खंड अंतराल बीम ओपन बीम। संख्यात्मक अंतराल

उत्तर - समुच्चय (-∞;+∞) को एक संख्या रेखा कहते हैं और कोई भी संख्या इस रेखा का एक बिन्दु कहलाती है। मान लीजिए a वास्तविक रेखा पर एक मनमाना बिंदु है और

सकारात्मक संख्या। अंतराल (a-δ; a+δ) को बिंदु a का -पड़ोस कहा जाता है।

समुच्चय X ऊपर से (नीचे से) परिबद्ध है यदि ऐसी कोई संख्या c है कि किसी x X के लिए असमानता x≤с (x≥c) संतुष्ट है। इस स्थिति में संख्या c को समुच्चय X का ऊपरी (निचला) बाउंड कहा जाता है। ऊपर और नीचे दोनों ओर से बंधे हुए समुच्चय को बाउंडेड कहा जाता है। किसी समुच्चय के ऊपरी (निचले) फलकों में से सबसे छोटा (सबसे बड़ा) इस समुच्चय का ठीक ऊपरी (निचला) बाउंड कहलाता है।

एक संख्यात्मक अंतराल वास्तविक संख्याओं का एक जुड़ा हुआ सेट है, अर्थात यदि 2 संख्याएं इस सेट से संबंधित हैं, तो उनके बीच संलग्न सभी संख्याएं भी इसी सेट से संबंधित हैं। एक अर्थ में, विभिन्न प्रकार के गैर-रिक्त संख्यात्मक अंतराल हैं: रेखा, खुली किरण, बंद किरण, रेखा खंड, अर्ध-अंतराल, अंतराल

संख्या रेखा

सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को संख्या रेखा भी कहते हैं। वे लिखते हैं।

व्यवहार में, ज्यामितीय अर्थों में एक समन्वय या संख्या रेखा की अवधारणा और इस परिभाषा द्वारा शुरू की गई संख्या रेखा की अवधारणा के बीच अंतर करने की आवश्यकता नहीं है। इसलिए, इन विभिन्न अवधारणाओं को एक ही शब्द द्वारा निरूपित किया जाता है।

खुली किरण

संख्याओं का ऐसा समुच्चय जिसे या एक खुली संख्या किरण कहा जाता है। लिखना या क्रमशः: .

बंद बीम

संख्याओं का ऐसा समुच्चय जिसे बंद संख्या किरण कहा जाता है। लिखना या क्रमशः:

संख्याओं का ऐसा समुच्चय जिसे संख्या खंड कहते हैं।

टिप्पणी। परिभाषा यह नहीं बताती है। माना जा रहा है कि मामला संभव है। फिर संख्यात्मक अंतराल एक बिंदु में बदल जाता है।

मध्यान्तर

संख्याओं के समुच्चय को संख्यात्मक अंतराल कहते हैं।

टिप्पणी। एक खुली बीम, एक सीधी रेखा और एक अंतराल के पदनामों का संयोग आकस्मिक नहीं है। एक खुली किरण को एक अंतराल के रूप में समझा जा सकता है, जिसका एक सिरा अनंत तक हटा दिया जाता है, और एक संख्या रेखा - एक अंतराल के रूप में, जिसके दोनों सिरों को अनंत तक हटा दिया जाता है।

आधा अंतराल

संख्याओं का ऐसा समुच्चय जिसे या एक संख्यात्मक अर्ध-अंतराल कहा जाता है।

लिखें या, क्रमशः,

3. फंक्शन। फंक्शन ग्राफ। फ़ंक्शन सेट करने के तरीके।

उत्तर - यदि दो चर x और y दिए गए हैं, तो वे कहते हैं कि चर y चर x का एक फलन है, यदि इन चरों के बीच ऐसा संबंध दिया जाता है जो प्रत्येक मान को y के मान को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

संकेतन F = y(x) का अर्थ है कि एक फ़ंक्शन पर विचार किया जा रहा है जो आश्रित चर y के संगत मान को खोजने के लिए स्वतंत्र चर x (उनमें से जो तर्क x बिल्कुल ले सकता है) के किसी भी मान की अनुमति देता है।

फ़ंक्शन सेट करने के तरीके।

एक फ़ंक्शन को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

वाई \u003d 3x2 - 2।

फ़ंक्शन को एक ग्राफ द्वारा दिया जा सकता है। ग्राफ़ का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि फ़ंक्शन का कौन सा मान तर्क के निर्दिष्ट मान से मेल खाता है। आमतौर पर यह फ़ंक्शन का अनुमानित मान होता है।

