Képlet egy kocka kicsinyítéséhez. Rövidített szorzóképletek. Következtetések a leckéből

A rövidített szorzóképleteket (FMF) a számok és kifejezések hatványozására és szorzására használják. Gyakran ezek a képletek lehetővé teszik a számítások tömörebb és gyorsabb elvégzését.

Ebben a cikkben felsoroljuk a rövidített szorzás alapvető képleteit, táblázatba csoportosítjuk, megfontoljuk e képletek használatára vonatkozó példákat, és a rövidített szorzás képletei bizonyítási alapelvein is foglalkozunk.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Első alkalommal kerül szóba az FSU témaköre a 7. osztályos Algebra kurzus keretein belül. Az alábbiakban 7 alapképlet található.

Rövidített szorzóképletek

az összeg négyzetének képlete: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
négyzetkülönbség képlete: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
összeg kocka képlet: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
különbség kocka képlete: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
négyzetkülönbség képlete: a 2 - b 2 = a - b a + b
a kockák összegének képlete: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
a kockák különbségének képlete: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Az a, b, c betűk ezekben a kifejezésekben tetszőleges számok, változók vagy kifejezések lehetnek. A könnyebb használat érdekében jobb, ha fejből megtanulja a hét alapképletet. Tegyük őket táblázatba, és az alábbiakban kerettel körbevéve mutassuk be.

Az első négy képlet lehetővé teszi két kifejezés összegének vagy különbségének négyzetének vagy kockájának kiszámítását.

Az ötödik képlet a kifejezések négyzetei közötti különbséget úgy számítja ki, hogy megszorozza az összeget és a különbséget.

A hatodik és hetedik képlet a kifejezések összegét és különbségét megszorozza a különbség hiányos négyzetével és az összeg hiányos négyzetével.

A rövidített szorzási képletet néha rövidített szorzási azonosságoknak is nevezik. Ez nem meglepő, hiszen minden egyenlőség identitás.

A gyakorlati példák megoldása során gyakran használnak rövidített szorzóképleteket, amelyekben a bal és a jobb oldal felcserélődött. Ez különösen kényelmes polinom faktorálásakor.

További rövidített szorzóképletek

Ne korlátozzuk magunkat a 7. osztályos algebra tanfolyamra, és adjunk hozzá még néhány képletet az FSU táblázatunkhoz.

Először nézzük meg Newton binomiális képletét.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Itt C n k a Pascal-háromszög n számú sorában megjelenő binomiális együtthatók. A binomiális együtthatókat a következő képlet segítségével számítjuk ki:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Amint látjuk, az FSF a különbség és az összeg négyzetére és kockájára a Newton-binomiális képlet speciális esete n=2 és n=3 esetén.

De mi van akkor, ha kettőnél több tag van abban az összegben, amelyet hatványra kell emelni? Hasznos lehet a három, négy vagy több tag összegének négyzetének képlete.

a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Egy másik képlet, amely hasznos lehet, a két tag n-edik hatványa közötti különbség képlete.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Ez a képlet általában két képletre oszlik - páros és páratlan hatványokra.

Akár 2 méteres jelzőkhöz:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2

2m+1 páratlan kitevő esetén:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

A négyzetek különbsége és a kockaképletek különbsége, ahogy sejtette, ennek a képletnek a speciális esetei n = 2 és n = 3 esetén. A kockák különbsége esetén b-t is - b helyettesíti.

Hogyan kell olvasni a rövidített szorzóképleteket?

Minden képlethez megadjuk a megfelelő megfogalmazásokat, de először megértjük a képletek olvasásának elvét. Ennek legkényelmesebb módja egy példa. Vegyük a legelső képletet két szám összegének négyzetére.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Azt mondják: két a és b kifejezés összegének négyzete egyenlő az első kifejezés négyzetének összegével, a kifejezések és a második kifejezés négyzetének szorzatával.

