3차 선형 방정식 시스템. 선형 대수 방정식의 풀이 시스템, 솔루션 방법, 예. 대 Shchipachev, 고등 수학, ch.10, p.2

3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템을 고려하십시오.

3차 행렬식을 사용하여 이러한 시스템의 솔루션은 두 방정식 시스템의 경우와 동일한 형식으로 작성할 수 있습니다.

(2.4)

0이면. 여기

그것은이다 크래머의 법칙 3개의 미지수에서 3개의 선형 방정식 시스템 풀기.

예 2.3. Cramer의 규칙을 사용하여 선형 연립방정식을 풉니다.

해결책 . 시스템의 주요 행렬의 행렬식 찾기

0 이후, 시스템에 대한 솔루션을 찾기 위해 Cramer의 규칙을 적용할 수 있지만 먼저 세 가지 더 많은 결정인자를 계산합니다.

시험:

따라서 솔루션을 올바르게 찾았습니다. 

2차 및 3차 선형 시스템에 대해 얻은 Cramer의 규칙은 모든 차수의 선형 시스템에 대해 동일한 규칙을 공식화할 수 있음을 시사합니다. 정말 일어난다

Cramer의 정리. 시스템의 주 행렬의 0이 아닌 행렬식을 갖는 선형 방정식의 이차 시스템 (0) 솔루션은 하나뿐이며 이 솔루션은 공식에 의해 계산됩니다.

(2.5)

어디  – 주행렬 행렬식,  나 – 행렬 행렬식, 메인에서 파생, 교체나th 열 무료 회원 열.

=0이면 Cramer의 규칙이 적용되지 않습니다. 이것은 시스템에 솔루션이 전혀 없거나 무한히 많은 솔루션이 있음을 의미합니다.

Cramer의 정리를 공식화하면 자연스럽게 고차 행렬식을 계산하는 문제가 발생합니다.

2.4. n차 행렬식

추가 미성년자 중 아이요소 ㅏ 아이를 삭제하여 얻은 행렬식이라고 합니다. 나-번째 줄과 제이-번째 열. 대수 덧셈 ㅏ 아이요소 ㅏ 아이기호(-1)와 함께 취해진 이 요소의 단조라고 합니다. 나 + 제이, 즉. ㅏ 아이 = (–1) 나 + 제이 중 아이 .

예를 들어, 요소의 소수 및 대수 보수를 찾자 ㅏ 23 및 ㅏ 31개의 결정인자

우리는 얻는다



대수 보수의 개념을 사용하여 다음을 공식화할 수 있습니다. 행렬식 확장 정리N-행 또는 열의 순서.

정리 2.1. 행렬 행렬식ㅏ일부 행(또는 열)의 모든 요소와 대수적 보수의 곱의 합과 같습니다.

(2.6)

이 정리는 소위 결정자를 계산하는 주요 방법 중 하나의 기초가 됩니다. 주문 감소 방법. 행렬식의 확장으로 인해 N임의의 행이나 열에서 n번째 순서로 n개의 행렬식을 얻습니다( N-1)-차. 이러한 행렬식을 줄이려면 0이 가장 많은 행이나 열을 선택하는 것이 좋습니다. 실제로, 행렬식에 대한 확장 공식은 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다.

저것들. 대수적 덧셈은 미성년자의 관점에서 명시적으로 작성됩니다.

예 2.4.먼저 임의의 행이나 열에서 행렬식을 확장하여 행렬식을 계산합니다. 일반적으로 이러한 경우 0이 가장 많은 열이나 행을 선택합니다. 선택한 행이나 열은 화살표로 표시됩니다.



2.5. 행렬식의 기본 속성

행이나 열의 행렬식을 확장하면 n개의 행렬식( N-1)-차. 그런 다음 이러한 각 결정 요소( N-1) 차도 행렬식의 합으로 분해될 수 있습니다( N-2) 2차 주문. 이 과정을 계속하면 1차 행렬식에 도달할 수 있습니다. 행렬식이 계산되는 행렬의 요소로 이동합니다. 따라서 2차 행렬식을 계산하려면 3차 행렬식의 경우 두 항의 합(6항의 합, 4차 행렬식의 경우 24항)을 계산해야 합니다. 행렬식의 차수가 증가함에 따라 항의 수는 급격히 증가합니다. 이것은 매우 높은 차수의 행렬식 계산이 컴퓨터의 능력을 넘어서는 다소 힘든 작업이 된다는 것을 의미합니다. 그러나 행렬식은 행렬식의 속성을 사용하여 다른 방식으로 계산할 수 있습니다.

속성 1 . 행과 열이 바뀌면 행렬식이 변경되지 않습니다. 행렬을 전치할 때:

이 속성은 행렬식의 행과 열이 동일함을 나타냅니다. 즉, 행렬식의 열에 대한 모든 설명은 행에 대해 참이며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

속성 2 . 두 행(열)이 교환되면 행렬식의 부호가 바뀝니다.

결과 . 행렬식에 두 개의 동일한 행(열)이 있으면 0과 같습니다.

속성 3 . 임의의 행(열)에 있는 모든 요소의 공통 요소는 행렬식의 부호에서 제거할 수 있습니다..

예를 들어,

결과 . 행렬식의 일부 행(열)의 모든 요소가 0이면 행렬식 자체는 0과 같습니다..

속성 4 . 한 행(열)의 요소가 다른 행(열)의 요소에 추가되고 일부 숫자가 곱해지면 행렬식이 변경되지 않습니다..

예를 들어,

속성 5 . 행렬 곱의 행렬식은 행렬 행렬식의 곱과 같습니다.

실무

"Cramer의 방법에 의한 3차 선형 연립방정식의 해"

작업 목표:

SLE를 해결하는 방법에 대한 이해를 확장하고 Cramor 방법으로 SLE를 해결하는 알고리즘을 수행합니다.

학생들의 논리적 사고, 문제에 대한 합리적인 해결책을 찾는 능력 개발;

학생들이 결정을 내릴 때 수학적 표현의 정확성과 문화를 교육합니다.

기본 이론 자료.

Cramer의 방법. 선형 방정식 시스템에 대한 응용 프로그램입니다.

미지수가 있는 N개의 선형 대수 방정식(SLAE) 시스템이 제공되며, 그 계수는 행렬의 요소이고 자유 구성원은 숫자입니다.

