helyi maximum. Több változós függvény lokális szélsőpontjainak meghatározása

HELYI MAXIMUM

(helyi maximum) Egy függvény értéke, amely nagyobb, mint argumentumának vagy argumentumkészletének bármely szomszédos értéke, dy/dx= A 0 a lokális maximum eléréséhez szükséges feltétel y=f(x); ilyen feltétel mellett elégséges feltétele a lokális maximum elérésének d2y/dx2 0. Egy lokális maximum lehet abszolút maximum is, ha nincs érték X, amely alatt nál nél több. Ez azonban nem mindig igaz. Vegye figyelembe a funkciót y = x3–3x.dy/dx = 0 mikor x2= egy; és d2y/dx2=6x. nál nél maximuma van x = - 1, de ez csak lokális, nem abszolút maximum, hiszen nál nél elég nagy pozitív érték esetén végtelenül nagy lehet x. Lásd még: ábra a maximális cikkhez.

Gazdaság. Szótár. - M.: "INFRA-M", "Ves Mir" kiadó. J. Black. Főszerkesztőség: a közgazdaságtudomány doktora Osadchaya I.M.. 2000 .

Közgazdasági szótár. 2000 .

Nézze meg, mi az a "LOCAL MAXIMUM" más szótárakban:

helyi maximum- - [A.S. Goldberg. Angol orosz energiaszótár. 2006] Témák energia általában HU helyi maximum ... Műszaki fordítói kézikönyv

helyi maximum- lokalusis maksimumas statusas T terület automatika atitikmenys: engl. helyi maximum vok. Lokalmaximum, n rus. helyi maximum, m pranc. maximum helyi, m … Automatikos terminų žodynas

helyi maximum- vietinė smailė statusas T terület fizika atitikmenys: angl. helyi maximum; helyi csúcs vok. locales Maximum, n rus. helyi maximum, m pranc. maximum helyi, m; pic local, m … Fizikos terminų žodynas

Lokális maximum, helyi minimum- (helyi maximum, lokális minimum) lásd a Függvény szélsőséges... Közgazdasági és matematikai szótár

- (maximum) A függvény legmagasabb értéke, amelyet argumentumai bármely értékéhez felvesz. A maximum lehet lokális vagy abszolút. Például az y=1–x2 függvény abszolút maximuma y=1 x=0-nál; nincs más x értéke, ami ...... Közgazdasági szótár

- (lokális minimum) A függvény értéke, amely kisebb, mint argumentumának vagy argumentumkészletének bármely szomszédos értéke, dy/dx = 0, szükséges feltétele a lokális minimum y=f(x) elérésének; ennek a feltételnek megfelelően elegendő ... ... Közgazdasági szótár

Az extrémum (latin extremum extreme) a matematikában egy függvény maximális vagy minimális értéke egy adott halmazon. Azt a pontot, ahol a szélsőértéket elérjük, szélsőpontnak nevezzük. Ennek megfelelően, ha a minimum extrémum pontot elérjük ... ... Wikipédia

A helyi keresési algoritmusok olyan algoritmusok csoportja, amelyekben a keresés csak az aktuális állapot alapján történik, és a korábban átadott állapotokat nem veszi figyelembe és nem emlékezik meg. A keresés fő célja nem az, hogy megtalálja az optimális utat a ... ... Wikipédiához

- (globális maximum) A függvény értéke, amely egyenlő vagy magasabb, mint bármely más argumentumértékhez vett értéke. Elégséges feltétele egy argumentum függvényének maximumának, ami abból áll, hogy az első deriváltja a ... ... Közgazdasági szótár

- (eng. trend irány, trend) iránya, a politikai folyamat fejlődési iránya, jelenség. Matematikai kifejezése van. A trend (trend) legnépszerűbb meghatározása a Dow-elmélet definíciója. Emelkedő trend...... Politológia. Szótár.

A függvény az argumentumnövekményig növekszik, amely nullára hajlamos. Ennek megtalálásához használja a derivált táblázatot. Például az y = x3 függvény deriváltja egyenlő lesz y’ = x2-vel.

Egyenlítse ezt a derivált nullával (in ez az eset x2=0).