Az összes többi képletet hasonlóan olvassuk. Az a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 különbség négyzetére írjuk:

két a és b kifejezés közötti különbség négyzete egyenlő e kifejezések négyzeteinek összegével, mínusz az első és a második kifejezés szorzatának kétszerese.

Olvassuk fel az a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 képletet. Két a és b kifejezés összegének kockája egyenlő ezen kifejezések kockáinak összegével, háromszorozza meg az első kifejezés négyzetének szorzatát a másodikkal, és háromszorozza meg a második kifejezés négyzetének szorzatát első kifejezés.

Térjünk át az a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 kockák különbségének képletére. A két a és b kifejezés különbségének kockája egyenlő az első kifejezés kockájával, mínusz az első és a második kifejezés négyzetének hármas szorzata, plusz a második kifejezés és az első kifejezés négyzetének hármas szorzata , mínusz a második kifejezés kockája.

Az ötödik képlet a 2 - b 2 = a - b a + b (négyzetek különbsége) így hangzik: két kifejezés négyzeteinek különbsége egyenlő a különbség és a két kifejezés összegének szorzatával.

Az egyszerűség kedvéért az olyan kifejezéseket, mint a 2 + a b + b 2 és a 2 - a b + b 2, az összeg hiányos négyzetének, illetve a különbség nem teljes négyzetének nevezzük.

Ezt figyelembe véve a kockák összegének és különbségének képlete a következőképpen olvasható le:

Két kifejezés kockáinak összege egyenlő e kifejezések összegének és különbségük résznégyzetének szorzatával.

A két kifejezés kockáinak különbsége megegyezik e kifejezések különbségének és összegük résznégyzetének szorzatával.

Az FSU bizonyítéka

Az FSU bizonyítása meglehetősen egyszerű. A szorzás tulajdonságai alapján a zárójelben lévő képletek részeit megszorozzuk.

Vegyük például a négyzetes különbség képletét.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Ahhoz, hogy egy kifejezést a második hatványra emeljen, meg kell szoroznia ezt a kifejezést önmagával.

a - b 2 = a - b a - b .

Bővítsük ki a zárójeleket:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

A képlet bevált. A többi FSU hasonlóképpen bizonyított.

Példák az FSU alkalmazására

A rövidített szorzóképletek használatának célja a kifejezések gyors és tömör szorzása és hatványozása. Ez azonban nem az FSU teljes alkalmazási köre. Széles körben használják kifejezések redukálására, törtek redukálására és polinomok faktorálására. Mondjunk példákat.

1. példa FSU

Egyszerűsítsük le a 9 y - (1 + 3 y) 2 kifejezést.

Alkalmazzuk a négyzetösszeg képletét, és kapjuk:

9 év - (1 + 3 év) 2 = 9 év - (1 + 6 év + 9 év 2) = 9 év - 1 - 6 év - 9 év 2 = 3 év - 1 - 9 év 2

2. példa FSU

Csökkentsük a 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 törtet.

Megjegyezzük, hogy a számlálóban lévő kifejezés a kockák, a nevezőben pedig a négyzetek különbsége.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Csökkentjük és megkapjuk:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Az FSU-k segítenek a kifejezések értékeinek kiszámításában is. A lényeg az, hogy észrevegye, hol kell alkalmazni a képletet. Mutassuk meg ezt egy példával.

Nézzük négyzetre a 79-es számot. A nehézkes számítások helyett írjuk:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Úgy tűnik, hogy egy összetett számítást gyorsan végrehajtanak, csak a rövidített szorzóképletek és a szorzótábla használatával.

Egy másik fontos pont a binomiális négyzetének kiválasztása. A 4 x 2 + 4 x - 3 kifejezés átváltható 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 -re. Az ilyen átalakításokat széles körben alkalmazzák az integrációban.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Az algebrai polinomok egyszerűsítése érdekében léteznek rövidített szorzóképletek. Nincs belőlük olyan sok, és könnyen megjegyezhetők, de emlékezned kell rájuk. A képletekben használt jelölés bármilyen formát ölthet (szám vagy polinom).

