Tanórán kívüli óra – arcszinusz

Óra és előadás a témában: "Arcsine. Arcsinusok táblázata. y=arcsin(x) képlet"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Kézikönyvek és szimulátorok az Integral online áruházban 10. osztályhoz az 1C-től
Szoftverkörnyezet "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Geometriai feladatokat oldunk meg. Interaktív feladatok térépítéshez

Amit tanulmányozni fogunk:
1. Mi az arcszinusz?
2. Arcsine jelölés.
3. Egy kis történelem.
4. Meghatározás.

6. Példák.

Mi az arszinusz?

Srácok, már megtanultuk, hogyan kell megoldani a koszinusz egyenleteit, most pedig tanuljuk meg, hogyan oldjunk meg hasonló egyenleteket szinuszra. Tekintsük sin(x)= √3/2. Ennek az egyenletnek a megoldásához meg kell alkotnia egy y= √3/2 egyenest, és meg kell néznie, hogy mely pontokban metszi a számkört. Látható, hogy az egyenes két F és G pontban metszi a kört. Ezek a pontok adják a megoldást az egyenletünkre. Jelöljük át F-et x1-nek, G-t pedig x2-nek. Már megtaláltuk ennek az egyenletnek a megoldását, és megkaptuk: x1= π/3 + 2πk,
és x2= 2π/3 + 2πk.

Ennek az egyenletnek a megoldása meglehetősen egyszerű, de hogyan kell megoldani például az egyenletet
sin(x)= 5/6. Nyilván ennek az egyenletnek is két gyöke lesz, de milyen értékek felelnek meg a számkör megoldásának? Nézzük meg közelebbről a sin(x)= 5/6 egyenletünket.
Az egyenletünk megoldása két pont lesz: F= x1 + 2πk és G= x2+ 2πk,
ahol x1 az AF ív hossza, x2 az AG ív hossza.
Megjegyzés: x2= π - x1, mert AF= AC - FC, de FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
De mik ezek a pontok?

Hasonló helyzettel szembesültek a matematikusok egy új szimbólummal – arcsin(x). Olvasás arcszinuszként.

Ekkor az egyenletünk megoldását a következőképpen írjuk fel: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

És a megoldás általános formában: x= arcsin(5/6) + 2πk és x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Az arcsinusz a szög (ívhossz AF, AG) szinusz, amely egyenlő 5/6-dal.

Egy kis arcszintörténet

Szimbólumunk keletkezésének története pontosan megegyezik az arccokéval. Az arcsin szimbólum először Scherfer matematikus és a híres francia tudós, J. L. munkáiban jelenik meg. Lagrange. Valamivel korábban az arcszinusz fogalmát D. Bernouli vette figyelembe, bár más-más szimbólumokkal írta.

Ezek a szimbólumok csak a 18. század végén váltak általánosan elfogadottá. Az „ív” előtag a latin „arcus” (íj, ív) szóból származik. Ez teljesen összhangban van a fogalom jelentésével: arcsin x egy szög (vagy mondhatjuk egy ív), amelynek szinusza egyenlő x-szel.

Az arcszinusz definíciója

Ha |a|≤ 1, akkor arcsin(a) egy szám a [- π/2; π/2], melynek szinusza egyenlő a-val.

Ha |a|≤ 1, akkor a sin(x)= a egyenletnek van megoldása: x= arcsin(a) + 2πk és
x= π - arcsin(a) + 2πk

Írjuk át:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Srácok, nézzék meg alaposan a két megoldásunkat. Mit gondolsz: leírhatók-e általános képlettel? Figyeljük meg, hogy ha az arcszinusz előtt plusz előjel van, akkor π-t megszorozzuk a 2πk páros számmal, ha pedig mínuszjel van, akkor a szorzó páratlan 2k+1.
Ezt figyelembe véve írjuk fel a sin(x)=a egyenlet megoldásának általános képletét:

Három olyan eset van, amikor a megoldásokat egyszerűbb módon érdemes leírni:

sin(x)=0, akkor x= πk,

sin(x)=1, akkor x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, akkor x= -π/2 + 2πk.

Bármely -1 ≤ a ≤ 1 esetén érvényes az egyenlőség: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Írjuk fel a koszinuszértékek táblázatát fordítva, és kapjunk egy táblázatot az arcszinuszhoz.