Keresse meg az adott változó értékét! Ezek azok az értékek, amelyeknél ez a derivált 0 lesz. Ehhez helyettesítsen tetszőleges számokat a kifejezésben x helyett, amelynél a teljes kifejezés nullává válik. Például:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Alkalmazza a kapott értékeket a koordináta egyenesre, és mindegyik kapott deriváltra számítsa ki a derivált előjelét. A koordinátavonalon pontok vannak jelölve, amelyeket origónak veszünk. Az intervallumok értékének kiszámításához helyettesítsen tetszőleges értékeket, amelyek megfelelnek a kritériumoknak. Például az előző függvénynél a -1 intervallumig választhatja a -2 értéket. -1-től 1-ig választhat 0-t, 1-nél nagyobb értékek esetén pedig 2-t. Helyettesítse be ezeket a számokat a deriváltban, és találja meg a derivált előjelét. Ebben az esetben az x = -2 derivált egyenlő lesz -0,24-gyel, azaz. negatív, és ezen az intervallumon mínuszjel lesz. Ha x=0, akkor az érték 2 lesz, és erre az intervallumra előjel kerül. Ha x=1, akkor a derivált is egyenlő lesz -0,24-gyel, és mínusz kerül.

Ha a koordinátavonal egy pontján áthaladva a derivált mínuszról pluszra változtatja az előjelét, akkor ez egy minimumpont, ha pedig pluszból mínuszba, akkor ez a maximumpont.

Kapcsolódó videók

Hasznos tanácsok

A származék megtalálásához olyan online szolgáltatások állnak rendelkezésre, amelyek kiszámítják a szükséges értékeket, és megjelenítik az eredményt. Az ilyen oldalakon akár 5 megbízás származékát is találhatja.

Források:

A származékos ügyletek kiszámítására szolgáló szolgáltatások egyike
a függvény maximális pontja

A függvény maximális pontjait a minimumpontokkal együtt szélsőséges pontoknak nevezzük. Ezeken a pontokon a függvény megváltoztatja a viselkedését. Az extrém értékeket korlátozott numerikus időközönként határozzák meg, és mindig lokálisak.

Utasítás

A lokális szélsőségek megtalálásának folyamatát függvénynek nevezzük, és a függvény első és második deriváltjának elemzésével hajtjuk végre. A feltárás megkezdése előtt győződjön meg arról, hogy az argumentumértékek megadott tartománya a megengedett értékekhez tartozik. Például az F=1/x függvénynél az x=0 argumentum értéke érvénytelen. Vagy az Y=tg(x) függvény argumentumának értéke nem lehet x=90°.

Győződjön meg arról, hogy az Y függvény differenciálható a teljes adott intervallumon. Keresse meg az első Y derivált". Nyilvánvaló, hogy a lokális maximumpont elérése előtt a függvény növekszik, a maximumon áthaladva pedig csökkenővé válik. Fizikai jelentésében az első derivált a függvény változási sebességét jellemzi. Amíg a függvény növekszik, ennek a folyamatnak a sebessége pozitív érték A lokális maximumon áthaladva a függvény csökkenni kezd, és a függvény változási folyamata negatívvá válik.A változás sebességének átmenete a függvény nullán át a lokális maximum pontján történik.

Például az Y \u003d -x² + x + 1 függvénynek a -1 és 1 közötti intervallumban Y "\u003d -2x + 1" folytonos deriváltja van. Az x \u003d 1/2 esetén a derivált nulla, és amikor ezen a ponton áthaladva a derivált "+"-ról "-"-ra változtatja az előjelet. Az Y "=-2" függvény második deriváltja. Készítse el az Y=-x²+x+1 függvény pontonkénti grafikonját, és ellenőrizze, hogy az x=1/2 abszcisszával rendelkező pont lokális maximum-e a numerikus tengely adott szakaszán.

A függvénynek van egy belső pontja
területeken D helyi maximum(minimális) ha van a pontnak ilyen környéke
, minden pontra
ami kielégíti az egyenlőtlenséget

Ha a függvénynek a pontban van
helyi maximum vagy helyi minimum, akkor azt mondjuk, hogy ezen a ponton megvan helyi extrémum(vagy csak extrém).

Tétel (extrémum létezésének szükséges feltétele). Ha a differenciálható függvény végpontot ér el a pontban
, akkor a függvény minden elsőrendű parciális deriváltja ezen a ponton eltűnik.

