X. एक समकोण त्रिभुज और एक वृत्त में आनुपातिक खंड। एक न्यून कोण के त्रिकोणमितीय कार्य। अतिरिक्त गुण

आइए पहले बिंदु A से दिए गए वृत्त पर खींचे गए छेदक AC पर विचार करें (चित्र 288)। उसी बिंदु से स्पर्श रेखा AT खींचिए। हम बिंदु A और उसके निकटतम प्रतिच्छेदन बिंदु के बीच के खंड को वृत्त के साथ छेदक का बाहरी भाग (चित्र 288 में खंड AB) कहेंगे, जबकि दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से सबसे दूर का खंड AC बस छेदक है . A से संपर्क बिंदु तक के स्पर्शरेखा खंड को संक्षेप में स्पर्शरेखा भी कहा जाता है। फिर

प्रमेय। एक छेदक और उसके बाहरी भाग का गुणनफल स्पर्शरेखा के वर्ग के बराबर होता है।

सबूत। चलो डॉट कनेक्ट करें। त्रिभुज ACT और BT A समान हैं, क्योंकि उनके पास शीर्ष A पर एक उभयनिष्ठ कोण है, और कोण ACT और समान हैं, क्योंकि दोनों को एक ही चाप TB के आधे से मापा जाता है। इसलिए, यहां से हमें अपेक्षित परिणाम मिलता है:

स्पर्शरेखा एक ही बिंदु और उसके बाहरी भाग से खींची गई छेदक के बीच ज्यामितीय माध्य के बराबर होती है।

परिणाम। किसी दिए गए बिंदु A से होकर खींचे गए किसी भी छेद के लिए, उसकी लंबाई और बाहरी भाग का गुणनफल स्थिर होता है:

अब एक आंतरिक बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली जीवाओं पर विचार करें। सही कथन:

यदि दो जीवाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खंडों का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है (अर्थात् वे खंड जिनमें जीवा को प्रतिच्छेदन बिंदु से विभाजित किया जाता है)।

तो, अंजीर में। 289 जीवाएँ AB और CD बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती हैं, और हमारे पास दूसरे शब्दों में,

किसी दिए गए बिंदु M के लिए, उस खंड का गुणनफल जिसमें वह अपने से गुजरने वाली किसी भी जीवा को विभाजित करता है, स्थिर होता है।

इसे साबित करने के लिए, हम देखते हैं कि त्रिभुज एमबीसी और एमएडी समान हैं: कोण सीएमबी और डीएमए लंबवत हैं, कोण एमएडी और एमसीबी एक ही चाप पर आधारित हैं। यहाँ से हम पाते हैं

क्यू.ई.डी.

यदि दिया गया बिंदु M केंद्र से l की दूरी पर स्थित है, तो इसके माध्यम से एक व्यास खींचते हुए और इसे एक जीवा मानकर, हम पाते हैं कि व्यास के खंडों का गुणनफल, और इसलिए किसी अन्य जीवा का गुणनफल बराबर होता है। यह एम से गुजरने वाली न्यूनतम अर्ध-जीवा (निर्दिष्ट व्यास के लंबवत) के वर्ग के बराबर भी है।

एक जीवा के खण्डों के गुणनफल की स्थिरता पर प्रमेय और उसके बाहरी भाग द्वारा एक छेदक के गुणनफल की स्थिरता पर प्रमेय एक ही कथन के दो मामले हैं, केवल अंतर यह है कि क्या छेदक बाहरी या बाहरी के माध्यम से खींचे जाते हैं वृत्त का आंतरिक बिंदु। अब आप एक और विशेषता निर्दिष्ट कर सकते हैं जो उत्कीर्ण चतुर्भुजों को अलग करती है:

किसी भी उत्कीर्ण चतुर्भुज में, कटऑफ उत्पाद जिनमें विकर्णों को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से विभाजित किया जाता है, बराबर होते हैं।

शर्त की आवश्यकता स्पष्ट है, क्योंकि विकर्ण परिबद्ध वृत्त की जीवाएँ होंगी। यह दिखाया जा सकता है कि यह स्थिति भी पर्याप्त है।

गणित। बीजगणित। ज्यामिति। त्रिकोणमिति

ज्यामिति: प्लानिमेट्री

10. आनुपातिक रेखाओं पर प्रमेय

सबूत। निम्नलिखित तीन अनुपातों को सिद्ध करना आवश्यक है: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC।

1) त्रिभुज ABD और ADC समरूप हैं क्योंकि

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§ 11. एक वृत्त में आनुपातिक खंड.

