평면에서 원점까지의 거리를 결정합니다. 점에서 평면까지의 거리: 찾기의 정의 및 예. 점에서 평면까지의 거리 - 이론, 예, 솔루션

이 기사에서는 한 점에서 평면까지의 거리를 정의하고 3차원 공간에서 주어진 점에서 주어진 평면까지의 거리를 찾을 수 있는 좌표 방법을 분석합니다. 이론 발표 후에는 몇 가지 대표적인 사례와 문제의 해법을 자세히 분석할 것입니다.

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점에서 평면까지의 거리가 정의입니다.

한 점에서 평면까지의 거리는 를 통해 결정되며, 그 중 하나는 주어진 점이고 다른 하나는 주어진 평면에 대한 주어진 점의 투영입니다.

3차원 공간에서 점 M 1 과 평면이 주어졌다고 하자. 평면에 수직인 점 M1을 지나는 직선을 그리자. 선 a 와 평면의 교점을 H 1 로 표시합시다. 세그먼트 M 1 H 1은 수직, 점 M 1 에서 평면으로 낮추고 점 H 1 - 수직의 기초.

정의.

주어진 점에서 주어진 평면으로 그린 ​​수직선의 밑면까지의 거리입니다.

점에서 평면까지의 거리 정의는 다음 형식에서 더 일반적입니다.

정의.

점에서 평면까지의 거리주어진 점에서 주어진 평면까지 수직선의 길이입니다.

이러한 방식으로 결정된 점 M 1 에서 평면까지의 거리는 주어진 점 M 1 에서 평면의 임의의 점까지의 거리 중 가장 작습니다. 실제로 점 H 2 가 평면에 있고 점 H 1 과 달라야 합니다. 분명히 삼각형 M 2 H 1 H 2는 직사각형이며 M 1 H 1은 다리이고 M 1 H 2는 빗변이므로, . 그건 그렇고, 세그먼트 M 1 H 2는 비스듬한점 M 1에서 평면으로 그립니다. 따라서 주어진 점에서 주어진 평면으로 떨어지는 수직선은 항상 같은 점에서 주어진 평면으로 그린 ​​경사진 것보다 작습니다.

점에서 평면까지의 거리 - 이론, 예, 솔루션.

솔루션의 일부 단계에서 일부 기하학적 문제는 점에서 평면까지의 거리를 찾아야 합니다. 이를 위한 방법은 소스 데이터에 따라 선택됩니다. 일반적으로 결과는 피타고라스 정리 또는 삼각형의 평등 및 유사성의 표시를 사용하는 것입니다. 3차원 공간에서 주어진 점에서 평면까지의 거리를 찾아야 하는 경우 좌표 방법이 구출됩니다. 이 기사에서는 그것을 분석할 것입니다.

먼저 문제의 조건을 공식화합니다.

3차원 공간의 직교 좌표계 Oxyz에서 점은 다음과 같습니다. , 평면이고 점 M 1 에서 평면까지의 거리를 찾는 것이 필요합니다.

이 문제를 해결하는 두 가지 방법을 살펴보겠습니다. 한 점에서 평면까지의 거리를 계산할 수 있는 첫 번째 방법은 점 H 1의 좌표를 찾는 것입니다. 즉, 점 M 1에서 평면으로 떨어진 수직선의 밑면입니다. 점 M 1 과 H 1 사이. 주어진 점에서 주어진 평면까지의 거리를 찾는 두 번째 방법은 주어진 평면에 대한 법선 방정식을 사용하는 것입니다.

점으로부터의 거리를 계산하는 첫 번째 방법 비행기로.

H 1 을 점 M 1 에서 평면으로 그린 ​​수직선의 밑변이라고 하자. 점 H 1의 좌표를 결정하면 점 M 1에서 평면까지 필요한 거리는 점 사이의 거리로 계산할 수 있습니다 그리고 공식에 따르면 . 따라서 점 H 1 의 좌표를 찾는 것이 남아 있습니다.

그래서, 점에서 거리를 찾는 알고리즘 비행기까지다음:

두 번째 방법은 점으로부터의 거리를 찾는 데 적합합니다. 비행기로.

직교 좌표계 Oxyz에서 평면이 주어졌기 때문에 평면의 법선 방정식을 형태로 얻을 수 있습니다. 그런 다음 점으로부터의 거리 평면에 대한 계산식은 다음과 같습니다. 한 점에서 평면까지의 거리를 구하는 이 공식의 유효성은 다음 정리에 의해 설정됩니다.

정리.