4. समारोह की मुख्य विशेषताएं: एकरसता, समता, आवधिकता।

उत्तर -आवधिकता परिभाषा। एक फ़ंक्शन f को आवधिक कहा जाता है यदि ऐसी कोई संख्या मौजूद हो
, वह f(x+
)=f(x), सभी x . के लिए डी (एफ)। स्वाभाविक रूप से, ऐसी संख्याएँ अनंत हैं। सबसे छोटी धनात्मक संख्या ^ T को फलन का आवर्त कहते हैं। उदाहरण। ए। वाई \u003d कॉस एक्स, टी \u003d 2 . बी। वाई \u003d टीजी एक्स, टी \u003d . एस. वाई = (एक्स), टी = 1. डी. वाई = , यह फ़ंक्शन आवधिक नहीं है। समता परिभाषा. एक फलन f कहा जाता है, भले ही D(f) से सभी x के लिए गुण f(-x) = f(x) संतुष्ट हो। यदि f (-x) = -f (x) है, तो फलन विषम कहलाता है। यदि इनमें से कोई भी संबंध संतुष्ट नहीं होता है, तो फलन को सामान्य रूप का फलन कहा जाता है। उदाहरण। ए। वाई \u003d कॉस (एक्स) - सम; बी। वाई \u003d टीजी (एक्स) - विषम; एस। वाई \u003d (एक्स); y=sin(x+1) – सामान्य फलन। एकरसता की परिभाषा। एक फलन f: X -> R को बढ़ते (घटते) कहा जाता है यदि किसी के लिए
शर्त पूरी होती है:
परिभाषा। एक फ़ंक्शन X -> R को X पर मोनोटोनिक कहा जाता है यदि यह X पर बढ़ रहा है या घट रहा है। यदि x के कुछ उपसमुच्चयों पर f एकरस स्वर है, तो इसे टुकड़े के अनुसार एकरस स्वर कहा जाता है। उदाहरण। y \u003d cos x एक टुकड़ावार मोनोटोन फ़ंक्शन है।

संख्या समुच्चयों में, अर्थात् सेट, जिनकी वस्तुएँ संख्याएँ हैं, तथाकथित भेद करें संख्या अंतराल. उनका मूल्य यह है कि एक निर्दिष्ट संख्यात्मक सीमा के अनुरूप एक सेट की कल्पना करना बहुत आसान है, और इसके विपरीत। इसलिए, उनकी मदद से असमानता के समाधान के सेट को लिखना सुविधाजनक है।

इस लेख में, हम सभी प्रकार के संख्यात्मक अंतरालों का विश्लेषण करेंगे। यहां हम उनके नाम देते हैं, संकेतन का परिचय देते हैं, निर्देशांक रेखा पर संख्यात्मक अंतराल खींचते हैं, और यह भी दिखाते हैं कि कौन सी सरलतम असमानताएं उनके अनुरूप हैं। अंत में, हम सभी सूचनाओं को संख्यात्मक अंतरालों की तालिका के रूप में दृष्टिगत रूप से प्रस्तुत करेंगे।

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संख्यात्मक अंतराल के प्रकार

प्रत्येक संख्यात्मक अंतराल में चार अटूट रूप से जुड़ी हुई चीजें होती हैं:

• संख्या श्रेणी का नाम,
• संगत असमानता या दोहरी असमानता,
• पद,
• और इसकी ज्यामितीय छवि एक समन्वय रेखा पर एक छवि के रूप में।

किसी भी संख्यात्मक अंतराल को सूची में अंतिम तीन तरीकों में से किसी में भी निर्दिष्ट किया जा सकता है: या तो एक असमानता द्वारा, या एक संकेतन द्वारा, या एक समन्वय रेखा पर इसकी छवि द्वारा। इसके अलावा, असाइनमेंट की इस पद्धति के अनुसार, उदाहरण के लिए, असमानता से, दूसरों को आसानी से बहाल किया जाता है (हमारे मामले में, पदनाम और ज्यामितीय छवि)।

आइए बारीकियों के लिए नीचे उतरें। आइए हम ऊपर बताए गए चारों पक्षों के सभी संख्यात्मक अंतरालों का वर्णन करें।