Az első rövidített szorzási képletet ún négyzetek különbsége. Ez abból áll, hogy kivonjuk egy szám négyzetét a második szám négyzetéből, amely egyenlő e számok különbségével, valamint a szorzatukkal.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Nézzük meg az érthetőség kedvéért:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

A második képlet kb négyzetek összege. Úgy hangzik, hogy két mennyiség négyzetének összege egyenlő az első mennyiség négyzetével, ehhez hozzáadjuk az első mennyiség kétszeres szorzatát a másodikkal, a második mennyiség négyzetét.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Ennek a képletnek köszönhetően sokkal könnyebbé válik egy nagy szám négyzetének kiszámítása számítógépes technológia használata nélkül.

Tehát például: a 112 négyzete egyenlő lesz
1) Először is bontsuk fel a 112-t számokra, amelyek négyzetei ismerősek számunkra
112 = 100 + 12
2) Az eredményt szögletes zárójelbe írjuk
112 2 = (100+12) 2
3) A képletet alkalmazva a következőket kapjuk:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

A harmadik képlet az négyzetes különbség. Ami azt mondja, hogy egy négyzetben egymásból kivont két mennyiség egyenlő, mert az első négyzetes mennyiségből kivonjuk az első mennyiség kétszeres szorzatát, szorozva a másodikkal, hozzáadva hozzájuk a második mennyiség négyzetét.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

ahol (a - b) 2 egyenlő (b - a) 2-vel. Ennek bizonyítására (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

A rövidített szorzás negyedik képletét ún kocka összeg. Ami így hangzik: két összegző mennyiség egy kockában egyenlő 1 mennyiség kockájával, 1 mennyiség hármasszorzata szorozva a 2. mennyiséggel, ezekhez hozzáadjuk 1 mennyiség hármasszorzatát szorozva 2 négyzetével. mennyiségeket, plusz a második mennyiséget kockára vágva.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Az ötödik, ahogy már megértetted, az úgynevezett különbség kocka. Amely megtalálja a mennyiségek közötti különbségeket, mivel a kocka első jelöléséből kivonjuk az első jelölés hármasszorzatát a négyzetben szorozva a másodikkal, ezekhez hozzáadjuk az első jelölés hármasszorzatát szorozva a második négyzetével. jelölés, mínusz a második jelölés a kockában.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

A hatodik az úgynevezett - kockák összege. A kockák összege megegyezik a két összeadás szorzatával, szorozva a különbség résznégyzetével, mivel középen nincs dupla érték.

a 3 + b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2)

A kockák összegének másik módja az, hogy két zárójelben szorzatnak nevezzük.

A hetedik és egyben utolsó ún kockák különbsége(könnyen összetéveszthető a különbségkocka képlettel, de ezek más dolgok). A kockák különbsége egyenlő két mennyiség különbségének szorzatával az összeg résznégyzetével, mivel középen nincs kettős érték.

a 3 - b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)

Így csak 7 képlet van a rövidített szorzásra, ezek hasonlítanak egymásra és könnyen megjegyezhetőek, csak az a fontos, hogy ne keveredjünk össze a jelekben. Fordított sorrendben történő használatra is készültek, és a tankönyvek jó néhány ilyen feladatot tartalmaznak. Légy óvatos, és minden sikerülni fog neked.

Ha kérdései vannak a képletekkel kapcsolatban, feltétlenül írja meg őket a megjegyzésekben. Örömmel válaszolunk Önnek!

Ha szülési szabadságon van, de szeretne pénzt keresni. Csak kövesse az Internetes üzlet linkjét az Oriflame-mel. Ott minden nagyon részletesen le van írva és bemutatva. Érdekes lesz!

Az előző leckében a faktorizációval foglalkoztunk. Két módszert sajátítottunk el: a közös tényező zárójelből való kitételét és a csoportosítást. Ebben a leckében - a következő hatékony módszer: rövidített szorzóképletek. Röviden - FSU.

