A valós számokra vonatkozó aritmetikai műveletek törvényei. Aritmetikai műveletek valós számokkal

Pozitív valós számok különbsége aés b ilyen valós számot hívnak Val vel, mit a= b + c.

Pozitív valós számok hányadosa aés b ilyen valós számot hívnak Val vel, mit a= b × s.

A pozitív valós számok halmazának a negatív valós számok halmazával és a nullával való uniója az összes valós szám R halmaza.

A valós számok összehasonlítása és a velük végzett műveletek az iskolai matematika tantárgyból ismert szabályok szerint történnek.

60. probléma. Keresse meg a 0,333… + 1,57079… összeg első három tizedesjegyét

Megoldás. Vegyük négy tizedesjegyű kifejezések tizedes közelítését:

0,3333 < 0,3333… < 0,3334

1,5707 < 1,57079… < 1,5708.

Összeadva: 1,9040 ≤ 0,333… + 1,57079…< 1,9042.

Ezért 0,333… + 1,57079…= 1,904…

61. feladat. Keresse meg a szorzat első két tizedesjegyét! a x b, ha a= 1,703604… és b = 2,04537…

Megoldás. Ezeket a számokat három tizedesjegyre tizedes közelítéssel vesszük:

1,703 < a <1,704 и 2,045 < b < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:

1,703 × 2,045 ≤ a x b < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ ab < 3,486.

Ily módon a x b= 3,48…

Gyakorlatok az önálló munkához

1. Írja fel a π = 3,1415 ... irracionális szám tizedes közelítését a hiány és a többlet tekintetében a következő pontossággal:

a) 0,1; b) 0,01; c) 0,001.

2. Keresse meg az összeg első három tizedesjegyét! a+ b, ha:

a) a = 2,34871…, b= 5,63724…; b) a = , b= π; ban ben) a = ; b= ; G) a = ; b = .

VALÓDI SZÁMOK II

46. ​​§ Valós számok összeadása

Egyelőre csak racionális számokat tudunk egymáshoz adni. Mint tudjuk,

De mit jelent két olyan szám összege, amelyek közül legalább az egyik irracionális, ezt még mindig nem tudjuk. Most meg kell határoznunk, hogy mit kell érteni az összeg alatt α + β két tetszőleges valós szám α és β .

Vegyük például az 1/3 és a √2 számokat. Ábrázoljuk őket végtelen tizedes törtek formájában

1 / 3 = 0,33333...;

√2 =1,41421... .

Először összeadjuk ezeknek a számoknak a megfelelő decimális közelítését hátrányosan. Ezek a közelítések, amint azt az előző rész végén megjegyeztük, azok racionális számok. És már tudjuk, hogyan adjunk hozzá ilyen számokat:

0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................

Ezután hozzáadjuk ezeknek a számoknak a megfelelő decimális közelítését többlettel:

1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................

Bizonyítható*, hogy létezik ráadásul egyedi valós szám γ , amely nagyobb, mint az 1/3 és √2 számok tizedes közelítéseinek összes összege hátrányosan, de kisebb, mint ezeknek a számoknak a tizedes közelítéseinek összes összege többlettel:

* Ennek a ténynek a szigorú bizonyítása túlmutat programunk keretein, ezért itt nem közöljük.

1 < γ < 3

1,7 < γ < 1,9

1,74 < γ < 1,76

1,747 < γ < 1,749

1,7475 < γ < 1,7477

1,74754 < γ < 1,74756

Értelemszerűen ez a szám γ és az 1/3 és a √2 számok összege:

γ = 1 / 3 + √2

Ez nyilvánvaló γ = 1,7475....

Bármely más pozitív valós szám összege, amelyek közül legalább az egyik irracionális, hasonlóan definiálható. A dolog lényege akkor sem fog változni, ha az egyik kifejezés, esetleg mindkettő negatív.

Így, ha számok α és β racionálisak, akkor összegüket a racionális számok összeadásának szabálya határozza meg(lásd 36. §).

Ha legalább az egyik irracionális, akkor az összeg α + β olyan valós számot hívunk, amely nagyobb, mint ezeknek a számoknak a megfelelő decimális közelítéseinek összes összege hátrányosan, de kisebb, mint ezeknek a számoknak a megfelelő decimális közelítéseinek összes összege túllépéssel..

