Odredite determinantu izvorne matrice. Ako je determinanta matrice nula, tada njezin inverz ne postoji.

Formulacija problema

Zadatak uključuje upoznavanje korisnika s osnovnim pojmovima numeričkih metoda, kao što su determinanta i inverzna matrica, te različitim načinima njihovog izračunavanja. U ovom teoretskom izvješću, jednostavnim i pristupačnim jezikom najprije se uvode osnovni pojmovi i definicije na temelju kojih se provode daljnja istraživanja. Korisnik možda nema posebna znanja iz područja numeričkih metoda i linearne algebre, ali će lako moći koristiti rezultate ovog rada. Radi jasnoće, dan je program za izračunavanje determinante matrice pomoću nekoliko metoda, napisan u programskom jeziku C++. Program se koristi kao laboratorijski stalak za izradu ilustracija za izvješće. Također se provodi proučavanje metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Dokazuje se beskorisnost izračuna inverzne matrice, pa se u radu daju optimalniji načini rješavanja jednadžbi bez njezinog izračuna. Objašnjeno je zašto postoji toliko različitih metoda za izračunavanje determinanti i inverznih matrica te su analizirani njihovi nedostaci. Također se razmatraju pogreške u izračunu determinante i procjenjuje se postignuta točnost. Osim ruskih izraza, u radu se koriste i njihovi engleski ekvivalenti kako bi se razumjelo pod kojim nazivima pretraživati ​​numeričke procedure u knjižnicama i što znače njihovi parametri.

Osnovne definicije i jednostavna svojstva

Determinanta

Uvedimo definiciju determinante kvadratne matrice bilo kojeg reda. Ova će definicija ponavljajući, odnosno da biste ustanovili što je determinanta matrice reda, morate već znati što je determinanta matrice reda. Primijetimo također da determinanta postoji samo za kvadratne matrice.

Determinantu kvadratne matrice označit ćemo s ili det .

Definicija 1. determinanta kvadratna matrica poziva se drugi broj reda .

determinanta kvadratna matrica reda , naziva se broj

gdje je determinanta matrice reda dobivena iz matrice brisanjem prvog retka i stupca s brojem .

Radi jasnoće, zapisujemo kako možete izračunati determinantu matrice četvrtog reda:

Komentar. U iznimnim slučajevima koristi se stvarni izračun determinanti za matrice iznad trećeg reda na temelju definicije. U pravilu, proračun se provodi prema drugim algoritmima, o kojima će biti riječi kasnije i koji zahtijevaju manje računalnog rada.

Komentar. U definiciji 1 bilo bi točnije reći da je determinanta funkcija definirana na skupu kvadratnih matrica reda i koja uzima vrijednosti u skupu brojeva.

Komentar. U literaturi se umjesto pojma odrednica koristi i termin odrednica, koji ima isto značenje. Od riječi "odrednica" pojavila se oznaka det.

Razmotrimo neka svojstva determinanti, koja ćemo formulirati u obliku tvrdnji.

Izjava 1. Kod transponiranja matrice determinanta se ne mijenja, tj.

Izjava 2. Determinanta umnoška kvadratnih matrica jednaka je umnošku determinanti faktora, tj.

Izjava 3. Ako se dva retka u matrici zamijene, tada će njena determinanta promijeniti predznak.

Izjava 4. Ako matrica ima dva identična reda, tada je njena determinanta nula.

U budućnosti ćemo morati zbrajati nizove i množiti niz s brojem. Ove operacije nad redovima (stupcima) izvodit ćemo na isti način kao i operacije nad matricama reda (matrice stupaca), odnosno element po element. Rezultat će biti red (stupac) koji se u pravilu ne podudara s redovima izvorne matrice. U prisustvu operacija zbrajanja redaka (stupaca) i njihovog množenja brojem, možemo govoriti io linearnim kombinacijama redaka (stupaca), odnosno zbrojeva s numeričkim koeficijentima.

Izjava 5. Ako se redak matrice pomnoži s brojem, tada će se njegova determinanta pomnožiti s tim brojem.

Izjava 6. Ako matrica sadrži nulti red, tada je njena determinanta nula.

Izjava 7. Ako je jedan od redaka matrice jednak drugom pomnožen s brojem (redovi su proporcionalni), tada je determinanta matrice nula.

Izjava 8. Neka i-ti red u matrici izgleda kao . Zatim, gdje je matrica dobivena iz matrice zamjenom i-tog retka s retkom , a matrica je dobivena zamjenom i-tog retka s retkom .

Izjava 9. Ako se jedan od redaka matrice doda drugom, pomnožen s brojem, tada se determinanta matrice neće promijeniti.

Izjava 10. Ako je jedan od redaka matrice linearna kombinacija njegovih ostalih redaka, tada je determinanta matrice nula.

Definicija 2. Algebarsko zbrajanje elementu matrice naziva se broj jednak , gdje je determinanta matrice dobivena iz matrice brisanjem i-tog retka i j-tog stupca. Algebarski komplement elementu matrice označava se s .

Primjer. Neka . Zatim

Komentar. Koristeći algebarske dodatke, definicija 1 determinante može se napisati na sljedeći način:

Izjava 11. Dekompozicija determinante u proizvoljnom nizu.

Determinanta matrice zadovoljava formulu

Primjer. Izračunati .

Riješenje. Upotrijebimo ekspanziju u trećem retku, isplativije je jer su u trećem retku dva broja od tri nule. Dobiti

Izjava 12. Za kvadratnu matricu reda na , imamo relaciju .

Izjava 13. Sva svojstva determinante formulirane za retke (tvrdnje 1 - 11) vrijede i za stupce, posebno vrijedi dekompozicija determinante u j-tom stupcu i jednakosti u .

Izjava 14. Determinanta trokutaste matrice jednaka je proizvodu elemenata njezine glavne dijagonale.

Posljedica. Determinanta matrice identiteta jednaka je jedan, .

Zaključak. Gore navedena svojstva omogućuju pronalaženje determinanti matrica dovoljno visokih redova s ​​relativno malom količinom izračuna. Algoritam izračuna je sljedeći.

Algoritam za stvaranje nula u stupcu. Neka je potrebno izračunati determinantu reda. Ako je , zamijenite prvi redak i svaki drugi redak u kojem prvi element nije nula. Kao rezultat toga, determinanta , bit će jednaka determinanti nove matrice sa suprotnim predznakom. Ako je prvi element svakog retka jednak nuli, tada matrica ima nulti stupac i, prema izjavama 1, 13, njezina je determinanta jednaka nuli.

Dakle, to smatramo već u izvornoj matrici. Ostavite prvi redak nepromijenjen. Dodajmo drugom retku prvi redak, pomnožen s brojem . Tada će prvi element drugog retka biti jednak .

Preostale elemente novog drugog retka označit ćemo s , . Determinanta nove matrice prema tvrdnji 9 jednaka je . Pomnožite prvi redak s brojem i dodajte ga trećem. Prvi element novog trećeg reda bit će jednak

Preostale elemente novog trećeg retka označit ćemo s , . Determinanta nove matrice prema tvrdnji 9 jednaka je .

