Zbir svih uglova četvorougla je 360. Upisani četvorougao i njegova svojstva. Detaljna teorija

Danas ćemo razmotriti geometrijsku figuru - četverokut. Već iz naziva ove figure postaje jasno da ova figura ima četiri ugla. Ali ostale karakteristike i svojstva ove figure, razmotrit ćemo u nastavku.

Šta je četvorougao

Četvorougao je mnogougao koji se sastoji od četiri tačke (vrhova) i četiri segmenta (stranice) koji povezuju ove tačke u parove. Površina četverokuta je polovina proizvoda njegovih dijagonala i kuta između njih.

Četvorokut je mnogokut sa četiri vrha, od kojih tri ne leže na istoj pravoj.

Vrste četvorouglova

• Četvorougao čije su suprotne strane parno paralelne naziva se paralelogram.
• Četvorougao kod kojeg su dvije suprotne strane paralelne, a druge dvije nisu, naziva se trapez.
• Četvorougao sa svim pravim uglovima je pravougaonik.
• Četvorougao čiji su sve strane jednake je romb.
• Četvorougao u kojem su sve stranice jednake i svi uglovi pravi naziva se kvadrat.

Četvorougao može biti:

samopresecanje

nekonveksan

konveksan

Samopresecajući četvorougao je četverougao u kojem bilo koja od njegovih stranica ima presječnu točku (plavo na slici).

Nekonveksni četverougao je četverougao u kojem je jedan od unutrašnjih uglova veći od 180 stepeni (na slici je označeno narandžastom bojom).

Zbir uglova svaki četvorougao koji nije samopresecan uvek je jednak 360 stepeni.

Posebne vrste četvorouglova

Četvorouglovi mogu imati dodatna svojstva, formirajući posebne vrste geometrijskih oblika:

• Paralelogram
• Pravougaonik
• Square
• Trapez
• Deltoid
• Kontraparalelogram

Četvorokut i krug

Četvorougao upisan oko kružnice (krug upisan u četvorougao).

Glavno svojstvo opisanog četvorougla:

Četvorokut se može opisati oko kruga ako i samo ako su zbroji dužina suprotnih strana jednaki.

Četvorokut upisan u krug (krug upisan oko četverokuta)

Glavno svojstvo upisanog četvorougla:

Četvorougao se može upisati u krug ako i samo ako je zbir suprotnih uglova 180 stepeni.

Svojstva dužine četverougla

Modul razlike bilo koje dvije stranice četverougla ne prelazi zbir svoje druge dvije strane.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Bitan. Nejednakost vrijedi za bilo koju kombinaciju stranica četverougla. Slika je data isključivo radi lakšeg razumijevanja.

U bilo kojem četvorouglu zbir dužina njegove tri strane nije manji od dužine četvrte stranice.

Bitan. Prilikom rješavanja zadataka u okviru školskog programa možete koristiti strogu nejednakost (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

upisani i opisani poligoni,

§ 106. SVOJSTVA ISPISANIH I OKRUŽENIH ČETVORUGLA.

Teorema 1. Zbir suprotnih uglova upisanog četvorougla je 180°.

Neka je četvorougao ABCD upisan u krug sa centrom O (Sl. 412). To je potrebno dokazati / A+ / C = 180° i / B+ / D = 180°.

/ A, kako je upisano u krug O, mjeri 1/2 BCD.
/ C, kao što je upisano u isti krug, mjeri 1/2 BAD.

Stoga se zbroj uglova A i C mjeri polovinom zbira lukova BCD i BAD; u zbroju, ovi lukovi čine krug, odnosno imaju 360 °.
Odavde / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

Slično, dokazano je da / B+ / D = 180°. Međutim, ovo se može izvesti i na drugi način. Znamo da je zbir unutrašnjih uglova konveksnog četvorougla 360°. Zbir uglova A i C je 180°, što znači da zbir druga dva ugla četvorougla takođe ostaje 180°.

Teorema 2(obrnuto). Ako je zbir dva suprotna ugla u četvorouglu 180° , onda se krug može opisati oko takvog četverokuta.

