Prava i desna prizma. Definicija i svojstva prizme

Poliedri

Glavni predmet proučavanja stereometrije su trodimenzionalna tijela. Tijelo je dio prostora omeđen nekom površinom.

poliedar Tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona naziva se. Poliedar se naziva konveksan ako leži na jednoj strani ravni svakog ravnog poligona na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravni i površine poliedra naziva se rub. Lica konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Strane lica se nazivaju ivice poliedra, i vrhovi vrhovima poliedra.

Na primjer, kocka se sastoji od šest kvadrata koji su njena lica. Sadrži 12 rubova (strana kvadrata) i 8 vrhova (vrhova kvadrata).

Najjednostavniji poliedri su prizme i piramide, koje ćemo dalje proučavati.

Prizma

Definicija i svojstva prizme

prizma se naziva poliedar koji se sastoji od dva ravna poligona koji leže u paralelnim ravnima kombinovanih paralelnim prevođenjem, i svih segmenata koji povezuju odgovarajuće tačke ovih poligona. Poligoni se nazivaju baze prizme, a segmenti koji povezuju odgovarajuće vrhove poligona su bočne ivice prizme.

Visina prizme naziva se udaljenost između ravnina njegovih baza (). Segment koji povezuje dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj površini naziva se dijagonala prizme(). Prizma se zove n-ugalj ako je njegova baza n-ugao.

Svaka prizma ima sljedeća svojstva, koja proizlaze iz činjenice da se osnovice prizme kombiniraju paralelnim prevođenjem:

1. Osnove prizme su jednake.

2. Bočne ivice prizme su paralelne i jednake.

Površina prizme se sastoji od baza i bočna površina. Bočna površina prizme sastoji se od paralelograma (ovo slijedi iz svojstava prizme). Površina bočne površine prizme je zbir površina bočnih strana.

ravna prizma

Prizma se zove ravno ako su njegove bočne ivice okomite na osnovice. Inače, prizma se zove koso.

Površine ravne prizme su pravokutnici. Visina ravne prizme jednaka je bočnim stranama.

puna površina prizme je zbir bočne površine i površina baza.

Ispravna prizma naziva se prava prizma s pravilnim mnogouglom u osnovi.

Teorema 13.1. Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku perimetra i visine prizme (ili, ekvivalentno, bočnom rubu).

Dokaz. Bočne strane ravne prizme su pravokutnici čije su osnove stranice poligona u osnovima prizme, a visine su bočne ivice prizme. Tada je, po definiciji, površina bočne površine:

,

gdje je obim osnove ravne prizme.

Paralelepiped

Ako paralelogrami leže u osnovima prizme, onda se naziva paralelepiped. Sva lica paralelepipeda su paralelogrami. U ovom slučaju, suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.

Teorema 13.2. Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački, a tačka presjeka je podijeljena na pola.

Dokaz. Razmotrimo dvije proizvoljne dijagonale, na primjer, i . Jer lica paralelopipeda su paralelogrami, a zatim i , što znači da prema T oko dvije prave linije paralelne s trećim . Osim toga, to znači da prave i leže u istoj ravni (ravan). Ova ravan siječe paralelne ravnine i duž paralelnih linija i . Dakle, četverougao je paralelogram, a po svojstvu paralelograma, njegove dijagonale i sjeku, a presječna tačka je podijeljena na pola, što je trebalo dokazati.

Zove se pravi paralelepiped čija je osnova pravougaonik kuboid. Sve strane kvadra su pravokutnici. Dužine neparalelnih ivica pravokutnog paralelepipeda nazivaju se njegove linearne dimenzije (mjere). Postoje tri veličine (širina, visina, dužina).

Teorema 13.3. U kvadru kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije (dokazano primjenom Pitagorinog T dvaput).

Zove se pravougaoni paralelepiped u kojem su sve ivice jednake kocka.

Zadaci

13.1 Koliko dijagonala čini n- karbonska prizma

13.2 U kosoj trouglastoj prizmi, razmaci između bočnih ivica su 37, 13 i 40. Pronađite rastojanje između veće bočne strane i suprotne bočne ivice.

13.3 Kroz stranu donje baze pravilne trouglaste prizme, povučena je ravan koja siječe bočne strane duž segmenata, ugao između kojih je . Pronađite ugao nagiba ove ravni prema osnovici prizme.

Različite prizme se razlikuju jedna od druge. Istovremeno, imaju mnogo toga zajedničkog. Da biste pronašli površinu osnove prizme, morate shvatiti kako ona izgleda.

Opća teorija

Prizma je svaki poliedar čije stranice imaju oblik paralelograma. Štaviše, bilo koji poliedar može biti u svojoj osnovi - od trougla do n-ugla. Štaviše, baze prizme su uvijek jednake jedna drugoj. Ono što se ne odnosi na bočne strane - mogu se značajno razlikovati u veličini.