Nastavit ćemo proces dobivanja nula umjesto prvih elemenata stringova. Na kraju prvi redak množimo s brojem i pribrajamo ga zadnjem retku. Rezultat je matrica, označena s , koja ima oblik

i . Za izračun determinante matrice koristimo proširenje u prvom stupcu

Od tad

Determinanta matrice reda je na desnoj strani. Na njega primijenimo isti algoritam, a izračun determinante matrice svešćemo na izračun determinante matrice reda. Proces se ponavlja dok ne dođemo do determinante drugog reda, koja se izračunava po definiciji.

Ako matrica nema nikakva specifična svojstva, tada nije moguće značajno smanjiti količinu izračuna u usporedbi s predloženim algoritmom. Još jedna dobra strana ovog algoritma je ta što je lako napisati program za računalo za izračunavanje determinanti matrica velikih reda. U standardnim programima za izračunavanje determinanti ovaj se algoritam koristi s manjim izmjenama vezanim uz minimiziranje utjecaja pogrešaka zaokruživanja i pogrešaka ulaznih podataka u računalnim izračunima.

Primjer. Izračunajte determinantu matrice .

Riješenje. Prvi red ostaje nepromijenjen. U drugi red dodajemo prvi, pomnožen s brojem:

Odrednica se ne mijenja. U treći red dodamo prvi, pomnožen s brojem:

Odrednica se ne mijenja. U četvrti red dodajemo prvi, pomnožen s brojem:

Odrednica se ne mijenja. Kao rezultat toga, dobivamo

Istim algoritmom izračunavamo determinantu matrice reda 3 koja je s desne strane. Ostavljamo prvi redak nepromijenjen, drugom retku dodamo prvi, pomnožen s brojem :

U treći red dodamo prvi, pomnožen s brojem :

Kao rezultat toga, dobivamo

Odgovor. .

Komentar. Iako su u izračunima korišteni razlomci, rezultat je bio cijeli broj. Doista, korištenjem svojstava determinanti i činjenice da su izvorni brojevi cijeli brojevi, operacije s razlomcima se mogu izbjeći. Ali u inženjerskoj praksi brojevi su iznimno rijetko cijeli brojevi. Stoga će u pravilu elementi determinante biti decimalni razlomci i nije preporučljivo koristiti nikakve trikove za pojednostavljenje izračuna.

inverzna matrica

Definicija 3. Matrica se zove inverzna matrica za kvadratnu matricu ako je .

Iz definicije proizlazi da će inverzna matrica biti kvadratna matrica istog reda kao i matrica (inače jedan od proizvoda ili ne bi bio definiran).

Inverzna matrica za matricu je označena sa . Dakle, ako postoji, onda .

Iz definicije inverzne matrice slijedi da je matrica inverzna matrica, tj. Za matrice i može se reći da su inverzne jedna drugoj ili međusobno inverzne.

Ako je determinanta matrice nula, tada njezin inverz ne postoji.

Budući da je za pronalaženje inverzne matrice važno da li je determinanta matrice jednaka nuli ili ne, uvodimo sljedeće definicije.

Definicija 4. Nazovimo kvadratnu matricu degenerirati ili posebna matrica, ako i nedegeneriran ili nesingularna matrica, ako .

Izjava. Ako inverzna matrica postoji, onda je ona jedinstvena.

Izjava. Ako je kvadratna matrica nedegenerirana, tada postoji njezin inverz i (1) gdje su algebarski dodaci elementima .

Teorema. Inverzna matrica za kvadratnu matricu postoji ako i samo ako je matrica nesingularna, inverzna matrica je jedinstvena i formula (1) je važeća.

Komentar. Posebnu pozornost treba obratiti na mjesta koja zauzimaju algebarski dodaci u formuli inverzne matrice: prvi indeks pokazuje broj stupac, a drugi je broj linije, u koji treba upisati izračunati algebarski komplement.

Primjer. .

Riješenje. Pronalaženje determinante

Kako je , tada je matrica nedegenerirana, a inverz za nju postoji. Pronalaženje algebarskih sabiranja:

Inverznu matricu sastavljamo postavljajući pronađene algebarske dodatke tako da prvi indeks odgovara stupcu, a drugi retku: (2)

Dobivena matrica (2) je odgovor na problem.

Komentar. U prethodnom primjeru bilo bi točnije napisati odgovor ovako:
(3)

Međutim, notacija (2) je kompaktnija i s njom je praktičnije provoditi daljnje izračune, ako postoje. Stoga je pisanje odgovora u obliku (2) poželjno ako su elementi matrice cijeli brojevi. I obrnuto, ako su elementi matrice decimalni razlomci, onda je bolje pisati inverznu matricu bez faktora ispred.

Komentar. Prilikom pronalaženja inverzne matrice morate izvesti dosta izračuna i neobično pravilo za raspoređivanje algebarskih zbrajanja u konačnoj matrici. Stoga postoji velika vjerojatnost pogreške. Da biste izbjegli pogreške, trebali biste napraviti provjeru: izračunajte umnožak izvorne matrice i konačne u jednom ili drugom redoslijedu. Ako je rezultat matrica identiteta, tada je inverzna matrica ispravno pronađena. U suprotnom, trebate potražiti grešku.

Primjer. Pronađite inverz matrice .

Riješenje. - postoji.

Odgovor: .

Zaključak. Pronalaženje inverzne matrice formulom (1) zahtijeva previše izračuna. Za matrice četvrtog reda i više to je neprihvatljivo. Pravi algoritam za pronalaženje inverzne matrice bit će dan kasnije.

Izračunavanje determinante i inverzne matrice Gaussovom metodom

Gaussova metoda može se koristiti za pronalaženje determinante i inverzne matrice.

Naime, determinanta matrice jednaka je det .

Inverzna matrica nalazi se rješavanjem sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom eliminacije:

Gdje je j-ti stupac matrice identiteta, je željeni vektor.

Rezultirajući vektori rješenja - oblikuju, očito, stupce matrice, jer .

Formule za determinantu

1. Ako je matrica nesingularna, tada je i (proizvod vodećih elemenata).

Zadan je sustav od N linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) s nepoznanicama čiji su koeficijenti elementi matrice , a slobodni članovi brojevi

Prvi indeks uz koeficijente označava u kojoj se jednadžbi koeficijent nalazi, a drugi - na kojoj se od nepoznanica nalazi.

Ako determinanta matrice nije jednaka nuli

tada sustav linearnih algebarskih jednadžbi ima jedinstveno rješenje.

Rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi je takav uređeni skup brojeva koji svaku od jednadžbi sustava pretvara u ispravnu jednakost.

Ako su desne strane svih jednadžbi sustava jednake nuli, tada se sustav jednadžbi naziva homogenim. U slučaju kada su neki od njih različiti od nule, neuniformni

Ako sustav linearnih algebarskih jednadžbi ima barem jedno rješenje, tada se naziva kompatibilnim, u protivnom je nekompatibilnim.