Neka je zbir suprotnih uglova četvorougla ABCD 180°, naime
/ A+ / C = 180° i / B+ / D = 180° (sl. 412).

Dokažimo da se krug može opisati oko takvog četvorougla.

Dokaz. Kroz bilo koja 3 vrha ovog četverougla može se povući krug, na primjer, kroz tačke A, B i C. Gdje će se nalaziti tačka D?

Tačka D može zauzeti samo jednu od sljedeća tri položaja: biti unutar kruga, biti izvan kruga, biti na obodu kruga.

Pretpostavimo da se vrh nalazi unutar kruga i zauzima položaj D" (Sl. 413). Tada ćemo u četvorouglu ABCD imati:

/ B+ / D" = 2 d.

Nastavljajući stranicu AD" do preseka sa kružnicom u tački E i spajajući tačke E i C, dobijamo upisani četvorougao ABCE, u kojem, prema direktnoj teoremi

/ B+ / E = 2 d.

Iz ove dvije jednakosti slijedi:

/ D" = 2 d - / B;
/ E=2 d - / B;

/ D" = / E,

ali to ne može biti, jer / D", kao van trougla CD"E, mora biti veći od ugla E. Dakle, tačka D ne može biti unutar kruga.

Takođe je dokazano da vrh D ne može zauzimati položaj D" izvan kruga (Sl. 414).

Ostaje da prepoznamo da vrh D mora ležati na obodu kružnice, tj. poklapati se sa tačkom E, što znači da se krug može opisati u blizini četvorougla ABCD.

Posljedice. 1. Krug se može opisati oko bilo kojeg pravougaonika.

2. Krug se može opisati oko jednakokračnog trapeza.

U oba slučaja, zbir suprotnih uglova je 180°.

Teorema 3. U opisanom četvorouglu sume suprotnih strana su jednake. Neka je četvorougao ABCD opisan oko kružnice (sl. 415), odnosno da su njegove stranice AB, BC, CD i DA tangente na ovu kružnicu.

Potrebno je dokazati da je AB + CD = AD + BC. Dodirne tačke označavamo slovima M, N, K, P. Na osnovu svojstava tangenti povučenih na kružnicu iz jedne tačke (§ 75), imamo:

AR = AK;
BP = VM;
DN=DK;
CN=CM.

Dodajmo ove jednakosti pojam po član. Dobijamo:

AR + BP + DN + CN = AK + BM + DK + SM,

tj. AB + CD = AD + BC, što je trebalo dokazati.

Vježbe.

1. U upisanom četvorouglu, dva suprotna ugla su povezana kao 3:5,
a druga dva su povezana kao 4: 5. Odredite veličinu ovih uglova.

2. U opisanom četverouglu, zbir dvije suprotne strane je 45 cm, a preostale dvije stranice su povezane kao 0,2:0,3. Pronađite dužinu ovih stranica.

Konveksni četverougao je lik koji se sastoji od četiri strane povezane jedna s drugom na vrhovima, tvoreći zajedno sa stranicama četiri ugla, dok je sam četverougao uvijek u istoj ravni u odnosu na pravu liniju na kojoj leži jedna od njegovih stranica. Drugim riječima, cijela figura se nalazi na jednoj strani bilo koje svoje strane.

Kao što vidite, definiciju je prilično lako zapamtiti.

Osnovna svojstva i tipovi

Gotovo sve nama poznate figure, koje se sastoje od četiri ugla i stranice, mogu se pripisati konveksnim četverokutima. Može se razlikovati sljedeće:

1. paralelogram;
2. kvadrat;
3. pravougaonik;
4. trapez;
5. rhombus.

Sve ove figure objedinjuje ne samo činjenica da su četvorougaone, već i činjenica da su i konveksne. Pogledajte samo dijagram:

Na slici je prikazan konveksni trapez. Ovdje možete vidjeti da je trapez u istoj ravni ili na jednoj strani segmenta. Ako izvršite slične radnje, možete saznati da je u slučaju svih ostalih strana trapez konveksan.

Da li je paralelogram konveksan četvorougao?