계수 옆의 첫 번째 색인은 계수가 있는 방정식과 두 번째 계수가 있는 미지수를 나타냅니다.

행렬 행렬식이 0이 아닌 경우

선형 대수 방정식 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다. 선형 대수 방정식 시스템의 솔루션은 순서가 지정된 숫자 집합이며, 이는 시스템의 각 방정식을 올바른 평등으로 바꿉니다. 시스템의 모든 방정식의 우변이 0이면 방정식 시스템을 동종이라고합니다. 그 중 일부가 0이 아닌 경우, 불균일 선형 대수 방정식 시스템에 하나 이상의 솔루션이 있으면 호환 가능이라고 하고 그렇지 않으면 호환되지 않습니다. 시스템의 솔루션이 고유하면 선형 방정식 시스템을 한정이라고 합니다. 호환 가능한 시스템의 솔루션이 고유하지 않은 경우 방정식 시스템을 무한정이라고 합니다. 한 시스템의 모든 솔루션이 두 번째 솔루션인 경우 두 선형 방정식 시스템을 등가(또는 등가)라고 하며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 등가(또는 등가) 시스템은 등가 변환을 사용하여 얻습니다.

SLAE의 등가 변환

1) 방정식의 재배열;

2) 0이 아닌 숫자로 방정식의 곱셈(또는 나눗셈);

3) 0이 아닌 임의의 숫자를 곱한 다른 방정식을 일부 방정식에 추가합니다.

SLAE의 솔루션은 예를 들어 Cramer의 공식(Cramer의 방법)과 같은 다양한 방식으로 찾을 수 있습니다.

Cramer의 정리. 미지수가 있는 선형 대수 방정식 시스템의 행렬식이 0이 아닌 경우 이 시스템은 Cramer 공식에 의해 발견되는 고유한 솔루션을 갖습니다. - 자유 멤버의 열인 -번째 열의 교체로 형성된 결정자.

이고 적어도 하나가 0이 아닌 경우 SLAE에는 해가 없습니다. 만약에 , SLAE에는 많은 솔루션이 있습니다.

3개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식 시스템이 제공됩니다. Cramer의 방법으로 시스템 풀기

해결책.

미지수에 대한 계수 행렬의 행렬식 찾기

, 이후 주어진 방정식 시스템은 일관되고 고유한 솔루션을 갖습니다. 행렬식을 계산해 보겠습니다.

Cramer의 공식을 사용하여 미지수를 찾습니다.

그래서 시스템에 대한 유일한 솔루션입니다.

4개의 선형 대수 방정식 시스템이 제공됩니다. Cramer의 방법으로 시스템을 풉니다.

미지수에 대한 계수 행렬의 행렬식을 찾자. 이를 위해 첫 번째 줄만큼 확장합니다.

행렬식의 구성 요소를 찾습니다.

찾은 값을 행렬식에 대입

따라서 행렬식 시스템은 일관되고 고유한 솔루션을 갖습니다. Cramer의 공식을 사용하여 행렬식을 계산합니다.

평가 기준:

다음과 같은 경우 작업은 "3"으로 평가됩니다. 시스템 중 하나가 독립적으로 완전하고 올바르게 해결되었습니다.

다음과 같은 경우 작업은 "4"로 평가됩니다. 두 시스템이 독립적으로 완전하고 올바르게 해결되었습니다.

다음과 같은 경우 작업은 "5"로 평가됩니다. 3개의 시스템이 독립적으로 완전하고 정확하게 해결됩니다.

Cramer의 방법은 선형 방정식의 시스템을 풀 때 행렬식의 사용을 기반으로 합니다. 이렇게 하면 솔루션 프로세스가 크게 빨라집니다.

Cramer의 방법은 각 방정식에 미지수가 있는 만큼의 선형 방정식 시스템을 푸는 데 사용할 수 있습니다. 시스템의 행렬식이 0이 아니면 해에 Cramer의 방법을 사용할 수 있고, 0과 같으면 사용할 수 없습니다. 또한 Cramer의 방법은 고유한 솔루션을 갖는 선형 방정식 시스템을 푸는 데 사용할 수 있습니다.

정의. 미지수의 계수로 구성된 행렬식은 시스템의 행렬식이라고 하며 (델타)로 표시됩니다.

결정인자

해당 미지수의 계수를 자유 항으로 대체하여 얻습니다.

;

크래머의 정리. 시스템의 행렬식이 0이 아닌 경우 선형 방정식 시스템은 하나의 단일 솔루션을 가지며 미지수는 행렬식의 비율과 같습니다. 분모는 시스템의 행렬식이며 분자는 계수를 미지수로 자유 항으로 대체하여 시스템의 행렬식에서 얻은 행렬식입니다. 이 정리는 모든 차수의 선형 방정식 시스템에 적용됩니다.

실시예 1선형 방정식 시스템을 풉니다.

에 따르면 크래머의 정리우리는 가지고 있습니다:

따라서 시스템 (2)의 솔루션은 다음과 같습니다.

온라인 계산기, Cramer의 솔루션 방법.

선형 연립방정식을 푸는 세 가지 경우

에서 나타나는 것처럼 크래머의 정리, 선형 연립방정식을 풀 때 다음 세 가지 경우가 발생할 수 있습니다.

첫 번째 경우: 선형 방정식 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다.

(시스템이 일관되고 명확함)

두 번째 경우: 선형 연립방정식의 해는 무한합니다.

(시스템이 일관되고 불확실함)

** ,

저것들. 미지수와 자유항의 계수는 비례합니다.

세 번째 경우: 선형 연립방정식에는 해가 없습니다.

(시스템 불일치)

그래서 시스템 중선형 방정식 N변수가 호출됩니다 호환되지 않는솔루션이 없는 경우 및 관절적어도 하나의 솔루션이 있는 경우. 해가 하나만 있는 연립방정식을 방정식이라고 합니다. 확실한, 및 하나 이상 불확실한.

Cramer 방법에 의한 선형 방정식 풀이 시스템의 예

시스템

Cramer의 정리를 기반으로

………….
,

어디
-

시스템 식별자. 나머지 결정자는 해당 변수(알 수 없음)의 계수로 열을 자유 멤버로 대체하여 얻습니다.