Ako je rješenje sustava jedinstveno, tada se sustav linearnih jednadžbi naziva određenim. U slučaju kada rješenje zajedničkog sustava nije jedinstveno, sustav jednadžbi nazivamo neodređenim.

Dva sustava linearnih jednadžbi nazivaju se ekvivalentnima (ili ekvivalentima) ako su sva rješenja jednog sustava rješenja drugog sustava i obrnuto. Ekvivalentni (ili ekvivalentni) sustavi dobivaju se pomoću ekvivalentnih transformacija.

Ekvivalentne transformacije SLAE

1) preuređivanje jednadžbi;

2) množenje (ili dijeljenje) jednadžbi brojem različitim od nule;

3) dodavanje neke jednadžbe druge jednadžbe, pomnožene proizvoljnim brojem koji nije nula.

SLAE rješenje može se pronaći na različite načine.

CRAMEROVA METODA

CRAMEROV TEOREM. Ako je determinanta sustava linearnih algebarskih jednadžbi s nepoznanicama različita od nule, tada taj sustav ima jedinstveno rješenje koje se nalazi prema Cramerovim formulama:

su determinante nastale zamjenom i-tog stupca stupcem slobodnih članova.

Ako je , a barem jedan od nije nula, tada SLAE nema rješenja. Ako , onda SLAE ima mnogo rješenja. Razmotrite primjere koristeći Cramerovu metodu.

—————————————————————

Zadan je sustav od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice. Riješite sustav Cramerovom metodom

Odredite determinantu matrice koeficijenata za nepoznanice

Budući da je , tada je zadani sustav jednadžbi konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Izračunajmo determinante:

Pomoću Cramerovih formula nalazimo nepoznanice

Tako jedino rješenje sustava.

Dan je sustav od četiri linearne algebarske jednadžbe. Riješite sustav Cramerovom metodom.

Nađimo determinantu matrice koeficijenata za nepoznanice. Da bismo to učinili, proširimo ga prvim redom.

Pronađite komponente determinante:

Zamijenite pronađene vrijednosti u determinantu

Determinanta, dakle, sustav jednadžbi je konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Determinante izračunavamo koristeći Cramerove formule:

Proširimo svaku od determinanti stupcem u kojem ima više nula.

Cramerovim formulama nalazimo

Sustavno rješenje

Ovaj primjer može se riješiti matematičkim kalkulatorom YukhymCALC. Isječak programa i rezultati izračuna prikazani su u nastavku.

——————————

C R A M E R METODA

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= deset

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000

x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Pogledaj materijale:

(jkomentari na)

U općem slučaju, pravilo za izračunavanje determinanti th reda prilično je glomazno. Za determinante drugog i trećeg reda postoje racionalni načini njihovog izračunavanja.

Izračuni determinanti drugog reda

Za izračun determinante matrice drugog reda potrebno je od produkta elemenata glavne dijagonale oduzeti umnožak elemenata sekundarne dijagonale:

Primjer

Vježbajte. Izračunajte determinantu drugog reda

Riješenje.

Odgovor.

Metode za izračunavanje determinanti trećeg reda

Postoje pravila za izračunavanje determinanti trećeg reda.

pravilo trokuta

Shematski se ovo pravilo može prikazati na sljedeći način:

Umnožak elemenata u prvoj determinanti koji su povezani crtama uzima se s predznakom plus; slično, za drugu determinantu, odgovarajući umnošci se uzimaju s predznakom minus, tj.

Primjer

Vježbajte. Izračunaj odrednicu metoda trokuta.

Riješenje.

Odgovor.

Sarrusovo pravilo

Desno od determinante dodaju se prva dva stupca i umnošci elemenata na glavnoj dijagonali i na njoj paralelnim dijagonalama uzimaju se s znakom plus; i umnošci elemenata sekundarne dijagonale i njoj paralelnih dijagonala s predznakom minus:

Primjer

Vježbajte. Izračunaj odrednicu koristeći Sarrusovo pravilo.

Riješenje.

Odgovor.

Proširenje determinante u retku ili stupcu

Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata retka determinante i njihovih algebarskih komplemenata.

Obično se izabere red/stupac u kojem se nalaze nule. Redak ili stupac na kojem se provodi dekompozicija bit će označen strelicom.

Primjer

Vježbajte. Proširujući prvi red izračunajte determinantu

Riješenje.

Odgovor.

Ova metoda omogućuje da se izračun determinante svede na izračun determinante nižeg reda.

Primjer

Vježbajte. Izračunaj odrednicu

Riješenje. Izvršite sljedeće transformacije na redovima determinante: oduzmite prva četiri retka od drugog retka, a prvi red pomnožen sa sedam od trećeg retka, kao rezultat, prema svojstvima determinante, dobivamo determinantu jednaku danom.

Determinanta je nula jer su drugi i treći redak proporcionalni.

Odgovor.

Za izračun determinanti četvrtog reda i više, koristi se ili proširenje u retku / stupcu, ili redukcija na trokutasti oblik, ili korištenje Laplaceovog teorema.

Rastavljanje determinante na elemente retka ili stupca

Primjer

Vježbajte. Izračunaj odrednicu , rastavljajući ga po elementima nekog reda ili nekog stupca.

Riješenje. Izvedimo najprije elementarne transformacije na redovima determinante tako da napravimo što više nula u retku ili u stupcu. Da bismo to učinili, prvo oduzimamo devet trećina od prvog retka, pet trećina od drugog i tri trećine od četvrtog, dobivamo:

Dobivenu determinantu proširujemo elementima prvog stupca:

Rezultirajuća determinanta trećeg reda također se proširuje elementima retka i stupca, nakon što su prethodno dobivene nule, na primjer, u prvom stupcu.

Da bismo to učinili, oduzimamo dva druga retka od prvog retka, a drugi od trećeg:

Odgovor.

Komentar

Zadnju i pretposljednju determinantu nije moguće izračunati, već odmah zaključiti da su jednake nuli, budući da sadrže proporcionalne retke.

Dovođenje determinante u oblik trokuta

Pomoću elementarnih transformacija nad redovima ili stupcima determinanta se svodi na trokutasti oblik, a zatim je njezina vrijednost, prema svojstvima determinante, jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

Primjer

Vježbajte. Izračunaj odrednicu dovodeći ga u trokutasti oblik.

Riješenje. Prvo, napravimo nule u prvom stupcu ispod glavne dijagonale.

4. Svojstva determinanti. Determinanta umnoška matrica.

Sve transformacije bit će lakše izvesti ako je element jednak 1. Da bismo to učinili, zamijenit ćemo prvi i drugi stupac determinante, što će, prema svojstvima determinante, uzrokovati promjenu predznaka u suprotan. :

Dalje, dobivamo nule u drugom stupcu umjesto elemenata ispod glavne dijagonale. I opet, ako je dijagonalni element jednak , tada će izračuni biti jednostavniji. Da bismo to učinili, zamijenimo drugi i treći redak (i ​​istovremeno promijenimo u suprotni znak determinante):

Odgovor.