आइए संख्यात्मक अंतराल के विवरण के साथ शुरू करें, जिसे कहा जाता है ओपन नंबर बीम. ध्यान दें कि अक्सर विशेषण "खुला" छोड़ दिया जाता है, नाम खुला बीम छोड़ देता है।

यह संख्यात्मक अंतराल फॉर्म के एक चर के साथ सबसे सरल असमानताओं से मेल खाता है x a , जहां a कुछ वास्तविक संख्या है। अर्थात्, लिखित असमानताओं के अर्थ के अनुसार, खुली संख्या किरण उन सभी से बनी होती है जो संख्या a से कम होती हैं (असमानता की स्थिति में x एक)।

असमानता को संतुष्ट करने वाली संख्याओं का समुच्चय x ए, जैसे (ए, +∞) ।

यह खुली बीम की ज्यामितीय छवि दिखाने के लिए बनी हुई है, इससे यह स्पष्ट हो जाएगा कि माना गया संख्यात्मक अंतराल ऐसा नाम संयोग से नहीं मिला है। चलो मुड़ते हैं। यह ज्ञात है कि इसके बिंदुओं और वास्तविक संख्याओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है, जो समन्वय रेखा को संख्या रेखा कहलाने की अनुमति देता है। और बात करते समय संख्याओं की तुलना करनाहमने देखा कि बड़ी संख्या छोटी रेखा के दाईं ओर समन्वय रेखा पर स्थित होती है, और छोटी संख्या बड़ी संख्या के बाईं ओर स्थित होती है। इन विचारों के आधार पर, असमानता x a - बिंदु a के दाईं ओर स्थित बिंदु। संख्या स्वयं इन असमानताओं को संतुष्ट नहीं करती है, ड्राइंग में इस पर जोर देने के लिए, इसे एक खाली केंद्र के साथ एक बिंदु के रूप में दर्शाया गया है। उन बिंदुओं के ऊपर, जो असमानता को संतुष्ट करने वाली संख्याओं के अनुरूप हैं, तिरछी छायांकन दर्शाते हैं:

उपरोक्त रेखाचित्रों से यह देखा जा सकता है कि ये संख्यात्मक अंतराल संख्या रेखा के कुछ हिस्सों के अनुरूप हैं, जो हैं किरणोंबिंदु a से शुरू हो रहा है, लेकिन बिंदु a को छोड़कर। दूसरे शब्दों में, वे बिना शुरुआत के किरणें हैं। इसलिए नाम - ओपन नंबर बीम।

आइए हम खुली संख्यात्मक किरणों के कुछ ठोस उदाहरण दें। इस प्रकार, सख्त असमानता x>−3 एक खुली संख्या किरण को परिभाषित करती है। इसे संकेतन (−3, ) द्वारा भी परिभाषित किया गया है। और निर्देशांक रेखा पर, यह संख्यात्मक अंतराल निर्देशांक −3 के साथ बिंदु के दाईं ओर स्थित बिंदुओं का एक समूह है, इस बिंदु को शामिल नहीं करता है। एक अन्य उदाहरण: असमानता x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


हम निम्नलिखित रूप के संख्यात्मक अंतरालों को पास करते हैं - संख्या किरणें. ज्यामितीय रूप से, वे खुले बीम से भिन्न होते हैं जिसमें बीम की शुरुआत को त्याग नहीं किया जाता है। दूसरे शब्दों में, इस प्रकार के संख्यात्मक अंतरालों की ज्यामितीय छवि एक पूर्ण किरण है।

जहाँ तक असमानताओं का उपयोग करके संख्यात्मक किरणों को निर्दिष्ट करने का सवाल है, वे गैर-सख्त असमानताओं के अनुरूप हैं x≤a या x≥a । उन्हें (−∞, a] और . द्वारा निरूपित किया जाता है। और एक संख्यात्मक खंड की ज्यामितीय छवि इसके सिरों के साथ एक खंड है:


उदाहरण के लिए, एक संख्यात्मक खंड, जो एक दोहरी असमानता द्वारा दिया जाता है, को इस रूप में निरूपित किया जा सकता है, समन्वय रेखा पर यह एक खंड से मेल खाता है, जिसके अंत में दो की जड़ और तीन की जड़ होती है।

यह केवल उन संख्यात्मक अंतरालों के बारे में कहना बाकी है जिन्हें कहा जाता है आधा अंतराल. वे प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए बोलने के लिए, एक अंतराल और एक खंड के बीच एक मध्यवर्ती विकल्प, क्योंकि वे सीमा बिंदुओं में से एक को शामिल करते हैं। अर्ध-अंतराल दोहरी असमानताओं द्वारा दिए गए हैं a