Iznad je slika paralelograma. Kao što se vidi sa slike, paralelogram je takođe konveksan. Ako pogledate sliku s obzirom na prave na kojima leže segmenti AB, BC, CD i AD, postaje jasno da je od ovih pravih uvijek u istoj ravni. Glavne karakteristike paralelograma su da su njegove stranice u paru paralelne i jednake na isti način kao što su suprotni uglovi međusobno jednaki.

Sada zamislite kvadrat ili pravougaonik. Po svojim glavnim svojstvima, oni su i paralelogrami, odnosno sve su im stranice poređane u paru paralelno. Samo u slučaju pravougaonika dužine stranica mogu biti različite, a uglovi su pravi (jednaki 90 stepeni), kvadrat je pravougaonik u kojem su sve stranice jednake i uglovi takođe pravi, dok su dužine stranice i uglovi paralelograma mogu biti različiti.

Kao rezultat, zbir sva četiri ugla četverokuta mora biti jednak 360 stepeni. Najlakši način da se to odredi je pravougaonikom: sva četiri ugla pravougaonika su prava, odnosno jednaka 90 stepeni. Zbir ovih uglova od 90 stepeni daje 360 ​​stepeni, drugim rečima, ako dodate 90 stepeni 4 puta, dobijate željeni rezultat.

Svojstvo dijagonala konveksnog četvorougla

Dijagonale konveksnog četverokuta se sijeku. Zaista, ovaj fenomen se može promatrati vizualno, samo pogledajte sliku:

Slika lijevo prikazuje nekonveksni četverougao ili četverougao. Kako želiš. Kao što vidite, dijagonale se ne sijeku, barem ne sve. Na desnoj strani je konveksan četverougao. Ovdje je već uočeno svojstvo dijagonala da se sijeku. Isto svojstvo se može smatrati znakom konveksnosti četvorougla.

Ostala svojstva i znaci konveksnosti četverougla

Naime, prema ovom pojmu, vrlo je teško imenovati bilo koja specifična svojstva i karakteristike. Lakše je izolovati prema različitim vrstama četvorouglova ovog tipa. Možete početi sa paralelogramom. Već znamo da je ovo četverokutna figura čije su stranice parno paralelne i jednake. Istovremeno, ovo uključuje i svojstvo dijagonala paralelograma da se sijeku jedna s drugom, kao i znak konveksnosti same figure: paralelogram je uvijek u istoj ravni i na jednoj strani u odnosu na bilo koju njegovih strana.

dakle, poznate su glavne karakteristike i svojstva:

1. zbir uglova četvorougla je 360 ​​stepeni;
2. dijagonale figura se sijeku u jednoj tački.

Pravougaonik. Ova figura ima ista svojstva i karakteristike kao i paralelogram, ali su svi njeni uglovi jednaki 90 stepeni. Otuda i naziv, pravougaonik.

Kvadrat, isti paralelogram, ali njegovi uglovi su pravi, kao pravougaonik. Zbog toga se kvadrat rijetko naziva pravokutnikom. Ali glavna karakteristika kvadrata, pored onih koje su već navedene, jeste da su sve četiri njegove strane jednake.

Trapez je veoma zanimljiva figura.. Ovo je također četverougao i također konveksan. U ovom članku, trapez je već razmatran na primjeru crteža. Jasno je da je i ona konveksna. Glavna razlika, i, shodno tome, znak trapeza je u tome što njegove strane ne mogu biti apsolutno jednake jedna drugoj po dužini, kao ni po vrijednostima uglova. U ovom slučaju, figura uvijek ostaje u istoj ravni u odnosu na bilo koju od pravih linija koje spajaju bilo koja dva njegova vrha duž segmenata koji čine figuru.

Romb je jednako zanimljiva figura. Djelomično se romb može smatrati kvadratom. Znak romba je činjenica da njegove dijagonale ne samo da se sijeku, već i dijele uglove romba na pola, a same dijagonale se sijeku pod pravim kutom, odnosno okomite su. Ako su dužine stranica romba jednake, tada su i dijagonale podijeljene na pola na presjeku.