Laplaceov teorem

Primjer

Vježbajte. Pomoću Laplaceovog teorema izračunajte determinantu

Riješenje. Izaberemo dva retka u ovoj determinanti petog reda - drugi i treći, pa dobijemo (izostavimo članove koji su jednaki nuli):

Odgovor.

LINEARNE JEDNADŽBE I NEJEDNAČBE I

§ 31. Slučaj kada je glavna determinanta sustava jednadžbi jednaka nuli, a barem jedna od pomoćnih determinanti je različita od nule.

Teorema.Ako je glavna determinanta sustava jednadžbi

(1)

jednaka nuli, a barem jedna od pomoćnih determinanti je različita od nule, tada je sustav nekonzistentan.

Formalno, dokaz ovog teorema nije teško dobiti kontradikcijom. Pretpostavimo da sustav jednadžbi (1) ima rješenje ( x 0 , g 0). Dok, kao što je prikazano u prethodnom paragrafu,

Δ x 0 = Δ x , Δ g 0 = Δ g (2)

Ali po uvjetu Δ = 0, i barem jedna od determinanti Δ x i Δ g različit od nule. Dakle, jednakosti (2) ne mogu vrijediti istovremeno. Teorem je dokazan.

No, čini se zanimljivim detaljnije razjasniti zašto je sustav jednadžbi (1) nekonzistentan u razmatranom slučaju.

znači da su koeficijenti nepoznanica u sustavu jednadžbi (1) proporcionalni. Neka npr.

a 1 = ka 2 ,b 1 = kb 2 .

znači da koeficijenti na a slobodni članovi jednadžbi sustava (1) nisu proporcionalni. Jer b 1 = kb 2, dakle c 1 =/= kc 2 .

Stoga se sustav jednadžbi (1) može napisati u sljedećem obliku:

U ovom sustavu, koeficijenti za nepoznanice su redom proporcionalni, ali koeficijenti za na (ili kada x ) i slobodni članovi nisu proporcionalni. Takav je sustav, naravno, nedosljedan. Doista, kad bi imala rješenje ( x 0 , g 0), zatim brojčane jednakosti

k (a 2 x 0 + b 2 g 0) = c 1

a 2 x 0 + b 2 g 0 = c 2 .

Ali jedna od ovih jednakosti proturječi drugoj: nakon svega, c 1 =/= kc 2 .

Razmotrili smo samo slučaj kada Δ x =/= 0. Slično možemo razmotriti slučaj kada Δ g =/= 0."

Dokazani teorem može se formulirati na sljedeći način.

Ako su koeficijenti za nepoznanice x i na u sustavu jednadžbi (1) proporcionalni, a koeficijenti za bilo koju od tih nepoznanica i slobodnih članova nisu proporcionalni, tada je ovaj sustav jednadžbi nekonzistentan.

Lako je, na primjer, provjeriti da će svaki od ovih sustava biti nedosljedan:

Cramerova metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi

Cramerove formule

Cramerova metoda temelji se na korištenju determinanti u rješavanju sustava linearnih jednadžbi. To uvelike ubrzava proces rješenja.

Cramerova metoda može se koristiti za rješavanje sustava onoliko linearnih jednadžbi koliko ima nepoznanica u svakoj jednadžbi.

Cramerova metoda. Primjena sustava linearnih jednadžbi

Ako determinanta sustava nije jednaka nuli, tada se u rješenju može koristiti Cramerova metoda, a ako je jednaka nuli, ne može. Osim toga, Cramerova metoda može se koristiti za rješavanje sustava linearnih jednadžbi koje imaju jedinstveno rješenje.

Definicija. Determinanta, sastavljena od koeficijenata nepoznanica, naziva se determinanta sustava i označava se s (delta).

Odrednice

dobivaju se zamjenom koeficijenata pri odgovarajućim nepoznanicama slobodnim članovima:

;

.

Cramerov teorem. Ako je determinanta sustava različita od nule, tada sustav linearnih jednadžbi ima jedno jedino rješenje, a nepoznanica je jednaka omjeru determinanti. Nazivnik je determinanta sustava, a brojnik je determinanta dobivena iz determinante sustava zamjenom koeficijenata s nepoznatim slobodnim članovima. Ovaj teorem vrijedi za sustav linearnih jednadžbi bilo kojeg reda.

Primjer 1 Riješite sustav linearnih jednadžbi:

Prema Cramerov teorem imamo:

Dakle, rješenje sustava (2):

Tri slučaja u rješavanju sustava linearnih jednadžbi

Kako se vidi iz Cramerovi teoremi, pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi mogu se pojaviti tri slučaja:

Prvi slučaj: sustav linearnih jednadžbi ima jedinstveno rješenje

(sustav je dosljedan i određen)

*

Drugi slučaj: sustav linearnih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja

(sustav je konzistentan i neodređen)

**
,

oni. koeficijenti nepoznanica i slobodni članovi su proporcionalni.

Treći slučaj: sustav linearnih jednadžbi nema rješenja

(sustav nedosljedan)

Dakle sustav m linearne jednadžbe sa n varijable se zove nekompatibilan ako nema rješenja, i spojnica ako ima barem jedno rješenje. Zajednički sustav jednadžbi koji ima samo jedno rješenje naziva se određeni, i više od jednog neizvjestan.

Primjeri rješavanja sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom

Neka sustav

.

Na temelju Cramerovog teorema

………….
,

gdje
—

identifikator sustava. Preostale determinante dobivamo zamjenom stupca s koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznato) slobodnim članovima:

Primjer 2

.

Dakle, sustav je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante

Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sustava.

Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, metodu rješavanja po Crameru.

Ako u sustavu linearnih jednadžbi nema varijabli u jednoj ili više jednadžbi, tada su u determinanti njima odgovarajući elementi jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 3 Riješite sustav linearnih jednadžbi Cramerovom metodom:

.

Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:

Pažljivo pogledajte sustav jednadžbi i determinantu sustava te ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednako nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, dakle, sustav je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznanice

Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, rješenje sustava je (2; -1; 1).

Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, metodu rješavanja po Crameru.

Vrh stranice

Riješi kviz o sustavima linearnih jednadžbi

Kao što je već rečeno, ako je determinanta sustava jednaka nuli, a determinante za nepoznanice nisu jednake nuli, sustav je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Ilustrirajmo sljedećim primjerom.

Primjer 4 Riješite sustav linearnih jednadžbi Cramerovom metodom:

Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:

Determinanta sustava jednaka je nuli, pa je sustav linearnih jednadžbi ili nekonzistentan i određen, ili je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Da pojasnimo, izračunavamo determinante za nepoznanice

Determinante za nepoznanice nisu jednake nuli, stoga je sustav nekonzistentan, odnosno nema rješenja.

Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, metodu rješavanja po Crameru.

U zadacima o sustavima linearnih jednadžbi postoje i oni u kojima se uz slova koja označavaju varijable nalaze i druga slova. Ova slova označavaju neki broj, najčešće pravi broj. U praksi takve jednadžbe i sustavi jednadžbi dovode do problema u pronalaženju općih svojstava bilo koje pojave i objekta. Odnosno, izumili ste neki novi materijal ili uređaj, a da biste opisali njegova svojstva, koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili broj kopija, trebate riješiti sustav linearnih jednadžbi, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable stoje slova. Ne morate daleko tražiti primjere.