Példák

1. Számítsa ki: arcsin(√3/2).
Megoldás: Legyen arcsin(√3/2)= x, majd sin(x)= √3/2. Definíció szerint: - π/2 ≤x≤ π/2. Nézzük meg a szinuszértékeket a táblázatban: x= π/3, mert sin(π/3)= √3/2 és –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Válasz: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Számítsa ki: arcsin(-1/2).
Megoldás: Legyen arcsin(-1/2)= x, majd sin(x)= -1/2. Definíció szerint: - π/2 ≤x≤ π/2. Nézzük meg a szinuszértékeket a táblázatban: x= -π/6, mert sin(-π/6)= -1/2 és -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Válasz: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Számítsa ki: arcsin(0).
Megoldás: Legyen arcsin(0)= x, majd sin(x)= 0. Definíció szerint: - π/2 ≤x≤ π/2. Nézzük meg a szinusz értékeit a táblázatban: ez x= 0-t jelent, mert sin(0)= 0 és - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Válasz: arcsin(0)=0.

4. Oldja meg az egyenletet: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk és x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Nézzük az értéket a táblázatban: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Válasz: x= -π/4 + 2πk és x= 5π/4 + 2πk.

5. Oldja meg az egyenletet: sin(x) = 0!
Megoldás: Használjuk a definíciót, ekkor a megoldás a következő formában lesz írva:
x= arcsin(0) + 2πk és x= π - arcsin(0) + 2πk. Nézzük meg az értéket a táblázatban: arcsin(0)= 0.
Válasz: x= 2πk és x= π + 2πk

6. Oldja meg az egyenletet: sin(x) = 3/5.
Megoldás: Használjuk a definíciót, ekkor a megoldás a következő formában lesz írva:
x= arcsin(3/5) + 2πk és x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Válasz: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Oldja meg a sin(x) egyenlőtlenséget Megoldás: A szinusz a számkör egy pontjának ordinátája. Ez azt jelenti: meg kell találnunk azokat a pontokat, amelyek ordinátája kisebb, mint 0,7. Rajzoljunk egy egyenest y=0,7. Két pontban metszi a számkört. y egyenlőtlenség Ekkor az egyenlőtlenség megoldása a következő lesz: -π – arcsin(0,7) + 2πk

Arcsine feladatok önálló megoldáshoz

Mi az arcszinusz, arkoszinusz? Mi az arctangens, arckotangens?

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

A fogalmakhoz arcszinusz, arccosinus, arctangens, arccotangens A diákság óvatos. Nem érti ezeket a kifejezéseket, ezért nem bízik ebben a kedves családban.) De hiába. Ezek nagyon egyszerű fogalmak. Amelyek mellesleg hatalmasat könnyítenek egy hozzáértő ember életét a trigonometrikus egyenletek megoldása során!

Kétségei vannak az egyszerűséggel kapcsolatban? Hiába.) Itt és most ezt fogod látni.

Természetesen a megértés érdekében jó lenne tudni, mi a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Igen, táblázatos értékeik bizonyos szögeknél... Legalábbis a legáltalánosabb értelemben. Akkor itt sem lesz gond.

Szóval meglepődünk, de ne feledjük: arcszinusz, arkoszinusz, arctangens és arckotangens csak néhány szög. Se több se kevesebb. Van egy szög, mondjuk 30°. És van egy sarok arcsin0.4. Vagy arctg(-1.3). Mindenféle szög létezik.) Egyszerűen leírhatja a szögeket különböző módokon. A szöget felírhatja fokban vagy radiánban. Vagy megteheti - szinuszán, koszinuszán, érintőjén és kotangensén keresztül...

Mit jelent a kifejezés

arcsin 0,4?

Ez az a szög, amelynek szinusza 0,4! Igen igen. Ez az arcszinusz jelentése. Konkrétan megismétlem: az arcsin 0,4 olyan szög, amelynek szinusza 0,4.

Ez minden.

Hogy ezt az egyszerű gondolatot sokáig a fejedben tartsam, még le is bontom ezt a szörnyű kifejezést - arcsine:

ív bűn 0,4
sarok, melynek szinusza egyenlő 0,4

Ahogy meg van írva, úgy hallatszik.) Majdnem. Konzol ív eszközök ív(szó boltív tudod?), mert az ókori emberek íveket használtak szögek helyett, de ez nem változtat a dolog lényegén. Emlékezzen erre a matematikai kifejezés elemi dekódolására! Ráadásul az arccosine, arctangens és arccotangens esetében a dekódolás csak a függvény nevében tér el.

