Pronađite konjugirani kompleksni broj na mreži. Kompleksni brojevi i algebarske operacije nad njima

Razmotrimo kvadratnu jednačinu.

Hajde da definišemo njegove korene.

Ne postoji pravi broj čiji je kvadrat -1. Ali ako formula definira operator i kao imaginarna jedinica, onda se rješenje ove jednadžbe može zapisati u obliku . Gde i - kompleksni brojevi, kod kojih je -1 pravi dio, 2 ili u drugom slučaju -2 imaginarni dio. Imaginarni dio je također realan (realan) broj. Zamišljeni dio pomnožen imaginarnom jedinicom znači već imaginarni broj.

Općenito, kompleksni broj ima oblik

z = x + iy ,

gdje x, y su realni brojevi, je imaginarna jedinica. U brojnim primijenjenim znanostima, na primjer, u elektrotehnici, elektronici, teoriji signala, imaginarna jedinica se označava sa j. Realni brojevi x = Re(z) i y=Ja sam(z) pozvao stvarne i imaginarne dijelove brojevi z. Izraz se zove algebarski oblik zapis kompleksnog broja.

Svaki realan broj je poseban slučaj kompleksnog broja u obliku . Imaginarni broj je takođe poseban slučaj kompleksnog broja. .

Definicija skupa kompleksnih brojeva C

Ovaj izraz glasi kako slijedi: set OD, koji se sastoji od elemenata tako da x i y pripadaju skupu realnih brojeva R i je imaginarna jedinica. Imajte na umu da itd.

Dva kompleksna broja i jednaki su ako i samo ako su im stvarni i imaginarni dijelovi jednaki, tj. i .

Kompleksni brojevi i funkcije se široko koriste u nauci i tehnologiji, posebno u mehanici, analizi i proračunu strujnih kola, analognoj elektronici, teoriji i obradi signala, teoriji automatskog upravljanja i drugim primenjenim naukama.

Aritmetika kompleksnih brojeva

Sabiranje dva kompleksna broja sastoji se u sabiranju njihovih realnih i imaginarnih dijelova, tj.

Prema tome, razlika dva kompleksna broja

Kompleksni broj pozvao kompleks konjugirati broj z=x +i.y.

Kompleksno konjugirani brojevi z i z * razlikuju se po predznacima imaginarnog dijela. Očigledno je da

Svaka jednakost između složenih izraza ostaje važeća ako je u ovoj jednakosti svuda i zamijenjen sa - i, tj. idi na jednakost konjugiranih brojeva. Brojevi i i – i se algebarski ne razlikuju jer .

Proizvod (množenje) dva kompleksna broja može se izračunati na sljedeći način:

Podjela dva kompleksna broja:

Primjer:

Kompleksna ravan

Kompleksni broj se može grafički predstaviti u pravougaonom koordinatnom sistemu. Postavimo pravougaoni koordinatni sistem u ravni (x, y).

na osovini Ox sredićemo prave delove x, to se zove realna (realna) osa, na osi Oy– imaginarni dijelovi y kompleksni brojevi. Ona nosi to ime imaginarne ose. Štaviše, svaki kompleksni broj odgovara određenoj tački ravni i takva se ravan naziva složena ravan. Poenta ALI kompleksna ravan će odgovarati vektoru OA.

Broj x pozvao apscisa kompleksni broj, broj y – ordinate.

Par kompleksnih konjugiranih brojeva prikazan je kao tačke koje se nalaze simetrično oko realne ose.

Ako je u avionu polarni koordinatni sistem, zatim svaki kompleksni broj z određena polarnim koordinatama. Gde modul brojevi je polarni radijus tačke i ugao - njegov polarni ugao ili argument kompleksnog broja z.

Kompleksni broj modula uvijek nenegativna. Argument kompleksnog broja nije jednoznačno definiran. Glavna vrijednost argumenta mora zadovoljiti uslov . Svaka tačka kompleksne ravni takođe odgovara ukupnoj vrednosti argumenta. Argumenti koji se razlikuju za višekratnik od 2π smatraju se jednakim. Brojni argument nula nije definiran.