Az így meghatározott összeadás művelete a következő két törvénynek engedelmeskedik:

1) kommutatív jog:

α + β = β + α

2) egyesületi jog:

(α + β ) + γ = α + (β + γ ).

Ezt nem fogjuk bizonyítani. A tanulók ezt maguk is megtehetik. Csak annyit jegyezünk meg, hogy a bizonyításnál a már ismert tényt kell majd felhasználnunk: a racionális számok összeadása kommutatív és asszociatív törvények hatálya alá tartozik (lásd 36. §).

Feladatok

327. Ezeket az összegeket tizedes törtként adja meg, legalább három helyes számjegyet feltüntetve a foglalt után:

a) √2 + √3 ; d) √2 + (- √3 ) g) 3/4 + (-√5 );

b) √2 + 5/8; e) (- 1/3) + √5 óra) 1/3 + √2 + √3.

c) (-√2) + √3; f) 11/9 + (- √5);

328. Keresse meg a valós számok első néhány tizedes közelítését (többletgel és anélkül):

a) 1/2 + √7 b) √3 + √7 c) √3 + (-√7)

329. A valós számok összegének definíciójából kiindulva bizonyítsd be, hogy tetszőleges számra α

α + (- α ) = 0.

330. Két végtelen nem periódusos tört összege mindig nem periodikus tört? Magyarázd meg a választ példákkal!

1. Az irracionális szám fogalma. Végtelen tizedes nem periodikus törtek. Valós számok halmaza.

2. Aritmetikai műveletek valós számokkal. Összeadás és szorzás törvényei.

3. Valós pozitív számok kiterjesztése a valós számok halmazára. A valós számok halmazának tulajdonságai.

4. Hozzávetőleges számok Valós számok és műveletek közelítő számokkal való kerekítésének szabályai. Számítások mikrokalkulátor segítségével.

5. Főbb megállapítások

Valós számok

A tizedes törtek megjelenésének egyik forrása a természetes számok osztása, a másik a mennyiségek mérése. Nézzük meg például, hogyan kaphatunk tizedes törteket egy szakasz hosszának mérésekor.

Hadd x- a szakasz, amelynek hosszát mérni kell, e- egyszeri vágás. Vágott hossz x betűvel jelöljük xés a szegmens hosszát e- levél E. Legyen a szegmens x tartalmazza n szegmensek egyenlő e₁ és felvágjuk x₁, amely rövidebb, mint a szegmens e(130. ábra), i.e. n ∙E < x < (n + 1) ∙E. Számok nés n A + 1 a szakasz hosszának hozzávetőleges értékei x egységnyi hosszon E hiányossággal és 1-ig terjedő felesleggel.

Ha nagyobb pontossággal szeretne választ kapni, vegye fel a szegmenst e₁ az e szegmens tizede, és betesszük a szegmensbe x₁. Ebben az esetben két eset lehetséges.

1) Az e₁ szegmens illeszkedik a szegmensbe x₁ pontosan n egyszer. Aztán a hossz n szegmens x utolsó tizedesjegyben kifejezve: x = (n+n₁\10) ∙E=n, n₁∙E. Például, x= 3,4∙E.

2) Vágja x₁ kiderül, hogy abból áll n szegmensek egyenlő e₁ és egy szegmens x₂, amely rövidebb, mint a szegmens e₁. Akkor n,n₁∙E < x < n,n₁n₁′∙ E, ahol n,n₁ és n,n₁n₁′ - a szegmens hosszának hozzávetőleges értékei x hiányossággal és többlettel 0,1 pontossággal.

Nyilvánvaló, hogy a második esetben egy szakasz hosszának mérési folyamata x folytathatja egy új egységszegmens felvételével e₂ - a szegmens századrésze e.

A gyakorlatban egy szakasz hosszának mérése egy bizonyos szakaszban véget ér. És akkor a szakasz hosszának mérésének eredménye vagy természetes szám vagy egy utolsó tizedes tört lesz. Ha ezt a folyamatot ideálisan elképzeljük egy szakasz hosszának mérésére (ahogyan a matematikában teszik), akkor két eredmény lehetséges:

1) A k-edik lépésnél a mérési folyamat véget ér. Ekkor a szakaszok hosszát az űrlap utolsó tizedes törtrészeként fejezzük ki n,n₁… n k.