1. ब्रिज ट्रस एक वृत्त के चाप से घिरा है (चित्र 38); ट्रस ऊंचाई एमके= एच= 3 मीटर; चाप त्रिज्या एएमबी स्पैन आर = 8.5 मीटर। ब्रिज स्पैन की लंबाई एबी की गणना करें।

2. एक अर्ध-सिलेंडर वाले तहखाने में, दो खंभों को रखा जाना चाहिए, प्रत्येक को निकटतम दीवार से समान दूरी पर रखा जाना चाहिए। रैक की ऊंचाई निर्धारित करें यदि तल के साथ तहखाने की चौड़ाई 4 मीटर है, और रैक के बीच की दूरी 2 मीटर है।

3. 1) वृत्त के बिंदु से व्यास पर एक लंब खींचा जाता है। व्यास के खंडों की निम्नलिखित लंबाई के साथ इसकी लंबाई निर्धारित करें: 1) 12 सेमी और 3 सेमी; 2) 16 सेमी और 9 सेमी, 3) 2 मीटर और 5 डीएम।

2) व्यास के बिंदु से वृत्त के प्रतिच्छेदन तक एक लंब खींचा जाता है। इस लंबवत की लंबाई निर्धारित करें यदि व्यास 40 सेमी है, और खींचा गया लंबवत व्यास के किसी एक छोर से 8 सेमी है।

4. व्यास को खंडों में विभाजित किया गया है: एसी \u003d 8 डीएम और सीबी \u003d 5 मीटर, और बिंदु सी से किसी दी गई लंबाई की एक लंबवत सीडी खींची जाती है। सीडी के बराबर होने पर वृत्त के सापेक्ष बिंदु डी की स्थिति को इंगित करें: 1) 15 डीएम; 2) 2 मीटर; 3) 23 डीएम।

5. डीआईए-अर्धवृत्त; सीडी - व्यास एबी के लंबवत। आवश्यक:

1) डीबी निर्धारित करें यदि एडी = 25 और सीडी = 10;

2) AB ज्ञात कीजिए यदि AD: DB= 4:9 और CD=30;

3) AD को परिभाषित करें यदि CD=3AD और त्रिज्या है आर;

4) AD ज्ञात कीजिए यदि AB=50 और CD=15 है।

6.1) वृत्त के बिंदु से 34 सेमी की त्रिज्या तक कम किया गया लंबवत, इसे 8:9 (केंद्र से शुरू करके) के अनुपात में विभाजित करता है। लंबवत की लंबाई निर्धारित करें।

2) जीवा बीडीसी त्रिज्या ओडीए के लंबवत है। BC ज्ञात कीजिए यदि OA = 25 सेमी और AD = 10 सेमी है।

3) दो संकेंद्रित वृत्तों द्वारा निर्मित वलय की चौड़ाई 8 dm है; बड़े वृत्त की जीवा, जो छोटे वाले की स्पर्श रेखा है, 4 मीटर है। वृत्तों की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

7. खंडों की तुलना करके सिद्ध कीजिए कि दो असमान संख्याओं का समांतर माध्य उनके गुणोत्तर माध्य से अधिक होता है।

8. एक खण्ड की रचना कीजिए, जो खण्डों के बीच औसत समानुपाती 3 सेमी और 5 सेमी है।

9. इसके बराबर एक खंड की रचना करें: √15; 10; 6; 3.