직교 좌표계 Oxyz를 3차원 공간에 고정하고 점 및 형식 평면의 정규 방정식 . 점 M 1 에서 평면까지의 거리는 에서 계산된 평면의 정규 방정식의 왼쪽에 있는 식의 값의 절대값, 즉 .

증거.

이 정리의 증명은 한 점에서 선까지의 거리 찾기 섹션에서 주어진 유사한 정리의 증명과 절대적으로 유사합니다.

점 M 1 에서 평면까지의 거리가 수치 투영 M 1 과 원점에서 평면까지의 거리, 즉, , 어디 - 평면의 법선 벡터는 1과 같습니다. - 벡터에 의해 결정된 방향으로 .

그리고 정의상 은 이지만 좌표 형식입니다. 따라서, 그리고 필요에 따라 증명합니다.

이런 식으로, 점으로부터의 거리 평면에 대한 는 x, y 및 z 대신 점 M 1 의 좌표 x 1 , y 1 및 z 1 을 평면의 정규 방정식의 좌변에 대입하고 구한 값의 절대값을 취하여 계산할 수 있습니다. .

점에서 거리를 구하는 예 비행기로.

예시.

점에서 거리 찾기 비행기로.

해결책.

첫 번째 방법입니다.

문제의 조건에서 형식 평면의 일반 방정식이 주어지며, 이로부터 다음을 알 수 있습니다. 이 평면의 법선 벡터입니다. 이 벡터는 주어진 평면에 수직인 직선의 방향 벡터로 간주할 수 있습니다. 그런 다음 점을 통과하는 공간에서 직선의 정준 방정식을 쓸 수 있습니다. 좌표가 있는 방향 벡터가 있으며 모양은 .

선의 교차점의 좌표를 찾기 시작합시다. 그리고 비행기. H 1 이라고 표시합시다. 이를 위해 먼저 직선의 정준 방정식에서 교차하는 두 평면의 방정식으로의 전환을 수행합니다.

이제 연립방정식을 풀자 (필요한 경우 기사 참조). 우리는 사용:

이런 식으로, .

주어진 점에서 주어진 평면까지의 필요한 거리를 점 사이의 거리로 계산하는 것이 남아 있습니다. 그리고 :
.

두 번째 솔루션입니다.

주어진 평면의 정규 방정식을 구합시다. 이렇게 하려면 평면의 일반 방정식을 정규식으로 가져와야 합니다. 정규화 요인을 결정한 후 , 우리는 평면의 정규 방정식을 얻습니다 . 결과 방정식의 왼쪽 값을 계산하는 것은 남아 있습니다. 얻은 값의 모듈을 가져옵니다. 그러면 해당 지점에서 원하는 거리가 표시됩니다. 비행기로:

이 기사에서는 한 점에서 평면까지의 거리를 결정하는 방법에 대해 설명합니다. 좌표 방법을 분석하여 3차원 공간에서 주어진 점으로부터의 거리를 찾을 수 있습니다. 통합하려면 여러 작업의 예를 고려하십시오.

한 점에서 평면까지의 거리는 점에서 점까지의 알려진 거리를 사용하여 구합니다. 여기서 그 중 하나는 주어지고 다른 하나는 주어진 평면에 대한 투영입니다.

평면 χ를 갖는 점 M1이 공간에 주어질 때, 평면에 수직인 직선은 그 점을 통해 그릴 수 있다. H 1은 교차점의 공통점입니다. 여기에서 세그먼트 M 1 H 1 은 점 M 1 에서 평면 χ까지 그려진 수직선임을 알 수 있습니다. 여기서 점 H 1 은 수직선의 밑면입니다.

정의 1

그들은 주어진 점에서 주어진 평면으로 그려진 수직선의 밑면까지의 거리를 주어진 점에서 호출합니다.

정의는 다른 공식으로 작성할 수 있습니다.

정의 2

점에서 평면까지의 거리주어진 점에서 주어진 평면까지 그린 수직선의 길이라고 합니다.

점 M1에서 평면 χ까지의 거리는 다음과 같이 정의됩니다. 점 M1에서 평면 χ까지의 거리는 주어진 점에서 평면의 임의의 점까지 가장 작습니다. 점 H 2가 χ 평면에 있고 점 H 2와 같지 않으면 M 2 H 1 H 2 형식의 직각 삼각형을 얻습니다. , 직사각형이며 다리가 있는 곳에 M 2 H 1, M 2 H 2 - 빗변. 따라서 이것은 M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 M 1 점에서 평면 χ까지 그려진 경사로 간주됩니다. 주어진 점에서 평면으로 그린 ​​수직선은 한 점에서 주어진 평면으로 그린 ​​경사보다 작습니다. 아래 그림에서 이 경우를 고려하십시오.

