Trigonometrijske jednadžbe s kosinusom. Složenije trigonometrijske jednadžbe

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u online trgovini "Integral" za razred 10 od 1C
Rješavamo zadatke iz geometrije. Interaktivni zadaci za građenje u prostoru
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Što ćemo proučavati:
1. Što su trigonometrijske jednadžbe?

3. Dvije glavne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Što su trigonometrijske jednadžbe?

Dečki, već smo proučavali arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.

Trigonometrijske jednadžbe - jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod predznakom trigonometrijske funkcije.

Ponavljamo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1) Ako je |a|≤ 1, onda jednadžba cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, onda jednadžba sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako je |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednadžba tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednadžba ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule, k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T- bilo koja trigonometrijska funkcija.

Riješite jednadžbe: a) sin(3x)= √3/2

Riješenje:

A) Označimo 3x=t, pa ćemo prepisati našu jednadžbu u obliku:

Rješenje ove jednadžbe bit će: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Iz tablice vrijednosti dobivamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se našoj varijabli: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n - minus jedan na potenciju n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Riješenje:

A) Ovaj put ćemo odmah prijeći izravno na izračun korijena jednadžbe:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednadžbe: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Riješenje:

Riješimo našu jednadžbu u općem obliku: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Za k Za k=0, x= π/16, nalazimo se u zadanom segmentu .
Uz k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, ponovno su pogodili.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da nećemo pogoditi ni za veliko k.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Riješimo jednadžbu:

Riješenje:
Za rješavanje naše jednadžbe koristimo se metodom uvođenja nove varijable, označene s: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene dobivamo: t 2 + 2t -1 = 0

Nađite korijene kvadratne jednadžbe: t=-1 i t=1/3

Tada je tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobili smo najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu, hajmo pronaći njene korijene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Riješenje:

Upotrijebimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednadžba postaje: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Uvedimo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može poprimiti vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijena.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Jednadžbe oblika

homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja.

Da bismo riješili homogenu trigonometrijsku jednadžbu prvog stupnja, podijelimo je s cos(x): Nemoguće je dijeliti kosinusom ako je jednak nuli, uvjerimo se da to nije tako:
Neka cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobili smo kontradikciju, tako da možemo sigurno dijeliti nulom.

Riješite jednadžbu:
Primjer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Riješenje:

Izbacite zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednadžbe:

cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 za x= π/2 + πk;

Razmotrimo jednadžbu cos(x)+sin(x)=0 Podijelimo našu jednadžbu s cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja?
Ljudi, uvijek se držite ovih pravila!

1. Pogledajte čemu je jednak koeficijent a, ako je a \u003d 0 tada će naša jednadžba poprimiti oblik cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), čiji je primjer rješenja na prethodnoj tobogan

2. Ako je a≠0, tada trebate podijeliti oba dijela jednadžbe s kvadratom kosinusa, dobivamo:

Promjenom varijable t=tg(x) dobivamo jednadžbu:

Riješite primjer #:3

Podijelite obje strane jednadžbe s kosinusom na kvadrat:

Vršimo promjenu varijable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nađite korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Zatim: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješite primjer #:4

Riješenje:
Preobrazimo naš izraz:

Možemo riješiti takve jednadžbe: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješite primjer #:5

Riješenje:
Preobrazimo naš izraz:

Uvodimo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobivamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Zadaci za samostalno rješavanje.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednadžbe: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednadžbu: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Riješite jednadžbu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednadžbu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednadžbu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Pojam rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

• Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, pretvorite je u jednu ili više osnovnih trigonometrijskih jednadžbi. Rješavanje trigonometrijske jednadžbe u konačnici se svodi na rješavanje četiri osnovne trigonometrijske jednadžbe.

Zahtijeva poznavanje osnovnih formula trigonometrije – zbroj kvadrata sinusa i kosinusa, izražavanje tangente kroz sinus i kosinus i dr. Za one koji su ih zaboravili ili ne znaju, preporučujemo čitanje članka "".
Dakle, znamo osnovne trigonometrijske formule, vrijeme je da ih primijenimo u praksi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s pravim pristupom, to je prilično uzbudljiva aktivnost, poput, na primjer, rješavanja Rubikove kocke.