A rövidített szorzóképletek (összeg és különbség négyzet, összeg és különbség kocka, négyzetek különbsége, kockák összege és különbsége) rendkívül szükségesek a matematika minden ágában. Használják kifejezések egyszerűsítésére, egyenletek megoldására, polinomok szorzására, törtek redukálására, integrálok megoldására stb. stb. Röviden: minden oka megvan rá, hogy foglalkozzunk velük. Tudja meg, honnan származnak, miért van rájuk szükség, hogyan emlékezzünk rájuk és hogyan alkalmazzuk őket.

Értjük?)

Honnan származnak a rövidített szorzóképletek?

A 6-os és 7-es egyenlőség nem túl ismerős módon van felírva. Valahogy az ellenkezője. Ez szándékos.) Minden egyenlőség balról jobbra és jobbról balra egyaránt működik. Ez a bejegyzés világosabbá teszi, hogy az FSU-k honnan származnak.

Szorzásból veszik őket.) Például:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Ennyi, semmi tudományos trükk. Egyszerűen megszorozzuk a zárójeleket, és hasonlókat adunk. Így derül ki minden rövidített szorzóképlet. Rövidítve A szorzás azért van, mert magukban a képletekben nincs zárójelek szorzása és hasonlók redukálása. Rövidítve.) Az eredmény azonnal megadásra kerül.

Az FSU-t fejből kell ismerni. Az első három nélkül nem álmodhatsz C-ről; a többi nélkül nem álmodhatsz B-ről vagy A-ról.)

Miért van szükségünk rövidített szorzóképletekre?

Két oka van annak, hogy megtanuljuk ezeket a képleteket, sőt meg is jegyezzük. Az első, hogy a kész válasz automatikusan csökkenti a hibák számát. De nem ez a fő ok. De a második...

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Az egyik első olyan téma, amelyet az algebrai kurzuson tanulmányoztak, a rövidített szorzóképletek. A 7. osztályban a legegyszerűbb helyzetekben használatosak, amikor egy kifejezésben fel kell ismerni az egyik képletet, és faktorozni kell egy polinomot, vagy fordítva, gyorsan négyzetre vagy kockára kell tenni egy összeget vagy különbséget. A jövőben az FSU-t egyenlőtlenségek és egyenletek gyors megoldására, sőt néhány numerikus kifejezés kiszámítására is használják számológép nélkül.

Hogyan néz ki a képletek listája?

7 alapvető képlet létezik, amelyek lehetővé teszik a zárójelben lévő polinomok gyors szorzását.

Néha ez a lista a negyedik fokozatra vonatkozó bővítést is tartalmaz, amely a bemutatott identitásokból következik, és a következő formában van:

a⁴ — b⁴ = (a - b) (a + b) (a² + b2).

Minden egyenlőségnek van párja (összeg - különbség), kivéve a négyzetek különbségét. A négyzetösszeg képlete nincs megadva.

A fennmaradó egyenlőségeket könnyű megjegyezni:

Emlékeztetni kell arra, hogy az FSU-k minden esetben és bármilyen érték esetén működnek aÉs b: ezek tetszőleges számok vagy egész kifejezések lehetnek.

Abban a helyzetben, amikor hirtelen nem emlékszik, melyik jel áll a képletben egy adott kifejezés előtt, kinyithatja a zárójeleket, és ugyanazt az eredményt kaphatja, mint a képlet használata után. Például, ha probléma merült fel az FSU differenciálkocka alkalmazásakor, akkor le kell írni az eredeti kifejezést és hajtsa végre a szorzást egyesével:

(a - b)³ = (a - b) (a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Ennek eredményeként az összes hasonló tag megadása után ugyanazt a polinomot kaptuk, mint a táblázatban. Ugyanezek a manipulációk elvégezhetők az összes többi FSU-val.