점에서 평면까지의 거리 - 이론, 예, 솔루션

해가 점에서 평면까지의 거리를 포함해야 하는 많은 기하학적 문제가 있습니다. 이를 감지하는 방법은 다를 수 있습니다. 해결하려면 피타고라스 정리 또는 삼각형의 유사성을 사용하십시오. 조건에 따라 3차원 공간의 직교좌표계에서 주어진 한 점에서 평면까지의 거리를 계산해야 할 때 좌표법을 사용하여 풉니다. 이 단락에서는 이 방법을 다룹니다.

문제의 조건에 따라 3차원 공간에서 좌표 M 1 (x 1, y 1, z 1)과 평면 χ가 있는 한 점이 주어지면 M 1에서 까지의 거리를 결정할 필요가 있습니다. 비행기 χ. 해결하기 위해 여러 솔루션이 사용됩니다.

첫 번째 방법

이 방법은 점 M 1 에서 평면 χ까지의 수직선의 밑변인 점 H 1 의 좌표를 사용하여 한 점에서 평면까지의 거리를 구하는 방법을 기반으로 합니다. 다음으로 M 1 과 H 1 사이의 거리를 계산해야 합니다.

두 번째 방법으로 문제를 해결하기 위해 주어진 평면의 정규 방정식이 사용됩니다.

두 번째 방법

조건에 따라 H 1 은 점 M 1 에서 평면 χ까지 낮아진 수직선의 밑면입니다. 그런 다음 점 H 1의 좌표(x 2, y 2, z 2)를 결정합니다. M 1에서 χ 평면까지의 원하는 거리는 M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 공식으로 구합니다. 여기서 M 1 (x 1, y 1 , z 1) 및 H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . 해결하려면 점 H 1의 좌표를 알아야 합니다.

우리는 H 1이 평면 χ에 수직으로 위치한 점 M 1을 통과하는 선 a와 평면 χ의 교차점이라는 것을 가지고 있습니다. 따라서 주어진 평면에 수직인 주어진 점을 지나는 직선의 방정식을 공식화해야 합니다. 그런 다음 점 H 1 의 좌표를 결정할 수 있습니다. 선과 평면의 교차점 좌표를 계산해야 합니다.

좌표가 M 1 (x 1, y 1, z 1)인 점에서 χ 평면까지의 거리를 찾는 알고리즘:

정의 3

• 점 M 1을 통과하는 직선의 방정식을 작성하고 동시에
• χ 평면에 수직;
• 점인 점 H 1 의 좌표(x 2, y 2, z 2)를 찾아 계산합니다.
• 평면 χ와 선 a의 교차점 ;
• 공식 M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2를 사용하여 M 1에서 χ까지의 거리를 계산합니다.

세 번째 방법

주어진 직교 좌표계 O x y z에는 평면 χ가 있고 cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 형식의 평면의 정규 방정식을 얻습니다. 여기에서 M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos 공식으로 계산된 평면 χ에 그려진 점 M 1 H 1 (x 1 , y 1 , z 1)을 얻습니다. γ z-p. 이 공식은 정리 덕분에 설정되었으므로 유효합니다.

정리

cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 형식의 χ 평면의 정규 방정식을 갖는 점 M 1 (x 1 , y 1 , z 1)이 3차원 공간에 주어지면, 그런 다음 점에서 평면까지의 거리 계산 M 1 H 1 은 공식 M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, x = x 1 , y = y 1이므로 , z = z 1 .

증거

정리의 증명은 점에서 선까지의 거리를 찾는 것으로 축소됩니다. 여기에서 우리는 M 1 에서 χ 평면까지의 거리가 원점에서 χ 평면까지의 거리와 반경 벡터 M 1 의 수치적 투영 간의 차이의 계수라는 것을 얻습니다. 그런 다음 식 M 1 H 1 = n p n → O M → - p 를 얻습니다. 평면 χ의 법선 벡터는 n → = cos α , cos β , cos γ 형식을 가지며 길이는 1과 같습니다. n p n → O M → 벡터 O M → = (x 1 , y 1 , z 1) 벡터에 의해 결정되는 방향으로 n → .

스칼라 벡터 계산 공식을 적용해 보겠습니다. 그런 다음 n → = cos α , cos β , cos γ z 및 OM → = (x 1 , y 1 , z 1) . 표기법의 좌표 형식은 n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos 형식을 취합니다. β · y 1 + cos γ · z 1 - p . 정리가 증명되었습니다.