Meghívjuk azokat a pontokat, ahol az összes elsőrendű parciális derivált eltűnik a függvény stacionárius pontjai
. Ezeknek a pontoknak a koordinátáit a rendszer megoldásával találhatjuk meg egyenletek

Az extrémum létezésének szükséges feltétele differenciálható függvény esetén a következőképpen fogalmazható meg röviden:

Vannak esetek, amikor bizonyos pontokon néhány parciális derivált végtelen értékű vagy nem létezik (míg a többi egyenlő nullával). Az ilyen pontokat ún a funkció kritikus pontjai. Ezeket a pontokat is "gyanúsnak" kell tekinteni egy szélsőség esetében, csakúgy, mint az állókat.

Két változós függvény esetén az extrémum szükséges feltétele, nevezetesen a parciális deriváltak (differenciál) nullával való egyenlősége a szélsőpontban, geometriai értelmezésű: felület érintő síkja
a szélső ponton párhuzamosnak kell lennie a síkkal
.

20. Elegendő feltétel az extrémum létezéséhez

A szélsőség létéhez szükséges feltétel egy bizonyos ponton való teljesülése egyáltalán nem garantálja az ottani szélsőség meglétét. Példaként vehetjük a mindenhol differenciálható függvényt
. A parciális deriváltjai és maga a függvény is eltűnik a ponton
. Ennek a pontnak a szomszédságában azonban mindkettő pozitív (nagy
) és negatív (kisebb
) ennek a függvénynek az értékeit. Ezért ezen a ponton definíció szerint nincs szélsőség. Ezért kell ismerni kellő feltételeket, amelyek mellett az extrémum gyanús pontja a vizsgált függvény szélsőpontja.

Tekintsük két változó függvényének esetét. Tegyük fel, hogy a függvény
definiált, folytonos, és folyamatos parciális deriváltjai vannak, egészen a második rendig bezárólag egy bizonyos pont szomszédságában
, amely a függvény stacionárius pontja
, azaz megfelel a feltételeknek

,
.

Bemutatjuk a jelölést:

Tétel (elegendő feltétel a szélsőség létezéséhez). Hagyja a függvényt
kielégíti a fenti feltételeket, nevezetesen: a stacionárius pont valamely szomszédságában differenciálható
és magán a ponton kétszer differenciálható
. Aztán ha

Ha
majd a függvény
azon a ponton
elér

helyi maximum nál nél
és

helyi minimum nál nél
.

Általában egy funkcióhoz
elégséges feltétele a létezésnek egy ponton
helyiminimális(maximális) van pozitív(negatív) a második differenciál határozottsága.

Más szóval a következő állítás igaz.

Tétel . Ha azon a ponton
funkcióhoz

bármely nem egyenlő nullával egyszerre
, akkor ezen a ponton a függvény rendelkezik minimális(hasonló maximális, ha
).

18. példa.Keresse meg egy függvény lokális szélsőpontját

Megoldás. Keresse meg a függvény parciális deriváltjait, és egyenlővé tegye őket nullával:

Ezt a rendszert megoldva két lehetséges szélsőpontot találunk:

Keressük ennek a függvénynek másodrendű parciális deriváltjait:

Az első állópontban tehát és
Ezért ehhez a ponthoz további kutatásra van szükség. Funkció értéke
ezen a ponton nulla:
További,

nál nél

a

nál nél

Ezért a pont bármely szomszédságában
funkció
nagynak veszi az értékeket
, és kisebb
, és ezért a ponton
funkció
definíció szerint nincs lokális szélsőértéke.

A második állóponton

ezért, ezért, mivel
majd a ponton
a függvénynek van lokális maximuma.

