऔर दूसरा व्युत्पन्न बहुत ही बिंदु पर एक्स के बारे में. अगर च "(एक्स ओ) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка एक्स के बारे मेंफ़ंक्शन f(x) का स्थानीय न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु है। यदि = 0, तो किसी को या तो पहली पर्याप्त शर्त का उपयोग करना चाहिए या उच्च डेरिवेटिव शामिल करना चाहिए।

एक खंड पर, फ़ंक्शन y = f(x) अपने न्यूनतम या अधिकतम मान तक या तो महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या खंड के सिरों पर पहुंच सकता है।

उदाहरण 3.22।फलन f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूंकि f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), फिर फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु x 1 \u003d 2 और x 2 \u003d 3. चरम बिंदु कर सकते हैं केवल इन बिंदुओं पर हो। इसलिए जब बिंदु x 1 \u003d 2 से गुजरते समय, व्युत्पन्न साइन प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम होता है। बिंदु x 2 \u003d 3 से गुजरते समय, व्युत्पन्न साइन माइनस को प्लस में बदल देता है, इसलिए, बिंदु x 2 \u003d 3 पर, फ़ंक्शन में न्यूनतम होता है। x 1 = 2 और x 2 = 3 पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करने के बाद, हम एक्स्ट्रेमा पाते हैं फलन: अधिकतम f (2) = 14 और न्यूनतम f (3) = 13.

एक्स्ट्रेमा खोजने के लिए एक सरल एल्गोरिदम ..

• किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढना
• इस व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें
• हम परिणामी अभिव्यक्ति के चर के मान पाते हैं (वेरिएबल के मान जिस पर व्युत्पन्न शून्य में परिवर्तित हो जाता है)
• हम इन मूल्यों के साथ समन्वय रेखा को अंतराल में विभाजित करते हैं (उसी समय, हमें ब्रेक पॉइंट्स के बारे में नहीं भूलना चाहिए, जिसे लाइन पर भी लागू करने की आवश्यकता होती है), इन सभी बिंदुओं को चरम के लिए "संदिग्ध" बिंदु कहा जाता है
• हम गणना करते हैं कि इनमें से किस अंतराल पर व्युत्पन्न धनात्मक होगा और किस पर ऋणात्मक होगा। ऐसा करने के लिए, आपको अंतराल से मूल्य को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

चरम सीमा के संदिग्ध बिंदुओं में से, ठीक-ठीक खोजना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम समन्वय रेखा पर अपने अंतराल को देखते हैं। यदि, किसी बिंदु से गुजरते समय, अवकलज का चिह्न धन से ऋण में बदल जाता है, तो यह बिंदु होगा ज्यादा से ज्यादा, और यदि माइनस से प्लस तक, तो न्यूनतम.

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको सेगमेंट के सिरों पर और चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता होती है। फिर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनें।

एक उदाहरण पर विचार करें
हम व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं:

हम चर के प्राप्त मूल्यों को समन्वय रेखा पर लागू करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेत की गणना करते हैं। ठीक है, उदाहरण के लिए, पहले टेक के लिए-2 , तो व्युत्पन्न होगा-0,24 , दूसरे टेक के लिए0 , तो व्युत्पन्न होगा2 , और तीसरे के लिए हम लेते हैं2 , तो व्युत्पन्न होगा-0.24. हम उपयुक्त संकेत डालते हैं।

हम देखते हैं कि जब बिंदु -1 से गुजरते हैं, तो व्युत्पन्न संकेत ऋण से प्लस में बदल जाता है, अर्थात यह एक न्यूनतम बिंदु होगा, और 1 से गुजरने पर, प्लस से माइनस तक, यह एक अधिकतम बिंदु है।

आइए हम फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 3x 2 के ग्राफ़ की ओर मुड़ें। बिंदु x = 0 के पड़ोस पर विचार करें, अर्थात। इस बिंदु से युक्त कुछ अंतराल। यह तर्कसंगत है कि बिंदु x \u003d 0 का ऐसा पड़ोस है कि फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 3x 2 इस पड़ोस में बिंदु x \u003d 0 पर सबसे बड़ा मान लेता है। उदाहरण के लिए, अंतराल पर (- 1; 1) 0 के बराबर सबसे बड़ा मान, फ़ंक्शन बिंदु x = 0 पर लेता है। बिंदु x = 0 को इस फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु कहा जाता है।

