Формула за намаляване на куб. Формули за съкратено умножение. Изводи от урока

Формулите за съкратено умножение (FMF) се използват за степенуване и умножение на числа и изрази. Често тези формули ви позволяват да правите изчисления по-компактно и бързо.

В тази статия ще изброим основните формули за съкратено умножение, ще ги групираме в таблица, ще разгледаме примери за използване на тези формули и също така ще се спрем на принципите на доказване на формули за съкратено умножение.

Yandex.RTB R-A-339285-1

За първи път темата FSU се разглежда в рамките на курса по алгебра за 7. клас. По-долу има 7 основни формули.

Формули за съкратено умножение

1. формула за квадрат на сбора: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула за квадратна разлика: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. формула за сборен куб: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула за куб на разликата: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. формула за квадратна разлика: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. формула за сбор от кубове: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. формула за разлика на кубчета: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Буквите a, b, c в тези изрази могат да бъдат произволни числа, променливи или изрази. За по-лесно използване е по-добре да научите седемте основни формули наизуст. Нека ги поставим в таблица и да ги представим отдолу, като ги оградим с рамка.

Първите четири формули ви позволяват да изчислите съответно квадрат или куб на сумата или разликата на два израза.

Петата формула изчислява разликата между квадратите на изразите чрез умножаване на тяхната сума и разлика.

Шестата и седмата формула съответно умножават сумата и разликата на изразите по непълния квадрат на разликата и непълния квадрат на сумата.

Формулата за съкратено умножение понякога се нарича също идентичности за съкратено умножение. Това не е изненадващо, тъй като всяко равенство е идентичност.

При решаване на практически примери често се използват формули за съкратено умножение с разменени лява и дясна страна. Това е особено удобно при факторизиране на полином.

Допълнителни формули за съкратено умножение

Нека не се ограничаваме до курса по алгебра за 7-ми клас и да добавим още няколко формули към нашата FSU таблица.

Първо, нека разгледаме биномната формула на Нютон.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Тук C n k са биномните коефициенти, които се появяват в ред номер n в триъгълника на Паскал. Биномиалните коефициенти се изчисляват по формулата:

C n k = n ! к! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k!

Както можем да видим, FSF за квадрат и куб на разликата и сумата е специален случай на биномната формула на Нютон за n=2 и n=3, съответно.

Но какво ще стане, ако има повече от два члена в сбора, който трябва да бъде повдигнат на степен? Ще бъде полезна формулата за квадрат на сумата от три, четири или повече членове.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Друга формула, която може да бъде полезна, е формулата за разликата между n-та степен на два члена.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Тази формула обикновено се разделя на две формули – съответно за четни и нечетни степени.

Дори за индикатори от 2 метра:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

За нечетни експоненти 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 м

Формулите за разлика на квадрати и разлика на кубове, както се досещате, са специални случаи на тази формула за n = 2 и n = 3, съответно. За разлика на кубчета, b също се заменя с - b.

Как се четат формули за съкратено умножение?

Ще дадем подходящите формулировки за всяка формула, но първо ще разберем принципа на четене на формули. Най-удобният начин да направите това е с пример. Нека вземем първата формула за квадрат на сумата от две числа.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Те казват: квадратът на сбора от два израза a и b е равен на сбора от квадрата на първия израз, два пъти произведението на изразите и квадрата на втория израз.

Всички други формули се четат по същия начин. За квадрат на разликата a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 записваме:

квадратът на разликата между два израза a и b е равен на сумата от квадратите на тези изрази минус удвоеното произведение на първия и втория израз.

Нека прочетем формулата a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Кубът на сбора от два израза a и b е равен на сбора от кубовете на тези изрази, утроен произведението на квадрата на първия израз по втория и утроен произведението на квадрата на втория израз по първи израз.