Egy sokváltozós f(x) függvénynél az x pont egy vektor, f'(x) az f(x) függvény első deriváltjainak (gradiensének) vektora, f ′ ′(x) szimmetrikus mátrix második parciális deriváltak (Hesse-mátrix − Hess-i) függvényei f(x).
Több változó függvényére az optimalitási feltételeket a következőképpen fogalmazzuk meg.
A lokális optimalitás szükséges feltétele. Legyen f(x) differenciálható az x * R n pontban. Ha x * egy lokális szélsőpont, akkor f'(x *) = 0.
Mint korábban, azokat a pontokat, amelyek egy egyenletrendszer megoldásai, stacionáriusnak nevezzük. Az x * stacionárius pont természete összefügg az f′ ′(x) Hess-mátrix előjel-meghatározásával.
Az A mátrix előjel-határozottsága a Q(α)= másodfokú alak előjeleitől függ< α A, α >minden nullától eltérő α∈R n esetén.
Itt és tovább az x és y vektorok skaláris szorzatát jelöljük. Definíció szerint,

Egy A mátrix pozitívan (nem negatívan) határozott, ha Q(α)>0 (Q(α)≥0) minden nullától eltérő α∈R n esetén; negatívan (nem pozitívan) határozott, ha Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 néhány nem nulla α∈R n és Q(α) esetén<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Elégséges feltétele a lokális optimalitásnak. Legyen f(x) kétszer differenciálható az x * R n pontban, és f’(x *)=0 , azaz. x * − állópont. Ekkor, ha az f (x *) mátrix pozitív (negatív) definit, akkor x * egy lokális minimum (maximum) pont; ha az f′′(x *) mátrix határozatlan, akkor x * nyeregpont.
Ha az f′′(x *) mátrix nem negatívan (nem pozitívan) határozott, akkor az x * stacionárius pont természetének meghatározásához magasabb rendű deriváltak vizsgálata szükséges.
Egy mátrix előjel-határozottságának ellenőrzésére általában a Sylvester-kritériumot használjuk. E kritérium szerint egy A szimmetrikus mátrix akkor és csak akkor pozitív határozott, ha minden szögmollja pozitív. Ebben az esetben az A mátrix szögmollja az A mátrix elemeiből felépített mátrix determinánsa, amely azonos (és az első) számú sorok és oszlopok metszéspontjában áll. Az A szimmetrikus mátrix negatív meghatározottságának ellenőrzéséhez ellenőrizni kell az (−A) mátrix pozitív meghatározottságát.
Tehát a sok változós függvény lokális szélsőpontjainak meghatározására szolgáló algoritmus a következő.
1. Keresse meg az f′(x) értéket.
2. A rendszer megoldva

Ennek eredményeként az x i stacionárius pontokat számítjuk ki.
3. Keresse meg az f′′(x) értéket, állítsa be az i=1-et.
4. Keresse meg f′′(x i)
5. Az f′′(x i) mátrix szögmolljainak kiszámítása. Ha nem minden szögmoll nullától eltérő, akkor az x i stacionárius pont természetének meghatározásához magasabb rendű deriváltak vizsgálata szükséges. Ebben az esetben a 8. tételre való áttérés történik.
Ellenkező esetben folytassa a 6. lépéssel.
6. Elemezzük az f′′(x i) szögmollok jeleit. Ha f′′(x i) pozitív definit, akkor x i egy lokális minimumpont. Ebben az esetben a 8. tételre való áttérés történik.
Ellenkező esetben lépjen a 7. pontra.
7. A -f′′(x i) mátrix szögmolljainak kiszámítása és előjeleinek elemzése történik.
Ha -f′′(x i) − pozitív definit, akkor f′′(x i) negatív definit, x i pedig egy lokális maximumpont.
Egyébként f′′(x i) határozatlan, x i pedig nyeregpont.
8. Ellenőrizzük az összes stacionárius pont jellegének meghatározásának feltételét i=N.
Ha ez teljesül, akkor a számítások befejeződnek.
Ha a feltétel nem teljesül, akkor i=i+1-et feltételezünk, és áttérünk a 4. lépésre.

1. példa. Határozzuk meg az f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 függvény lokális szélsőpontjait

Mivel minden sarok-moll nem nulla, az x 2 karakterét f′′(x) határozza meg.
Mivel az f′′(x 2) mátrix pozitív definit, x 2 egy lokális minimumpont.
Válasz: az f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 függvénynek van egy lokális minimuma az x = (5/3; 8/3) pontban.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Azt mondják, hogy $f$-nak van helyi maximum a $x_(0) \in E$ pontban, ha létezik a $x_(0)$ pontnak olyan $U$ szomszédsága, hogy minden $x \in U$-ban a $f\left(x\right) egyenlőtlenség \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

A helyi maximumot nevezzük szigorú , ha a $U$ szomszédság úgy választható meg, hogy minden $x \in U$-ban, amely különbözik $x_(0)$-tól, $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Meghatározás
Legyen $f$ egy valós függvény egy $E \subset \mathbb(R)^(n)$ nyílt halmazon. Azt mondják, hogy $f$-nak van helyi minimum a $x_(0) \in E$ pontban, ha létezik a $x_(0)$ pontnak olyan $U$ szomszédsága, hogy minden $x \in U$-ban a $f\left(x\right) egyenlőtlenség \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

A helyi minimumot szigorúnak mondjuk, ha a $U$ környék úgy választható, hogy minden $x \in U$ különbözik $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_) ( 0)\jobbra)$.