Deltoidi ili konveksni romboidi (rombusi) mogu imati različite dužine stranica. Ali u isto vrijeme, i dalje su očuvana i glavna svojstva i značajke samog romba i značajke i svojstva konveksnosti. To jest, možemo primijetiti da dijagonale sijeku uglove i sijeku pod pravim uglom.

Današnji zadatak je bio razmotriti i razumjeti šta su konveksni četvorouglovi, šta su i njihova glavna svojstva i svojstva. Pažnja! Vrijedno je još jednom podsjetiti da je zbir uglova konveksnog četvorougla 360 stepeni. Obim figura, na primjer, jednak je zbiru dužina svih segmenata koji čine figuru. Formule za izračunavanje perimetra i površine četverokuta bit će obrađene u sljedećim člancima.

"Opisani krug" vidjeli smo da se krug može opisati oko bilo kojeg trougla. Odnosno, za bilo koji trougao postoji takav krug da sva tri vrha trougla "sjede" na njemu. Volim ovo:

Pitanje: Može li se isto reći i za četvorougao? Da li je tačno da će uvek postojati krug na kojem će sva četiri vrha četvorougla „sedeti“?

Ispostavilo se da to NIJE TAČNO! NIJE UVIJEK četvorougao moguće upisati u krug. Postoji veoma važan uslov:

Na našem crtežu:

Gledajte, uglovi i leže jedan naspram drugog, što znači da su suprotni. Šta je onda sa uglovima? Čini li se da su i oni suprotnosti? Da li je moguće uzeti uglove i umjesto uglova i?

Da, svakako možete! Glavna stvar je da četvorougao ima neka dva suprotna ugla, čiji će zbir biti. Preostala dva ugla tada će se sami sabrati. Ne vjerujete? Hajde da se uverimo. pogledajte:

Neka. Sjećate li se koliki je zbir sva četiri ugla bilo kojeg četverougla? Naravno, . To je - uvek! . Ali, → .

Magic straight!

Zato zapamtite čvrsto:

Ako je četverougao upisan u krug, tada je zbir bilo koja dva njegova suprotna ugla

i obrnuto:

Ako četvorougao ima dva suprotna ugla čiji je zbir jednak, onda je takav četvorougao upisan.

Nećemo sve ovo dokazivati ​​ovdje (ako ste zainteresovani, pogledajte sljedeće nivoe teorije). Ali da vidimo čemu vodi ova divna činjenica, da je zbir suprotnih uglova upisanog četvorougla jednak.

Na primjer, pada mi na pamet pitanje da li je moguće opisati kružnicu oko paralelograma? Pokušajmo prvo s "metodom bockanja".

Nekako ne radi.

Sada primenite znanje:

pretpostavimo da smo nekako uspjeli uklopiti krug na paralelogram. Onda svakako mora biti: tj.

A sada se prisjetimo svojstava paralelograma:

Svaki paralelogram ima suprotne uglove.

Imamo to

A šta je sa uglovima? Pa, isto naravno.

Upisano → →

Paralelogram → →

Neverovatno, zar ne?

Ispostavilo se da ako je paralelogram upisan u krug, onda su mu svi uglovi jednaki, odnosno pravougaonik!

I u isto vreme - središte kružnice poklapa se sa presjekom dijagonala ovog pravokutnika. Ovo je, da tako kažem, priloženo kao bonus.

Pa, to znači da smo otkrili da je paralelogram upisan u krug - pravougaonik.

Hajde sada da pričamo o trapezu. Šta se dešava ako je trapez upisan u krug? I ispostavilo se da hoće jednakokraki trapez. Zašto?

Neka je trapez upisan u krug. Onda opet, ali zbog paralelizma pravih i.

Dakle, imamo: → → jednakokraki trapez.

Čak i lakše nego sa pravougaonikom, zar ne? Ali morate se čvrsto sjetiti - dobro dođe:

Nabrojimo najviše glavne izjave tangenta na četvorougao upisan u krug:

1. Četvorougao je upisan u krug ako i samo ako je zbir njegova dva suprotna ugla
2. Paralelogram upisan u krug pravougaonik a centar kruga se poklapa sa točkom presjeka dijagonala
3. Trapez upisan u kružnicu je jednakokračan.

