함수 예제의 극점을 찾는 방법. 함수의 극한값(최소점 및 최대점)을 찾는 방법. 함수의 증가, 감소 및 극한

이러한 부등식을 극한까지 Δ로 전달 엑스→ 0이고 미분을 고려하면 에프 "(엑스 0) 존재하므로 왼쪽의 극한은 Δ 엑스→ 0, 우리는 다음을 얻습니다: Δ에 대해 엑스 → 0 – 0 에프"(엑스 0) ≥ 0 및 Δ에서 엑스 → 0 + 0 에프"(엑스 0) ≤ 0. 이후 에프"(엑스 0) 숫자를 정의하면 이 두 부등식은 다음과 같은 경우에만 호환됩니다. 에프"(엑스 0) = 0.

증명된 정리에 따르면 최대 및 최소 포인트는 파생 상품이 사라지는 인수의 값 중 하나일 수 있습니다.

함수가 특정 세그먼트의 모든 지점에서 도함수를 갖는 경우를 고려했습니다. 도함수가 존재하지 않으면 어떻게 됩니까? 예를 고려하십시오.

와이=|엑스|.

함수는 점에서 도함수가 없습니다. 엑스=0(이 시점에서 함수의 그래프는 명확한 탄젠트를 갖지 않음), 그러나 이 시점에서 함수는 최소값을 갖습니다. 와이(0)=0, 그리고 모두에 대해 엑스≠ 0와이 > 0.

따라서 주어진 예와 공식화된 정리에서 함수는 다음 두 가지 경우에만 극한값을 가질 수 있음이 분명합니다. 1) 도함수가 존재하고 0과 같은 점에서; 2) 도함수가 존재하지 않는 지점에서.

그러나 어느 시점에서 엑스 0 우리는 그것을 알고있다 f"(x 0 ) =0이면 이 시점에서 결론을 내릴 수 없습니다. 엑스 0 함수에 극한값이 있습니다.

예를 들어.

하지만 포인트 엑스=0은 이 지점의 왼쪽에 함수 값이 축 아래에 있기 때문에 극한값이 아닙니다. 황소, 오른쪽 위.

함수의 도함수가 사라지거나 존재하지 않는 함수 영역의 인수 값을 호출합니다. 임계점.

앞서 말한 것으로부터 함수의 극점은 임계점에 속하지만, 모든 임계점이 극한점인 것은 아니다. 따라서 함수의 극한값을 찾으려면 함수의 모든 임계점을 찾은 다음 이러한 각 점을 개별적으로 최대값과 최소값에 대해 조사해야 합니다. 이를 위해 다음 정리가 제공됩니다.

정리 2. (극한값이 존재하기 위한 충분조건) 임계점을 포함하는 어떤 구간에서 함수가 연속적이라고 하자 엑스 0 이며 이 구간의 모든 지점에서 미분 가능합니다(아마도 지점 자체는 제외 엑스 0). 이 점을 왼쪽에서 오른쪽으로 지나갈 때 도함수가 부호를 플러스에서 마이너스로 바꾸면 그 점에서 엑스 = 엑스 0 함수에 최대값이 있습니다. 만약 통과할 때 엑스왼쪽에서 오른쪽으로 0, 도함수는 마이너스에서 플러스로 부호를 변경하고 함수는 이 지점에서 최소값을 갖습니다.

따라서 만약

f"(x)>0에서 엑스<엑스 0과 f"(x)< 0시 엑스 > 엑스 0, 그럼 엑스 0 - 최대 포인트;

증거. 통과할 때 먼저 가정해 보겠습니다. 엑스 0, 도함수는 플러스에서 마이너스로 부호를 변경합니다. 즉, 모든 엑스요점에 가깝다 엑스 0 f "(x)> 0에 대한 엑스< x 0 , f"(x)< 0에 대한 엑스 > 엑스 0 . 라그랑주 정리를 차에 적용해 보자. f(x) - f(x) 0 ) = f "(c)(x-x 0), 여기서 씨사이에 있다 엑스그리고 엑스 0 .

허락하다 엑스< x 0 . 그 다음에 씨< x 0과 f "(다)> 0. 그렇기 때문에 f "(c)(x-x 0)< 0 그리고 따라서,

f(x) - f(x) 0 )< 0, 즉 f(x)< f(x 0 ).