A lokális szélsőség egyesíti a lokális minimum és a lokális maximum fogalmát.

Tétel (a differenciálható függvény szélsőértékének szükséges feltétele)
Legyen $f$ egy valós függvény egy $E \subset \mathbb(R)^(n)$ nyílt halmazon. Ha az $x_(0) \in E$ pontban a $f$ függvénynek ezen a ponton is van lokális szélsőértéke, akkor a $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Az egyenlőség a nullával egyenlő azzal a ténnyel, hogy mindegyik egyenlő nullával, azaz. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Egydimenziós esetben ez . Jelölje $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, ahol a $h$ egy tetszőleges vektor. A $\phi$ függvény kellően kicsi $t$ moduloértékekhez van definiálva. Ezen túlmenően a tekintetében differenciálható, és $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Legyen $f$ helyi maximuma x $0$. Ezért a $\phi$ függvénynek $t = 0$-nál van egy lokális maximuma, és Fermat tétele szerint $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Tehát azt kaptuk, hogy $df \left(x_(0)\right) = 0$, azaz. a $f$ függvény a $x_(0)$ pontban bármely $h$ vektoron egyenlő nullával.

Meghatározás
Azok a pontok, ahol a differenciál egyenlő nullával, azaz. azokat, amelyekben minden parciális derivált nulla, stacionáriusnak nevezzük. kritikus pontok Az $f$ függvények azok a pontok, ahol az $f$ nem differenciálható, vagy egyenlő nullával. Ha a pont stacionárius, akkor ebből még nem következik, hogy a függvénynek ezen a ponton van szélsősége.

1. példa
Legyen $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Ezután $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, tehát a $\left(0,0\right)$ stacionárius pont, de a függvénynek ezen a ponton nincs extrémuma. Valójában $f \left(0,0\right) = 0$, de könnyen belátható, hogy a $\left(0,0\right)$ pont bármely környezetében a függvény pozitív és negatív értékeket is felvesz.

2. példa
A $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ függvény koordinátáinak origója stacionárius pont, de jól látható, hogy ezen a ponton nincs szélsőség.

Tétel (elegendő feltétel egy szélsőséghez).
Legyen egy $f$ függvény kétszer folytonosan differenciálható egy $E \subset \mathbb(R)^(n)$ nyílt halmazon. Legyen $x_(0) \in E$ egy állópont, és $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Akkor

ha $Q_(x_(0))$ értéke, akkor a $x_(0)$ pontban lévő $f$ függvénynek van egy lokális szélsőértéke, azaz a minimum, ha az alak pozitív-határozott, és a maximum, ha az alak negatív-határozott;
ha a $Q_(x_(0))$ másodfokú alak határozatlan, akkor a $x_(0)$ pontban lévő $f$ függvénynek nincs szélsőértéke.

Használjuk a Taylor-képlet szerinti bővítést (12,7 p. 292) . Figyelembe véve, hogy a $x_(0)$ pont elsőrendű parciális deriváltjai nullával egyenlőek, a következőt kapjuk: $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ részleges x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ ahol $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, és $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ $h \rightarrow 0$ esetén, akkor a jobb oldal pozitív minden kellően kis hosszúságú $h$ vektorra.
Így arra a következtetésre jutottunk, hogy a $x_(0)$ pont valamelyik szomszédságában teljesül a $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ egyenlőtlenség, ha csak $ x \neq x_ (0)$ ($x=x_(0)+h$\jobbra tesszük). Ez azt jelenti, hogy a $x_(0)$ pontban a függvénynek szigorú lokális minimuma van, így tételünk első része bizonyítást nyer.
Tegyük fel, hogy a $Q_(x_(0))$ egy határozatlan alak. Ezután vannak $h_(1)$, $h_(2)$ vektorok úgy, hogy $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Ekkor megkapjuk a $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Elég kicsi $t>0$ esetén a jobb oldal pozitív. Ez azt jelenti, hogy a $x_(0)$ pont bármely környezetében a $f$ függvény a $f \left(x\right)$ értéket nagyobb, mint $f \left(x_(0)\right)$.
Hasonlóképpen megkapjuk, hogy a $x_(0)$ pont bármely környezetében a $f$ függvény kisebb értékeket vesz fel, mint $f \left(x_(0)\right)$. Ez az előzővel együtt azt jelenti, hogy a $f$ függvénynek nincs extrémuma a $x_(0)$ pontban.