Mi az az arccos 0.8?
Ez egy szög, amelynek koszinusza 0,8.

Mi az arctg(-1,3)?
Ez egy szög, amelynek érintője -1,3.

Mi az arcctg 12?
Ez egy szög, amelynek kotangense 12.

Az ilyen elemi dekódolás egyébként lehetővé teszi az epikus baklövések elkerülését.) Például az arccos1,8 kifejezés elég szilárdnak tűnik. Kezdjük a dekódolást: Az arccos1.8 egy olyan szög, amelynek koszinusza 1,8... Ugrás-ugrás!? 1.8!? A koszinusz nem lehet nagyobb egynél!!!

Jobb. Az arccos1,8 kifejezésnek nincs értelme. És ha egy ilyen kifejezést valamilyen válaszba ír, az nagyon szórakoztatja az ellenőrt.)

Elemi, amint látja.) Minden szögnek megvan a maga személyes szinusza és koszinusza. És szinte mindenkinek megvan a maga érintője és kotangense. Ezért a trigonometrikus függvény ismeretében magát a szöget is felírhatjuk. Erre szolgálnak az arcszinusok, arckoszinusok, arctangensek és arckotangensek. Mostantól ezt az egész családot kicsinyítő néven fogom hívni - ívek. Kevesebbet gépelni.)

Figyelem! Elemi verbális és tudatos az ívek megfejtése lehetővé teszi a különféle feladatok nyugodt és magabiztos megoldását. És be szokatlan Csak ő menti el a feladatokat.

Át lehet váltani az ívekről a közönséges fokokra vagy radiánokra?- Hallok egy óvatos kérdést.)

Miért ne!? Könnyen. Mehetsz oda és vissza. Ráadásul ezt néha meg kell tenni. Az ívek egyszerű dolog, de valahogy nyugodtabb nélkülük, igaz?)

Például: mi az arcsin 0.5?

Emlékezzünk a dekódolásra: arcsin 0,5 az a szög, amelynek szinusza 0,5. Most fordítsa a fejét (vagy a Google-t)), és emlékezzen, melyik szög szinusza 0,5? A szinusz 0,5 y 30 fokos szögben. Ez az: arcsin 0,5 30°-os szög. Nyugodtan írhatod:

arcsin 0,5 = 30°

Vagy formálisabban, radiánban:

Ez az, elfelejtheti az arcszinust, és folytathatja a munkát a szokásos fokokkal vagy radiánokkal.

Ha rájöttél mi az arcszinusz, arkkoszinusz... Mi az arctangens, arckotangens... Könnyen megbirkózik például egy ilyen szörnyeteggel.)

A tudatlan ember rémülten hátrálni fog, igen...) De egy tájékozott ember emlékezz a dekódolásra: arcszinusz az a szög, amelynek szinusza... És így tovább. Ha egy hozzáértő ember ismeri a szinusztáblázatot is... A koszinusztáblázatot. Érintő- és kotangens táblázat, akkor egyáltalán nincs probléma!

Elég, ha ráébredünk, hogy:

Megfejtem, pl. Hadd fordítsam le a képletet szavakra: szög, amelynek érintője 1 (arctg1)- ez 45°-os szög. Vagy ami ugyanaz, a Pi/4. Hasonlóképpen:

és ennyi... Kicseréljük az összes ívet radiánban kifejezett értékre, minden lecsökken, csak ki kell számítani, hogy mennyi az 1+1. 2 lesz.) Melyik a helyes válasz.

Így lehet (és kell) áttérni az arcszinuszokról, arkoszinuszokról, arctangensekről és arccotangensekről a közönséges fokokra és radiánokra. Ez nagyban leegyszerűsíti az ijesztő példákat!