इसी तरह, बिंदु x \u003d 2 को फ़ंक्शन x 3 - 3x 2 का न्यूनतम बिंदु कहा जाता है, क्योंकि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान बिंदु x \u003d 2 के आसपास के किसी अन्य बिंदु पर इसके मान से अधिक नहीं होता है। , उदाहरण के लिए, पड़ोस (1.5; 2.5)।

इस प्रकार, बिंदु x 0 को फ़ंक्शन f (x) का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि बिंदु x 0 का पड़ोस है - जैसे कि असमानता f (x) ≤ f (x 0) इससे सभी x के लिए संतुष्ट है। अड़ोस-पड़ोस।

उदाहरण के लिए, बिंदु x 0 \u003d 0 फ़ंक्शन f (x) \u003d 1 - x 2 का अधिकतम बिंदु है, क्योंकि f (0) \u003d 1 और असमानता f (x) 1 सभी मानों के लिए सत्य है एक्स का।

फ़ंक्शन f (x) के न्यूनतम बिंदु को बिंदु x 0 कहा जाता है यदि बिंदु x 0 का ऐसा पड़ोस है कि असमानता f (x) f (x 0) इस पड़ोस से सभी x के लिए संतुष्ट है।

उदाहरण के लिए, बिंदु x 0 \u003d 2 फ़ंक्शन f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2 का न्यूनतम बिंदु है, क्योंकि f (2) \u003d 3 और f (x) 3 सभी x के लिए .

चरम बिंदुओं को न्यूनतम बिंदु और अधिकतम बिंदु कहा जाता है।

आइए हम फलन f(x) की ओर मुड़ें, जो बिंदु x 0 के कुछ पड़ोस में परिभाषित है और इस बिंदु पर व्युत्पन्न है।

यदि x 0 एक अवकलनीय फलन f (x) का एक चरम बिंदु है, तो f "(x 0) \u003d 0. इस कथन को Fermat's theorem कहा जाता है।

फ़र्मेट के प्रमेय का एक स्पष्ट ज्यामितीय अर्थ है: चरम बिंदु पर, स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर होती है और इसलिए इसका ढलान
f "(x 0) शून्य है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f (x) \u003d 1 - 3x 2 में अधिकतम बिंदु x 0 \u003d 0, इसका व्युत्पन्न f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0 है।

फ़ंक्शन f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 में न्यूनतम बिंदु x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 है। .

ध्यान दें कि यदि f "(x 0) \u003d 0, तो यह कहने के लिए पर्याप्त नहीं है कि x 0 आवश्यक रूप से फ़ंक्शन f (x) का चरम बिंदु है।

उदाहरण के लिए, यदि f (x) \u003d x 3, तो f "(0) \u003d 0. हालांकि, बिंदु x \u003d 0 एक चरम बिंदु नहीं है, क्योंकि फ़ंक्शन x 3 पूरे वास्तविक अक्ष पर बढ़ता है।

इसलिए, एक अवकलनीय फलन के चरम बिंदुओं को केवल समीकरण की जड़ों के बीच ही खोजा जाना चाहिए
f "(x) \u003d 0, लेकिन इस समीकरण का मूल हमेशा एक चरम बिंदु नहीं होता है।

स्थिर बिंदु वे बिंदु होते हैं जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है।

इस प्रकार, बिंदु x 0 एक चरम बिंदु होने के लिए, यह आवश्यक है कि यह एक स्थिर बिंदु हो।

एक स्थिर बिंदु के लिए एक चरम बिंदु होने के लिए पर्याप्त शर्तों पर विचार करें, अर्थात। ऐसी स्थितियाँ जिनके तहत एक स्थिर बिंदु किसी कार्य का न्यूनतम या अधिकतम बिंदु होता है।