Sljedeći primjer je za sličan problem, samo se povećava broj jednadžbi, varijabli i slova koja označavaju neki realni broj.

Primjer 6 Riješite sustav linearnih jednadžbi Cramerovom metodom:

Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:

Pronalaženje determinanti za nepoznanice

Cramerovim formulama nalazimo:

,

,

.

I na kraju, sustav od četiri jednadžbe s četiri nepoznanice.

Primjer 7 Riješite sustav linearnih jednadžbi Cramerovom metodom:

.

Pažnja! Ovdje nećemo objašnjavati metode za izračunavanje determinanti četvrtog reda. Nakon toga - na odgovarajući odjeljak stranice. Ali bit će nekih komentara. Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:

Mali komentar. U izvornoj determinanti elementi četvrtog retka oduzeti su od elemenata drugog retka, elementi četvrtog retka pomnoženi s 2, od elemenata trećeg retka elementi prvog retka pomnoženi s 2. , od elemenata četvrtog reda.Transformacije početnih determinanti s prve tri nepoznanice napravljene su prema istoj shemi. Pronalaženje determinanti za nepoznanice

Za transformacije determinante s četvrtom nepoznanicom elementi četvrtog retka oduzeti su od elemenata prvog retka.

Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, rješenje sustava je (1; 1; -1; -1).

Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, metodu rješavanja po Crameru.

Oni najpažljiviji vjerojatno su primijetili da članak ne sadrži primjere rješavanja neodređenih sustava linearnih jednadžbi. A sve zato što je takve sustave nemoguće riješiti Cramerovom metodom, možemo samo ustvrditi da je sustav neodređen. Rješenja takvih sustava dana su Gaussovom metodom.

Nemate vremena zadubiti se u rješenje? Možete naručiti posao!

Vrh stranice

Riješi kviz o sustavima linearnih jednadžbi

Ostalo na temu "Sustavi jednadžbi i nejednadžbi"

Kalkulator - riješite sustave jednadžbi online

Programska implementacija Cramerove metode u C++

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi metodom supstitucije i metodom zbrajanja

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Uvjet kompatibilnosti sustava linearnih jednadžbi.

Kronecker-Capellijev teorem

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom (inverzna matrica)

Sustavi linearnih nejednadžbi i konveksni skupovi točaka

Početak teme "Linearna algebra"

Odrednice

U ovom ćemo se članku upoznati s vrlo važnim pojmom iz dijela linearne algebre koji se naziva determinanta.

Želio bih odmah primijetiti važnu točku: koncept determinante vrijedi samo za kvadratne matrice (broj redaka = broj stupaca), druge matrice ga nemaju.

Determinanta kvadratne matrice(determinanta) — numerička karakteristika matrice.

Oznaka determinanti: |A|, det A, ∆ A.

determinanta"n" poredak naziva se algebarski zbroj svih mogućih proizvoda njegovih elemenata koji zadovoljavaju sljedeće zahtjeve:

1) Svaki takav proizvod sadrži točno "n" elemenata (tj. determinanta drugog reda je 2 elementa).

2) U svakom proizvodu postoji predstavnik svakog retka i svakog stupca kao faktor.

3) Bilo koja dva faktora u svakom proizvodu ne mogu pripadati istom retku ili stupcu.

Znak proizvoda određen je redoslijedom izmjene brojeva stupaca, ako su elementi u proizvodu raspoređeni u rastućem redoslijedu brojeva redaka.

Razmotrimo nekoliko primjera pronalaženja determinante matrice:

Za matricu prvog reda (tj.

Linearne jednadžbe. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Cramerova metoda.

postoji samo 1 element), determinanta je jednaka ovom elementu:

2. Razmotrimo kvadratnu matricu drugog reda:

3. Razmotrimo kvadratnu matricu trećeg reda (3×3):

4. A sada razmotrite primjere s realnim brojevima:

Pravilo trokuta.

Pravilo trokuta način je izračunavanja determinante matrice, što uključuje njezino pronalaženje prema sljedećoj shemi:

Kao što ste već shvatili, metoda je nazvana pravilom trokuta zbog činjenice da umnoženi elementi matrice tvore osebujne trokute.

Da bismo ovo bolje razumjeli, uzmimo primjer:

A sada razmotrite izračun determinante matrice s realnim brojevima pomoću pravila trokuta:

Kako bismo učvrstili pređeno gradivo, riješit ćemo još jedan praktični primjer:

Svojstva determinanti:

1. Ako su elementi retka ili stupca jednaki nuli, tada je i determinanta jednaka nuli.

2. Determinanta će promijeniti predznak ako se bilo koja 2 retka ili stupca zamijene. Pogledajmo ovo s malim primjerom:

3. Determinanta transponirane matrice jednaka je determinanti izvorne matrice.

4. Determinanta je nula ako su elementi jednog retka jednaki odgovarajućim elementima drugog retka (također i za stupce). Najjednostavniji primjer ovog svojstva determinanti je:

5. Determinanta je nula ako su njezina 2 retka proporcionalna (također i za stupce). Primjer (linije 1 i 2 su proporcionalne):

6. Zajednički faktor retka (stupca) može se izbaciti iz predznaka determinante.

7) Determinanta se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog retka (stupca) dodaju elementima bilo kojeg retka (stupca), pomnoženim s istom vrijednošću. Pogledajmo ovo na primjeru:

Pregleda: 57258

Determinanta (aka determinanta (determinanta)) nalazi se samo u kvadratnim matricama. Determinanta nije ništa drugo nego vrijednost koja kombinira sve elemente matrice, koja se čuva prilikom transponiranja redaka ili stupaca. Može se označiti kao det(A), |A|, Δ(A), Δ, gdje A može biti i matrica i slovo koje je označava. Možete ga pronaći na različite načine:

Sve gore predložene metode bit će analizirane na matricama veličine tri ili više. Determinanta dvodimenzionalne matrice nalazi se pomoću tri elementarne matematičke operacije, stoga pronalaženje determinante dvodimenzionalne matrice neće spadati ni u jednu od metoda. Dobro, osim kao dodatak, ali o tome kasnije.

Pronađite determinantu 2x2 matrice:

Da bismo pronašli determinantu naše matrice, potrebno je oduzeti umnožak brojeva jedne dijagonale od druge, tj.

Primjeri pronalaženja determinante matrica drugog reda

Dekompozicija reda/stupca

Bilo koji redak ili stupac u matrici je odabran. Svaki broj u odabranom retku množi se s (-1) i+j gdje je (i,j broj retka, stupca tog broja) i množi se s determinantom drugog reda sastavljenom od preostalih elemenata nakon brisanja i - reda i j - stupac. Pogledajmo matricu

1. Odaberite redak/stupac

Na primjer, uzmite drugu liniju.