Upisani četvorougao. Prosječan nivo

Poznato je da za bilo koji trougao postoji opisana kružnica (to smo dokazali u temi “Opisani krug”). Šta se može reći o četvorouglu? Evo ispostavilo se da NE MOŽE SE SVAKI četvorougao upisati u krug, ali postoji ova teorema:

Četvorougao je upisan u krug ako i samo ako je zbir njegovih suprotnih uglova.

Na našem crtežu -

Hajde da pokušamo da razumemo zašto? Drugim riječima, sada ćemo dokazati ovu teoremu. Ali prije nego što dokažete, morate razumjeti kako funkcionira sama tvrdnja. Jeste li primijetili riječi “tada i samo tada” u izjavi? Takve riječi znače da su štetni matematičari gurnuli dvije tvrdnje u jednu.

dešifriranje:

1. "Tada" znači: Ako je četverougao upisan u krug, tada je zbir bilo koja dva njegova suprotna ugla jednak.
2. "Samo tada" znači: Ako četverougao ima dva suprotna ugla, čiji je zbir jednak, onda se takav četverougao može upisati u krug.

Baš kao i Alisa: “Mislim šta kažem” i “Ja kažem šta mislim”.

Hajde sada da shvatimo zašto su i 1 i 2 tačni?

Prvi 1.

Neka je četverougao upisan u krug. Označavamo njegovo središte i crtamo poluprečnike i. Šta će se desiti? Sjećate li se da je upisani ugao polovina odgovarajućeg centralnog ugla? Ako se sećate - sada važi, a ako ne - pogledajte temu „Krug. Upisani ugao".

Upisano

Upisano

Ali pogledajte: .

Dobijamo da ako je - upisano, onda

Pa, to je jasno i takođe se zbraja. (takođe treba uzeti u obzir).

Sada "obrnuto", odnosno 2.

Neka se pokaže da je zbir bilo koja dva suprotna ugla četverougla jednak. Recimo neka

Još ne znamo možemo li opisati krug oko njega. Ali sigurno znamo da ćemo zajamčeno moći opisati krug oko trougla. Pa hajde da to uradimo.

Ako tačka nije "sjela" na krug, onda se neizbježno ispostavilo da je ili izvana ili iznutra.

Razmotrimo oba slučaja.

Neka tačka bude prva izvana. Tada segment siječe kružnicu u nekoj tački. Povežite i. Rezultat je upisani (!) četverougao.

Za njega već znamo da je zbir njegovih suprotnih uglova jednak, odnosno, ali po uslovu imamo.

Ispostavilo se da bi trebalo biti ovako.

Ali to nikako ne može biti, jer - vanjski ugao za i znači .

A unutra? Hajde da uradimo sličnu stvar. Pustite tačku unutra.

Tada nastavak segmenta siječe kružnicu u tački. Opet - upisan četvorougao, i prema uslovu mora biti zadovoljen, ali - spoljašnji ugao za i znači, odnosno, opet, to ne može biti to.

Odnosno, tačka ne može biti izvan ili unutar kruga - što znači da je na kružnici!

Dokazana cela teorema!

Sada da vidimo kakve dobre posljedice daje ova teorema.

Zaključak 1

Paralelogram upisan u krug može biti samo pravougaonik.

Hajde da shvatimo zašto je to tako. Neka je paralelogram upisan u krug. Onda to treba uraditi.

Ali iz svojstava paralelograma to znamo.

I isto, naravno, za uglove i.

Tako je ispao pravougaonik - svi uglovi su duž.

Ali, pored toga, postoji još jedna dodatna prijatna činjenica: središte kružnice opisane oko pravougaonika poklapa se sa točkom preseka dijagonala.

Hajde da razumemo zašto. Nadam se da se dobro sjećate da je ugao na osnovu prečnika pravi ugao.

prečnik,

Prečnik

a samim tim i centar. To je sve.