여기에서 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)에서 평면 χ까지의 거리는 평면 cos α x + cos β y + cos의 정규 방정식의 왼쪽에 대입하여 계산됩니다. γ z - p = 0 대신 x, y, z 좌표 x 1 , y 1 및 z1점 M 1 과 관련하여 얻은 값의 절대값을 취합니다.

좌표가 있는 점에서 주어진 평면까지의 거리를 찾는 예를 고려하십시오.

실시예 1

좌표가 M 1 (5 , - 3 , 10)인 점에서 평면 2 x - y + 5 z - 3 = 0 까지의 거리를 계산합니다.

해결책

두 가지 방법으로 문제를 해결해 보겠습니다.

첫 번째 방법은 a 선의 방향 벡터를 계산하는 것으로 시작합니다. 조건에 따라 주어진 방정식 2 x - y + 5 z - 3 = 0은 일반 평면 방정식이고 n → = (2 , - 1 , 5)는 주어진 평면의 법선 벡터입니다. 주어진 평면에 수직인 직선에 대한 방향 벡터로 사용됩니다. 좌표가 2, - 1, 5인 방향 벡터로 M 1 (5, - 3, 10)을 지나는 공간에서 직선의 정준 방정식을 작성해야 합니다.

방정식은 x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 와 같습니다.

교차점을 정의해야 합니다. 이렇게 하려면 방정식을 표준에서 교차하는 두 선의 방정식으로 전환하기 위한 시스템으로 방정식을 부드럽게 결합합니다. 이 점을 H 1 이라고 하자. 우리는 그것을 얻는다

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2(y + 3) 5(x - 5) = 2(z - 10) 5( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

그런 다음 시스템을 활성화해야 합니다.

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 삼

가우스에 따라 시스템을 푸는 규칙을 살펴보겠습니다.

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

우리는 H 1 (1, - 1, 0) 을 얻습니다.

주어진 점에서 평면까지의 거리를 계산합니다. 우리는 점 M 1 (5, - 3, 10)과 H 1 (1, - 1, 0)을 취하고 다음을 얻습니다.

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

두 번째 솔루션은 먼저 주어진 방정식 2 x - y + 5 z - 3 = 0을 정규 형식으로 가져오는 것입니다. 정규화 인자를 결정하고 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 을 얻습니다. 여기에서 평면 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 의 방정식을 유도합니다. 방정식의 왼쪽은 x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10을 대입하여 계산되며 M 1 (5, - 3, 10)에서 2 x - y +까지의 거리를 취해야 합니다. 5 z - 3 = 0 모듈로. 우리는 다음과 같은 표현을 얻습니다.

남 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

답: 2 30 .

χ 평면이 평면을 지정하는 단면 방법 중 하나로 지정되면 먼저 χ 평면의 방정식을 얻고 임의의 방법을 사용하여 필요한 거리를 계산해야 합니다.

실시예 2

좌표가 M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) 인 점은 3차원 공간에 설정됩니다. M 1 에서 평면 A B C까지의 거리를 계산하십시오.

해결책

먼저 좌표 M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - 하나) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

따라서 문제는 이전 문제와 유사한 솔루션을 갖습니다. 따라서 점 M 1 에서 평면 A B C 까지의 거리는 2 30 입니다.

답: 2 30 .

평면 또는 평행한 평면의 주어진 점에서 거리를 찾는 것은 공식 M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p를 적용하면 더 편리합니다. . 여기에서 우리는 평면의 법선 방정식이 여러 단계로 얻어짐을 얻습니다.

실시예 3

좌표가 M 1 (- 3 , 2 , - 7)인 주어진 점에서 좌표 평면 O x y z 및 방정식 2 y - 5 = 0 으로 주어진 평면까지의 거리를 찾습니다.

해결책

좌표 평면 O y z는 x = 0 형식의 방정식에 해당합니다. O y z 평면의 경우 정상입니다. 따라서 x \u003d - 3 값을 표현식의 왼쪽에 대입하고 좌표가 M 1(-3, 2, - 7)인 점에서 평면까지의 거리의 절대값을 취해야 합니다. . - 3 = 3 과 같은 값을 얻습니다.

변환 후 평면 2 y - 5 = 0 의 정규 방정식은 y - 5 2 = 0 형식을 취합니다. 그런 다음 좌표가 M 1 (- 3 , 2 , - 7)인 점에서 평면 2 y - 5 = 0 까지 필요한 거리를 찾을 수 있습니다. 대입하고 계산하면 2 - 5 2 = 5 2 - 2가 됩니다.