Az ilyen példákban gyakran az ívek belsejében vannak negatív jelentések. Például arctg(-1.3), vagy pl arccos(-0.8)... Ez nem probléma. Íme egyszerű képletek a negatív értékekről a pozitív értékekre való áttéréshez:

Mondjuk meg kell határoznia a kifejezés értékét:

Ezt meg lehet oldani a trigonometrikus kör segítségével, de nem akarod megrajzolni. Hát rendben. elköltözünk negatívértékek a k arc koszinuszán belül pozitív a második képlet szerint:

A jobb oldali ív koszinusz belsejében már van pozitív jelentése. Mit

egyszerűen tudnod kell. Nincs más hátra, mint az arc koszinusz helyett radiánnal helyettesíteni, és kiszámítani a választ:

Ez minden.

Korlátozások az arcszinuszra, arccosinera, arctangensre, arccotangensre.

Van-e probléma a 7–9. példákkal? Nos, igen, van valami trükk.)

Mindezeket a példákat 1-től 9-ig gondosan elemzi az 555. szakasz. Mit, hogyan és miért. A titkos csapdákkal és trükkökkel együtt. Plusz módszerek a megoldás drámai egyszerűsítésére. Ez a rész egyébként sok hasznos információt és gyakorlati tippet tartalmaz a trigonometriáról általában. És nem csak a trigonometriában. Sokat segít.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Ez a cikk egy adott szám arcszinusz, arkoszinusz, arctangens és arckotangens értékeinek megtalálásának kérdéseit tárgyalja. Először bemutatjuk az arcszinusz, arkoszinusz, arctangens és arckotangens fogalmát. A függvények megkereséséhez figyelembe vesszük a fő értékeket, táblázatok segítségével, beleértve a Bradis-t is.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az arcszinusz, arkkoszinusz, arctangens és arckotangens értékei

Meg kell érteni az „arszinus, arccosine, arctangens, arccotangens értékek” fogalmát.

Egy szám arcszinuszának, arkoszinuszának, arctangensének és arckotangensének definíciói segítenek megérteni az adott függvények kiszámítását. Egy szög trigonometrikus függvényeinek értéke egyenlő az a számmal, akkor automatikusan ennek a szögnek az értékét tekintjük. Ha a egy szám, akkor ez a függvény értéke.

A világos megértés érdekében nézzünk egy példát.

Ha megvan egy π 3 szög ív koszinusza, akkor a koszinusz értéke innen a koszinusz táblázat szerint egyenlő 1 2-vel. Ez a szög a nullától a piig terjedő tartományban helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy az 1 2 ív koszinusz értéke π 3-mal lesz. Ezt a trigonometrikus kifejezést a r cos (1 2) = π 3 alakban írjuk fel.

A szög lehet fok vagy radián. A π 3 szög értéke 60 fokos szögnek felel meg (további részletek a témában fokok átváltása radiánra és vissza). Ennek a példának az 1 2 ív koszinusz értéke 60 fok. Ez a trigonometrikus jelölés úgy néz ki, mint a r c cos 1 2 = 60 °

Az arcsin, arccos, arctg és arctg alapértékei

Köszönet szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata, Pontos szögértékeink vannak 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 fokban. A táblázat meglehetősen kényelmes, és abból kaphat néhány értéket az ívfüggvényekhez, amelyeket az arcszinusz, az arccosine, az arctangens és az arccotangens alapértékeinek neveznek.

Az alapszögek szinuszainak táblázata a következő eredményeket kínálja a szögértékekre:

sin (- π 2) = - 1, sin (- π 3) = - 3 2, sin (- π 4) = - 2 2, sin (- π 6) = - 1 2, sin 0 = 0, sin π 6 = 1 2, sin π 4 = 2 2, sin π 3 = 3 2, sin π 2 = 1

Figyelembe véve ezeket, könnyen kiszámítható az összes standard érték számának arcszinusza - 1-től 1-ig, valamint - π 2 - + π 2 radián értékek, az alapdefiníciós értékét követve. Ezek az arcszinusz alapértékei.

Az arcszinusz értékek kényelmes használatához beírjuk őket a táblázatba. Idővel meg kell tanulnod ezeket az értékeket, mivel a gyakorlatban gyakran kell majd hivatkoznod rájuk. Az alábbiakban az arcszinusz táblázat látható radián- és fokszögekkel.