Bilješka: Ako nije izričito navedeno kojim se retkom traži determinanta, bira se onaj koji ima nulu. Bit će manje kalkulacija.

1. Sastavi izraz

Nije teško utvrditi da se predznak broja mijenja svaki drugi put. Stoga, umjesto jedinica, možete se voditi sljedećom tablicom:

1. Promijenimo predznak naših brojeva

1. Pronađimo determinante naših matrica

1. Uzimamo u obzir sve

Rješenje se može napisati ovako:

Primjeri pronalaženja determinante proširenjem retka/stupca:

Metoda svođenja na trokutasti oblik (elementarnim transformacijama)

Determinanta se nalazi dovođenjem matrice u trokutasti (stepenasti) oblik i množenjem elemenata na glavnoj dijagonali

Trokutasta matrica je matrica čiji su elementi na jednoj strani dijagonale jednaki nuli.

Kada gradite matricu, zapamtite tri jednostavna pravila:

1. Svaki put kada se nizovi zamijene, determinanta mijenja predznak u suprotan.
2. Prilikom množenja / dijeljenja jednog niza brojem koji nije nula, treba ga podijeliti (ako se množi) / pomnožiti (ako dijeli) s njim ili izvršiti ovu radnju s rezultirajućom determinantom.
3. Prilikom dodavanja jednog niza pomnoženog brojem drugom nizu, determinanta se ne mijenja (množeni niz preuzima svoju izvornu vrijednost).

Pokušajmo dobiti nule u prvom stupcu, a zatim u drugom.

Pogledajmo našu matricu:

Ta-a-ak. Da bi izračuni bili ugodniji, želio bih imati najbliži broj na vrhu. Možete ga ostaviti, ali i ne morate. U redu, imamo dvojku u drugoj liniji, a četvorku u prvoj.

Zamijenimo ova dva retka.

Zamijenili smo crte, sada moramo ili promijeniti predznak jednog retka, ili promijeniti predznak determinante na kraju.

Odrednice. Izračunavanje determinanti (str. 2)

Učinit ćemo to kasnije.

Sada, da bismo dobili nulu u prvom retku, pomnožimo prvi red sa 2.

Oduzmite 1. red od drugog.

Prema našem 3. pravilu, originalni niz vraćamo na početnu poziciju.

Sada napravimo nulu u 3. retku. Prvi redak možemo pomnožiti s 1,5 i oduzeti od trećeg, ali rad s razlomcima donosi malo zadovoljstva. Stoga, pronađimo broj na koji se mogu svesti oba niza - to je 6.

Pomnožite treći red s 2.

Sada množimo 1. red sa 3 i oduzimamo od 3. reda.

Vratimo naš 1. red.

Ne zaboravite da smo 3. redak pomnožili s 2, pa ćemo onda determinantu podijeliti s 2.

Postoji jedna kolona. Sada, da bismo dobili nule u drugom redu - zaboravimo na 1. redak - radimo s 2. redom. Pomnožite drugi red s -3 i dodajte ga trećem.

Ne zaboravite vratiti drugi redak.

Dakle, izgradili smo trokutastu matricu. Što nam preostaje? I ostaje pomnožiti brojeve na glavnoj dijagonali, što ćemo učiniti.

Pa, preostaje zapamtiti da svoju determinantu moramo podijeliti s 2 i promijeniti predznak.

Sarrusovo pravilo (pravilo trokuta)

Sarrusovo pravilo vrijedi samo za kvadratne matrice trećeg reda.

Determinanta se izračunava zbrajanjem prva dva stupca desno od matrice, množenjem elemenata dijagonala matrice i njihovim zbrajanjem te oduzimanjem zbroja suprotnih dijagonala. Oduzmite ljubičastu od narančastih dijagonala.

Pravilo trokuta je isto, samo je slika drugačija.

Laplaceov teorem vidi Dekompozicija reda/stupca

1.1. Sustavi dviju linearnih jednadžbi i determinante drugog reda

Razmotrimo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:

Izgledi s nepoznatim i imaju dva indeksa: prvi označava broj jednadžbe, drugi - broj varijable.

Cramerovo pravilo: Rješenje sustava dobiva se dijeljenjem pomoćnih determinanti s glavnom determinantom sustava

,

Napomena 1. Korištenje Cramerovog pravila moguće je ako je determinanta sustava nije jednak nuli.

Napomena 2. Cramerove formule također se mogu generalizirati na sustave višeg reda.

Primjer 1 Riješite sustav:
.

Riješenje.

;
;

;

Ispitivanje:

Zaključak: Sustav je ispravan:
.

1.2. Sustavi triju linearnih jednadžbi i determinante trećeg reda

Razmotrimo sustav od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice:

Determinanta, sastavljena od koeficijenata nepoznanica, zove se kvalifikator sustava ili glavni kvalifikator:

.

Ako a
tada sustav ima jedinstveno rješenje, koje je određeno Cramerovim formulama:

gdje su odrednice
nazivaju se pomoćnim i dobivaju se iz determinante zamjenom njegovog prvog, drugog ili trećeg stupca stupcem slobodnih članova sustava.

Primjer 2 Riješite sustav
.

Formiramo glavne i pomoćne odrednice:

Ostaje razmotriti pravila za izračunavanje determinanti trećeg reda. Postoje ih tri: pravilo dodavanja stupaca, Sarrusovo pravilo i pravilo proširenja.

a) Pravilo za dodavanje prva dva stupca glavnoj determinanti:

Izračun se provodi na sljedeći način: sa svojim predznakom su proizvodi elemenata glavne dijagonale i duž paralela s njom, sa suprotnim predznakom, uzimaju se proizvodi elemenata sekundarne dijagonale i duž paralela s njom. .

b) Sarrusovo pravilo:

Svojim znakom uzimaju umnoške elemenata glavne dijagonale i uzduž paralela s njom, a treći element koji nedostaje uzima se iz suprotnog kuta. Sa suprotnim predznakom uzimaju se umnošci elemenata sekundarne dijagonale i po paralelama s njom uzima se treći element iz suprotnog kuta.

c) Pravilo proširivanja elementima retka ili stupca:

Ako a
, zatim .

Algebarsko zbrajanje je determinanta nižeg reda dobivena brisanjem odgovarajućeg retka i stupca i uzimajući u obzir predznak
, gdje - broj retka - broj stupca.

Na primjer,

,
,
itd.

Izračunajmo pomoćne determinante prema ovom pravilu i , proširujući ih elementima prvog reda.

Nakon što smo izračunali sve determinante, nalazimo varijable prema Cramerovom pravilu:

Ispitivanje:

Zaključak: sustav je ispravan: .

Osnovna svojstva determinanti

Mora se zapamtiti da je odrednica broj, pronađeno prema nekim pravilima. Njegov se izračun može pojednostaviti ako se koristimo osnovnim svojstvima koja vrijede za determinante bilo kojeg reda.

Svojstvo 1. Vrijednost determinante neće se promijeniti ako se svi njeni redovi zamijene odgovarajućim stupcima i obrnuto.