대답: M 1 (- 3 , 2 , - 7) 에서 O y z 까지의 원하는 거리는 3 의 값을 가지며 2 y-5 = 0 까지의 값은 5 2 - 2 입니다.

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

그래서 이 페이지(http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)에서 뭔가를 읽었습니다.

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormal);

여기서 vP1은 평면의 한 점이고 vNormal은 평면에 대한 법선입니다. 결과가 항상 0이기 때문에 이것이 세계의 시작으로부터의 거리를 어떻게 제공하는지 궁금합니다. 또한 명확하게 (나는 여전히 2D 방정식의 D 부분에 대해 약간 흐릿하기 때문에), d 2D 방정식에서 평면이 시작되기 전 세계의 시작까지의 선에서 거리는?

3개의 답변

6

일반적으로 점 p와 평면 사이의 거리는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

어디 - 내적 연산

= ax*bx + y*by + az*bz

여기서 p0는 평면의 한 점입니다.

n에 단위 길이가 있는 경우 벡터 사이의 내적은 법선에 대한 벡터 투영의 (부호 있는) 길이입니다.

보고하는 공식은 점 p가 원점인 특별한 경우일 뿐입니다. 이 경우

거리 = = -

내적은 점이 아니라 벡터에 관한 것이기 때문에 이 평등은 기술적으로 잘못되었지만 여전히 수치적으로 유지됩니다. 명시적 공식을 작성하면 다음을 얻을 수 있습니다.

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

그것은 같다

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

2

결과가 항상 0은 아닙니다. 평면이 원점을 통과하는 경우에만 결과가 0이 됩니다. (여기서는 평면이 원점을 통과하지 않는다고 가정하자.)

기본적으로 원점에서 평면의 어떤 점까지의 선이 주어집니다. (즉, 원점에서 vP1까지의 벡터가 있습니다). 이 벡터의 문제는 비행기에서 가장 가까운 지점이 아니라 비행기에서 가장 먼 곳으로 기울어져 있을 가능성이 높다는 것입니다. 따라서 vP1 길이를 사용하면 너무 많은 거리를 얻게 됩니다.

당신이 해야 할 일은 vP1을 평면에 수직인 어떤 벡터에 투영하는 것입니다. 물론 vNormal입니다. 따라서 vP1과 vNormal의 내적을 vNormal의 길이로 나누면 답이 나옵니다. (이미 규모가 1인 vNormal을 제공할 만큼 친절하다면 분할할 필요가 없습니다.)

1

Lagrange 승수로 이 문제를 해결할 수 있습니다.

평면에서 가장 가까운 점은 다음과 같아야 합니다.

C=p+v

여기서 c는 가장 가까운 점이고 v는 평면을 따른 벡터입니다(따라서 n에 대한 법선에 직교함). 가장 작은 노름(또는 제곱 노름)으로 c를 찾으려고 합니다. 따라서 v가 n에 직교하는 한 dot(c,c)를 최소화하려고 합니다(따라서 dot(v,n) = 0).

따라서 Lagrangian을 설정합니다.

L = 점(c,c) + 람다 * (점(v,n)) L = 점(p+v,p+v) + 람다 * (점(v,n)) L = 점(p,p) + 2*점(p,v) + 점(v,v) * 람다 * (점(v,n))

그리고 v에 대한 도함수를 취하여(0으로 설정) 다음을 얻습니다.

2 * p + 2 * v + 람다 * n = 0

위의 방정식에서 람다를 점으로 풀어서 n에 양변을 생성하여 얻을 수 있습니다.

2 * 점(p,n) + 2 * 점(v,n) + 람다 * 점(n,n) = 0 2 * 점(p,n) + 람다 = 0 람다 = - 2 * 점(p,n ) )

다시 dot(n,n) = 1이고 dot(v,n) = 0입니다(v는 평면에 있고 n은 평면에 직교하기 때문에). 그런 다음 Substitute lambda는 다음을 얻기 위해 반환됩니다.

2 * p + 2 * v - 2 * 점(p,n) * n = 0

v를 구하여 다음을 얻습니다.

V = 점(p,n) * n - p

그런 다음 이를 다시 c = p + v에 연결하여 다음을 얻습니다.

C = 점(p,n) * n

이 벡터의 길이는 |dot(p,n)| , 기호는 점이 원점에서 법선 벡터 방향인지 아니면 원점과 반대 방향인지 알려줍니다.

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