Az ív koszinusz alapértékeinek megszerzéséhez hivatkoznia kell a fő szögek koszinuszainak táblázatára. Akkor nálunk van:

cos 0 = 1, cos π 6 = 3 2, cos π 4 = 2 2, cos π 3 = 1 2, cos π 2 = 0, cos 2 π 3 = - 1 2, cos 3 π 4 = - 2 2, cos 5 π 6 = - 3 2, cos π = - 1

A táblázatból az ív koszinusz értékeket találjuk:

a r c cos (- 1) = π, arccos (- 3 2) = 5 π 6, arccos (- 2 2) = 3 π 4, arccos - 1 2 = 2 π 3, arccos 0 = π 2, arccos 1 2 = π 3, arccos 2 2 = π 4, arccos 3 2 = π 6, arccos 1 = 0

Ív koszinusz táblázat.

Ugyanígy, a definíció és a szabványos táblázatok alapján megtaláljuk az arctangens és az arkkotangens értékeit, amelyeket az alábbi arktangensek és arccotangensek táblázata mutat be.

a r c sin , a r c cos , a r c t g és a r c c t g

Az a szám r c sin, a r c cos, a r c t g és a r c c t g pontos értékéhez ismerni kell a szög értékét. Erről volt szó az előző bekezdésben. A függvény pontos jelentését azonban nem ismerjük. Ha meg kell találni az ívfüggvények numerikus közelítő értékét, használja a T szinuszok, koszinuszok, érintők és Bradis kotangensek táblázata.

Egy ilyen táblázat lehetővé teszi meglehetősen pontos számítások elvégzését, mivel az értékeket négy tizedesjegygel adják meg. Ennek köszönhetően a számok percre pontosak. Az a r c sin, a r c cos, a r c t g és a r c c t g negatív és pozitív számok értékeit az a r c sin, a r c cos, a r c t g és a r c c t g képletekre redukáljuk, amelyek ellentétes számok a r c sin (- α) = - a r c sin formája. α, a r c cos (- α) = π - a r c cos α, a r c t g (- α) = - a r c t g α, a r c c t g (- α) = π - a r c c t g α.

Tekintsük az r c sin, a r c cos, a r c t g és a r c c t g értékeinek megtalálását a Bradis táblázat segítségével.

Ha meg kell találnunk a 0, 2857 arcszinusz értéket, akkor egy szinusztáblázattal keressük meg az értéket. Látjuk, hogy ez a szám megfelel a sin szög értékének 16 fok és 36 perc. Ez azt jelenti, hogy a 0,2857 szám arcszinusza a kívánt szög 16 fok és 36 perc. Nézzük az alábbi ábrát.

A fokoktól jobbra vannak a korrekcióknak nevezett oszlopok. Ha a szükséges arcszinusz 0,2863, akkor ugyanazt a 0,0006-os korrekciót alkalmazzuk, mivel a legközelebbi szám 0,2857 lesz. Ez azt jelenti, hogy a korrekciónak köszönhetően 16 fok 38 perc és 2 perc szinust kapunk. Nézzük a Bradis asztalt ábrázoló képet.

Vannak helyzetek, amikor a szükséges szám nincs a táblázatban, és még korrekciókkal sem található, akkor a szinuszok két legközelebbi értéke található. Ha a szükséges szám 0,2861573, akkor a 0,2860 és 0,2863 számok a legközelebbi értékek. Ezek a számok 16 fok 37 perc és 16 fok és 38 perc szinuszértékeinek felelnek meg. Ekkor ennek a számnak a hozzávetőleges értéke akár egy perces pontossággal meghatározható.

Ily módon a r c sin, a r c cos, a r c t g és a r c c t g értékeit megtaláljuk.

Ahhoz, hogy egy adott szám ismert arkoszinuszán keresztül megtaláljuk az arcszinust, az a r c sin α + a r c cos α = π 2 trigonometrikus képleteket kell alkalmazni, a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (meg kell nézni összegképletek témájasarccosine és arcsine, arctangens és arccotangens összege).

Ismert a r c sin α = - π 12 mellett meg kell találni a r c cos α értékét, majd ki kell számítani az ív koszinuszát a képlet segítségével:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − (− π 12) = 7 π 12 .

Ha egy a szám arctangensének vagy arckotangensének az értékét meg kell találni az ismert arcszinusz vagy arkoszinusz segítségével, akkor hosszú számításokat kell végezni, mivel nincsenek szabványos képletek. Nézzünk egy példát.