Нека преминем към четене на формулата за разликата на кубчета a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Кубът на разликата между два израза a и b е равен на куба на първия израз минус тройното произведение на квадрата на първия израз и втория, плюс тройното произведение на квадрата на втория израз и първия израз , минус куба на втория израз.

Петата формула a 2 - b 2 = a - b a + b (разлика на квадратите) гласи така: разликата на квадратите на два израза е равна на произведението на разликата и сбора на двата израза.

За удобство изрази като a 2 + a b + b 2 и a 2 - a b + b 2 се наричат ​​съответно непълен квадрат на сбора и непълен квадрат на разликата.

Като се има предвид това, формулите за сумата и разликата на кубовете могат да се четат, както следва:

Сборът от кубовете на два израза е равен на произведението от сбора на тези изрази и частичния квадрат на тяхната разлика.

Разликата между кубовете на два израза е равна на произведението на разликата между тези изрази и частичния квадрат на техния сбор.

Доказателство за FSU

Доказването на FSU е доста просто. Въз основа на свойствата на умножението ще умножим частите на формулите в скоби.

Например, разгледайте формулата за разликата на квадрат.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

За да повдигнете израз на втора степен, трябва да умножите този израз по самия него.

a - b 2 = a - b a - b .

Нека разширим скобите:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Формулата е доказана. Останалите FSU се доказват по подобен начин.

Примери за приложение на FSU

Целта на използването на формули за съкратено умножение е бързо и стегнато умножение и повдигане на изрази на степени. Това обаче не е целият обхват на приложение на FSU. Те се използват широко при съкращаване на изрази, съкращаване на дроби и разлагане на полиноми. Да дадем примери.

Пример 1. БСС

Нека опростим израза 9 y - (1 + 3 y) 2.

Нека приложим формулата за сумата на квадратите и да получим:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Пример 2. БСС

Нека съкратим дробта 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Отбелязваме, че изразът в числителя е разликата на кубовете, а в знаменателя е разликата на квадратите.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Намаляваме и получаваме:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU също помагат за изчисляване на стойностите на изразите. Основното нещо е да можете да забележите къде да приложите формулата. Нека покажем това с пример.

Нека повдигнем на квадрат числото 79. Вместо тромави изчисления, нека напишем:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Изглежда, че сложно изчисление се извършва бързо само с помощта на съкратени формули за умножение и таблица за умножение.

Друг важен момент е изборът на квадрата на бинома. Изразът 4 x 2 + 4 x - 3 може да се преобразува в 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Такива трансформации се използват широко в интеграцията.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

За да се опростят алгебричните полиноми, има формули за съкратено умножение. Не са толкова много и са лесни за запомняне, но трябва да ги запомните. Нотацията, използвана във формулите, може да приеме произволна форма (число или полином).

Първата формула за съкратено умножение се нарича разлика на квадратите. Състои се в изваждане на квадрата на едно число от квадрата на второто число, което е равно на разликата между тези числа, както и техния продукт.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Нека го разгледаме за по-голяма яснота:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Втората формула е около сбор от квадрати. Звучи така, сякаш сумата от две количества на квадрат е равна на квадрата на първото количество, удвоеното произведение на първото количество, умножено по второто, се добавя към него, квадратът на второто количество се добавя към тях.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Благодарение на тази формула става много по-лесно да се изчисли квадратът на голямо число, без да се използват компютърни технологии.

Така например:квадратът на 112 ще бъде равен на
1) Първо, нека разделим 112 на числа, чиито квадрати са ни познати
112 = 100 + 12
2) Въвеждаме резултата в квадратни скоби
112 2 = (100+12) 2
3) Прилагайки формулата, получаваме:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третата формула е разлика на квадрат. Което казва, че две количества, извадени едно от друго в квадрат, са равни, защото от първото количество на квадрат изваждаме удвоеното произведение на първото количество, умножено по второто, добавяйки към тях квадрата на второто количество.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