Az FSU alkalmazása egyenletek megoldására

Például meg kell oldania egy egyenletet, amely tartalmazza 3-as fokú polinom:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Az iskolai tanterv nem terjed ki a köbegyenletek megoldásának univerzális technikáira, és az ilyen feladatokat leggyakrabban egyszerűbb módszerekkel (például faktorizációval) oldják meg. Ha észrevesszük, hogy az azonosság bal oldala egy összeg kockájára hasonlít, akkor az egyenletet egyszerűbb formában is felírhatjuk:

(x + 1)³ = 0.

Egy ilyen egyenlet gyökerét szóban számítják ki: x = -1.

Az egyenlőtlenségeket hasonló módon oldják meg. Például megoldhatja az egyenlőtlenséget x³ – 6x² + 9x > 0.

Először is figyelembe kell vennie a kifejezést. Először zárójelet kell készítenie x. Ezek után vegye figyelembe, hogy a zárójelben lévő kifejezés átváltható a különbség négyzetére.

Ezután meg kell találnia azokat a pontokat, ahol a kifejezés nulla értéket vesz fel, és meg kell jelölnie őket a számegyenesen. Egy adott esetben ezek 0 és 3 lesznek. Ezután az intervallum módszerrel határozzuk meg, hogy x mely intervallumokban felel meg az egyenlőtlenség feltételének.

Az FSU-k hasznosak lehetnek a végrehajtás során néhány számítás számológép segítsége nélkül:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453 000.

Ezenkívül a kifejezések faktorálásával könnyedén csökkentheti a törteket és egyszerűsítheti a különféle algebrai kifejezéseket.

Példák a 7-8. osztályos feladatokra

Befejezésül két feladatot elemezünk és oldunk meg a rövidített szorzóképletek algebrában való használatával kapcsolatban.

1. feladat Egyszerűsítse a kifejezést:

(m + 3)² + (3 m + 1) (3 m - 1) - 2 m (5 m + 3).

Megoldás. A feladat feltétele megköveteli a kifejezés egyszerűsítését, azaz a zárójelek kinyitását, a szorzás és hatványozás műveleteinek elvégzését, valamint az összes hasonló kifejezés behozatalát. A kifejezést feltételesen osszuk három részre (a kifejezések számának megfelelően), és nyissuk meg egyenként a zárójeleket, lehetőség szerint FSU használatával.

(m + 3)² = m² + 6m + 9(összeg négyzet);
(3 m + 1) (3 m - 1) = 9 m² - 1(négyzetek különbsége);
Az utolsó tagban meg kell szorozni: 2 m (5 m + 3) = 10 m² + 6 m.

Helyettesítsük be a kapott eredményeket az eredeti kifejezésbe:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

A jelek figyelembevételével kinyitjuk a zárójeleket és hasonló kifejezéseket mutatunk be:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

2. feladat Oldjunk meg egy egyenletet, amely az ismeretlen k-t 5. hatványig tartalmazza:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Megoldás. Ebben az esetben az FSU-t és a csoportosítási módszert kell használni. Az utolsó és az utolsó előtti kifejezést át kell helyezni az identitás jobb oldalára.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

A közös tényező a jobb és a bal oldalról származik (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Minden átkerül az egyenlet bal oldalára úgy, hogy a 0 a jobb oldalon marad:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Ismét ki kell venni a közös tényezőt:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Az első kapott tényezőből levezethetjük k. A rövid szorzási képlet szerint a második tényező azonos lesz (k+2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0.

A négyzetek különbségi képletével:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.

Mivel egy szorzat akkor egyenlő 0-val, ha legalább az egyik tényezője nulla, nem nehéz megtalálni az egyenlet összes gyökerét:

k = 0;
k-1 = 0; k = 1;
k + 1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2.

A szemléltető példák alapján megértheti, hogyan kell megjegyezni a képleteket, azok különbségeit, és számos gyakorlati problémát is megoldhat az FSU használatával. A feladatok egyszerűek, és nem okozhat nehézségeket az elvégzésük.