Tekintsük ennek a tételnek egy sajátos esetét egy $f \left(x,y\right)$ függvényre, amely két olyan változóból áll, amely a $\left(x_(0),y_(0)\right) pont valamelyik szomszédságában van definiálva. $ és az első és másodrendű folyamatos parciális deriváltjaival. Legyen $\left(x_(0),y_(0)\right)$ egy állópont, és legyen $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\jobbra), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Ekkor az előző tétel a következő alakot veszi fel.

Tétel
Legyen $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Akkor:

ha $\Delta>0$, akkor a $f$ függvénynek van egy lokális szélsőértéke a $\left(x_(0),y_(0)\right)$ pontban, azaz minimum, ha $a_(11)> 0$ , és maximum, ha $a_(11)<0$;
ha $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Példák problémamegoldásra

Algoritmus sok változó függvényének szélsőértékének megtalálására:

Helyhez kötött pontokat találunk;
A 2. rendű differenciált minden stacionárius pontban megtaláljuk
A több változóból álló függvény extrémumának elégséges feltételét felhasználva minden stacionárius pontban figyelembe vesszük a másodrendű differenciált

Vizsgáljuk meg a függvényt a $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ szélső értékig.
Megoldás
Keresse meg az 1. sorrendű részleges származékait: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Állítsa össze és oldja meg a rendszert: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(esetek) \Jobbra \begin(esetek)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(esetek) \Jobbra \begin(esetek)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(esetek)$$ A 2. egyenletből a következőt fejezzük ki: $x=4 \cdot y^(2)$ – az 1. egyenlet behelyettesítése: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ jobb )^(2)-2 \cdot y=0$$ $16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Ennek eredményeként 2 stacionárius pontot kapunk:
1) $y=0 \jobbra nyíl x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
Ellenőrizzük az elégséges extrémum feltétel teljesülését:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) $M_(1)= \left(0,0\right)$ ponthoz:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) A $M_(2)$ ponthoz:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, tehát van egy szélsőérték a $M_(2)$ pontban, és mivel $A_(2)>0 $, akkor ez a minimum.
Válasz: A $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ pont a $f$ függvény minimális pontja.
Vizsgálja meg a $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ szélsőség függvényét.
Megoldás
Állandó pontok keresése: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Állítsa össze és oldja meg a rendszert: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Jobbra \begin(esetek)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(esetek) \Jobbra \begin(esetek) y = 2\\y + x = 1\end(esetek) \Jobbra x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ egy állópont.
Ellenőrizzük az elegendő extrémum feltétel teljesülését: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Válasz: nincsenek szélsőségek.

Időkorlát: 0

Navigáció (csak munkaszámok)

4 feladatból 0 teljesítve

Információ

Töltsd ki ezt a kvízt, hogy teszteld tudásodat az imént olvasott témában, a helyi szélsőséges függvények sok változóban.

Korábban már letetted a tesztet. Nem futtathatja újra.

A teszt betöltődik...

A teszt elindításához be kell jelentkeznie vagy regisztrálnia kell.

Ennek elindításához el kell végeznie a következő teszteket:

eredmények

Helyes válaszok: 0 a 4-ből

A te időd:

Lejárt az idő

0 pontból 0 pontot ért el (0 )

Pontszámod felkerült a ranglistára

Egy válasszal
Kijelentkezett

4/1. feladat

1 .

Pontok száma: 1

Vizsgálja meg a $f$ függvényt a szélsőségekre: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Helyesen

Nem megfelelően

4/2. feladat

2 .
Pontok száma: 1
A függvény $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$