Ha egy a szám arc koszinuszát π 10-nel adjuk meg, és egy érintőtáblázat segít kiszámítani ennek a számnak az arc tangensét. A 10 radián π szöge 18 fokot jelent, ekkor a koszinusztáblázatból azt látjuk, hogy a 18 fokos koszinusz értéke 0,9511, ami után a Bradis táblát nézzük.

A 0,9511 arctangens érték keresésekor azt határozzuk meg, hogy a szögérték 43 fok és 34 perc. Nézzük az alábbi táblázatot.

Valójában a Bradis táblázat segít megtalálni a kívánt szögértéket, és a szögérték alapján lehetővé teszi a fokok számának meghatározását.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

arcszinusz latinból fordítva ívet és szinust jelent. Ez az inverz függvény.

Másképp fogalmazva:

Példa-magyarázat:
Keressük arcsin 1/2-t.

Megoldás .
Az arcsin 1/2 kifejezés azt mutatja, hogy a t szög szinusza 1/2 (sin t = 1/2).

tengelyen elhelyezkedő 1/2 pont nál nél, a számkör π/6 pontjának felel meg.
Ez azt jelenti, hogy arcsin 1/2 = π/6.

Jegyzet:

ha sin π/6 = 1/2, akkor arcsin 1/2 = π/6.

Vagyis az első esetben a szinusz értékét a számkör egy pontjából, a második esetben pedig éppen ellenkezőleg, a szinusz értékéből találjuk meg a számkör egy pontját. Ellentétes irányú mozgás. Ez az arcszinusz.

Képletek.

(2)

√2
1. példa: Számítsa ki az arcsin (- --).
2

Megoldás .

Példa megoldásánál szó szerint követjük a példánk feletti táblázatot.

√2
a = – --.
2

√2
Ekkor sin t = – --, t-vel a [–π/2; π/2]
2

π
Ez azt jelenti, hogy t = – -- (a [–π/2; π/2] szegmensben található)
4

√2π
Válasz: arcsin (– --) = – -
2 4

Felhívjuk figyelmüket: a –π/4 szám szinusza -√2/2, a -√2/2 arcszinusza pedig –π/4. Mozgás fordított sorrendben. A szám szinusza egy pont a koordinátatengelyen, az arcszinusz pedig egy pont a számkörön.

√3
2. példa: Az arcsin kiszámítása --
2

Megoldás .

√3
Legyen arcsin -- = t.
2

√3
Ekkor sin t = --.
2

A t pont a [–π/2; π/2]. Kiszámoljuk t értékét.

√3
A -- szám a sin π/3 értékének felel meg, míg a π/3 a [–π/2; π/2].
2

A lényeg:

√3
arcsin -- = π/3.
2

Ez a cikk arról szól az arcszinusz, arkoszinusz, arctangens és arckotangens értékeinek megtalálása adott szám. Először tisztázni fogjuk, mit nevezünk arcszinusznak, arkoszinusznak, arctangensnek és arckotangensnek. Ezután megkapjuk ezeknek az ívfüggvényeknek a fő értékeit, amelyek után megértjük, hogyan találjuk meg az arcszinusz, az arc koszinusz, az arc tangens és az arc kotangens értékeit a szinuszok, koszinuszok, érintők és Bradis táblázatok segítségével. kotangensek. Végül beszéljünk egy szám arcszinuszának megtalálásáról, ha ismert ennek a számnak az arccosine, arctangens vagy arccotangens stb.

Oldalnavigáció.

Az arcszinusz, arkkoszinusz, arctangens és arckotangens értékei

Mindenekelőtt érdemes rájönni, hogy valójában mi is az "ez". az arcszinusz, arkkoszinusz, arctangens és arckotangens jelentése».

A szinuszok és koszinuszok, valamint az érintők és kotangensek Bradis-táblázatai lehetővé teszik egy pozitív szám arcszinuszának, arccosinuszának, arctangensének és arckotangensének értékének meghatározását fokokban, egyperces pontossággal. Itt érdemes megemlíteni, hogy a negatív számok arcszinusz, arccosinusz, arctangens és arckotangens értékeinek megtalálása a pozitív számok megfelelő arcfüggvényeinek értékére redukálható az arcsin, arccos, arctg és képletekkel. arcsin(−a)=−arcsin a alakú ellentétes számok arcctg, arccos (−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a és arcctg(−a)=π−arcctg a .