Glavna vrijednost argumenta određena je izrazima:

Očigledno je da

Gde
, .

Reprezentacija kompleksnih brojeva z as

pozvao trigonometrijski oblik kompleksni broj.

Primjer.

Eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva

Razgradnja u Maclaurin serija za realne argument funkcije izgleda kao:

Za eksponencijalnu funkciju kompleksnog argumenta z razgradnja je slična

Proširenje Maclaurinovog reda za eksponencijalnu funkciju imaginarnog argumenta može se predstaviti kao

Rezultirajući identitet se zove Ojlerova formula.

Za negativan argument, izgleda

Kombinacijom ovih izraza možemo definirati sljedeće izraze za sinus i kosinus

Koristeći Ojlerovu formulu, iz trigonometrijskog oblika predstavljanja kompleksnih brojeva

dostupan demonstrativna(eksponencijalni, polarni) oblik kompleksnog broja, tj. njegov prikaz u obliku

gdje - polarne koordinate tačke sa pravougaonim koordinatama ( x,y).

Konjugat kompleksnog broja zapisuje se u eksponencijalnom obliku na sljedeći način.

Za eksponencijalni oblik, lako je definirati sljedeće formule za množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva

To jest, u eksponencijalnom obliku, proizvod i podjela kompleksnih brojeva je lakši nego u algebarskom obliku. Prilikom množenja moduli faktora se množe, a argumenti dodaju. Ovo pravilo se primjenjuje na bilo koji broj faktora. Konkretno, prilikom množenja kompleksnog broja z na i vektor z rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90

Kod dijeljenja, modul brojioca se dijeli sa modulom nazivnika, a argument nazivnika se oduzima od argumenta brojnika.

Koristeći eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva, mogu se dobiti izrazi za dobro poznate trigonometrijske identitete. Na primjer, iz identiteta

koristeći Eulerovu formulu, možemo pisati

Izjednačavajući stvarni i imaginarni dio u ovom izrazu, dobijamo izraze za kosinus i sinus zbira uglova

Potencije, korijeni i logaritmi kompleksnih brojeva

Podizanje kompleksnog broja na prirodni stepen n proizveden po formuli

Primjer. Compute .

Zamislite broj u trigonometrijskom obliku

’

Primjenjujući formulu eksponencijalnosti, dobivamo

Stavljanje vrijednosti u izraz r= 1, dobijamo tzv De Moivreova formula, pomoću kojih možete odrediti izraze za sinuse i kosinuse više uglova.

Root n stepen kompleksnog broja z Ima n različite vrijednosti određene izrazom

Primjer. Hajde da nađemo.

Da bismo to učinili, izražavamo kompleksni broj () u trigonometrijskom obliku

Prema formuli za izračunavanje korijena kompleksnog broja, dobijamo

Logaritam kompleksnog broja z je broj w, za koji . Prirodni logaritam kompleksnog broja ima beskonačan broj vrijednosti i izračunava se po formuli

Sastoji se od realnih (kosinus) i imaginarnih (sinusnih) dijelova. Takav napon se može predstaviti kao vektor dužine Um, početna faza (ugao), rotirajući sa ugaonom brzinom ω .

Štoviše, ako se dodaju složene funkcije, onda se dodaju njihovi stvarni i imaginarni dijelovi. Ako se kompleksna funkcija pomnoži s konstantnom ili realnom funkcijom, tada se njeni stvarni i imaginarni dijelovi množe istim faktorom. Diferencijacija/integracija tako složene funkcije svodi se na diferencijaciju/integraciju realnog i imaginarnog dijela.

Na primjer, diferencijacija složenog izraza stresa

je pomnožiti sa iω je realni dio funkcije f(z), i je imaginarni dio funkcije. primjeri: .

Značenje z je predstavljen tačkom u kompleksnoj z ravnini i odgovarajućom vrijednošću w- tačka u kompleksnoj ravni w. Kada se prikaže w = f(z) ravnih linija z prelaze u linije aviona w, figure jedne ravni u figure druge, ali se oblici linija ili figura mogu značajno promijeniti.