허락하다 엑스 > 엑스 0 . 그 다음에 c> x 0과 f"(c)< 0. 수단 f "(c)(x-x 0)< 0. 그렇기 때문에 f(x) - f(x) 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

따라서 모든 값에 대해 엑스에 충분히 가깝다 엑스 0 f(x)< f(x 0 ) . 그리고 이것은 그 시점에서 엑스 0 함수에 최대값이 있습니다.

최소 정리의 두 번째 부분도 유사하게 증명됩니다.

이 정리의 의미를 그림으로 설명하겠습니다. 허락하다 f"(x 1 ) =0 및 임의의 경우 엑스,에 충분히 가깝다 엑스 1, 불평등

f"(x)< 0시 엑스< x 1 , f "(x)> 0시 엑스 > 엑스 1 .

그런 다음 포인트의 왼쪽으로 엑스 1 함수는 오른쪽에서 증가하고 감소하므로, 엑스 = 엑스 1 함수는 증가에서 감소로 이동합니다. 즉, 최대값을 갖습니다.

마찬가지로 다음과 같은 점을 고려할 수 있습니다. 엑스 2 및 엑스 3 .

도식적으로 위의 모든 것을 그림으로 표현할 수 있습니다.

극값에 대한 함수 y=f(x)를 연구하는 규칙

함수의 범위 찾기 f(x).

함수의 1차 도함수 찾기 f"(x).

이를 위해 중요한 점을 결정하십시오.

방정식의 진짜 뿌리를 찾아라 f"(x)=0;

모든 값 찾기 엑스파생 상품 f"(x)존재하지 않는다.

임계점의 왼쪽과 오른쪽에 대한 도함수의 부호를 결정합니다. 도함수의 부호는 두 임계점 사이에서 일정하게 유지되기 때문에 임계점의 왼쪽으로 한 점과 오른쪽으로 한 점에서 도함수의 부호를 결정하는 것으로 충분합니다.

극점에서 함수의 값을 계산합니다.

보시다시피, 함수의 극한값의 이 부호는 점에서 최소한 2차까지 도함수의 존재를 요구합니다.

예시.

함수의 극값을 구합니다.

해결책.

범위부터 시작하겠습니다.

원래 기능을 구별해 보겠습니다.

x=1, 즉 가능한 극단의 점입니다. 우리는 함수의 2차 도함수를 찾고 그 값을 다음에서 계산합니다. x=1:

따라서, 두 번째 충분 극단 조건에 의해, x=1- 최대 포인트. 그 다음에 함수의 최대값입니다.

그래픽 그림입니다.

대답:

함수의 극값에 대한 세 번째 충분 조건.

기능을 보자 y=f(x)까지의 파생상품이 있습니다. N~까지의 점과 도함수의 이웃에서 -차 n+1점 자체에서 th 순서. 하자 및 .

예시.

함수의 극점 찾기 .

해결책.

원래 함수는 전체 유리 함수이고 정의 영역은 전체 실수 집합입니다.

함수를 구별해 봅시다.

도함수는 다음과 같이 사라집니다. , 따라서 이들은 가능한 극단의 점입니다. 극값에 대한 세 번째 충분 조건을 사용합시다.

우리는 2차 도함수를 찾고 가능한 극한점에서 그 값을 계산합니다(중간 계산은 생략합니다).

따라서 는 최대점입니다(극한값의 세 번째 충분 부호에 대해 n=1그리고 ).

점의 성격을 명확히 하기 위해 3차 도함수를 찾고 다음 지점에서 값을 계산합니다.

따라서 함수의 변곡점( n=2그리고 ).

요점을 처리하는 것이 남아 있습니다. 이 지점에서 4차 도함수를 찾고 그 값을 계산합니다.

따라서 는 함수의 최소값입니다.

그래픽 그림입니다.

대답:

최대점은 함수의 최소점입니다.

10. 함수의 극값 극한의 정의

함수 y = f(x)가 호출됩니다. 증가 (쇠약해지는) x 1의 경우 일부 간격< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

세그먼트의 미분 가능 함수 y = f(x)가 증가(감소)하면 이 세그먼트에 대한 미분 f "(x)  0

(f "(x)  0).

점 엑스 ~에 대한~라고 불리는 로컬 최대 포인트 (최저한의점의 이웃이 있는 경우 함수 f(x)의 ) 엑스 ~에 대한, 부등식 f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o))가 참인 모든 점에 대해.

최대 및 최소 포인트는 극점, 그리고 이 지점에서 함수의 값은 극한.