Prilikom rješavanja problema ne nailazi se samo na područje osnove prizme. Možda će biti potrebno poznavati bočnu površinu, odnosno sva lica koja nisu baze. Puna površina će već biti spoj svih lica koja čine prizmu.

Ponekad se visine pojavljuju u zadacima. Ona je okomita na baze. Dijagonala poliedra je segment koji spaja u paru bilo koja dva vrha koji ne pripadaju istoj površini.

Treba napomenuti da površina osnove ravne ili nagnute prizme ne ovisi o kutu između njih i bočnih strana. Ako imaju iste figure na gornjem i donjem licu, tada će njihove površine biti jednake.

trouglasta prizma

U osnovi ima lik sa tri vrha, odnosno trokut. Poznato je da je drugačije. Ako je tada dovoljno prisjetiti se da je njegova površina određena polovicom proizvoda nogu.

Matematički zapis izgleda ovako: S = ½ av.

Da biste saznali površinu baze u općem obliku, korisne su formule: Čaplja i ona u kojoj se polovina stranice uzima na visinu koja joj se povlači.

Prvu formulu treba napisati ovako: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Ovaj unos sadrži poluperimetar (p), odnosno zbir tri strane podijeljen sa dva.

Drugo: S = ½ n a * a.

Ako želite znati površinu osnove trokutaste prizme, koja je pravilna, tada se ispostavlja da je trokut jednakostraničan. Ima svoju formulu: S = ¼ a 2 * √3.

četvorougaona prizma

Njegova osnova je bilo koji od poznatih četverouglova. Može biti pravougaonik ili kvadrat, paralelepiped ili romb. U svakom slučaju, da biste izračunali površinu osnove prizme, trebat će vam vlastita formula.

Ako je osnova pravougaonik, tada se njegova površina određuje na sljedeći način: S = av, gdje su a, b stranice pravougaonika.

Kada je u pitanju četverokutna prizma, površina osnove pravilne prizme izračunava se pomoću formule za kvadrat. Jer on je taj koji leži u bazi. S \u003d a 2.

U slučaju kada je baza paralelepiped, bit će potrebna sljedeća jednakost: S \u003d a * n a. Dešava se da su date stranica paralelepipeda i jedan od uglova. Zatim, da biste izračunali visinu, morat ćete koristiti dodatnu formulu: na \u003d b * sin A. Štoviše, kut A je susjedni strani "b", a visina je na suprotnoj strani od ovog kuta.

Ako romb leži u osnovi prizme, tada će biti potrebna ista formula za određivanje njegove površine kao i za paralelogram (pošto je to poseban slučaj). Ali možete koristiti i ovaj: S = ½ d 1 d 2. Ovdje su d 1 i d 2 dvije dijagonale romba.

Pravilna petougaona prizma

Ovaj slučaj uključuje dijeljenje poligona na trouglove čije je površine lakše otkriti. Iako se dešava da figure mogu biti sa različitim brojem vrhova.

Pošto je osnova prizme pravilan petougao, može se podijeliti na pet jednakostraničnih trouglova. Tada je površina osnove prizme jednaka površini jednog takvog trokuta (formula se može vidjeti gore), pomnoženo sa pet.

Pravilna heksagonalna prizma

Prema principu opisanom za pentagonalnu prizmu, moguće je podijeliti osnovni šesterokut na 6 jednakostraničnih trouglova. Formula za površinu osnove takve prizme slična je prethodnoj. Samo u njemu treba pomnožiti sa šest.

Formula će izgledati ovako: S = 3/2 i 2 * √3.

Zadaci

br. 1. Data je pravilna ravna linija. Njena dijagonala je 22 cm, visina poliedra je 14 cm. Izračunajte površinu osnove prizme i cijele površine.

Rješenje. Osnova prizme je kvadrat, ali njena stranica nije poznata. Njegovu vrijednost možete pronaći iz dijagonale kvadrata (x), koja je povezana s dijagonalom prizme (d) i njenom visinom (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. S druge strane, ovaj segment "x" je hipotenuza u trouglu čiji su kraci jednaki stranici kvadrata. To jest, x 2 \u003d a 2 + a 2. Dakle, ispada da je a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Zamijenite broj 22 umjesto d i zamijenite "n" njegovom vrijednošću - 14, ispada da je stranica kvadrata 12 cm. Sada je lako saznati osnovnu površinu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Da biste saznali površinu cijele površine, morate dodati dvostruku vrijednost osnovne površine i učetvorostručiti stranu. Potonje je lako pronaći po formuli za pravougaonik: pomnožite visinu poliedra i stranu baze. To jest, 14 i 12, ovaj broj će biti jednak 168 cm 2. Ukupna površina prizme je 960 cm 2 .