실시예 2

따라서 시스템은 확실합니다. 해를 찾기 위해 행렬식을 계산합니다.

Cramer의 공식에 의해 다음을 찾습니다.

따라서 (1; 0; -1) 시스템에 대한 유일한 솔루션입니다.

방정식 3 X 3 및 4 X 4 시스템의 솔루션을 확인하려면 온라인 계산기인 Cramer 풀이 방법을 사용할 수 있습니다.

하나 이상의 방정식에서 선형 방정식 시스템에 변수가 없으면 행렬식에서 변수에 해당하는 요소는 0과 같습니다! 다음 예입니다.

실시예 3 Cramer의 방법으로 선형 방정식 시스템을 풉니다.

해결책. 우리는 시스템의 행렬식을 찾습니다.

연립방정식과 시스템의 행렬식을 주의 깊게 살펴보고 행렬식의 하나 이상의 요소가 0인 경우에 대한 질문에 대한 답을 반복하십시오. 따라서 행렬식은 0과 같지 않으므로 시스템은 한정적입니다. 해를 찾기 위해 미지수에 대한 행렬식을 계산합니다.

Cramer의 공식에 의해 다음을 찾습니다.

따라서 시스템의 솔루션은 (2; -1; 1)입니다.

방정식 3 X 3 및 4 X 4 시스템의 솔루션을 확인하려면 온라인 계산기인 Cramer 풀이 방법을 사용할 수 있습니다.

페이지 상단

우리는 Cramer 방법을 함께 사용하여 시스템을 계속 해결합니다.

이미 언급했듯이 시스템의 행렬식이 0이고 미지수에 대한 행렬식이 0이 아닌 경우 시스템은 일관성이 없습니다. 즉, 솔루션이 없습니다. 다음 예를 들어 설명하겠습니다.

실시예 6 Cramer의 방법으로 선형 방정식 시스템을 풉니다.

해결책. 우리는 시스템의 행렬식을 찾습니다.

시스템의 행렬식은 0과 같으므로 선형 방정식 시스템은 일관성이 없고 명확하거나 일관성이 없습니다. 즉, 솔루션이 없습니다. 명확히 하기 위해 미지수에 대한 행렬식을 계산합니다.

미지수에 대한 행렬식은 0이 아니므로 시스템이 일관되지 않습니다. 즉, 솔루션이 없습니다.

방정식 3 X 3 및 4 X 4 시스템의 솔루션을 확인하려면 온라인 계산기인 Cramer 풀이 방법을 사용할 수 있습니다.

선형 방정식 시스템의 문제에는 변수를 나타내는 문자 외에 다른 문자도 있는 문제도 있습니다. 이 문자는 어떤 숫자를 나타내며 대부분은 실수입니다. 실제로 이러한 방정식 및 연립방정식은 모든 현상 및 대상의 일반적인 특성을 찾는 문제로 이어집니다. 즉, 새로운 재료나 장치를 발명했고 복사본의 크기나 수에 관계없이 공통적인 속성을 설명하려면 변수에 대한 일부 계수 대신 문자가 있는 선형 방정식 시스템을 풀어야 합니다. 예를 멀리 찾을 필요가 없습니다.

다음 예는 유사한 문제에 대한 것으로, 일부 실수를 나타내는 방정식, 변수 및 문자의 수만 증가합니다.

실시예 8 Cramer의 방법으로 선형 방정식 시스템을 풉니다.

해결책. 우리는 시스템의 행렬식을 찾습니다.

미지수에 대한 행렬식 찾기

RCHB 보호 군사 대학의 코스트로마 지점

"명령 및 통제 자동화" 부서

교사 전용

"나는 승인한다"

9과장

야코블레프 A.B.

"____" ______________ 2004

부교수 A.I. Smirnova

"결정자.

선형 연립방정식의 해"

강의 № 2 / 1

9부서 회의에서 논의

"____" ___________ 2004

프로토콜 번호 ___________

코스트로마, 2004.

소개

1. 두 번째 및 세 번째 순서의 결정 요인.

2. 결정자의 속성. 분해 정리.

3. Cramer의 정리.

결론

문학

1. V.E. Schneider et al., A Short Course in Higher Mathematics, Volume I, Ch. 2, 항목 1.

2. VS Shchipachev, 고등 수학, ch.10, p.2.

소개

강의는 2차와 3차의 결정인자와 그 속성을 다룬다. 뿐만 아니라 행렬식을 사용하여 선형 방정식의 시스템을 풀 수 있는 Cramer의 정리. 행렬식은 벡터의 외적을 계산할 때 "벡터 대수학" 항목의 뒷부분에서도 사용됩니다.

첫 번째 연구 문제 2차 및 3차 예선

주문하다

형식의 네 숫자 테이블을 고려하십시오.

표의 숫자는 두 개의 인덱스가 있는 문자로 표시됩니다. 첫 번째 인덱스는 행 번호를 나타내고 두 번째 인덱스는 열 번호를 나타냅니다.

정의 1.2차 행렬식 ~라고 불리는표현친절한:

(1)

번호 ㅏ 11, …, ㅏ 22는 행렬식의 요소라고 합니다.

요소에 의해 형성된 대각선 ㅏ 11 ; ㅏ 22는 주라고하며 요소에 의해 형성된 대각선 ㅏ 12 ; ㅏ 21 - 측면에서.

따라서 2차 행렬식은 주대각선과 보조대각선 요소의 곱의 차이와 같습니다.

답은 숫자입니다.

예.계산하다:

이제 3개의 행과 3개의 열로 작성된 9개의 숫자로 구성된 테이블을 고려하십시오.

정의 2. 3차 행렬식 형태의 표현이라고 한다:

집단 ㅏ 11; ㅏ 22 ; ㅏ 33 - 주 대각선을 형성합니다.

번호 ㅏ 13; ㅏ 22 ; ㅏ 31 - 측면 대각선을 형성하십시오.

더하기와 빼기가 있는 항이 어떻게 형성되는지 개략적으로 묘사해 보겠습니다.

" + " " – "

플러스는 다음을 포함합니다: 주 대각선에 있는 요소의 곱, 다른 두 항은 주 대각선에 평행한 밑면을 가진 삼각형의 꼭짓점에 위치한 요소의 곱입니다.

마이너스가 있는 항은 2차 대각선에 대해 동일한 방식으로 형성됩니다.