극점

극한에 필요한 조건. 포인트라면 엑스 ~에 대한함수 f(x)의 극점이면 f "(x o) \u003d 0 또는 f(x o)가 존재하지 않습니다. 이러한 점을 호출합니다 위독한,여기서 기능 자체는 임계점에서 정의됩니다. 함수의 극값은 임계점에서 찾아야 합니다.

첫 번째 충분조건.허락하다 엑스 ~에 대한- 임계점. f "(x)인 경우 점을 지날 때 엑스 ~에 대한더하기 기호를 빼기로 변경한 다음 해당 지점에서 엑스 ~에 대한함수에는 최대값이 있고, 그렇지 않으면 최소값이 있습니다. 임계점을 지날 때 도함수가 부호를 바꾸지 않으면 그 점에서 엑스 ~에 대한극한은 없습니다.

두 번째 충분조건.함수 f(x)가 점의 이웃에서 도함수 f "(x)를 갖도록 하십시오. 엑스 ~에 대한그리고 바로 그 지점의 2차 도함수 엑스 ~에 대한. f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка 엑스 ~에 대한함수 f(x)의 로컬 최소(최대) 포인트입니다. =0이면 첫 번째 충분 조건을 사용하거나 더 높은 도함수를 사용해야 합니다.

세그먼트에서 함수 y = f(x)는 임계점이나 세그먼트 끝에서 최소값 또는 최대값에 도달할 수 있습니다.

예 3.22.함수 f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14의 극값을 구합니다.

해결책. f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3) 이후 함수의 임계점 x 1 \u003d 2 및 x 2 \u003d 3. 극한 점은 이 지점에만 있어야합니다. 따라서 점 x 1 \u003d 2를 통과할 때 도함수는 부호 플러스를 마이너스로 변경한 다음 이 지점에서 함수는 최대값을 갖습니다.점 x 2 \u003d 3을 통과할 때 도함수 기호 빼기를 더하기로 변경하므로 점 x 2 \u003d 3에서 함수는 최소값을 갖습니다. 점 x 1 = 2 및 x 2 = 3에서 함수 값을 계산하면 함수: 최대 f(2) = 14 및 최소 f(3) = 13.

극한값을 찾는 간단한 알고리즘..

• 함수의 도함수 찾기
• 이 도함수를 0으로 동일시
• 결과 표현식의 변수 값(도함수가 0으로 변환되는 변수 값)을 찾습니다.
• 우리는 좌표선을 이러한 값을 사용하여 간격으로 나눕니다 (동시에 선에도 적용해야 하는 중단점을 잊어서는 안 됩니다). 이 모든 점을 극한값에 대한 "의심스러운" 점이라고 합니다
• 우리는 이러한 간격 중 어느 것이 양수이고 어느 부분이 음수인지 계산합니다. 이렇게 하려면 구간의 값을 도함수로 대체해야 합니다.

극한값이 의심되는 점들 중에서 정확히 구하는 것이 필요하다. 이를 위해 좌표선의 간격을 살펴봅니다. 어떤 점을 지날 때 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌면 이 포인트는 최고, 그리고 마이너스에서 플러스로 바뀌면 최저한의.

함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으려면 세그먼트 끝과 극점에서 함수 값을 계산해야 합니다. 그런 다음 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

예를 고려하십시오
도함수를 찾아 0과 동일시합니다.

얻은 변수 값을 좌표선에 적용하고 각 간격에서 도함수의 부호를 계산합니다. 음, 예를 들어 첫 번째 테이크의 경우-2 , 그러면 파생 상품은-0,24 , 두 번째 촬영을 위해0 , 그러면 파생 상품은2 , 그리고 세 번째로 우리는2 , 그러면 파생 상품은-0.24. 우리는 적절한 표시를 내려 놓습니다.

우리는 점 -1을 지날 때 도함수가 마이너스에서 플러스로 부호를 변경한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 최소 점이 될 것이고, 1을 지나갈 때 플러스에서 마이너스로 각각 이것이 최대 포인트가 됨을 알 수 있습니다.

함수 y \u003d x 3 - 3x 2의 그래프를 살펴보겠습니다. 점 x = 0의 이웃을 고려하십시오. 이 점을 포함하는 일부 간격. 함수 y \u003d x 3 - 3x 2가 x \u003d 0 점에서 이 이웃에서 가장 큰 값을 취하는 점 x \u003d 0의 이웃이 있다는 것은 논리적입니다. 예를 들어, 구간(- 1; 1) 가장 큰 값이 0이면 함수는 x = 0 지점에서 취합니다. x = 0 지점을 이 함수의 최대 지점이라고 합니다.