Találjuk ki, hogyan találjuk meg az arcszinusz, arkoszinusz, arctangens és arckotangens értékeit a Bradis táblázatok segítségével. Ezt példákkal tesszük meg.

Meg kell találnunk a 0,2857 arcszinusz értéket. Ezt az értéket a szinuszok táblázatában találjuk (azokat az eseteket, amikor ez az érték nem szerepel a táblázatban, az alábbiakban tárgyaljuk). 16 foknak 36 percnek felel meg. Ezért a 0,2857 szám arcszinuszának kívánt értéke 16 fok 36 perc szög.

Gyakran szükséges figyelembe venni a táblázat jobb oldalán található három oszlopból származó javításokat. Például, ha meg kell találnunk a 0,2863 arcszinuszát. A szinusztáblázat szerint ez az érték 0,2857 plusz 0,0006 korrekció, azaz a 0,2863 érték 16 fok 38 perc (16 fok 36 perc plusz 2 perc korrekció) szinuszának felel meg.

Ha az a szám, amelynek arszinusza érdekel, nem szerepel a táblázatban, és a korrekciók figyelembevételével sem kapható meg, akkor a táblázatban meg kell találnunk a hozzá legközelebb eső szinuszok két értékét, amelyek közé ez a szám kerül. Például a 0,2861573 arcszinusz értékét keressük. Ez a szám nem szerepel a táblázatban, és ezt a számot sem lehet módosítani. Ezután megtaláljuk a két legközelebbi értéket 0,2860 és 0,2863, amelyek közé az eredeti szám kerül, ezek a számok a 16 fok 37 perc és a 16 fok 38 perc szinuszainak felelnek meg. A 0,2861573 kívánt arszinusz érték közöttük van, vagyis ezek közül bármelyik szögérték 1 perces pontossággal közelítő arszinusz értéknek vehető.

Az arc koszinusz értékek, az arc tangens értékek és az arc kotangens értékek teljesen azonos módon találhatók (ebben az esetben természetesen koszinusz-, érintő- és kotangens-táblázatokat használunk).

Az arcsin értékének meghatározása arccos, arctg, arcctg stb. segítségével.

Például tudjunk arról, hogy arcsin a=-π/12, és meg kell találnunk az arccos a értékét. Kiszámoljuk a szükséges ív koszinusz értékét: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12.

Sokkal érdekesebb a helyzet, amikor egy a szám arcszinuszának vagy arkoszinuszának ismert értékét használva meg kell találni az a szám arctangensének vagy arckotangensének értékét, vagy fordítva. Sajnos nem ismerjük az ilyen összefüggéseket meghatározó képleteket. Hogyan legyen? Értsük meg ezt egy példával.

Tudjuk, hogy egy a szám arkoszinusza egyenlő π/10-nel, és ki kell számítanunk ennek az a számnak az arctangensét. A feladatot a következőképpen oldhatja meg: az arc koszinusz ismert értékével keresse meg az a számot, majd keresse meg ennek a számnak az arc tangensét. Ehhez először egy koszinusztáblázatra van szükségünk, majd az érintőtáblákra.

A π/10 radián szög 18 fokos szög, a koszinusztáblázatból azt találjuk, hogy a 18 fokos koszinusz megközelítőleg 0,9511, akkor a példánkban szereplő a szám 0,9511.

Az érintőtáblázathoz kell fordulni, és segítségével megtalálni a szükséges 0,9511 arctangens értéket, amely körülbelül 43 fok 34 perc.

Ezt a témát logikusan folytatja a cikk anyaga. az arcsin, arccos, arctg és arcctg kifejezéseket tartalmazó kifejezések értékeinek kiértékelése.

Bibliográfia.

• Algebra: Tankönyv 9. osztály számára. átl. iskola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky. - M.: Oktatás, 1990. - 272 pp.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Basmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 old.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• I. V. Bojkov, L. D. Romanova. Feladatgyűjtemény az egységes államvizsgára való felkészüléshez, 1. rész, Penza 2003.
• Bradis V. M. Négyjegyű matematikai táblázatok: Általános oktatáshoz. tankönyv létesítmények. - 2. kiadás - M.: Túzok, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2