3차 행렬식을 계산하는 이 규칙을

오른쪽

예.삼각형 규칙으로 계산:

논평. 결정자를 결정자라고도 합니다.

두 번째 연구 문제 결정자의 속성.

확장 정리

속성 1. 행이 해당 열과 교환되는 경우 행렬식의 값은 변경되지 않습니다.

두 결정 요인을 모두 확장하여 평등의 유효성을 확신합니다.

속성 1은 행렬식의 행과 열의 동등성을 설정합니다. 따라서 행렬식의 모든 추가 속성은 행과 열 모두에 대해 공식화됩니다.

속성 2. 두 행(또는 열)이 교환되면 행렬식은 부호를 반대로 변경하여 절대값을 유지합니다..

재산 3. 행 요소의 공통 승수(또는 열)행렬식의 부호에서 빼낼 수 있습니다.

재산 4. 행렬식에 두 개의 동일한 행(또는 열)이 있으면 0과 같습니다.

이 속성은 직접 검증을 통해 증명하거나 속성 2를 사용할 수 있습니다.

행렬식을 D로 표시합니다. 두 개의 동일한 첫 번째 행과 두 번째 행이 교환될 때 변경되지 않으며 두 번째 속성에 의해 부호가 변경되어야 합니다.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

재산 5. 일부 문자열의 모든 요소가(또는 열)0이면 행렬식은 0입니다.

이 속성은 속성 3의 특별한 경우로 간주될 수 있습니다.

재산 6. 두 행의 요소인 경우(또는 열)행렬식이 비례하면 행렬식이 0입니다.

직접 검증 또는 속성 3과 4를 사용하여 증명할 수 있습니다.

재산 7. 행(또는 열)의 요소가 다른 행(또는 열)의 해당 요소에 추가되고 동일한 수를 곱해도 행렬식의 값은 변경되지 않습니다.

직접 검증으로 증명합니다.

이러한 속성을 사용하면 특히 3차의 행렬식을 계산하는 프로세스를 용이하게 할 수 있습니다.

다음을 위해 우리는 소수 및 대수 보수의 개념이 필요합니다. 이러한 개념을 고려하여 3차를 정의하십시오.

정의 3. 미성년자 3차 행렬식의 주어진 요소의 2차 행렬식은 주어진 요소가 서 있는 교집합에서 행과 열을 삭제하여 주어진 것에서 얻은 2차 행렬식이라고 합니다.

요소 마이너 ㅏ나제이표시된 중나제이. 그래서 요소에 대해 ㅏ 11 마이너

3차 행렬식의 첫 번째 행과 첫 번째 열을 삭제하여 얻습니다.

정의 4. 행렬식 요소의 대수적 보수 그것을 마이너 곱한 것이라고 부르십시오.(-1)케이, 어디케이- 주어진 요소가 위치한 교차점의 행 및 열 번호의 합.

대수 요소 추가 ㅏ나제이표시된 하지만나제이.

이런 식으로, 하지만나제이 =

요소에 대한 대수적 보수를 작성합시다. ㅏ 11 및 ㅏ 12.

. .

규칙을 기억하는 것이 유용합니다. 행렬식 요소의 대수적 보수는 부호 있는 소수와 같습니다. 플러스, 요소가 위치한 행 번호와 열 번호의 합인 경우 심지어,그리고 기호로 마이너스이 금액이면 이상한.

예시.행렬식의 첫 번째 행 요소에 대한 소수 및 대수 보수를 찾습니다.

미성년자와 대수 보수는 부호에서만 다를 수 있음이 분명합니다.

증거 없이 중요한 정리를 고려해 보겠습니다. 행렬식 확장 정리.

확장 정리

행렬식은 행이나 열의 요소와 대수적 보수의 곱의 합과 같습니다.

이 정리를 사용하여 첫 번째 행에 3차 행렬식의 확장을 씁니다.

퍼지는:

마지막 공식은 3차 행렬식을 계산할 때 주요 공식으로 사용할 수 있습니다.

분해 정리를 통해 3차 행렬식의 계산을 3개의 2차 행렬식 계산으로 줄일 수 있습니다.

분해 정리는 3차 행렬식을 계산하는 두 번째 방법을 제공합니다.

예.분해 정리를 사용하여 행렬식을 계산합니다.

선형 대수 방정식(SLAE)의 풀이 시스템은 의심할 여지 없이 선형 대수 과정의 가장 중요한 주제입니다. 모든 수학 분야의 엄청난 수의 문제가 선형 방정식 시스템을 푸는 것으로 축소됩니다. 이러한 요소는 이 기사를 작성하는 이유를 설명합니다. 기사의 자료는 도움을 받아 다음을 수행할 수 있도록 선택되고 구성됩니다.

선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 최적의 방법을 선택하고,
선택한 방법의 이론을 연구하고,
일반적인 예와 문제의 솔루션을 자세히 고려하여 선형 방정식 시스템을 풉니다.

기사의 자료에 대한 간략한 설명.

먼저 필요한 모든 정의, 개념을 제공하고 일부 표기법을 소개합니다.

다음으로, 방정식의 수가 미지의 변수의 수와 같고 고유한 해를 갖는 선형 대수 방정식의 시스템을 푸는 방법을 고려합니다. 먼저 Cramer 방법에 초점을 맞추고, 두 번째로 이러한 연립방정식을 풀기 위한 행렬 방법을 보여주고, 세 번째로 Gauss 방법(미지의 변수를 연속적으로 제거하는 방법)을 분석합니다. 이론을 통합하기 위해 여러 SLAE를 다양한 방식으로 확실히 해결할 것입니다.

그 후, 우리는 방정식의 수가 알려지지 않은 변수의 수와 일치하지 않거나 시스템의 주 행렬이 퇴화하는 일반 형태의 선형 대수 방정식의 해결 시스템으로 전환합니다. 우리는 SLAE의 호환성을 설정할 수 있는 Kronecker-Capelli 정리를 공식화합니다. 매트릭스의 기본 마이너 개념을 사용하여 시스템의 솔루션(호환성의 경우)을 분석해 보겠습니다. 우리는 또한 가우스 방법을 고려하고 예제의 솔루션을 자세히 설명합니다.