Odgovori. Površina osnove prizme je 144 cm2. Ukupna površina - 960 cm 2 .

2. Dana U osnovi leži trokut sa stranicom od 6 cm.U ovom slučaju dijagonala bočne strane je 10 cm.Izračunajte površine: osnova i bočna površina.

Rješenje. Pošto je prizma pravilna, njena osnova je jednakostranični trougao. Stoga se ispostavlja da je njegova površina jednaka 6 na kvadrat puta ¼ i kvadratnom korijenu od 3. Jednostavan izračun dovodi do rezultata: 9√3 cm 2. Ovo je površina jedne baze prizme.

Sve bočne strane su iste i predstavljaju pravougaonike sa stranicama od 6 i 10 cm. Da bi se izračunale njihove površine, dovoljno je ove brojeve pomnožiti. Zatim ih pomnožite sa tri, jer prizma ima tačno toliko bočnih strana. Tada je površina bočne površine namotana 180 cm 2 .

Odgovori. Površine: osnova - 9√3 cm 2, bočna površina prizme - 180 cm 2.

Opće informacije o pravoj prizmi

Bočna površina prizme (tačnije, bočna površina) naziva se suma bočne površine lica. Ukupna površina prizme jednaka je zbiru bočne površine i površina baza.

Teorema 19.1. Bočna površina ravne prizme jednaka je proizvodu obima osnove i visine prizme, odnosno dužini bočne ivice.

Dokaz. Bočne strane ravne prizme su pravokutnici. Osnove ovih pravougaonika su stranice mnogougla koji leže u osnovi prizme, a visine su jednake dužini bočnih ivica. Iz toga slijedi da je bočna površina prizme jednaka

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

gdje su a 1 i n dužine rebara osnove, p je obim osnove prizme, a I je dužina bočnih rebara. Teorema je dokazana.

Praktični zadatak

Zadatak (22) . U kosoj prizmi odjeljak, okomito na bočne rubove i siječe sve bočne rubove. Pronađite bočnu površinu prizme ako je obim presjeka p, a bočne ivice l.

Rješenje. Ravan nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (sl. 411). Podvrgnimo jednu od njih paralelnom prevodu koji kombinuje osnove prizme. U ovom slučaju dobijamo ravnu prizmu, u kojoj presjek originalne prizme služi kao osnova, a bočne ivice jednake su l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna površina originalne prizme jednaka je pl.

Generalizacija teme

A sada pokušajmo s vama da sumiramo temu prizme i prisjetimo se koja svojstva ima prizma.

Prism Properties

Prvo, za prizmu, sve njene baze su jednaki poligoni;
Drugo, za prizmu, sve njene bočne strane su paralelogrami;
Treće, u takvoj višestrukoj figuri kao što je prizma, sve su bočne ivice jednake;

Također, treba imati na umu da poliedri kao što su prizme mogu biti ravni i nagnuti.

Šta je ravna prizma?

Ako je bočna ivica prizme okomita na ravan njene osnove, tada se takva prizma naziva prava linija.

Neće biti suvišno podsjetiti se da su bočne strane ravne prizme pravokutnici.

Šta je kosa prizma?

Ali ako se bočna ivica prizme ne nalazi okomito na ravninu njene baze, onda možemo sa sigurnošću reći da je ovo nagnuta prizma.

Šta je prava prizma?

Ako pravilan poligon leži u osnovi ravne prizme, tada je takva prizma pravilna.

Prisjetimo se sada svojstava koja ima obična prizma.

Svojstva pravilne prizme

Prvo, pravilni poligoni uvijek služe kao osnove pravilne prizme;
Drugo, ako uzmemo u obzir bočne strane pravilne prizme, onda su to uvijek jednaki pravokutnici;
Treće, ako uporedimo veličine bočnih rebara, onda su u ispravnoj prizmi uvijek jednake.
Četvrto, pravilna prizma je uvijek ravna;
Peto, ako su u pravilnoj prizmi bočne strane u obliku kvadrata, tada se takva figura u pravilu naziva polupravilnim poligonom.

Presjek prizme

Sada pogledajmo poprečni presjek prizme:

Zadaća

A sada pokušajmo konsolidirati proučavanu temu rješavanjem problema.

Nacrtajmo nagnutu trokutastu prizmu u kojoj će razmak između ivica biti: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a bočna površina ove prizme će biti jednaka 60 cm2. Sa ovim parametrima pronađite bočnu ivicu date prizme.

Znate li da nas geometrijske figure stalno okružuju ne samo na časovima geometrije, već iu svakodnevnom životu postoje predmeti koji podsjećaju na jednu ili drugu geometrijsku figuru.