където (a - b) 2 е равно на (b - a) 2. За да докажете това, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Четвъртата формула за съкратено умножение се нарича куб сума. Което звучи като: две събираеми количества в куб са равни на куба на 1 количество, тройното произведение на 1 количество на квадрат, умножено по второто количество, се добавя, към тях се добавя тройното произведение на 1 количество, умножено по квадрат на 2 количества, плюс второто количество на куб.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Петият, както вече разбрахте, се нарича куб на разликата. Което намира разликите между количествата, като от първия запис в куба изваждаме тройното произведение на първия запис на квадрата, умножено по втория, към тях се добавя тройното произведение на първия запис, умножен по квадрата на втория нотация, минус втората нотация в куба.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Шестият се нарича - сбор от кубове. Сборът на кубовете е равен на произведението на двете събираеми, умножено по частичния квадрат на разликата, тъй като няма двойна стойност в средата.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

Друг начин да кажем сбора на кубовете е да го наречем продукт в две скоби.

Седмият и последен се нарича разлика от кубчета(може лесно да се обърка с формулата на куба разлика, но това са различни неща). Разликата на кубовете е равна на произведението на разликата на две количества, умножена по частичния квадрат на сумата, тъй като в средата няма двойна стойност.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

И така има само 7 формули за съкратено умножение, те са подобни една на друга и се запомнят лесно, важното е само да не се бъркате в знаците. Те също са предназначени да се използват в обратен ред, а учебниците съдържат доста такива задачи. Бъдете внимателни и всичко ще се нареди за вас.

Ако имате въпроси относно формулите, не забравяйте да ги напишете в коментарите. Ще се радваме да Ви отговорим!

Ако сте в отпуск по майчинство, но искате да печелите пари. Просто последвайте връзката Интернет бизнес с Орифлейм. Там всичко е написано и показано много подробно. Ще бъде интересно!

В предишния урок се занимавахме с факторизиране. Усвоихме два метода: поставяне на общия множител извън скоби и групиране. В този урок - следният мощен метод: формули за съкратено умножение. Накратко - FSU.

Формулите за съкратено умножение (квадрат сбор и разлика, куб сбор и разлика, куб разлика на квадрати, сбор и разлика на кубове) са изключително необходими във всички клонове на математиката. Те се използват за опростяване на изрази, решаване на уравнения, умножаване на полиноми, съкращаване на дроби, решаване на интеграли и др. и така нататък. Накратко, има всички основания да се занимаваме с тях. Разберете откъде идват, защо са необходими, как да ги запомните и как да ги приложите.

разбираме ли?)

Откъде идват формулите за съкратено умножение?

Равенствата 6 и 7 не са написани по познат начин. Донякъде е обратното. Това е нарочно.) Всяко равенство работи както отляво надясно, така и отдясно наляво. Този запис прави по-ясно откъде идват FSU.

Те са взети от умножението.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Това е, без научни трикове. Просто умножаваме скобите и даваме подобни. Ето как се оказва всички формули за съкратено умножение. Съкратеноумножение е защото в самите формули няма умножение на скоби и съкращаване на подобни. Съкратено.) Резултатът се дава веднага.

FSU трябва да се знае наизуст. Без първите три не можете да мечтаете за C; без останалите не можете да мечтаете за B или A.)

Защо се нуждаем от формули за съкратено умножение?

Има две причини да научите, дори да запомните тези формули. Първият е, че готовият отговор автоматично намалява броя на грешките. Но това не е основната причина. Но второто...

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Една от първите теми, изучавани в курса по алгебра, са формулите за съкратено умножение. В 7 клас те се използват в най-простите ситуации, когато трябва да разпознаете една от формулите в израз и да разложите полином или, обратно, бързо да поставите на квадрат или куб сбор или разлика. В бъдеще FSU ще се използва за бързо решаване на неравенства и уравнения и дори за изчисляване на някои числови изрази без калкулатор.