선형 대수 방정식의 균질 및 비균질 시스템의 일반 솔루션 구조에 대해 숙고하십시오. 기본 솔루션 시스템의 개념을 제공하고 기본 솔루션 시스템의 벡터를 사용하여 SLAE의 일반 솔루션을 작성하는 방법을 보여 드리겠습니다. 더 나은 이해를 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

결론적으로 우리는 SLAE가 발생하는 솔루션에서 선형 시스템으로 축소되는 방정식 시스템과 다양한 문제를 고려합니다.

페이지 탐색.

정의, 개념, 명칭.

다음 형식의 n개의 알려지지 않은 변수(p는 n과 같을 수 있음)를 갖는 p 선형 대수 방정식의 시스템을 고려할 것입니다.

알 수 없는 변수, - 계수(일부 실수 또는 복소수), - 자유 구성원(실수 또는 복소수도 포함).

이 형태의 SLAE를 동등 어구.

에 매트릭스 형태이 연립방정식의 형식은 ,
어디 - 시스템의 주 행렬 - 미지 변수의 행렬 열 - 자유 멤버의 행렬 열.

행렬 A에 (n + 1)번째 열을 자유 항의 행렬 열로 추가하면 소위 확장 매트릭스선형 방정식 시스템. 일반적으로 증가 행렬은 문자 T로 표시되며 자유 구성원의 열은 나머지 열과 수직선으로 구분됩니다. 즉,

선형 대수 방정식 시스템을 풀면시스템의 모든 방정식을 항등식으로 바꾸는 알 수 없는 변수의 값 집합이라고 합니다. 미지 변수의 주어진 값에 대한 행렬 방정식도 항등식으로 바뀝니다.

연립방정식의 해가 하나 이상 있으면 이를 관절.

연립방정식에 해가 없으면 다음과 같이 불립니다. 호환되지 않는.

SLAE에 고유한 솔루션이 있는 경우 이를 확실한; 솔루션이 둘 이상인 경우 - 불확실한.

시스템의 모든 방정식의 자유 항이 0인 경우 , 다음 시스템이 호출됩니다 동종의, 그렇지 않으면 - 이질적인.

선형 대수 방정식의 기본 시스템의 솔루션입니다.

시스템 방정식의 수가 알려지지 않은 변수의 수와 같고 주 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우 이러한 SLAE를 호출합니다 초등학교. 이러한 연립방정식은 고유한 해를 가지며, 동질계의 경우 모든 미지의 변수는 0과 같습니다.

우리는 고등학교에서 그러한 SLAE를 공부하기 시작했습니다. 풀 때 하나의 방정식을 취하고 하나의 미지의 변수를 다른 방정식으로 표현하고 나머지 방정식에 대입하고 다음 방정식을 취하고 다음 미지의 변수를 표현하고 다른 방정식에 대입하는 식입니다. 또는 그들은 덧셈 방법을 사용했습니다. 즉, 두 개 이상의 방정식을 추가하여 일부 알려지지 않은 변수를 제거했습니다. 이러한 방법은 본질적으로 가우스 방법의 수정이기 때문에 자세히 설명하지 않습니다.

선형 방정식의 기본 시스템을 푸는 주요 방법은 Cramer 방법, 행렬 방법 및 Gauss 방법입니다. 그것들을 정리합시다.

Cramer의 방법에 의한 선형 방정식의 시스템 풀기.

선형 대수 방정식 시스템을 풀어야 합니다.

방정식의 수는 미지의 변수의 수와 같고 시스템의 주행렬의 행렬식이 0과 다른 경우, 즉 .

시스템의 주 행렬의 행렬식이라고 하고, 다음을 대체하여 A에서 얻은 행렬의 행렬식입니다. 1번째, 2번째, …, n번째열을 자유 회원 열에 각각:

이러한 표기법으로 미지수 변수는 Cramer 방법의 공식에 의해 다음과 같이 계산됩니다. . 이것이 Cramer 방법으로 선형 대수 방정식 시스템의 솔루션을 찾는 방법입니다.

예시.

크래머 방식 .

해결책.

시스템의 주요 매트릭스는 다음과 같은 형식을 갖습니다. . 행렬식을 계산합니다(필요한 경우 기사 참조).

시스템의 주행렬의 행렬식이 0이 아니므로 시스템에는 Cramer의 방법으로 찾을 수 있는 고유한 솔루션이 있습니다.

필요한 결정 요인을 구성하고 계산합니다. (행렬 A의 첫 번째 열을 자유 구성원 열로 대체하여 행렬식을 얻습니다. 행렬식 - 두 번째 열을 자유 구성원 열로 대체 - 행렬 A의 세 번째 열을 자유 구성원 열로 대체 ):

공식을 사용하여 미지의 변수 찾기 :

대답:

Cramer의 방법의 주요 단점(단점이라고 할 수 있다면)은 시스템 방정식의 수가 3개 이상일 때 행렬식을 계산하는 복잡성입니다.

행렬 방법(역행렬 사용)에 의한 선형 대수 방정식의 시스템 풀기.

선형 대수 방정식 시스템이 행렬 형식으로 주어졌다고 하자. 여기서 행렬 A는 차원이 n x n이고 행렬식의 행렬식이 0이 아닙니다.

이므로 행렬 A는 역행렬입니다. 즉, 역행렬이 있습니다. 등식의 두 부분을 왼쪽에 곱하면 알 수 없는 변수의 열 행렬을 찾는 공식을 얻습니다. 그래서 우리는 행렬 방법에 의해 선형 대수 방정식 시스템의 솔루션을 얻었습니다.

예시.

선형 연립방정식 풀기 매트릭스 방식.

해결책.

연립방정식을 행렬 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

왜냐하면

그러면 SLAE는 행렬 방법으로 풀 수 있습니다. 역행렬을 사용하여 이 시스템에 대한 솔루션은 다음과 같이 찾을 수 있습니다. .

행렬 A의 요소에 대한 대수 보수 행렬을 사용하여 역행렬을 만들어 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조).

계산해야 합니다 - 역행렬을 곱하여 알 수 없는 변수의 행렬 무료 회원의 행렬 열에서(필요한 경우 기사 참조):

대답:

또는 다른 표기법으로 x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1입니다.

행렬 방법으로 선형 대수 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾는 주요 문제는 역행렬, 특히 3차보다 높은 차수의 정방 행렬에 대해 역행렬을 찾는 복잡성입니다.