마찬가지로 점 x \u003d 2를 함수 x 3 - 3x 2의 최소점이라고 합니다. 이 지점에서 함수의 값은 점 x \u003d 2 근처의 다른 점에서의 값보다 크지 않기 때문입니다. , 예를 들어 이웃(1.5; 2.5).

따라서 점 x 0은 점 x 0의 이웃이 있는 경우 함수 f(x)의 최대 점이라고 합니다. 따라서 이로부터 모든 x에 대해 부등식 f(x) ≤ f(x 0)가 충족됩니다. 이웃.

예를 들어, 점 x 0 \u003d 0은 f (0) \u003d 1이고 부등식 f (x) ≤ 1이 모든 값에 대해 참이기 때문에 f (x) \u003d 1 - x 2 함수의 최대 점입니다. x의

f(x) ≥ f(x 0) 부등식 f(x) ≥ f(x 0)가 이 이웃의 모든 x에 대해 충족되는 점 x 0의 이웃이 있는 경우 함수 f(x)의 최소점을 점 x 0이라고 합니다.

예를 들어, 점 x 0 \u003d 2는 f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2 함수의 최소 점입니다. f (2) \u003d 3이고 f(x) ≥ 3이기 때문에 모든 x .

극한점을 최소점과 최대점이라고 합니다.

점 x 0의 일부 이웃에서 정의되고 이 점에서 도함수를 갖는 함수 f(x)를 살펴보겠습니다.

x 0이 미분 가능한 함수 f(x)의 극점이면 f "(x 0) \u003d 0입니다. 이 진술을 페르마의 정리라고 합니다.

페르마의 정리는 기하학적 의미가 명확합니다. 극점에서 접선은 x축과 평행하므로 기울기
f "(x 0)은 0입니다.

예를 들어, 함수 f (x) \u003d 1 - 3x 2는 점 x 0 \u003d 0, 파생물 f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0에서 최대값을 갖습니다.

함수 f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3은 점 x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0에서 최소값을 갖습니다. .

f "(x 0) \u003d 0이면 x 0이 반드시 함수 f(x)의 극점이라고 주장하기에는 충분하지 않습니다.

예를 들어 f (x) \u003d x 3이면 f "(0) \u003d 0입니다. 그러나 점 x \u003d 0은 전체 실제 축에서 함수 x 3이 증가하기 때문에 극한점이 아닙니다.

따라서 미분 가능한 함수의 극한점은 방정식의 근 사이에서만 구해야 합니다.
f "(x) \u003d 0이지만 이 방정식의 근은 항상 극점은 아닙니다.

정지점은 함수의 도함수가 0인 점입니다.

따라서 점 x 0이 극한점이 되려면 정지점이 있어야 합니다.

정지점이 극한점이 되기 위한 충분한 조건을 고려하십시오. 정지점이 함수의 최소 또는 최대점이 되는 조건.

정지점의 왼쪽에 대한 도함수가 양수이고 오른쪽에 대한 도함수가 음수이면, 즉 도함수가 이 점을 지날 때 부호 "+"를 부호 "-"로 변경하면 이 정지점이 최대 점입니다.

실제로이 경우 고정 점의 왼쪽으로 기능이 증가하고 오른쪽으로 감소합니다. 이 지점이 최대 지점입니다.

도함수가 정지점을 지날 때 "-" 기호를 "+" 기호로 변경하면 이 정지점이 최소점입니다.

도함수가 정지점을 지날 때 부호가 바뀌지 않는 경우, 즉 도함수가 정지점의 왼쪽과 오른쪽에 대해 양수 또는 음수이면 이 점은 극한점이 아닙니다.

과제 중 하나를 생각해 봅시다. 함수 f (x) \u003d x 4 - 4x 3의 극점을 찾으십시오.

해결책.

1) 미분 찾기: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) 정지점 찾기: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) 간격 방법을 사용하여 도함수 f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3)가 x\u003e 3에 대해 양수이고 x에 대해 음수임을 설정합니다.< 0 и при 0 < х < 3.

4) 점 x 1 \u003d 0을 지날 때 도함수의 부호가 변하지 않기 때문에 이 점은 극한점이 아닙니다.

5) 도함수는 점 x 2 \u003d 3을 지날 때 기호 "-"를 기호 "+"로 변경합니다. 따라서 x 2 \u003d 3이 최소 지점입니다.