संख्यात्मक अंतरालों की तालिका

इसलिए, पिछले पैराग्राफ में, हमने निम्नलिखित संख्यात्मक अंतरालों को परिभाषित और वर्णित किया है:

• ओपन नंबर बीम;
• संख्या बीम;
• मध्यान्तर;
• आधा अंतराल।

सुविधा के लिए, हम एक तालिका में संख्यात्मक अंतराल पर सभी डेटा को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। आइए इसमें संख्यात्मक अंतराल का नाम, इसके अनुरूप असमानता, संकेतन और समन्वय रेखा पर छवि डालें। हमें निम्नलिखित मिलता है: रेंज टेबल:

ग्रंथ सूची।

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संख्या अंतराल में किरणें, खंड, अंतराल और अर्ध-अंतराल शामिल हैं।

संख्यात्मक अंतराल के प्रकार

नाम	छवि	असमानता	पद
खुली किरण		एक्स > एक	(एक; +∞)
		एक्स < एक	(-∞; एक)
बंद बीम		एक्स ⩾ एक	[एक; +∞)
		एक्स ⩽ एक	(-∞; एक]
रेखा खंड		एक ⩽ एक्स ⩽ बी	[एक; बी]
मध्यान्तर		एक < एक्स < बी	(एक; बी)
आधा अंतराल		एक < एक्स ⩽ बी	(एक; बी]
		एक ⩽ एक्स < बी	[एक; बी)

मेज एकतथा बीसीमा बिंदु हैं, और एक्स- एक चर जो संख्यात्मक अंतराल से संबंधित किसी भी बिंदु का निर्देशांक ले सकता है।

सीमा बिंदुएक बिंदु है जो संख्यात्मक अंतराल की सीमा को परिभाषित करता है। सीमा बिंदु संख्यात्मक अंतराल से संबंधित हो भी सकता है और नहीं भी। रेखाचित्रों में, सीमा बिंदु जो विचाराधीन संख्यात्मक अंतराल से संबंधित नहीं हैं, एक भरे हुए वृत्त द्वारा इंगित किए जाते हैं, और जो एक भरे हुए वृत्त से संबंधित होते हैं।

खुला और बंद बीम

खुली किरणएक रेखा पर बिंदुओं का एक समूह है जो एक सीमा बिंदु के एक तरफ स्थित होता है जो दिए गए सेट में शामिल नहीं होता है। सीमा बिंदु के कारण एक किरण को खुली कहा जाता है, जो इससे संबंधित नहीं है।

निर्देशांक रेखा पर उन बिंदुओं के समूह पर विचार करें जिनका समन्वय 2 से अधिक है, और इसलिए बिंदु 2 के दाईं ओर स्थित है:

इस तरह के एक सेट को असमानता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है एक्स> 2. ओपन बीम को कोष्ठक के साथ दर्शाया जाता है - (2; +∞), यह प्रविष्टि इस प्रकार पढ़ती है: दो से प्लस अनंत तक एक खुली संख्यात्मक बीम।

असमानता के अनुरूप समुच्चय एक्स < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

बंद बीमएक रेखा पर बिंदुओं का समूह है जो दिए गए सेट से संबंधित एक सीमा बिंदु के एक ही तरफ स्थित है। ड्राइंग में, विचाराधीन सेट से संबंधित सीमा बिंदुओं को एक भरे हुए सर्कल द्वारा दर्शाया गया है।

बंद संख्यात्मक किरणों को गैर-सख्त असमानताओं द्वारा परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, असमानताएँ एक्स 2 और एक्स 2 इस तरह दिखाया जा सकता है:

इन बंद किरणों को इस प्रकार नामित किया गया है: इसे इस तरह पढ़ा जाता है: दो से प्लस अनंत तक एक संख्यात्मक किरण और शून्य से अनंत से दो तक एक संख्यात्मक किरण। अंकन में वर्गाकार कोष्ठक इंगित करता है कि बिंदु 2 संख्यात्मक अंतर से संबंधित है।

रेखा खंड

रेखा खंडएक रेखा पर बिंदुओं का समूह है जो दिए गए सेट से संबंधित दो सीमा बिंदुओं के बीच स्थित है। इस तरह के सेट दोहरी गैर-सख्त असमानताओं द्वारा दिए गए हैं।