가우스 방법으로 선형 방정식 풀기.

n개의 미지의 변수가 있는 n개의 선형 방정식 시스템에 대한 해를 찾아야 한다고 가정합니다.
0과 다른 주 행렬의 행렬식.

가우스 방법의 본질알 수 없는 변수의 연속적인 제외로 구성됩니다. 첫째, x 1은 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 제외되고 x 2는 세 번째부터 모든 방정식에서 제외됩니다. x n은 마지막 방정식에 남아 있습니다. 미지의 변수를 연속적으로 제거하기 위해 시스템의 방정식을 변환하는 이러한 과정을 직접 가우스 방법. 가우스법의 정방향 실행 완료 후 마지막 방정식에서 x n 을 구하고 이 값을 사용하여 끝에서 두 번째 방정식에서 x n-1 을 계산하는 식으로 첫 번째 방정식에서 x 1 을 구합니다. 시스템의 마지막 방정식에서 첫 번째 방정식으로 이동할 때 미지의 변수를 계산하는 과정을 역 가우스 방법.

알려지지 않은 변수를 제거하는 알고리즘을 간략하게 설명하겠습니다.

우리는 시스템의 방정식을 재정렬함으로써 항상 이것을 달성할 수 있기 때문에 , 라고 가정할 것입니다. 두 번째 것부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 미지의 변수 x 1을 제외합니다. 이렇게 하려면 시스템의 두 번째 방정식에 곱한 첫 번째 방정식을 추가하고 세 번째 방정식에 첫 번째 곱한 값을 더하는 식으로 n번째 방정식에 곱한 첫 번째 방정식을 더합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디, .

시스템의 첫 번째 방정식에서 x 1을 다른 미지의 변수로 표현하고 그 결과를 다른 모든 방정식에 대입하면 동일한 결과가 됩니다. 따라서 변수 x 1은 두 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로 우리는 유사하게 행동하지만 그림에 표시된 결과 시스템의 일부만 사용합니다.

이렇게 하려면 시스템의 세 번째 방정식에 두 번째 곱한 값을 더하고 네 번째 방정식에 두 번째 곱한 값을 더하는 식으로 n번째 방정식에 두 번째 곱한 값을 더합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디, . 따라서 변수 x 2는 세 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로 그림에 표시된 시스템 부분과 유사하게 동작하면서 미지수 x 3의 제거를 진행합니다.

따라서 시스템이 다음 형식을 취할 때까지 가우스 방법의 직접적인 과정을 계속합니다.

이 순간부터 가우스 방법의 역 과정을 시작합니다. 마지막 방정식에서 x n을 다음과 같이 계산합니다. 얻은 값 x n을 사용하여 두 번째 방정식에서 x n-1을 찾는 식으로 첫 번째 방정식에서 x 1을 찾습니다. 방정식.

예시.

선형 연립방정식 풀기 가우스 방법.

해결책.

시스템의 두 번째 및 세 번째 방정식에서 미지의 변수 x 1을 제외합시다. 이를 위해 두 번째 및 세 번째 방정식의 두 부분 모두에 첫 번째 방정식의 해당 부분을 추가하고 각각을 곱합니다.

이제 두 번째 방정식의 왼쪽과 오른쪽 부분을 왼쪽과 오른쪽 부분에 더하고 다음을 곱하여 세 번째 방정식에서 x 2를 제외합니다.

이것으로 Gauss 방법의 정방향 과정이 완료되고 역방향 과정을 시작합니다.

결과 방정식 시스템의 마지막 방정식에서 x 3을 찾습니다.

두 번째 방정식에서 우리는 .

첫 번째 방정식에서 나머지 알려지지 않은 변수를 찾고 이것은 가우스 방법의 역 과정을 완료합니다.

대답:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

일반 형태의 선형 대수 방정식 풀이 시스템.

일반적인 경우 시스템 p의 방정식 수는 미지 변수 n의 수와 일치하지 않습니다.

이러한 SLAE에는 솔루션이 없거나, 단일 솔루션이 있거나, 무한히 많은 솔루션이 있을 수 있습니다. 이 진술은 주 행렬이 정사각형이고 축퇴된 방정식 시스템에도 적용됩니다.

크로네커-카펠리 정리.

선형 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾기 전에 호환성을 설정해야 합니다. SLAE가 호환될 때와 호환되지 않을 때 질문에 대한 대답은 다음을 제공합니다. 크로네커-카펠리 정리:
n개의 미지수(p는 n과 같을 수 있음)가 있는 p 방정식 시스템이 일관성을 유지하려면 시스템의 주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위, 즉 Rank( A)=순위(T) .

예를 들어 선형 방정식 시스템의 호환성을 결정하기 위한 Kronecker-Cappelli 정리의 적용을 고려해 보겠습니다.

예시.

선형 방정식 시스템이 다음을 가지고 있는지 알아보십시오. 솔루션.

해결책.

. 미성년자를 경계하는 방법을 사용합시다. 2차 주문의 마이너 제로와 다릅니다. 그것을 둘러싼 3 차 미성년자를 살펴 보겠습니다.

경계에 있는 모든 3차 미성년자는 0과 같으므로 주 행렬의 순위는 2입니다.

차례로, 증강 행렬의 순위 세 번째 주문의 마이너 이후로 3과 같습니다.

제로와 다릅니다.

이런 식으로, 따라서 Rang(A) , Kronecker-Capelli 정리에 따르면 원래 선형 방정식 시스템이 일관성이 없다는 결론을 내릴 수 있습니다.

대답:

솔루션 시스템이 없습니다.

그래서 우리는 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 시스템의 불일치를 설정하는 방법을 배웠습니다.

그러나 호환성이 확립된 경우 SLAE의 솔루션을 찾는 방법은 무엇입니까?

이를 위해서는 행렬의 기초 마이너 개념과 행렬의 순위에 대한 정리가 필요합니다.

0이 아닌 행렬 A의 가장 높은 차수 마이너를 호출합니다. 기초적인.

그 차수가 행렬의 순위와 같다는 것은 기초 마이너의 정의에서 따릅니다. 0이 아닌 행렬 A의 경우 기본 마이너가 여러 개 있을 수 있으며 항상 하나의 기본 마이너가 있습니다.