Как изглежда списък с формули?

Има 7 основни формули, които ви позволяват бързо да умножавате полиноми в скоби.

Понякога този списък включва и разширение за четвърта степен, което следва от представените идентичности и има формата:

a⁴ — b4 = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Всички равенства имат двойка (сума - разлика), с изключение на разликата на квадратите. Формулата за сумата на квадратите не е дадена.

Останалите равенства са лесни за запомняне:

Трябва да се помни, че FSU работят във всеки случай и за всякакви стойности аИ b: това могат да бъдат произволни числа или цели числа.

В ситуация, в която внезапно не можете да си спомните кой знак стои пред конкретен термин във формулата, можете да отворите скобите и да получите същия резултат, както след използването на формулата. Например, ако възникне проблем при прилагането на куба на разликата FSU, трябва да запишете оригиналния израз и извършете умножение един по един:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

В резултат на това, след привеждане на всички подобни членове, се получава същият полином като в таблицата. Същите манипулации могат да бъдат извършени с всички останали FSU.

Приложение на FSU за решаване на уравнения

Например, трябва да решите уравнение, съдържащо полином от степен 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Училищната програма не обхваща универсални техники за решаване на кубични уравнения и такива задачи най-често се решават с помощта на по-прости методи (например факторизация). Ако забележим, че лявата страна на тъждеството прилича на куба на сбора, тогава уравнението може да бъде написано в по-проста форма:

(x + 1)³ = 0.

Коренът на такова уравнение се изчислява устно: х = -1.

Неравенствата се решават по подобен начин. Например, можете да решите неравенството x³ – 6x² + 9x > 0.

Първо, трябва да разложите израза на множители. Първо трябва да поставите скоба х. След това имайте предвид, че изразът в скобите може да бъде преобразуван на квадрат на разликата.

След това трябва да намерите точките, в които изразът приема нулеви стойности и да ги маркирате на числовата линия. В конкретен случай това ще бъдат 0 и 3. След това, използвайки интервалния метод, определете в кои интервали x ще отговаря на условието за неравенство.

FSU могат да бъдат полезни при изпълнение някои изчисления без помощта на калкулатор:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Освен това, като разлагате изрази на множители, можете лесно да редуцирате дроби и да опростявате различни алгебрични изрази.

Примерни задачи за 7-8 клас

В заключение ще анализираме и решим две задачи за използването на формули за съкратено умножение в алгебрата.

Задача 1. Опростете израза:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Решение. Условието на задачата изисква опростяване на израза, т.е. отваряне на скобите, извършване на операциите умножение и степенуване, както и привеждане на всички подобни членове. Нека условно разделим израза на три части (според броя на членовете) и отворим скобите една по една, използвайки FSU, където е възможно.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(сума квадрат);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(разлика на квадратите);
• В последния термин трябва да умножите: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Нека заместим получените резултати в оригиналния израз:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Като вземем предвид знаците, ще отворим скобите и ще представим подобни термини:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Задача 2. Решете уравнение, съдържащо неизвестното k на 5-та степен:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Решение. В този случай е необходимо да се използва FSU и методът на групиране. Необходимо е да преместите последния и предпоследния термин в дясната страна на самоличността.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Общият множител се извлича от дясната и лявата страна (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Всичко се прехвърля в лявата страна на уравнението, така че 0 остава отдясно:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Отново е необходимо да се извади общият фактор:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

От първия получен фактор можем да изведем к. Според формулата за кратко умножение, вторият множител ще бъде идентично равен на (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Използване на формулата за разлика на квадратите:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Тъй като продуктът е равен на 0, ако поне един от неговите множители е нула, намирането на всички корени на уравнението не е трудно:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Въз основа на илюстративни примери можете да разберете как да запомните формули, техните разлики и също така да решите няколко практически проблема с помощта на FSU. Задачите са лесни и не би трябвало да възникнат трудности при изпълнението им.