बिंदु -2 और 3 पर समाप्त होने वाली समन्वय रेखा के एक खंड पर विचार करें:

किसी दिए गए खंड को बनाने वाले बिंदुओं का समूह दोहरी असमानता -2 . द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है एक्स 3 या निरूपित करें [-2; 3], ऐसी प्रविष्टि इस प्रकार है: शून्य से दो से तीन तक का एक खंड।

अंतराल और आधा अंतराल

मध्यान्तरएक रेखा पर बिंदुओं का समूह है जो दो सीमा बिंदुओं के बीच स्थित होता है जो दिए गए सेट से संबंधित नहीं होते हैं। इस तरह के सेट को दोहरी सख्त असमानताओं द्वारा परिभाषित किया गया है।

बिंदु -2 और 3 पर समाप्त होने वाली समन्वय रेखा के एक खंड पर विचार करें:

इस अंतराल को बनाने वाले बिंदुओं का समूह दोहरी असमानता -2 . द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है< एक्स < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

आधा अंतरालएक रेखा पर बिंदुओं का समूह है जो दो सीमा बिंदुओं के बीच स्थित है, जिनमें से एक सेट से संबंधित है और दूसरा नहीं है। ऐसे सेट दोहरी असमानताओं द्वारा दिए गए हैं:

इन अर्ध-अंतरालों को इस प्रकार निर्दिष्ट किया गया है: (-2; 3] और [-2; 3), इसे इस तरह पढ़ा जाता है: माइनस दो से तीन तक का आधा-अंतराल, जिसमें 3 शामिल है, और माइनस दो से आधा-अंतराल माइनस टू सहित तीन तक।

संख्यात्मक अंतराल

अंतर, खुला अंतर, मध्यान्तर- दो दी गई संख्याओं के बीच संलग्न संख्या रेखा पर बिंदुओं का समुच्चय एकतथा बी, वह है, संख्याओं का एक सेट एक्स, शर्त को संतुष्ट करना: एक < एक्स < बी . अंतराल में सिरों को शामिल नहीं किया जाता है और इसे दर्शाया जाता है ( एक,बी) (कभी-कभी ] एक,बी[ ), विपरीत खंड [एक,बी] (बंद अंतराल), जिसमें छोर शामिल हैं, यानी बिंदुओं से मिलकर।

रिकॉर्डिंग में ( एक,बी), नंबर एकतथा बीअंतराल के सिरे कहलाते हैं। गैप में सब कुछ शामिल है वास्तविक संख्या, अंतराल - सभी संख्याएँ छोटी हैं एकऔर गैप - सभी नंबर बड़े हैं एक .

शर्त मध्यान्तरजटिल शब्दों में प्रयुक्त:

• पर एकीकरण - एकीकरण का अंतराल,
• स्पष्ट करते समय समीकरण जड़ें - अलगाव की खाई
• अभिसरण का निर्धारण करते समय बिजली की श्रृंखला - एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल.

वैसे, अंग्रेजी में शब्द मध्यान्तरबुलाया रेखा खंड. और अंतराल की अवधारणा को निरूपित करने के लिए, शब्द का प्रयोग किया जाता है खुला अंतराल.

साहित्य

• वायगोडस्की एम। हां। उच्च गणित की पुस्तिका। मॉस्को: एस्ट्रेल, एएसटी, 2002

यह सभी देखें

लिंक

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "संख्यात्मक अंतराल" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

अक्षांश से। अंतराल अंतराल, दूरी: संगीत में: अंतराल दो टन की पिचों का अनुपात है; इन स्वरों की ध्वनि आवृत्तियों का अनुपात। गणित में: एक अंतराल (ज्यामिति) अंक ए और बी के बीच संलग्न एक सीधी रेखा पर बिंदुओं का एक समूह है, ... ... विकिपीडिया

< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия

एक अंतराल, एक खुला अंतराल, एक अंतराल दो दी गई संख्याओं a और b के बीच संलग्न एक संख्या रेखा के बिंदुओं का एक समूह है, अर्थात, संख्या x का एक समूह जो इस शर्त को पूरा करता है: a< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия

अंतराल, या अधिक सटीक रूप से, संख्या रेखा का अंतराल, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जिसमें यह गुण होता है कि, किन्हीं दो संख्याओं के साथ, इसमें कोई भी उनके बीच स्थित होता है। तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए, यह परिभाषा है ... ... विकिपीडिया

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