예를 들어 행렬을 고려하십시오. .

이 행렬의 세 번째 행의 요소가 첫 번째 행과 두 번째 행의 해당 요소의 합이기 때문에 이 행렬의 모든 3차 소수는 0입니다.

다음 2차 단조는 0이 아니므로 기본입니다.

미성년자 0과 같기 때문에 기본이 아닙니다.

행렬 순위 정리.

p x n 차수의 행렬의 순위가 r인 경우 선택한 보조 기저를 형성하지 않는 행렬의 모든 행(및 열) 요소는 행(및 열)의 해당 요소에 대해 선형으로 표현됩니다. ) 기본 마이너를 형성합니다.

행렬 순위 정리는 우리에게 무엇을 제공합니까?

Kronecker-Capelli 정리에 의해 시스템의 호환성을 설정한 경우 시스템의 주 행렬의 기본 소수를 선택하고(순서는 r과 같음) 시스템에서 다음과 같은 모든 방정식을 제외합니다. 선택한 기본 부전공을 형성합니다. 이 방법으로 얻은 SLAE는 폐기된 방정식이 여전히 중복되기 때문에 원래의 SLAE와 동일합니다(행렬 순위 정리에 따르면 나머지 방정식의 선형 조합임).

결과적으로 시스템의 과도한 방정식을 버리고 두 가지 경우가 가능합니다.

결과 시스템에서 방정식 r의 수가 미지수 변수의 수와 같으면 그것은 명확할 것이고 유일한 해는 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 가우스 방법으로 찾을 수 있습니다.

예시.

해결책.

시스템의 메인 매트릭스 순위 두 번째 순서의 마이너 때문에 2와 같습니다. 제로와 다릅니다. 확장 매트릭스 순위 세 번째 차수의 유일한 소수가 0과 같기 때문에 2와도 같습니다.

그리고 위에서 고려한 2차 단조는 0과 다릅니다. Kronecker-Capelli 정리에 따라 Rank(A)=Rank(T)=2이므로 원래 선형 방정식 시스템의 호환성을 주장할 수 있습니다.

기초 미성년자로서 우리는 . 첫 번째 및 두 번째 방정식의 계수로 구성됩니다.

시스템의 세 번째 방정식은 기본 마이너의 형성에 참여하지 않으므로 행렬 순위 정리에 따라 시스템에서 제외합니다.

따라서 우리는 선형 대수 방정식의 기본 시스템을 얻었습니다. Cramer의 방법으로 해결해 보겠습니다.

대답:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

결과 SLAE에서 방정식 r의 수가 미지수 변수 n의 수보다 작으면 방정식의 왼쪽 부분에 기본 마이너를 형성하는 항을 남겨두고 나머지 항을 방정식의 오른쪽 부분으로 옮깁니다. 반대 기호가있는 시스템의.

방정식의 좌변에 남아 있는 알려지지 않은 변수(그 중 r개 있음)를 기본.

오른쪽에 있는 알 수 없는 변수(그 중 n - r개 있음)를 호출합니다. 무료.

이제 우리는 자유 미지 변수가 임의의 값을 가질 수 있다고 가정하는 반면 r개의 주요 미지수 변수는 고유한 방식으로 자유 미지수 변수로 표현될 것입니다. Cramer 방법, Matrix 방법 또는 Gauss 방법으로 결과 SLAE를 풀어서 해당 표현을 찾을 수 있습니다.

예를 들어 보겠습니다.

예시.

선형 대수 방정식 풀기 .

해결책.

시스템의 주요 행렬의 순위 찾기 접경 미성년자 방법으로. 1 1 = 1을 0이 아닌 1차 미성년자로 간주합시다. 이 마이너를 둘러싸고 있는 0이 아닌 2차 마이너 검색을 시작하겠습니다.

그래서 우리는 2차의 0이 아닌 단조를 찾았습니다. 세 번째 순서의 0이 아닌 접경 마이너 검색을 시작하겠습니다.

따라서 주 행렬의 순위는 3입니다. 증강 행렬의 순위도 3과 같습니다. 즉, 시스템이 일관적입니다.

세 번째 순서의 0이 아닌 미성년자가 발견되면 기본 것으로 간주됩니다.

명확성을 위해 기초 마이너를 구성하는 요소를 보여줍니다.

우리는 시스템 방정식의 왼쪽에 기본 마이너에 참여하는 용어를 남겨두고 반대 기호가있는 나머지를 오른쪽으로 옮깁니다.

우리는 무료 미지 변수 x 2 및 x 5 임의의 값을 제공합니다. , 여기서 임의의 숫자입니다. 이 경우 SLAE는 다음 형식을 취합니다.

우리는 Cramer 방법으로 얻은 선형 대수 방정식의 기본 시스템을 풉니다.

결과적으로 .

대답에서 무료 미지수 변수를 표시하는 것을 잊지 마십시오.

대답:

임의의 숫자는 어디에 있습니까?

요약하다.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위해 먼저 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 호환성을 찾습니다. 주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같지 않으면 시스템이 일관성이 없다고 결론을 내립니다.

주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같으면 기본 소수를 선택하고 선택한 기본 소수의 형성에 참여하지 않는 시스템의 방정식을 버립니다.

기본 마이너의 순서가 알려지지 않은 변수의 수와 같으면 SLAE는 우리에게 알려진 모든 방법으로 찾을 수 있는 고유한 솔루션을 갖습니다.

기초 마이너의 순서가 알려지지 않은 변수의 수보다 작으면 시스템 방정식의 왼쪽에 주요 알려지지 않은 변수가 있는 항을 남겨두고 나머지 항을 오른쪽으로 옮기고 임의의 값을 할당합니다 무료 미지수 변수에. 선형 방정식의 결과 시스템에서 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법으로 주요 미지 변수를 찾습니다.

일반 형태의 선형 대수 방정식의 시스템을 풀기 위한 가우스 방법.

가우스 방법을 사용하면 호환성에 대한 사전 조사 없이 모든 종류의 선형 대수 방정식 시스템을 풀 수 있습니다. 미지의 변수를 연속적으로 제거하는 과정을 통해 SLAE의 호환성과 비일관성에 대한 결론을 도출할 수 있으며, 솔루션이 존재하면 찾을 수 있습니다.