यदि स्थिर बिंदु के बाईं ओर का व्युत्पन्न धनात्मक है, और दाईं ओर ऋणात्मक है, अर्थात। व्युत्पन्न परिवर्तन "+" पर हस्ताक्षर करने के लिए "-" पर हस्ताक्षर करते हैं, जब इस बिंदु से गुजरते हैं, तो यह स्थिर बिंदु अधिकतम बिंदु है।

दरअसल, इस मामले में, स्थिर बिंदु के बाईं ओर, फ़ंक्शन बढ़ता है, और दाईं ओर, यह घटता है, अर्थात। यह बिंदु अधिकतम बिंदु है।

यदि व्युत्पन्न एक स्थिर बिंदु से गुजरते समय "+" पर हस्ताक्षर करने के लिए "-" चिह्न बदलता है, तो यह स्थिर बिंदु न्यूनतम बिंदु है।

यदि अवकलज किसी स्थिर बिंदु से गुजरने पर अपना चिह्न नहीं बदलता है, अर्थात व्युत्पन्न स्थिर बिंदु के बाईं ओर और दाईं ओर सकारात्मक या नकारात्मक है, तो यह बिंदु एक चरम बिंदु नहीं है।

आइए कार्यों में से एक पर विचार करें। फ़ंक्शन f (x) \u003d x 4 - 4x 3 के चरम बिंदु खोजें।

समाधान।

1) व्युत्पन्न खोजें: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3)।

2) स्थिर बिंदु खोजें: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) अंतराल विधि का उपयोग करके, हम यह स्थापित करते हैं कि व्युत्पन्न f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) x\u003e 3 के लिए सकारात्मक है, x के लिए नकारात्मक है< 0 и при 0 < х < 3.

4) चूँकि बिंदु x 1 \u003d 0 से गुजरते समय, व्युत्पन्न का चिन्ह नहीं बदलता है, यह बिंदु एक चरम बिंदु नहीं है।

5) बिंदु x 2 \u003d 3 से गुजरते समय व्युत्पन्न चिह्न "-" को "+" में बदल देता है। इसलिए, x 2 \u003d 3 न्यूनतम बिंदु है।

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इस लेख से, पाठक इस बारे में जानेंगे कि कार्यात्मक मूल्य का चरम क्या है, साथ ही व्यवहार में इसके उपयोग की विशेषताओं के बारे में भी। उच्च गणित की नींव को समझने के लिए ऐसी अवधारणा का अध्ययन अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह विषय पाठ्यक्रम के गहन अध्ययन के लिए मौलिक है।

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अति क्या है?

स्कूल के पाठ्यक्रम में, "चरम" की अवधारणा की कई परिभाषाएँ दी गई हैं। इस लेख का उद्देश्य उन लोगों के लिए शब्द की गहरी और स्पष्ट समझ देना है जो इस मुद्दे से अनभिज्ञ हैं। तो, शब्द को समझा जाता है कि किस हद तक कार्यात्मक अंतराल किसी विशेष सेट पर न्यूनतम या अधिकतम मान प्राप्त करता है।

एक्स्ट्रीमम फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और एक ही समय में अधिकतम दोनों है। एक न्यूनतम बिंदु और एक अधिकतम बिंदु होता है, यानी ग्राफ़ पर तर्क के चरम मान। मुख्य विज्ञान जिसमें इस अवधारणा का उपयोग किया जाता है:

• सांख्यिकी;
• मशीन नियंत्रण;
• अर्थमिति।

किसी दिए गए फ़ंक्शन के अनुक्रम को निर्धारित करने में चरम बिंदु महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। ग्राफ पर समन्वय प्रणाली अपने सबसे अच्छे रूप में कार्यक्षमता में परिवर्तन के आधार पर चरम स्थिति में परिवर्तन दिखाती है।

व्युत्पन्न फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा

"व्युत्पन्न" जैसी कोई चीज भी होती है। चरम बिंदु निर्धारित करना आवश्यक है। यह महत्वपूर्ण है कि न्यूनतम या अधिकतम बिंदुओं को सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों के साथ भ्रमित न करें। ये अलग-अलग अवधारणाएँ हैं, हालाँकि वे समान लग सकती हैं।