Posljedica 2

Trapez upisan u kružnicu je jednakokračan.

Neka je trapez upisan u krug. Onda.

I takođe.

Jesmo li o svemu razgovarali? Ne baš. U stvari, postoji još jedan, "tajni" način prepoznavanja upisanog četvorougla. Ovu metodu ćemo formulisati ne baš striktno (ali jasno), ali ćemo je dokazati tek na posljednjoj razini teorije.

Ako se u četverokutu može promatrati ovakva slika kao ovdje na slici (ovdje su uglovi koji "gledaju" na stranu tačaka i jednaki su), onda je takav četverokut upisan.

Ovo je vrlo važan crtež - u problemima je često lakše pronaći jednake uglove nego zbir uglova i.

Uprkos potpunom nedostatku strogosti u našoj formulaciji, ona je ispravna, a osim toga, uvijek je prihvaćena od strane ispitivača USE. Trebalo bi da napišete ovako:

“- upisano” - i sve će biti u redu!

Ne zaboravite ovaj važan znak - zapamtite sliku, a možda će vam na vrijeme upasti u oči prilikom rješavanja problema.

Upisani četvorougao. Kratak opis i osnovne formule

Ako je četverougao upisan u krug, tada je zbir bilo koja dva njegova suprotna ugla

i obrnuto:

Ako četvorougao ima dva suprotna ugla čiji je zbir jednak, onda je takav četvorougao upisan.

Četvorougao je upisan u krug ako i samo ako je zbir njegova dva suprotna ugla jednak.

Paralelogram upisan u krug- obavezno pravougaonik, a središte kruga se poklapa sa točkom presjeka dijagonala.

Trapez upisan u kružnicu je jednakokračan.

Koncept poligona

Definicija 1

poligon naziva se geometrijska figura u ravni, koja se sastoji od parno povezanih segmenata, od kojih susjedni ne leže na jednoj pravoj liniji.

U ovom slučaju segmenti se pozivaju strane poligona, a njihovi krajevi su vrhovima poligona.

Definicija 2

$n$-ugao je poligon sa $n$ vrhovima.

Vrste poligona

Definicija 3

Ako poligon uvijek leži na jednoj strani bilo koje prave koja prolazi kroz njegove stranice, tada se poligon naziva konveksan(Sl. 1).

Slika 1. Konveksni poligon

Definicija 4

Ako poligon leži na suprotnim stranama barem jedne prave linije koja prolazi kroz njegove stranice, tada se poligon naziva nekonveksan (slika 2).

Slika 2. Nekonveksni poligon

Zbir uglova poligona

Uvodimo teoremu o zbiru uglova -ugla.

Teorema 1

Zbir uglova konveksnog -ugla je definisan na sledeći način

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Dokaz.

Neka nam je dat konveksan poligon $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Povežite njegov vrh $A_1$ sa svim ostalim vrhovima datog poligona (slika 3).

Slika 3

Sa takvom vezom dobijamo $n-2$ trouglova. Zbrajanjem njihovih uglova dobijamo zbir uglova datog -ugla. Pošto je zbir uglova trougla $(180)^0,$ dobijamo da je zbir uglova konveksnog -ugla određen formulom

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorema je dokazana.

Koncept četverougla

Koristeći definiciju $2$, lako je uvesti definiciju četverougla.

Definicija 5

Četvorougao je mnogougao sa $4$ vrhovima (slika 4).

Slika 4. Četvorougao

Za četvorougao, pojmovi konveksnog četvorougla i nekonveksnog četvorougla su slično definisani. Klasični primjeri konveksnih četverouglova su kvadrat, pravougaonik, trapez, romb, paralelogram (slika 5).

Slika 5. Konveksni četverouglovi

Teorema 2

Zbir uglova konveksnog četvorougla je $(360)^0$

Dokaz.

Prema teoremi $1$, znamo da je zbir uglova konveksnog -ugla određen formulom

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Dakle, zbir uglova konveksnog četvorougla je

\[\lijevo(4-2\desno)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorema je dokazana.