Operacija zamjene redaka stupcima naziva se transpozicija. Iz ovog svojstva slijedi da će svaka izjava koja je istinita za retke determinante također biti istinita za njezine stupce.

Svojstvo 2. Ako se u determinanti izmijene dva retka (stupca), tada će se predznak determinante promijeniti u suprotan.

Svojstvo 3. Ako su svi elementi bilo kojeg retka determinante jednaki 0, tada je i determinanta jednaka 0.

Svojstvo 4. Ako se elementi niza determinanti pomnože (podijele) s nekim brojem , tada će se vrijednost determinante povećati (smanjiti) u jednom.

Ako elementi bilo kojeg retka imaju zajednički faktor, tada se on može izbaciti iz predznaka determinante.

Svojstvo 5. Ako determinanta ima dva jednaka ili proporcionalna retka, tada je takva determinanta jednaka 0.

Svojstvo 6. Ako su elementi bilo kojeg retka determinante zbroj dva člana, tada je determinanta jednaka zbroju dviju determinanti.

Svojstvo 7. Vrijednost determinante se ne mijenja ako se elementi retka dodaju elementima drugog retka, pomnoženim s istim brojem.

U ovoj determinanti prvo je trećina, pomnožena s 2, dodana drugom retku, zatim je druga oduzeta od trećeg stupca, nakon čega je drugi redak dodan prvom i trećem, kao rezultat smo dobili puno nula i pojednostavio izračun.

Osnovno transformacije determinanta nazivaju se njezina pojednostavljenja zbog korištenja tih svojstava.

Primjer 1 Izračunaj odrednicu

Izravno prebrojavanje prema jednom od gore navedenih pravila dovodi do glomaznih izračuna. Stoga je preporučljivo koristiti svojstva:

a) oduzmite drugi red, pomnožen sa 2, od prvog reda;

b) oduzmite treći red od drugog reda, pomnoženo s 3.

Kao rezultat toga dobivamo:

Proširimo ovu determinantu elementima prvog stupca koji sadrži samo jedan element različit od nule.

.

Sustavi i determinante viših redova

sustav linearne jednadžbe sa nepoznanice se mogu napisati na sljedeći način:

Za ovaj slučaj također je moguće sastaviti glavnu i pomoćnu determinantu, te odrediti nepoznanice prema Cramerovom pravilu. Problem je u tome što se determinante višeg reda mogu izračunati samo snižavanjem reda i redukcijom na determinante trećeg reda. To se može učiniti izravnom dekompozicijom na elemente retka ili stupca, kao i prethodnim elementarnim transformacijama i daljnjom dekompozicijom.

Primjer 4 Izračunajte determinantu četvrtog reda

Riješenje pronaći na dva načina:

a) izravnim širenjem preko elemenata prvog reda:

b) preliminarnim transformacijama i daljnjom dekompozicijom

Primjer 5 Izračunajte determinantu petog reda, dobivajući nule u trećem redu koristeći četvrti stupac

oduzmite treći od drugog stupca:

oduzmite treći od drugog reda:

Primjer 6 Riješite sustav:

Riješenje. Sastavimo determinantu sustava i, primjenjujući svojstva determinanti, izračunajmo je:

(od prvog retka oduzimamo treći, a zatim u dobivenoj determinanti trećeg reda iz trećeg stupca oduzimamo prvi, pomnožen s 2). Determinanta
, stoga su primjenjive Cramerove formule.

Izračunajmo ostale determinante:

Četvrti stupac se množi s 2 i oduzima od ostatka

Četvrti stupac je oduzet od prvog, a zatim, pomnožen s 2, oduzet od drugog i trećeg stupca.

.

Ovdje su izvedene iste transformacije kao i za
.

.

Kad se pronađe prvi stupac je pomnožen s 2 i oduzet od ostatka.

Prema Cramerovom pravilu imamo:

Nakon zamjene pronađenih vrijednosti u jednadžbe, uvjeravamo se da je rješenje sustava točno.

2. MATRICE I NJIHOVA UPORABA

U RJEŠAVANJU SUSTAVA LINEARNIH JEDNADŽBI

Sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica naziva sustavom forme

gdje aij i b i (ja=1,…,m; b=1,…,n) su neki poznati brojevi, i x 1 ,…,x n- nepoznato. U zapisu koeficijenata aij prvi indeks ja označava broj jednadžbe, a drugi j je broj nepoznanice na kojoj stoji ovaj koeficijent.

Koeficijenti za nepoznanice bit će napisani u obliku matrice , koju ćemo nazvati matrica sustava.

Brojevi na desnim stranama jednadžbi b 1 ,…,b m nazvao besplatni članovi.

Agregat n brojevima c 1 ,…,c n nazvao odluka ovog sustava, ako svaka jednadžba sustava postane jednakost nakon zamjene brojeva u nju c 1 ,…,c n umjesto odgovarajućih nepoznanica x 1 ,…,x n.

Naš će zadatak biti pronaći rješenja za sustav. U ovom slučaju mogu se pojaviti tri situacije:

Sustav linearnih jednadžbi koji ima barem jedno rješenje naziva se spojnica. Inače, t.j. ako sustav nema rješenja, tada se poziva nekompatibilan.

Razmotrite načine pronalaženja rješenja za sustav.

MATRIČNA METODA ZA RJEŠAVANJE SUSTAVA LINEARNIH JEDNADŽBI

Matrice omogućuju da se ukratko zapiše sustav linearnih jednadžbi. Neka je dan sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice:

Razmotrite matricu sustava i matrični stupci nepoznatih i slobodnih članova

Pronađimo proizvod

oni. kao rezultat umnoška dobivamo lijeve strane jednadžbi ovog sustava. Tada se, koristeći definiciju jednakosti matrica, ovaj sustav može napisati kao

ili kraće A∙X=B.

Ovdje matrice A i B su poznati, a matrica x nepoznato. Nju treba pronaći, jer. njegovi elementi su rješenje ovog sustava. Ova se jednadžba zove matrična jednadžba.

Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednadžba rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednadžbe s lijeve strane s matricom A-1, inverz matrice A: . Jer A -1 A = E i E∙X=X, tada dobivamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .

Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može pronaći samo za kvadratne matrice, matrična metoda može riješiti samo one sustave u kojima broj jednadžbi je jednak broju nepoznanica. Međutim, matrični zapis sustava moguć je i u slučaju kada broj jednadžbi nije jednak broju nepoznanica, tada matrica A nije kvadrat i stoga je nemoguće pronaći rješenje sustava u obliku X = A -1 B.

Primjeri. Rješavanje sustava jednadžbi.

CRAMEROVO PRAVILO

Razmotrimo sustav od 3 linearne jednadžbe s tri nepoznanice:

Determinanta trećeg reda koja odgovara matrici sustava, tj. sastavljen od koeficijenata pri nepoznanicama,

nazvao sustavna odrednica.

Još tri determinante sastavljamo na sljedeći način: 1, 2 i 3 stupce u determinanti D zamijenimo stupcem slobodnih članova.

Tada možemo dokazati sljedeći rezultat.