फ़ंक्शन का मान यह निर्धारित करने का मुख्य कारक है कि अधिकतम बिंदु कैसे खोजा जाए। व्युत्पन्न मूल्यों से नहीं बनता है, बल्कि विशेष रूप से एक क्रम या किसी अन्य में इसकी चरम स्थिति से बनता है।

व्युत्पन्न स्वयं चरम बिंदुओं के डेटा के आधार पर निर्धारित किया जाता है, न कि सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान। रूसी स्कूलों में, इन दो अवधारणाओं के बीच की रेखा स्पष्ट रूप से नहीं खींची जाती है, जो सामान्य रूप से इस विषय की समझ को प्रभावित करती है।

आइए अब इस तरह की चीज़ को "तेज चरम" मानें। आज तक, एक तीव्र न्यूनतम मूल्य और एक तीव्र अधिकतम मूल्य है। परिभाषा किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं के रूसी वर्गीकरण के अनुसार दी गई है। एक चरम बिंदु की अवधारणा एक चार्ट पर महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने का आधार है।

ऐसी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए, Fermat के प्रमेय का उपयोग किया जाता है। यह चरम बिन्दुओं के अध्ययन में सबसे महत्वपूर्ण है और किसी न किसी रूप में उनके अस्तित्व का स्पष्ट विचार देता है। चरमता सुनिश्चित करने के लिए, चार्ट पर घटने या बढ़ने के लिए कुछ शर्तें बनाना महत्वपूर्ण है।

"अधिकतम बिंदु कैसे प्राप्त करें" प्रश्न का सटीक उत्तर देने के लिए, आपको इन प्रावधानों का पालन करना चाहिए:

1. चार्ट पर परिभाषा का सटीक क्षेत्र ढूँढना।
2. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और एक चरम बिंदु की खोज करें।
3. तर्क के क्षेत्र के लिए मानक असमानताओं को हल करें।
4. यह साबित करने में सक्षम हो कि किस कार्य में ग्राफ पर एक बिंदु परिभाषित और निरंतर है।

ध्यान!किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु की खोज तभी संभव है जब कम से कम दूसरे क्रम का व्युत्पन्न हो, जो एक चरम बिंदु की उपस्थिति के उच्च अनुपात द्वारा सुनिश्चित किया जाता है।

समारोह के चरम के लिए आवश्यक शर्त

एक चरम के अस्तित्व के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि न्यूनतम अंक और अधिकतम अंक दोनों हों। यदि यह नियम केवल आंशिक रूप से मनाया जाता है, तो चरम सीमा के अस्तित्व की स्थिति का उल्लंघन होता है।

किसी भी स्थिति में प्रत्येक कार्य को उसके नए अर्थों की पहचान करने के लिए विभेदित किया जाना चाहिए। यह समझना महत्वपूर्ण है कि वह मामला जब कोई बिंदु गायब हो जाता है, एक अवकलनीय बिंदु खोजने का मुख्य सिद्धांत नहीं है।

एक तीक्ष्ण चरम, साथ ही न्यूनतम कार्य, चरम मूल्यों का उपयोग करके गणितीय समस्या को हल करने का एक अत्यंत महत्वपूर्ण पहलू है। इस घटक को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कार्यात्मक के असाइनमेंट के लिए सारणीबद्ध मूल्यों को संदर्भित करना महत्वपूर्ण है।

कार्यात्मक चरम

उपरोक्त मूल्य को खोजने के लिए, आपको निम्नलिखित नियमों का पालन करना होगा:

• चरम अनुपात के लिए आवश्यक शर्त निर्धारित करें;
• ग्राफ पर चरम बिंदुओं की पर्याप्त स्थिति को ध्यान में रखें;
• एक तीव्र चरम की गणना करें।

कमजोर न्यूनतम और मजबूत न्यूनतम जैसी अवधारणाएं भी हैं। चरम सीमा और इसकी सटीक गणना का निर्धारण करते समय इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। साथ ही, फ़ंक्शन ग्राफ़ के साथ काम करने के लिए सभी आवश्यक शर्तों की खोज और निर्माण तेज कार्यक्षमता है।