계산 작업의 관점에서 가우스 방법이 바람직합니다.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 방법 문서에서 자세한 설명과 분석된 예를 참조하십시오.

기본 솔루션 시스템의 벡터를 사용하여 동차 및 비균일 선형 대수 시스템의 일반 솔루션을 기록합니다.

이 섹션에서는 무한한 수의 솔루션을 갖는 선형 대수 방정식의 공동 동차 및 비균일 시스템에 초점을 맞출 것입니다.

먼저 동종 시스템을 다루겠습니다.

기본 의사결정 시스템 n개의 알려지지 않은 변수가 있는 p 선형 대수 방정식의 동종 시스템은 이 시스템의 선형 독립 솔루션 세트(n – r)이며, 여기서 r은 시스템의 주 행렬의 기본 소수 차수입니다.

동종 SLAE의 선형 독립 솔루션을 X (1) , X (2) , … , X (n-r) (X (1) , X (2) , … 에 의해 1 ) 이 균질 시스템의 일반 솔루션은 임의의 상수 계수 С 1 , С 2 , … , С (n-r), 즉 .

선형 대수 방정식의 균질 시스템의 일반 솔루션(oroslau)이라는 용어는 무엇을 의미합니까?

의미는 간단합니다. 공식은 원래 SLAE에 대한 가능한 모든 솔루션을 지정합니다. 즉, 공식에 따라 임의의 상수 C 1 , C 2 , ..., C (n-r) 값 세트를 취합니다. 원래 균질한 SLAE의 솔루션 중 하나를 얻게 됩니다.

따라서 기본 솔루션 시스템을 찾으면 이 동종 SLAE의 모든 솔루션을 로 설정할 수 있습니다.

균질한 SLAE에 대한 솔루션의 기본 시스템을 구성하는 과정을 보여 드리겠습니다.

우리는 원래 선형 방정식 시스템의 기본 마이너를 선택하고 시스템에서 다른 모든 방정식을 제외하고 반대 부호를 가진 시스템 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다. 자유 미지수 변수에 값 1,0,0,…,0을 부여하고 Cramer 방법과 같이 어떤 식으로든 결과 기본 선형 방정식 시스템을 풀어서 주요 미지수를 계산해 보겠습니다. 따라서 기본 시스템의 첫 번째 솔루션인 X(1)을 얻을 수 있습니다. 자유 미지수에 0,1,0,0,…,0 값을 주고 주요 미지수를 계산하면 X (2) 를 얻습니다. 등등. 자유 미지수 변수에 값 0,0,…,0,1을 부여하고 주요 미지수를 계산하면 X (n-r) 을 얻습니다. 이것이 동종 SLAE의 솔루션의 기본 시스템이 구성되는 방식이며 일반 솔루션은 형식으로 작성될 수 있습니다.

선형 대수 방정식의 비균일 시스템의 경우 일반 솔루션은 다음과 같이 표현됩니다.

예를 살펴보겠습니다.

예시.

선형 대수 방정식의 균질 시스템의 기본 솔루션 및 일반 솔루션 찾기 .

해결책.

선형 방정식의 동종 시스템의 주 행렬의 순위는 항상 확장된 행렬의 순위와 같습니다. 프린지 마이너 방식으로 메인 매트릭스의 순위를 구해보자. 1차의 0이 아닌 소수로서, 시스템의 주 행렬의 요소 a 1 1 = 9를 취합니다. 두 번째 차수의 0이 아닌 접경을 찾으십시오.

0이 아닌 2차 단조가 발견되었습니다. 0이 아닌 것을 찾기 위해 경계를 이루는 3차 미성년자를 살펴보겠습니다.

세 번째 순서의 모든 경계 미성년자는 0과 같으므로 기본 및 확장 행렬의 순위는 2입니다. 기본 부전공을 살펴보겠습니다. 명확성을 위해 시스템을 구성하는 요소에 주목합니다.

원래 SLAE의 세 번째 방정식은 기본 미성년자의 형성에 참여하지 않으므로 제외될 수 있습니다.

주요 미지수를 포함하는 항을 방정식의 우변에 남겨두고 자유 미지수가 있는 항을 우변으로 옮깁니다.

선형 방정식의 원래 동차 시스템에 대한 기본 솔루션 시스템을 구성해 보겠습니다. 이 SLAE의 해의 기본 시스템은 두 개의 해로 구성되는데, 원래의 SLAE는 4개의 미지수 변수를 포함하고 기본 단조의 차수는 2이기 때문입니다. X (1)을 찾으려면 무료 미지수 변수에 x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 값을 부여한 다음 연립방정식에서 주요 미지수를 찾습니다.
.

Cramer의 방법으로 해결해 보겠습니다.

이런 식으로, .

이제 X(2) 를 빌드해 보겠습니다. 이를 위해 우리는 무료 미지수 변수에 x 2 \u003d 0, x 4 \u003d 1 값을 부여한 다음 선형 방정식 시스템에서 주요 미지수를 찾습니다.
.

Cramer의 방법을 다시 사용해 보겠습니다.

우리는 .

그래서 우리는 해의 기본 시스템의 두 벡터를 얻었고 이제 선형 대수 방정식의 동종 시스템의 일반 솔루션을 쓸 수 있습니다.

, 여기서 C 1 및 C 2는 임의의 숫자입니다., 0과 같습니다. 또한 마이너를 기본으로 취하고 시스템에서 세 번째 방정식을 제외하고 자유 미지수가 있는 항을 시스템 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다.

찾으려면 무료 알 수없는 변수에 x 2 \u003d 0 및 x 4 \u003d 0 값을 부여하면 방정식 시스템은 다음 형식을 취합니다. , Cramer 방법을 사용하여 주요 알려지지 않은 변수를 찾습니다.

우리는 , 결과적으로,

여기서 C 1 및 C 2는 임의의 숫자입니다.

선형 대수 방정식의 부정 동차 시스템의 솔루션은 다음을 생성한다는 점에 유의해야 합니다. 선형 공간

해결책.

직사각형 데카르트 좌표계에서 타원체의 정준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. . 우리의 임무는 매개변수 , b 및 c 를 결정하는 것입니다. 타원체는 점 A, B, C를 통과하므로 타원체의 정준 방정식에 좌표를 대입하면 항등점이 됩니다. 따라서 우리는 3개의 방정식 시스템을 얻습니다.