2) Az ismertetett eljárás egy szakasz hosszának mérésére x a végtelenségig folytatódik. Ekkor az erről szóló jelentést a szimbólum ábrázolhatja n,n₁… n k..., amit végtelen decimálisnak nevezünk.

Hogyan lehet biztos a második kimenetel lehetőségében? Ehhez elegendő megmérni egy ilyen szakasz hosszát, amelyről ismert, hogy a hosszát például egy 5-ös racionális szám fejezi ki. Ha kiderült, hogy egy ilyen szakasz hosszának mérése eredményeként végső tizedes tört keletkezik, akkor ez azt jelentené, hogy az 5-ös szám végső tizedes törtként ábrázolható, ami lehetetlen: 5 \u003d 5,666 . ...

Tehát a szakaszok hosszának mérésekor végtelen tizedes törteket kaphatunk. De vajon ezek a törtek mindig periodikusak? A kérdésre a válasz nemleges: vannak olyan szegmensek, amelyek hosszát nem lehet kifejezni egy végtelen periodikus törttel (vagyis pozitív racionális számmal) egy választott hosszúsági egység mellett. Ez volt a matematika legfontosabb felfedezése, amiből az következett, hogy a racionális számok nem elegendőek a szakaszok hosszának mérésére.

Tétel. Ha a hossz mértékegysége egy négyzet oldalának hossza, akkor ennek a négyzetnek az átlójának hossza nem fejezhető ki pozitív racionális számmal.

Bizonyíték. A négyzet oldalának hosszát fejezzük ki az 1-es számmal. Tegyük fel a bizonyítandónak az ellenkezőjét, azaz, hogy az ABCB négyzet AC átlójának hosszát irreducibilis törtként fejezzük ki. Ekkor a Pitagorasz-tétel szerint az egyenlőség fennállna

1²+ 1² = . Ebből az következik, hogy m² = 2n². Tehát m² páros szám, akkor m páros (a páratlan szám négyzete nem lehet páros). Tehát m = 2p. Ha az m számot 2p-re cseréljük az m² = 2n² egyenletben, azt kapjuk, hogy 4p² = 2n², azaz. 2p² = n². Ebből következik, hogy n² páros, tehát n páros szám. Így az m és n számok párosak, ami azt jelenti, hogy a tört 2-vel csökkenthető, ami ellentmond annak a feltételezésnek, hogy irreducibilis. A megállapított ellentmondás azt bizonyítja, hogy ha a hossz mértékegysége egy négyzet oldalának hossza, akkor ennek a négyzetnek az átlójának hossza nem fejezhető ki racionális számmal.

A bizonyított tételből következik, hogy vannak olyan szakaszok, amelyek hosszát nem lehet pozitív számmal kifejezni (a választott hosszegységgel), vagyis végtelen periodikus törtként írható fel. Ez azt jelenti, hogy a szakaszok hosszának mérésével kapott végtelen tizedes törtek lehetnek nem periodikusak.

Úgy gondolják, hogy a végtelen nem periodikus tizedes törtek új számok rekordját jelentik - pozitív irracionális számok. Mivel a szám fogalmát és jelölését gyakran azonosítják, azt mondják, hogy a végtelen nem periodikus tizedes törtek pozitív irracionális számok.

A pozitív irracionális szám fogalmához a szakaszok hosszának mérésén keresztül jutottunk el. De irracionális számokat úgy is kaphatunk, hogy néhány racionális számból gyököket vonunk ki. Tehát √2, √7, √24 irracionális számok. Irracionálisak még lg 5, sin 31, a π = 3,14 számok..., e= 2,7828... és mások.

A pozitív irracionális számok halmazát a J+ szimbólum jelöli.

Két számhalmaz: a pozitív racionális és a pozitív irracionális számok unióját pozitív valós számok halmazának nevezzük, és az R+ szimbólummal jelöljük. Így Q+ ∪ J + = R+. Euler-körök segítségével ezeket a halmazokat ábrázolja a 131. ábra.