10. एडीबी-व्यास; एसी-तार; सीडी व्यास के लंबवत है। एसी तार निर्धारित करें: 1) यदि एबी = 2 मीटर और एडी = 0.5 मीटर; 2) यदि AD = 4 सेमी और DB = 5 सेमी; 3) यदि AB=20m और DB=15m।

11. एबी व्यास; एसी-तार; AD व्यास AB पर इसका प्रक्षेपण है। आवश्यक:

1) AD ज्ञात कीजिए यदि AB=18 cm और AC=12 cm;

2) त्रिज्या निर्धारित करें यदि AC=12m और AD=4m;

3) डीबी निर्धारित करें यदि एसी = 24 सेमी और डीबी = 7/9 एडी।

12. एबी व्यास; एसी-तार; AD व्यास AB पर इसका प्रक्षेपण है। आवश्यक:

1) एसी निर्धारित करें यदि एबी = 35 सेमी और एसी = 5 एडी;

2) एसी निर्धारित करें यदि त्रिज्या बराबर है आरऔर एसी = डीबी।

13. दो जीवाएँ एक वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करती हैं। एक जीवा के खंड 24 सेमी और 14 सेमी हैं; दूसरी जीवा का एक खंड 28 सेमी है। इसका दूसरा खंड निर्धारित करें।

14. ब्रिज ट्रस एक सर्कल के चाप द्वारा सीमित है (चित्र 38); पुल की लंबाई AB = 6 मीटर, ऊंचाई A = 1.2 मीटर। चाप की त्रिज्या निर्धारित करें (OM = R)।

15. दो खंड AB और CD बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं ताकि MA \u003d 7 सेमी, MB \u003d 21 सेमी,
एमसी = 3 सेमी और एमडी = 16 सेमी। क्या बिंदु ए, बी, सी और डी एक ही सर्कल पर स्थित हैं?

16. लोलक की लंबाई MA = मैं= 1 मीटर (चित्र 39), इसकी उठाने की ऊँचाई, जब कोण α से विचलित होती है, CA = एच\u003d 10 सेमी। MA (BC \u003d .) से बिंदु B की दूरी BC ज्ञात करें एक्स).

17. रेलवे ट्रैक की चौड़ाई का अनुवाद करने के लिए बी\u003d 1.524 मीटर एबी (छवि 40) के स्थान पर एक गोलाई बनाई जाती है; जब यह निकला, ; वह बीसी = एक= 42.4 मीटर वक्रता त्रिज्या OA = R निर्धारित करें।

18. जीवा एएमबी को बिंदु एम के पास घुमाया जाता है ताकि खंड एमए 2 1/2 गुना बढ़ जाए। खंड एमबी कैसे बदल गया है?

19. 1) दो प्रतिच्छेदी जीवाओं में से एक को 48 सेमी और 3 सेमी के भागों में और दूसरे को आधे में विभाजित किया गया था। दूसरी जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

2) दो प्रतिच्छेदी जीवाओं में से एक को 12 मीटर और 18 मीटर के भागों में और दूसरे को 3:8 के अनुपात में विभाजित किया गया था। दूसरी जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

20. दो प्रतिच्छेदी जीवाओं में से पहली 32 सेमी है, और दूसरी जीवा के खंड हैं
12 सेमी और 16 सेमी। पहली जीवा के खंड निर्धारित करें।

21. छेदक ABC को बाहरी बिंदु A के पास घुमाया जाता है ताकि इसका बाहरी खंड AB तीन गुना कम हो जाए। सेकेंड की लंबाई कैसे बदल गई?

22. माना ADB और AEC वृत्त को प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाएँ हैं: पहली बिंदु D और B पर है, दूसरी बिंदु E और C पर है। आवश्यक:

1) AE निर्धारित करें यदि AD = 5 सेमी, DB = 15 सेमी और AC = 25 सेमी;

2) बीडी निर्धारित करें यदि एबी = 24 मीटर, एसी = 16 मीटर और ईसी = 10 मीटर;

3) AB और AC ज्ञात कीजिए यदि AB+AC=50 m, a AD: AE = 3:7।

23. वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। केंद्र से 9 सेमी दूर एक बिंदु से एक छेदक खींचा जाता है ताकि वह वृत्त द्वारा आधे में विभाजित हो जाए। इस छेदक की लंबाई ज्ञात कीजिए।