Već iz samog naziva jasno je da je trigonometrijska jednadžba jednadžba u kojoj je nepoznanica pod predznakom trigonometrijske funkcije.
Postoje takozvane jednostavne trigonometrijske jednadžbe. Evo kako izgledaju: sinh = a, cos x = a, tg x = a. Smatrati, kako riješiti takve trigonometrijske jednadžbe, radi jasnoće, koristit ćemo već poznati trigonometrijski krug.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

krevetić x = a

Svaka trigonometrijska jednadžba rješava se u dvije faze: jednadžbu dovedemo do najjednostavnijeg oblika i zatim je riješimo kao najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu.
Postoji 7 glavnih metoda kojima se rješavaju trigonometrijske jednadžbe.

1. Supstitucija varijable i metoda supstitucije

Riješite jednadžbu 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Koristeći formule redukcije dobivamo:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Zamijenimo cos(x + /6) s y radi jednostavnosti i dobijemo uobičajenu kvadratnu jednadžbu:

2g 2 – 3g + 1 + 0

Korijeni kojih je y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sada idemo unatrag

Zamjenjujemo pronađene vrijednosti y i dobivamo dva odgovora:

2. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi faktorizacijom

Kako riješiti jednadžbu sin x + cos x = 1?

Pomaknimo sve ulijevo tako da 0 ostane na desnoj strani:

sin x + cos x - 1 = 0

Koristimo gornje identitete da pojednostavimo jednadžbu:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Napravimo faktorizaciju:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dobivamo dvije jednadžbe

3. Svođenje na homogenu jednadžbu

Jednadžba je homogena u odnosu na sinus i kosinus ako su svi njezini članovi u odnosu na sinus i kosinus istog stupnja i istog kuta. Za rješavanje homogene jednadžbe postupite na sljedeći način:

a) prebaci sve svoje članove na lijevu stranu;

b) staviti sve zajedničke faktore iz zagrada;

c) sve faktore i zagrade izjednačiti s 0;

d) u zagradama se dobiva homogena jednadžba nižeg stupnja, koja se pak dijeli sinusom ili kosinusom višeg stupnja;

e) riješite dobivenu jednadžbu za tg.

Riješite jednadžbu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Upotrijebimo formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 i riješimo se otvorena dva s desne strane:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Podijeli s cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Zamijenimo tg x sa y i dobili smo kvadratnu jednadžbu:

y 2 + 4y +3 = 0 čiji su korijeni y 1 =1, y 2 = 3

Odavde nalazimo dva rješenja izvorne jednadžbe:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Rješavanje jednadžbi, kroz prijelaz na polukut

Riješite jednadžbu 3sin x - 5cos x = 7

Prijeđimo na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Pomicanje svega ulijevo:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Podijeli s cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Uvođenje pomoćnog kuta

Za razmatranje, uzmimo jednadžbu oblika: a sin x + b cos x \u003d c,

gdje su a, b, c neki proizvoljni koeficijenti, a x je nepoznanica.

Podijelite obje strane jednadžbe s:



Sada koeficijenti jednadžbe, prema trigonometrijskim formulama, imaju svojstva sin i cos, naime: njihov modul nije veći od 1, a zbroj kvadrata = 1. Označimo ih redom kao cos i sin, gdje je tako -naziva se pomoćni kut. Tada će jednadžba poprimiti oblik:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

ili sin(x + ) = C

Rješenje ove jednostavne trigonometrijske jednadžbe je

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, gdje



Treba napomenuti da su oznake cos i sin međusobno zamjenjive.

Riješite jednadžbu sin 3x - cos 3x = 1

U ovoj jednadžbi koeficijenti su:

a \u003d, b \u003d -1, pa oba dijela dijelimo s \u003d 2

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema !!!

Jednadžba koja sadrži nepoznanicu ispod predznaka trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tg x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednadžba, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednadžbe su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` kut koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Napišimo korijenske formule za svaki od njih.

1. Jednadžba `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

S `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednadžba `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao u slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

S `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednadžba `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Korijenska formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednadžba `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Korijenska formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tablici

Za sinuse:
Za kosinus:
Za tangens i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi

Rješenje svake trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

• pomoću pretvaranja u najjednostavniji;
• riješite dobivenu jednostavnu jednadžbu koristeći gornje formule za korijene i tablice.

Razmotrimo glavne metode rješenja koristeći primjere.

algebarska metoda.

U ovoj metodi vrši se zamjena varijable i njena supstitucija u jednakost.

Primjer. Riješite jednadžbu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

izvršite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednadžbu: `sin x+cos x=1`.

Riješenje. Pomakni ulijevo sve članove jednakosti: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Svođenje na homogenu jednadžbu

Prvo morate ovu trigonometrijsku jednadžbu dovesti u jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednadžba prvog stupnja) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednadžba drugog stupnja).