Bármely pozitív valós szám ábrázolható végtelen tizedes törttel - periodikus (ha racionális) vagy nem periodikus (ha irracionális).

A pozitív valós számokra vonatkozó műveletek pozitív racionális számokra redukálódnak.

A pozitív valós számok összeadása és szorzása kommutativitás és asszociativitás, a szorzás pedig az összeadás és a kivonás tekintetében disztributív.

Pozitív valós számok segítségével bármilyen skaláris mennyiség mérésének eredményét kifejezheti: hosszúság, terület, tömeg stb. A gyakorlatban azonban gyakran nem egy mennyiség mérésének eredményét kell számmal kifejezni, hanem annak változását. Sőt, változása többféleképpen történhet - növekedhet, csökkenhet vagy változatlan maradhat. Ezért a nagyságrendi változás kifejezéséhez a pozitív valós számokon kívül más számokra is szükség van, ehhez pedig ki kell bővíteni az R + halmazt a 0 (nulla) szám és a negatív számok hozzáadásával.

A pozitív valós számok halmazának a negatív valós számok halmazával és a nullával való uniója az összes valós szám R halmaza.

A valós számok összehasonlítása és a velük végzett műveletek az iskolai matematika tantárgyból ismert szabályok szerint történnek.

Feladatok

1. Ismertesse egy szegmens hosszának mérésének folyamatát, ha az erről szóló jelentés törtként jelenik meg:

a) 3,46; b) 3. (7); c) 3.2. (6).

2. Egyetlen szakasz hetedik része 13-szor illeszkedik az a szegmensbe. Ennek a szakasznak a hosszát véges vagy végtelen tört reprezentálja? Periodikus vagy nem időszakos?

3. Adott egy halmaz: (7; 8; √8; 35,91; -12,5; -√37; 0; 0,123; 4136).

Két osztályra osztható: racionális és irracionális?

4. Ismeretes, hogy bármely szám ábrázolható a koordinátaegyenes pontjával. A racionális koordinátákkal rendelkező pontok kimerítik a teljes koordinátaegyeneset? Mi a helyzet a valós koordinátákkal rendelkező pontokkal?

99. Főbb következtetések 19. §

A bekezdés anyagának tanulmányozása során számos, a matematika iskolai tantárgyából ismert fogalmat tisztáztunk, összekapcsolva azokat egy szakasz hosszának mérésével. Ezek olyan fogalmak, mint például:

tört (helyes és helytelen);

egyenlő törtek;

irreducibilis tört;

pozitív racionális szám;

pozitív racionális számok egyenlősége;

vegyes frakció;

végtelen periodikus decimális;

végtelen, nem periodikus decimális;

irracionális szám;

valós szám.

Megállapítottuk, hogy a törtek egyenlőségének relációja ekvivalencia reláció, és ezt kihasználva meghatároztuk a pozitív racionális szám fogalmát. Azt is megtudtuk, hogy a pozitív racionális számok összeadása és szorzása hogyan kapcsolódik a szakaszok hosszának méréséhez, és képleteket kaptunk azok összegének és szorzatának megállapítására.

A Q+ halmazon a "kisebb, mint" reláció meghatározása lehetővé tette főbb tulajdonságainak megnevezését: rendezett, sűrű, nem tartalmazza a legkisebb és legnagyobb számot.

Bebizonyítottuk, hogy a pozitív racionális számok Q+ halmaza eleget tesz minden olyan feltételnek, amely lehetővé teszi, hogy a természetes számok N halmaza kiterjesztésének tekintsük.

A tizedes törtek bevezetésével bebizonyítottuk, hogy bármely pozitív racionális szám ábrázolható végtelen periodikus tizedes törttel.

A végtelen nem periódusos törteket az irracionális számok rekordjainak tekintjük.

Ha egyesítjük a pozitív racionális és irracionális számok halmazát, akkor a pozitív valós számok halmazát kapjuk: Q+ ∪ J + = R+.

Ha negatív valós számokat és nullát adunk a pozitív valós számokhoz, akkor az összes valós szám R halmazát kapjuk.