24. एमएबी और एमसीडी एक वृत्त के दो छेद हैं। आवश्यक:

1) सीडी निर्धारित करें यदि एमवी = 1 मीटर, एमडी = 15 डीएम और सीडी = एमए;

2) एमडी निर्धारित करें यदि एमए =18 सेमी, एबी=12 सेमी और एमसी:सीडी = 5:7;

3) AB ज्ञात कीजिए यदि AB=MC, MA=20 और CD=11 है।

25. दो जीवाओं को परस्पर प्रतिच्छेदन तक बढ़ाया जाता है। परिणामी एक्सटेंशन की लंबाई निर्धारित करें यदि तार बराबर हैं एकतथा बी, और उनके एक्सटेंशन संबंधित हैं: टी: पी.

26. एक बिंदु से वृत्त पर एक छेदक और एक स्पर्श रेखा खींची जाती है। स्पर्शरेखा की लंबाई निर्धारित करें यदि छेदक के बाहरी और आंतरिक खंड क्रमशः निम्नलिखित संख्याओं द्वारा व्यक्त किए जाते हैं: 1) 4 और 5; 2) 2.25 और 1.75; 3) 1 और 2.

27. स्पर्श रेखा 20 सेमी है, और उसी बिंदु से खींची गई सबसे बड़ी छेद 50 सेमी है। सर्कल की त्रिज्या निर्धारित करें।

28. छेदक अपने बाहरी खंड से 2 1/4 गुना बड़ा है। यह एक ही बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा से कितने गुना बड़ा है?

29. दो प्रतिच्छेद करने वाले वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा जारी रहती है और निरंतरता पर लिए गए बिंदु से उन पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं। साबित करें कि वे बराबर हैं।

30. कोने ए के एक तरफ, खंड एक के बाद एक रखे गए हैं: एबी \u003d 6 सेमी और बीसी \u003d 8 सेमी; और दूसरी ओर एक खंड AD = 10 सेमी रखा गया है। बिंदुओं B, C और D से होकर एक वृत्त खींचा जाता है। ज्ञात कीजिए कि क्या रेखा AD इस वृत्त को स्पर्श करती है, और यदि नहीं, तो बिंदु D पहला (A से गिनते हुए) होगा या प्रतिच्छेदन का दूसरा बिंदु।

31. मान लीजिए: AB-स्पर्शरेखा और एक ही वृत्त की ACD-छेदक। आवश्यक:

1) सीडी निर्धारित करें यदि एबी = 2 सेमी और एडी = 4 सेमी;

2) AD ज्ञात कीजिए यदि AC:CD = 4:5 और AB=12 सेमी;

3) AB ज्ञात कीजिए यदि AB = CD और AC = एक.

32. 1) आप एक गुब्बारे से कितनी दूर देख सकते हैं (चित्र 41), जो जमीन से 4 किमी की ऊंचाई तक बढ़ गया है (पृथ्वी की त्रिज्या = 6370 किमी है)?

2) माउंट एल्ब्रस (काकेशस में) समुद्र तल से 5,600 मीटर ऊपर उठता है। आप इस पर्वत की चोटी से कितनी दूर देख सकते हैं?

3) एम - जमीन से ऊपर ए मीटर की ऊंचाई वाला एक अवलोकन पोस्ट (चित्र। 42); पृथ्वी त्रिज्या आर, = डीसबसे बड़ी दृश्य दूरी है। साबित करो डी= √2R एच+ एच 2

टिप्पणी।इसलिये एच 2 2R . की तुलना में इसके छोटे होने के कारण एचलगभग परिणाम को प्रभावित नहीं करता है, तो आप अनुमानित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं डी 2R एच .