Zatim podijelite oba dijela s `cos x \ne 0` za prvi slučaj i s `cos^2 x \ne 0` za drugi. Dobivamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje se moraju riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednadžbu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Riješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stupnja, dijeljenjem njezine lijeve i desne strane s `cos^2 x \ne 0` dobivamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Uvedimo zamjenu `tg x=t`, kao rezultat `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su "t_1=-2" i "t_2=1". Zatim:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.

Odgovor. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \u Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.

Idi na poluugao

Primjer. Riješite jednadžbu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Riješenje. Primjenom formule dvostrukog kuta rezultat je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom gore opisane algebarske metode dobivamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovor. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Uvođenje pomoćnog kuta

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x varijabla, oba dijela dijelimo sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbroj njihovih kvadrata jednak je 1 i njihov modul nije veći od 1. Označite ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, zatim:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednadžbu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Riješenje. Podijelimo li obje strane jednadžbe sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobivamo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označite `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Budući da je `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni kut. Zatim našu jednakost zapišemo u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbroj kutova za sinus, svoju jednakost zapisujemo u sljedećem obliku:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovor. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcijsko-racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti s razlomcima, u čijim su brojnicima i nazivnicima trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednadžbu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Riješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednadžbe s "(1+cos x)". Kao rezultat toga dobivamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da nazivnik ne može biti nula, dobivamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačite brojnik razlomka s nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Zatim `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovor. `x=2\pi n`, `n \u Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \u Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i tehnike. Učenje počinje u 10. razredu, zadataka za ispit uvijek ima, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - sigurno će vam dobro doći!

Međutim, ne morate ih čak ni pamtiti, glavna stvar je razumjeti suštinu i moći zaključiti. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se i sami gledajući video.

Pri rješavanju mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednadžbe, frakcijske jednadžbe i jednadžbe koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih zadataka je sljedeći: potrebno je utvrditi kojoj vrsti pripada problem koji se rješava, zapamtiti potreban redoslijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očito, uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema ovisi uglavnom o tome koliko je ispravno određena vrsta jednadžbe koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran slijed svih faza njezina rješenja. Naravno, u ovom slučaju, potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i izračuna.

Drugačija situacija se događa s trigonometrijske jednadžbe. Nije teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri određivanju slijeda radnji koje bi dovele do točnog odgovora.

Ponekad je teško odrediti njegovu vrstu pojavom jednadžbe. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće odabrati pravu među nekoliko desetaka trigonometrijskih formula.

Da bismo riješili trigonometrijsku jednadžbu, moramo pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednadžbu pod "iste kutove";
2. dovesti jednadžbu na "iste funkcije";
3. faktorizirati lijevu stranu jednadžbe, itd.

Smatrati osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

I. Svođenje na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju poznatim komponentama.

Korak 2 Pronađite argument funkcije pomoću formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Ê Z.

3. korak Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riješenje.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ê Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Varijabilna supstitucija

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite jednadžbu u algebarski oblik s obzirom na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2 Rezultirajuću funkciju označimo varijablom t (po potrebi uvesti ograničenja na t).

3. korak Zapiši i riješi dobivenu algebarsku jednadžbu.

Korak 4 Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5 Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Riješenje.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5 sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2 ne zadovoljava uvjet |t| ≤ 1.

4) grijeh (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednadžbi

Shema rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednadžbu linearnom pomoću formule za smanjenje snage:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2 Riješite dobivenu jednadžbu metodama I. i II.

Primjer.

cos2x + cos2x = 5/4.

Riješenje.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Shema rješenja

Korak 1. Dovedite ovu jednadžbu u oblik

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednadžba prvog stupnja)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednadžba drugog stupnja).

Korak 2 Podijelite obje strane jednadžbe s

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobiti jednadžbu za tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. korak Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Riješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Neka je tada tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, dakle

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednadžbe x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Shema rješenja

Korak 1. Koristeći sve vrste trigonometrijskih formula, ovu jednadžbu dovedite do jednadžbe koja se može riješiti metodama I, II, III, IV.

Korak 2 Riješite dobivenu jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Riješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednadžbe 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih jednadžbi vrlo su važno, njihov razvoj zahtijeva znatan napor, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.

Uz rješavanje trigonometrijskih jednadžbi povezani su mnogi problemi stereometrije, fizike itd. Proces rješavanja takvih problema, takoreći, sadrži mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednadžbe zauzimaju važno mjesto u procesu nastave matematike i razvoja osobnosti općenito.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Dobiti pomoć od učitelja -.
Prvi sat je besplatan!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, veza na izvor je obavezna.