Svaki dom, škola ili posao ima računar čija je sistemska jedinica u obliku ravne prizme.

Ako uzmete u ruke jednostavnu olovku, vidjet ćete da je glavni dio olovke prizma.

Šetajući glavnom gradskom ulicom vidimo da ispod naših nogu leži pločica koja ima oblik šesterokutne prizme.

A. V. Pogorelov, Geometrija za 7-11 razred, Udžbenik za obrazovne ustanove

Definicija 1. Prizmatična površina
Teorema 1. O paralelnim presjecima prizmatične površine
Definicija 2. Okomit presjek prizmatične površine
Definicija 3. Prizma
Definicija 4. Visina prizme
Definicija 5. Direktna prizma
Teorema 2. Površina bočne površine prizme

paralelepiped:
Definicija 6. Paralelepiped
Teorema 3. O presjeku dijagonala paralelepipeda
Definicija 7. Desni paralelepiped
Definicija 8. Pravougaoni paralelepiped
Definicija 9. Dimenzije paralelepipeda
Definicija 10. Kocka
Definicija 11. Romboedar
Teorema 4. O dijagonalama pravokutnog paralelepipeda
Teorema 5. Zapremina prizme
Teorema 6. Zapremina ravne prizme
Teorema 7. Volumen pravokutnog paralelepipeda

prizma naziva se poliedar u kojem dva lica (baze) leže u paralelnim ravnima, a ivice koje ne leže u tim plohama paralelne su jedna s drugom.
Lica koja nisu baza se nazivaju bočno.
Stranice bočnih strana i baze nazivaju se ivice prizme, krajevi ivica se nazivaju vrhovima prizme. Bočna rebra nazivamo ivicama koje ne pripadaju bazama. Unija bočnih strana se zove bočna površina prizme, a unija svih lica se zove punu površinu prizme. Visina prizme naziva se okomica spuštena iz tačke gornje osnove na ravan donje osnove ili dužina ove okomice. ravna prizma naziva se prizma, u kojoj su bočne ivice okomite na ravni baza. Tačno naziva se ravna prizma (slika 3), u čijoj osnovi leži pravilan poligon.

Oznake:
l - bočno rebro;
P - osnovni perimetar;
S o - površina osnove;
H - visina;
P ^ - perimetar okomitog presjeka;
S b - bočna površina;
V - zapremina;
S p - površina ukupne površine prizme.

Definicija 2 . Okomit presjek prizmatične površine je presjek ove površine ravninom koja je okomita na njene rubove. Na osnovu prethodne teoreme, svi okomiti presjeci iste prizmatične površine bit će jednaki poligoni.

Definicija 3 . Prizma je poliedar omeđen prizmatičnom površinom i dvije ravni paralelne jedna s drugom (ali ne paralelne s rubovima prizmatične površine)
Lica koja leže u ovim poslednjim ravnima nazivaju se baze prizme; lica koja pripadaju prizmatičnoj površini - bočne strane; ivice prizmatične površine - bočne ivice prizme. Na osnovu prethodne teoreme, osnove prizme su jednaki poligoni. Sve bočne strane prizme paralelograma; sve bočne ivice su jednake jedna drugoj.
Očigledno je da ako su osnova prizme ABCDE i jedna od ivica AA" date po veličini i pravcu, onda je moguće konstruisati prizmu crtanjem ivica BB", CC", .., jednakih i paralelnih sa ivica AA".

Definicija 4 . Visina prizme je rastojanje između ravnina njenih osnova (HH").

Definicija 5 . Prizma se naziva prava ako su njene osnove okomiti presjeci prizmatične površine. U ovom slučaju, visina prizme je, naravno, njena bočno rebro; bočne ivice će pravougaonici.
Prizme se mogu klasificirati prema broju bočnih strana, jednakom broju stranica poligona koji mu služi kao osnova. Dakle, prizme mogu biti trouglaste, četverouglaste, peterokutne itd.

Teorema 2 . Površina bočne površine prizme jednaka je umnošku bočne ivice i perimetra okomitog presjeka.
Neka je ABCDEA"B"C"D"E" data prizma, a abcde njen okomiti presjek, tako da su segmenti ab, bc, .. okomiti na njene bočne ivice. Lice ABA"B" je paralelogram; njegova površina jednak je proizvodu baze AA" na visinu koja odgovara ab; površina lica BCV "C" jednaka je umnošku osnove BB" na visinu bc, itd. Dakle, bočna površina (tj. zbir površina bočnih strana) je jednak proizvodu bočne ivice, drugim riječima, ukupne dužine segmenata AA", BB", .., zbirom ab+bc+cd+de+ea.