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이 기사에서 독자는 기능적 가치의 극한이 무엇인지와 실제로 사용되는 특징에 대해 배울 것입니다. 이러한 개념에 대한 연구는 고등 수학의 기초를 이해하는 데 매우 중요합니다. 이 주제는 코스에 대한 더 깊은 연구의 기본입니다.

연락

극단이란 무엇입니까?

학교 과정에서 "극단"의 개념에 대한 많은 정의가 제공됩니다. 이 기사는 문제에 대해 무지한 사람들을 위해 용어에 대한 가장 깊고 명확한 이해를 제공하기 위한 것입니다. 따라서이 용어는 기능 간격이 특정 집합에서 최소 또는 최대 값을 얻는 정도를 이해합니다.

극한값은 함수의 최소값과 동시에 최대값입니다. 그래프에서 인수의 극한값, 즉 최소값과 최대값이 있습니다. 이 개념이 사용되는 주요 과학:

• 통계;
• 기계 제어;
• 계량 경제학.

극점은 주어진 기능의 순서를 결정하는 데 중요한 역할을 합니다. 그래프의 좌표계는 기능의 변화에 ​​따른 극단 위치의 변화를 가장 잘 보여줍니다.

미분 함수의 극한

"파생"이라는 것도 있습니다. 극점을 결정할 필요가 있습니다. 최소값 또는 최대값을 가장 큰 값과 가장 작은 값과 혼동하지 않는 것이 중요합니다. 이것들은 비슷해 보이지만 다른 개념입니다.

함수의 값은 최대점을 찾는 방법을 결정하는 주요 요소입니다. 도함수는 값에서 형성되는 것이 아니라 독점적으로 어떤 순서로 그것의 극단 위치에서 형성됩니다.

도함수 자체는 최대값 또는 최소값이 아닌 극점 데이터를 기반으로 결정됩니다. 러시아 학교에서는 이 두 개념 사이의 경계가 명확하지 않아 일반적으로 이 주제를 이해하는 데 영향을 미칩니다.

이제 "예리한 극단"과 같은 것을 생각해 봅시다. 현재까지 급성 최소값과 급성 최대값이 있습니다. 정의는 기능의 임계점에 대한 러시아 분류에 따라 제공됩니다. 극점의 개념은 차트에서 임계점을 찾는 기초입니다.

이러한 개념을 정의하기 위해 페르마의 정리가 사용됩니다. 극점 연구에서 가장 중요하며 어떤 형태로든 존재에 대한 명확한 아이디어를 제공합니다. 극도를 보장하려면 차트에서 감소 또는 증가에 대한 특정 조건을 만드는 것이 중요합니다.

"최대 포인트를 찾는 방법"이라는 질문에 정확하게 답하려면 다음 조항을 따라야 합니다.

1. 차트에서 정확한 정의 영역 찾기.
2. 함수와 극점의 도함수를 찾습니다.
3. 인수의 영역에 대한 표준 부등식을 풉니다.
4. 그래프의 한 점이 정의되고 연속적인 기능을 증명할 수 있습니다.

주목!함수의 임계점에 대한 탐색은 극한점의 존재 비율이 높기 때문에 최소한 2차 도함수가 있는 경우에만 가능합니다.

함수의 극한에 필요한 조건

극한값이 존재하기 위해서는 최소값과 최대값이 모두 있어야 합니다. 이 규칙이 부분적으로만 준수되면 극값의 존재 조건이 위반됩니다.

어떤 위치에 있는 각 기능은 새로운 의미를 식별하기 위해 구별되어야 합니다. 점이 사라지는 경우가 미분 가능한 점을 찾는 주요 원리가 아님을 이해하는 것이 중요합니다.

극한값과 함수 최소값은 극한값을 사용하여 수학 문제를 푸는 데 있어 매우 중요한 측면입니다. 이 구성 요소를 더 잘 이해하려면 기능 할당에 대한 표 값을 참조하는 것이 중요합니다.

기능적 극단

위의 값을 찾으려면 다음 규칙을 따라야 합니다.

• 극한 비율에 대한 필요 조건을 결정하십시오.
• 그래프에서 극점의 충분한 조건을 고려하십시오.
• 급성 극한값의 계산을 수행합니다.

약한 최소값과 강한 최소값과 같은 개념도 있습니다. 이것은 극한값과 그 정확한 계산을 결정할 때 고려해야 합니다. 동시에 날카로운 기능은 기능 그래프 작업에 필요한 모든 조건을 검색하고 생성하는 것입니다.