33. 1) एक बिंदु से निकलने वाली स्पर्श रेखा और छेदक क्रमशः 20 सेमी और 40 सेमी के बराबर हैं; छेदक केंद्र से 8 सेमी दूर है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

2) केंद्र से उस बिंदु तक की दूरी निर्धारित करें जहां से स्पर्शरेखा और छेदक जाते हैं, यदि वे क्रमशः 4 सेमी और 8 सेमी हैं, और छेदक को केंद्र से हटा दिया जाता है
12 सेमी

34. 1) एक उभयनिष्ठ बिंदु से वृत्त पर एक स्पर्श रेखा और एक छेदक रेखा खींची जाती है। स्पर्शरेखा की लंबाई निर्धारित करें यदि यह छेदक के बाहरी खंड से 5 सेमी लंबी है और आंतरिक खंड से उतनी ही कम है।

2) एक बिंदु से वृत्त पर एक छेदक और एक स्पर्श रेखा खींची जाती है। secant is एक, और इसका आंतरिक खंड स्पर्शरेखा की लंबाई से बाहरी खंड से लंबा है। स्पर्शरेखा को परिभाषित कीजिए।

36. एक बिंदु से एक वृत्त पर एक स्पर्श रेखा और एक छेदक रेखा खींची जाती है। स्पर्शरेखा छेदक के आंतरिक और बाहरी खण्डों से क्रमशः 2 सेमी और 4 सेमी अधिक है. छेदक की लंबाई निर्धारित करें.

36. एक बिंदु से वृत्त पर एक स्पर्श रेखा और एक छेदक रेखा खींची जाती है। उनकी लंबाई निर्धारित करें यदि स्पर्शरेखा छेदक के आंतरिक खंड से 20 सेमी कम और बाहरी खंड से 8 सेमी अधिक है।

37. 1) एक बिंदु से वृत्त पर एक छेदक और एक स्पर्श रेखा खींची जाती है। उनका योग 30 सेमी है, और छेदक का आंतरिक खंड स्पर्शरेखा से 2 सेमी कम है। छेदक और स्पर्शरेखा को परिभाषित कीजिए।

2) एक बिंदु से वृत्त पर एक छेदक और एक स्पर्श रेखा खींची जाती है। उनका योग 15 सेमी है, और छेदक का बाहरी खंड स्पर्शरेखा से 2 सेमी कम है। छेदक और स्पर्शरेखा को परिभाषित कीजिए।

38. खंड AB को BC की दूरी से बढ़ाया गया है। AB और AC पर, व्यास के अनुसार, वृत्त बनाए जाते हैं। एक लंब BD बिंदु B पर खंड AC पर तब तक खींचा जाता है जब तक कि वह एक बड़े वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर ले। बिंदु C से छोटे वृत्त पर एक स्पर्श रेखा SC खींची जाती है। सिद्ध कीजिए कि सीडी = सीके।

39. दो समांतर स्पर्श रेखाएं और एक तीसरी स्पर्शरेखा जो उन्हें प्रतिच्छेद करती हैं, एक दिए गए वृत्त पर खींची जाती हैं। त्रिज्या तीसरी स्पर्शरेखा के खंडों के बीच औसत आनुपातिक है। सिद्ध करना।

40. दो समानांतर रेखाएँ एक दूसरे से 15 dm की दूरी पर दी गई हैं; उनमें से एक से 3 dm की दूरी पर उनके बीच एक बिंदु M दिया गया है। बिंदु M से होकर एक वृत्त खींचा जाता है, जो दोनों समान्तर रेखाओं की स्पर्श रेखा है। इनमें से किसी एक समानांतर पर केंद्र और बिंदु M के प्रक्षेपणों के बीच की दूरी निर्धारित करें।

41. त्रिज्या के एक वृत्त में आरएक समद्विबाहु त्रिभुज खुदा हुआ है जिसमें ऊंचाई और आधार का योग वृत्त के व्यास के बराबर है। ऊंचाई निर्धारित करें।

42. एक समद्विबाहु त्रिभुज के परितः परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए: 1) यदि आधार 16 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है; 2) यदि साइड 12 डीएम है और ऊंचाई 9 डीएम है; 3) यदि भुजा 15 मीटर है और आधार 18 मीटर है।

43. एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार 48 डीएम और भुजा 30 डीएम है। वृत्तों की त्रिज्या, परिबद्ध और उत्कीर्ण, और उनके केंद्रों के बीच की दूरी निर्धारित करें।

44. त्रिज्या है आर, इस चाप की जीवा बराबर है एक. दुगने चाप की जीवा ज्ञात कीजिए।

45. वृत्त की त्रिज्या 8 डीएम है; जीवा एबी 12 डीएम है। बिंदु A से एक स्पर्श रेखा खींची जाती है, और बिंदु B से स्पर्शरेखा के समानांतर एक जीवा BC बनती है। स्पर्शरेखा और जीवा BC के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

46. ​​बिंदु A को सीधी रेखा MN से कुछ दूरी पर हटा दिया जाता है साथ. दी गई त्रिज्या आरएक वृत्त को इस प्रकार परिबद्ध किया जाता है कि वह बिंदु A से होकर जाता है और रेखा MN को स्पर्श करता है। प्राप्त संपर्क बिंदु और दिए गए बिंदु A के बीच की दूरी निर्धारित करें।

संपत्ति 1 . यदि वृत्त की जीवाएँ AB और CD बिंदु S पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो AS BS = CS DS, अर्थात DS/BS = AS/CS।

सबूत. आइए पहले हम सिद्ध करें कि त्रिभुज ASD और CSB समरूप हैं।

खुदा हुआ कोण डीसीबी और डीएबी बराबर हैं क्योंकि वे एक ही चाप पर आधारित हैं।

कोण एएसडी और बीएससी लंबवत के बराबर हैं।

संकेतित कोणों की समानता से यह इस प्रकार है कि त्रिभुज एएसडी और सीएसबी समान हैं। त्रिभुजों की समानता से अनुपात का अनुसरण करता है

डीएस/बीएस = एएस/सीएस, या एएस बीएस = सीएस डीएस,

क्यू.ई.डी.

गुण 2. यदि वृत्त को बिंदु P से वृत्त पर क्रमशः बिंदु A, B और C, D पर प्रतिच्छेद करते हुए दो छेदक खींचे जाते हैं, तो /СР = DP/BP.

सबूत. मान लीजिए कि बिंदु A और C, बिंदु P के निकटतम वृत्त के साथ छेदकों के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। त्रिभुज PAD और RSV समान हैं। उनके पास शीर्ष P पर एक उभयनिष्ठ कोण है, और कोण B और D समान चाप के आधार पर अंकित किए गए समान हैं। त्रिभुजों की समानता से /СР = DP/BP के अनुपात का अनुसरण होता है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

किसी त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक गुण

त्रिभुज का कोण समद्विभाजक विपरीत भुजा को अन्य दो भुजाओं के समानुपाती खंडों में विभाजित करता है।

सबूत।माना CD त्रिभुज ABC का समद्विभाजक है। यदि त्रिभुज ABC आधार AB के साथ समद्विबाहु है, तो द्विभाजक का संकेतित गुण स्पष्ट है, क्योंकि इस मामले में द्विभाजक भी माध्यिका है। सामान्य मामले पर विचार करें जहां एसी बीसी के बराबर नहीं है। आइए हम शीर्ष A और B से रेखा CD पर लंबवत AF और BE को छोड़ते हैं। समकोण त्रिभुज ACF और ALL समान हैं, क्योंकि उनके शीर्ष C पर समान न्यून कोण हैं।

त्रिभुजों की समानता से, पक्षों की आनुपातिकता इस प्रकार है: AC / BC \u003d AF / BE। समकोण त्रिभुज ADF और BDE भी समरूप हैं। शीर्ष D पर उनके कोण लंबवत के बराबर हैं। यह समानता से इस प्रकार है: AF/BE = AD/BD। पिछले एक के साथ इस समानता की तुलना करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: एसी / बीसी \u003d एडी / बीडी या एसी / एडी \u003d बीसी / बीडी, यानी एडी और बीडी एसी और बीसी पक्षों के आनुपातिक हैं।