Teorem (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada razmatrani sustav ima jedno i samo jedno rješenje, a

Dokaz. Dakle, razmotrite sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice. Pomnožite 1. jednadžbu sustava s algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednadžba - na A21 i 3. - na A 31:

Dodajmo ove jednadžbe:

Razmotrite svaku od zagrada i desnu stranu ove jednadžbe. Po teoremu o proširenju determinante po elementima 1. stupca

Slično, može se pokazati da i .

Konačno, to je lako vidjeti

Tako dobivamo jednakost: .

Posljedično,.

Jednakosti i izvode se slično, odakle slijedi tvrdnja teorema.

Dakle, napominjemo da ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada sustav ima jedinstveno rješenje i obrnuto. Ako je determinanta sustava jednaka nuli, tada sustav ili ima beskonačan skup rješenja ili nema rješenja, tj. nekompatibilan.

Primjeri. Riješite sustav jednadžbi

GAUSSOVA METODA

Prethodno razmatrane metode mogu se koristiti za rješavanje samo onih sustava u kojima se broj jednadžbi podudara s brojem nepoznanica, a determinanta sustava mora biti različita od nule. Gaussova metoda je univerzalnija i prikladna je za sustave s bilo kojim brojem jednadžbi. Sastoji se od uzastopnog uklanjanja nepoznanica iz jednadžbi sustava.

Razmotrimo ponovno sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice:

.

Prvu jednadžbu ostavljamo nepromijenjenu, a iz 2. i 3. izuzimamo članove koji sadrže x 1. Da bismo to učinili, drugu jednadžbu podijelimo s a 21 i pomnožite s - a 11, a zatim zbrojite s 1. jednadžbom. Slično, treću jednadžbu dijelimo na a 31 i pomnožite s - a 11, a zatim ga dodajte prvom. Kao rezultat, izvorni sustav će imati oblik:

Sada, iz posljednje jednadžbe, eliminiramo izraz koji sadrži x2. Da biste to učinili, treću jednadžbu podijelite s , pomnožite s i dodajte drugoj. Tada ćemo imati sustav jednadžbi:

Stoga je iz posljednje jednadžbe lako pronaći x 3, zatim iz 2. jednadžbe x2 i konačno od 1. x 1.

Kada se koristi Gaussova metoda, jednadžbe se mogu zamijeniti ako je potrebno.

Često se, umjesto da napišu novi sustav jednadžbi, ograniče na ispisivanje proširene matrice sustava:

a zatim ga elementarnim transformacijama dovesti do trokutastog ili dijagonalnog oblika.

Do elementarne transformacije matrice uključuju sljedeće transformacije:

1. permutacija redaka ili stupaca;
2. množenje niza brojem različitim od nule;
3. dodajući jednom retku druge retke.

Primjeri: Rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom.

Dakle, sustav ima beskonačan broj rješenja.

Sustav se naziva homogenim ako su svi slobodni članovi u njemu jednaki nuli. Ako takav homogeni sustav ima karakteristične determinante, tada se njihov posljednji stupac sastoji od nula, a sve su jednake nuli. Sasvim je očito da svaki homogeni sustav ima rješenje

koju ćemo u nastavku nazivati ​​nulom.

Za homogeni sustav glavno je pitanje ima li rješenja različita od nule, i ako ima, koji će biti skup svih takvih rješenja. Razmotrimo prvo slučaj kada je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica. Sustav će izgledati ovako:

Ako je determinanta ovog sustava različita od nule, tada, prema Cramerovom teoremu, ovaj sustav ima jedno određeno rješenje, odnosno u ovom slučaju nulto rješenje. Ako je ova determinanta jednaka nuli, tada će rang k tablice koeficijenata biti manji od broja nepoznanica i, prema tome, vrijednosti (n - k) nepoznanica ostat će potpuno proizvoljne, a mi ćemo imati nebrojeno skup rješenja koja su različita od nule. Tako dolazimo do sljedeće glavne teoreme:

Teorem I. Da bi sustav (14) imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da njegova determinanta bude jednaka nuli.

Povucimo paralelu između rezultata koje smo dobili za nehomogeni sustav (1) i homogeni sustav (14). Ako je determinanta sustava različita od nule, tada nehomogeni sustav (1) ima jedno određeno rješenje, a homogeni sustav samo nulto rješenje. Ako je determinanta sustava jednaka nuli, tada homogeni sustav (14) ima rješenja različita od nule, ali pod tim uvjetom nehomogeni sustav (1), općenito govoreći, nema rješenja, jer da bi da bismo imali rješenje, potrebno je da su njegovi slobodni članovi odabrani tako da isprazne sve karakteristične determinante. Gornji paralelizam rezultata igrat će bitnu ulogu u onome što slijedi. U pitanjima fizike, homogeni sustavi će se susresti kada se razmatraju prirodne oscilacije, a nehomogeni sustavi kada se razmatraju prisilne oscilacije, a gornji slučaj jednakosti determinante nuli karakterizirat će prisutnost vlastitih oscilacija za homogeni sustav, i fenomen rezonancija za nehomogen sustav.

Sada prelazimo na detaljnije razmatranje rješenja sustava (14) kada je njegova glavna determinanta jednaka nuli. Neka je k rang tablice njegovih koeficijenata i, očito, . Prema teoremu dokazanom u prethodnom broju, moramo uzeti onih k jednadžbi koje sadrže glavnu determinantu i riješiti ih za k nepoznanica.

Pretpostavimo, bez gubitka općenitosti, da su te nepoznanice . Rješenja će izgledati ovako:

gdje određeni brojčani koeficijenti i mogu poprimiti proizvoljne vrijednosti.

Napominjemo jedno opće svojstvo rješenja sustava (14), koje izravno proizlazi iz linearnosti i homogenosti tog sustava, a koje se može nazvati principom nametanja rješenja, naime, ako imamo više rješenja sustava:

tada njihovim množenjem proizvoljnim konstantama i zbrajanjem također dobivamo rješenje sustava

Postupajući na isti način kao što smo učinili za linearne diferencijalne jednadžbe, rješenja (16) nazivamo linearno neovisnima ako ne postoje vrijednosti konstanti Q, među kojima ima onih različitih od nule, tako da za bilo koje s jednakosti uzimaju mjesto:

Nije teško konstruirati linearno neovisna rješenja sustava tako da njihovim množenjem proizvoljnim konstantama i njihovim zbrajanjem dobijemo sva rješenja sustava. Doista, okrenimo se formulama (15), koje daju opće rješenje sustava, i konstruirajmo rješenja temeljena na tim formulama na sljedeći način: u prvom rješenju, a sve ostalo, postavimo na nulu; u drugom rješenju postavljamo a i sve ostale jednake nuli, itd. i, konačno, u posljednjem rješenju postavljamo sve ostale jednake nuli. Lako je vidjeti da su konstruirana rješenja linearno neovisna, jer svaka od njih sadrži jednu od nepoznanica jednaku jedinici, koja je u ostalim rješenjima jednaka nuli. Označimo dobivena rješenja na sljedeći način.